ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ. ΘΕΜΑ 1 ο (35%) Να επιλυθεί ο υπερστατικός φορέας του σχήματος χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των παραμορφώσεων.

Transcript

1 ΤΕΧΝΟΛΟΙΚΟ ΕΚΠΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜ ΘΗΝΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΙΚΩΝ ΕΦΡΜΟΩΝ Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής Μάθημα: Στατική ΙΙ 8 Φεβρουαρίου Διδάσκων: Τριαντ. Κόκκινος, Ph.D. ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΤΩΝ ΡΠΤΗ ΕΞΕΤΣΗ ( η περίοδος χειμερινού εξαμήνου -) ΘΕΜ ο (35%) Να επιλυθεί ο υπερστατικός φορέας του σχήματος χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των παραμορφώσεων. (α) Να υπολογισθούν οι καμπτικές ροπές στα άκρα των τριών μελών του φορέα. (β) Να υπολογισθούν οι αντιδράσεις στις στηρίξεις, και του φορέα. (γ) Να σχεδιασθεί το διάγραμμα ροπών του φορέα. (δ) Να προσδιορισθούν οι μέγιστες θετικές ροπές κάμψης. kn/m 3 kn/m Δ 6 kn m m 6 m 8 m Οι πίνακες με τις ακραίες δράσεις αμφιπάκτων και μονοπάκτων δοκών δίνονται στην επόμενη σελίδα. ΤΕΙ θήνας, Οκτ. / 4

2 Χειμερινό εξάμηνο - (' περίοδος) ΚΡΙΕΣ ΔΡΣΕΙΣ ΜΟΝΟΠΚΤΩΝ ΚΙ ΜΦΙΠΚΤΩΝ ΜΕΛΩΝ q q P B B B B B N M M B B M B N B, M B 6 6, B M 3 3, B q M, q, 5q, 8 P M, 8 P, 3 q M B q B q M 8 3q B 8 P M B 8 P B Επίλυση: Άγνωστο μέγεθος παραμόρφωσης είναι μια αριστερόστροφη στροφή στο Δ. Δοκός Δ: M 3 6 M ΤΕΙ θήνας, Φεβ. / 4

3 Χειμερινό εξάμηνο - (' περίοδος) Δοκός Δ: M ( 6) 4 M ( 6) 4 M M ( 6) ( 6) Δοκός Δ: 4( ) 3 8 M 8 M 6 M ( ) 3 8 M 6 8 6( ) ( ) Ισορροπία κόμβου Δ: M M M M B Fy y 75 y ( 4) 95 y y 9.83 kn 48 6 (προς τα επάνω) Κόμβος : ( 4) y y y 4.67 kn (προς τα επάνω) ΤΕΙ θήνας, Φεβ. 3 / 4

4 Χειμερινό εξάμηνο - (' περίοδος) Κόμβος : ( 4) M M M 3 3 M 5 knm (δηλ. 5 knm δεξιόστροφα) 3 3 ( 4) Bx Bx 3 3 Bx 45 kn 8 8 (προς τα δεξιά) Κόμβος : ( 4) M M M 6 6 M 8 knm (δηλ. 8 knm δεξιόστροφα) 3 3( 4) y y y 7.5 kn 6 6 (προς τα επάνω) Ισορροπία πλαισίου: (έλεγχος ή εναλλακτικός τρόπος προσδιορισμού y ) F kn 7.5 kn 36 y y y y y 9.83 kn y Διάγραμμα ξονικών Δυνάμεων [N] ΤΕΙ θήνας, Φεβ. 4 / 4

5 Χειμερινό εξάμηνο - (' περίοδος) Διάγραμμα Τεμνουσών Δυνάμεων [] Διάγραμμα Καμπτικών Ροπών [M] ΤΕΙ θήνας, Φεβ. 5 / 4

6 Χειμερινό εξάμηνο - (' περίοδος) ΘΕΜ ο (35%) Να σχεδιασθούν τα διαγράμματα αξονικών δυνάμεων [N], τεμνουσών δυνάμεων [] και καμπτικών ροπών [M] του παρακάτω πλαισιωτού φορέα. Να υπολογισθούν οι τιμές και οι αντίστοιχες θέσεις της μέγιστης θετικής ροπής κάμψης στο ζύγωμα Δ (τρεις διαφορετικές τιμές). 4 kn kn/m kn/m Ε G Ζ H Δ 4 m 6 m 4 m 4 m 4 m 4 m 6 kn, kn, 4 kn, 6 kn, 4 kn y y x y y ΤΕΙ θήνας, Φεβ. 6 / 4

7 Χειμερινό εξάμηνο - (' περίοδος) Διάγραμμα ξονικών Δυνάμεων [N] Διάγραμμα Τεμνουσών Δυνάμεων [] Διάγραμμα Καμπτικών Ροπών [M] ΤΕΙ θήνας, Φεβ. 7 / 4

8 Χειμερινό εξάμηνο - (' περίοδος) (επιλογή ενός εκ των δύο θεμάτων με αριθμό 3) ΘΕΜ 3 ο (3%) (' επιλογή) ια την μονοπροέχουσα δοκό του παρακάτω σχήματος ζητούνται η βύθιση w στο άκρο του προβόλου και η στροφή στη στήριξη. Δίνεται knm και οι σχέσεις υπολογισμού των παραμορφώσεων: MM w kn = dx και knm = MM dx kn/m 4 m m Οι πίνακες με τους πολλαπλασιασμούς διαγραμμάτων δίνονται στην επόμενη σελίδα. Τιμές ολοκληρωμάτων M M dx j k M M dx j k k k k j j 3 6 j 6 3 j j j 3 6 k j 4j j3 k j j3 k j j 6 6 τετραγ. παραβολή ΤΕΙ θήνας, Φεβ. 8 / 4

9 Επίλυση: Χειμερινό εξάμηνο - (' περίοδος) Υπό την δεδομένη φόρτιση η μονοπροέχουσα δοκός του σχήματος κάμπτεται και συνεπώς το άκρο της βυθίζεται κατά w, ενώ στη στήριξη η δοκός στρίβει κατά γωνία B. Οι παραμορφώσεις αυτές θα προσδιορισθούν με τη μέθοδο του μοναδιαίου φορτίου (ρχή Δυνατών Έργων). Σύμφωνα με τη μέθοδο του μοναδιαίου φορτίου προκειμένου να προσδιορισθεί η εγκάρσια μετατόπιση στο (βύθιση) επιβάλλεται στο φορέα μοναδιαία δύναμη στο σημείο αυτό και με διεύθυνση αυτή της ζητούμενης μετατόπισης, δηλαδή εγκάρσια (Φόρτιση ). ια δε το προσδιορισμό της στροφής στο θα πρέπει στην άρθρωση της δοκού να επιβληθεί μοναδιαία ροπή (Φόρτιση ). Διάγραμμα Καμπτικών Ροπών προβόλου για τη δεδομένη εξωτερική φόρτιση ντιδράσεις του φορέα: M B 4 m ( kn/ m 6 m ) 3 m B 9 kn y y F kn x x F B kn/ m 6 m 3 kn y y y y Διάγραμμα ροπών του φορέα για τη δεδομένη εξωτερική φόρτιση που είναι το κατανεμημένο φορτίο q kn/ m και η οποία προκαλεί τις ζητούμενες παραμορφώσεις στο άκρο. 4 q /8 q /8 4 + [ M ] (knm) 4 m m ΤΕΙ θήνας, Φεβ. 9 / 4

10 Χειμερινό εξάμηνο - (' περίοδος) Υπολογισμός βύθισης στο άκρο της δοκού Όπως αναφέρθηκε προηγουμένως, για να υπολογισθεί η βύθιση στο άκρο της μονοπροέχουσας δοκού, θα ασκηθεί στο δύναμη, στην κατακόρυφη διεύθυνση και μέτρου kn (βλ. Φόρτιση ). Φόρτιση kn.5 kn.5 kn 4 m m Το διάγραμμα ροπών M του προβόλου για τη μοναδιαία δύναμη δίνεται στο επόμενο σχήμα και αξιοποιείται στη σχέση υπολογισμού της ζητούμενης βύθισης, η οποία παίρνει τη μορφή: MM 4 6 w kn dx MMdx MMdx 4 [ M] (knm) 4 m m Συνεπώς, σύμφωνα με τους πίνακες υπολογισμού του ολοκληρώματος και συγκεκριμένα τις εκφράσεις στα κελιά (4,) και (4,3), η βύθιση θα υπολογισθεί ως εξής: 4 6 w kn MMdx MMdx 4 παραβολή στο, διάγραμμα Μ τρίγωνο στο, διάγραμμα Μ υπολογίζεται από τη σχέση στο κελί (4,) του πίνακα παραβολή στο, διάγραμμα Μ τρίγωνο στο, διάγραμμα Μ υπολογίζεται από τη σχέση στο κελί (4,3) του πίνακα ΤΕΙ θήνας, Φεβ. / 4

11 Χειμερινό εξάμηνο - (' περίοδος) ναλυτικότερα: w kn 4 m knm knm 4 knm 6 m knm knm knm m knm knm m knm 6 knm 6 4 m knm 4 kn m 4 mknm 6 6 knm οπότε η βύθιση θα είναι: 4 kn m w kn w m w mm Επομένως, το άκρο μετατοπίζεται προς τα κάτω κατά mm. Υπολογισμός στροφής στο άκρο του προβόλου ια να υπολογισθεί η στροφή της δοκού στη κύλιση, θα ασκηθεί στο σημείο του βοηθητικού φορέα ροπή μέτρου knm (βλ. Φόρτιση ). Φόρτιση knm 4 m.5 kn.5 kn m Το διάγραμμα ροπών M της δοκού για τη μοναδιαία ροπή δίνεται στο επόμενο σχήμα. [ M ] (knm) + 4 m m ΤΕΙ θήνας, Φεβ. / 4

12 Χειμερινό εξάμηνο - (' περίοδος) Η σχέση υπολογισμού της ζητούμενης στροφής παίρνει για τη συγκεκριμένη περίπτωση τη μορφή: MM 4 6 B knm dx MM dx MM dx 4 πό τους πίνακες υπολογισμού του ολοκληρώματος χρησιμοποιείται η έκφραση στο κελί (4,) για τον υπολογισμό της στροφής: knm MM dx MM dx MMdx 4 παραβολή στο, διάγραμμα Μ τρίγωνο στο, διάγραμμα Μ υπολογίζεται από τη σχέση στο κελί (4,) του πίνακα και αναλυτικότερα θα είναι: knm 4 m knm knm 4 knm 6 4m knm knm m knm 6 6 m knm 6 knm Συνεπώς, η βύθιση θα είναι: knm knm knm rad Η δοκός, λοιπόν, στο σημείο δεν θα στρίψει και θα παραμείνει οριζόντια. ΤΕΙ θήνας, Φεβ. / 4

13 Χειμερινό εξάμηνο - (' περίοδος) (επιλογή ενός εκ των δύο θεμάτων με αριθμό 3) ΘΕΜ 3 ο (3%) (' επιλογή) Να επιλυθεί το δικτύωμα του σχήματος ακολουθώντας αυστηρά τα παρακάτω βήματα: (α) Να προσδιορισθούν τα μέλη με μηδενική δύναμη. (β) Να υπολογισθούν με τη μέθοδο των τομών οι δυνάμεις στα μέλη ΔΖ, ΔΘ και Ζ. (γ) Να υπολογισθούν με τη μέθοδο των κόμβων οι δυνάμεις στις ράβδους Ε, Η, ΕΗ, ΕΔ και Ε). ια όλα τα μέλη να διευκρινισθεί εάν υπόκεινται σε θλίψη ή εφελκυσμό. kn 4 m 4 m 4 m 8 kn 3 m 3 m 3 m 3 m ΤΕΙ θήνας, Φεβ. 3 / 4

14 Χειμερινό εξάμηνο - (' περίοδος) Επίλυση: ΤΕΙ θήνας, Φεβ. 4 / 4