Μέθοδος των Δυνάμεων (συνέχεια)

Transcript

1 Μέθοδος των υνάμεων (συνέχεια)

2 Παράδειγμα Π8-1 Μέθοδος των υνάμεων: 08-2 Να υπολογιστούν οι αντιδράσεις και να σχεδιαστεί το διάγραμμα ροπών κάθε μέλους του πλαισίου. [ΕΙ σταθερό] Το πλαίσιο στο σχήμα (a) είναι μία φορά υπερστατικό. Επιλέγεται να αφαιρεθεί η οριζόντια δέσμευση R CΧ από το σημείο C, μετατρέποντας την άρθρωση σε κύληση. H ανάλυση του θεμελιώδους φορέα ανάγεται σε επαλληλία δύο αναλύσεων: λόγω της δοσμένης εξωτερικής φόρτισης (σχήμα (b)) και λόγω της άγνωστης δέσμευσης Χ C που αφαιρέθηκε (σχήμα (c)). Αφού η οριζόντια μετακίνηση στον αρχικό φορέα στο C, CH, είναι μηδέν, η εξίσωση συμβιβαστού σ αυτήν την περίπτωση είναι: CH = 0 C0 + δ CC Χ C = 0 Για να υπολογίσουμε τη C0, χρησιμοποιούμε τη μέθοδο των ροπών. Από το σχήμα (b), C0 = 6θ Β0, όπου θ Β0 είναι ηστροφήστοσημείοβ. Η θ Β0 μπορεί να υπολογιστεί από το μέλος ΑΒ ως θ θ θ Β = t A / B 0 L δ

3 Παράδειγμα Π8-1 (...) Μέθοδος των υνάμεων: 08-3 όπου t A/B είναι η εφαπτομενική απόκλιση του σημείου Α από εφαπτομένη που περνά από το σημείο Β τηςελαστικήςγραμμήςκαιισούταιμετηροπήωςπροςτο Α του εμβαδού κάτω από την καμπύλη Μ/ΕΙ μεταξύ των δύο σημείων. Το διάγραμμα ροπών του μέλους ΑΒ έχει τη μορφή + Άρα, t A / B = 6 = 2EI EI και θ B0 = = 12EI EI Ημετακίνηση C0 μπορεί τότε να υπολογιστεί από το μέλος BC ως 6θ Β0, αφού ο κόμβος Β είναι στερεός. 540 C0 = 6θ B0 = EI

4 Παράδειγμα Π8-1 (...) Μέθοδος των υνάμεων: 08-4 Ημετακίνησηδ CC υπολογίζεται χρησιμοποιώντας την Αρχή υνατών Έργων, βάσει της εξίσωσης: όπου 1 1 δ = δ = πραγματική μετακίνηση M Το πραγματικό και το δυνατό σύστημα ταυτίζονται, σχήμα (c). x= L x= 0 MM dx EI = δυνατή εξωτερική μοναδιαία δύναμη = ροπή που προκαλείται από τα πραγματικά φορτία του φορέα M = ροπή που προκαλείται από τη δυνατή εξωτερική μοναδιαία φόρτιση E = μέτρο ελαστικότητας μέλους I = ροπή αδράνειας της διατομής ως προς άξονα που περνά από το κ.β. MM 1 δcc = dx = EI 12 x x dx dx = ( x)( x) EI EI 216 δcc = EI

5 Παράδειγμα Π8-1 (...) Μέθοδος των υνάμεων: 08-5 Αντικαθιστώντας στην εξίσωση συμβιβαστού προκύπτει το υπερστατικό μέγεθος Χ C : XC = EI EI X = 2.5 kip C 0 Αφού υπολογιστεί η αντίδραση Χ C, προσδιορίζουμε τις άγνωστες αντιδράσεις από επαλληλία των δυνάμεων του σχήματος (b) και 2.5 φορές αυτές του σχήματος (c). Στο σχήμα (d) φαίνονται οι τελικές τιμές των αντιδράσεων και το διάγραμμα ροπών.

6 Μέθοδος των υνάμεων: Ανάλυση Χρησιμοποιώντας Εσωτερικές Ελευθερώσεις 08-6 Στα προηγούμενα παραδείγματα ανάλυσης με τη Μέθοδο τωνυνάμεωνχρησιμοποιήθηκαναντιδράσειςστιςστηρίξεις ως υπερστατικά μεγέθη. Σ αυτές τις περιπτώσεις, και δεδομένου ότι δεν υπάρχουν υποχωρήσεις στηρίξεων, οι εξισώσεις συμβιβαστού εκφράζουν τη γεωμετρική συνθήκη ότι η μετακίνηση κατά τη διεύθυνση του υπερστατικού μεγέθους είναι μηδέν. Εδώ η Μέθοδος των υνάμεων εφαρμόζεται σε περιπτώσεις όπου ο θεμελιώδης φορέας προκύπτει αφαιρώντας εσωτερικές δεσμεύσεις. Σ αυτές τις περιπτώσεις επιλέγονται ζεύγη εσωτερικών δυνάμεων ως υπερστατικά μεγέθη, και η εξίσωση συμβιβαστού εκφράζει τη γεωμετρική συνθήκη ότι η σχετική μετακίνηση μεταξύ των άκρων της διατομής που ασκείται το υπερστατικό μέγεθος είναι μηδέν. ΠΠΜ220: Στατική Ανάλυση Κατασκευών IΙ

7 ΠΠΜ220: Στατική Ανάλυση Κατασκευών IΙ Μέθοδος των υνάμεων: 08-7 Ανάλυση Χρησιμοποιώντας Εσωτερικές Ελευθερώσεις (...) Ο φορέας στο σχήμα (a) είναι μία φορά υπερστατικός, αφού στον πρόβολο ΑΒ επιβάλλονται 4 άγνωστες δεσμεύσεις (3 από την πάκτωση και 1 από τη ράβδο) και μόνο 3 εξισώσεις ισορροπίας είναι διαθέσιμες. Ως υπερστατικό μέγεθος επιλέγουμε την εφελκυστική δύναμη T της ράβδου BC. Ο θεμελιώδης φορέας με την αρχική φόρτιση και το υπερστατικό μέγεθος που εφαρμόζεται ως εξωτερική δύναμη φαίνεται στο σχήμα (b). Η φορά του υπερστατικού μεγέθους επιλέγεται τυχαία. Αν από την επίλυση της εξίσωσης συμβιβαστού προκύψει θετική τιμή, τότε η αρχική μας υπόθεση είναι σωστή. Αν όμως προκύψει αρνητική τιμή, τότε το υπερστατικό μέγεθος έχει αντίθετο πρόσημο από αυτό που θεωρήθηκε. Θεωρούμε ότι το υπερστατικό μέγεθος Τ έχει φορά προς τα πάνω στη δοκό και προς τα κάτω στη ράβδο. Το πρόσημο των μετακινήσεων στη δοκό και τη ράβδο καθορίζεται από τη θεωρούμενη φορά του Τ. Άρα, η μετακίνηση της δοκού προς τα πάνω και της ράβδου προς τα κάτω είναι θετική.

8 ΠΠΜ220: Στατική Ανάλυση Κατασκευών IΙ Μέθοδος των υνάμεων: 08-8 Ανάλυση Χρησιμοποιώντας Εσωτερικές Ελευθερώσεις (...) Στο σχήμα (c) φαίνεται ο θεμελιώδης φορέας με την αρχική φόρτιση και την προκαλούμενη μετακίνηση Β0. Στο σχήμα (d) φαίνεται ο θεμελιώδης φορέας με ίσα και αντίθετα μοναδιαία φορτία κατά τη διεύθυνση του υπερστατικού μεγέθους Τ. Το μοναδιαίο φορτίο στη δοκό προκαλεί μετακίνηση δ 2 στο άκρο Β της δοκού προς τα πάνω, και στη ράβδο επιμήκυνση δ 1. Η εξίσωση συμβιβαστού βασίζεται στην παρατήρηση ότι η μετακίνηση του άκρου Β της δοκού και της ράβδου BC ταυτίζεται (= Β ), ώστε η σχετική τους μετακίνηση Β,Rel να είναι μηδέν: Β,Rel = 0 ( Β,Rel ) 0 +( Β,Rel ) T = Β0 + δ ΒΒ Τ = 0 με Β0 = μετακίνηση προς τα κάτω της δοκού στο Β λόγω της δοσμένης φόρτισης («0»), η οποία ταυτίζεται με τη σχετική μετακίνηση ( Β,Rel ) 0 δ ΒΒ = δ 1 + δ 2 = σχετική μετακίνηση του άκρου της ράβδου με το άκρο της δοκού στο Β λόγω των μοναδιαίων φορτίων («Τ=1»).

9 Μέθοδος των υνάμεων: 08-9 Ανάλυση Χρησιμοποιώντας Εσωτερικές Ελευθερώσεις (...) Η μετακίνηση Β0 μπορεί να ληφθεί από πίνακες: 3 3 PL 6(12 12) B0 = = = in 3EI 3(30,000)864 Η επιμήκυνση δ 1 της ράβδου BC δίνεται από τη σχέση δ 1 FL 1(20 12) = = = AE 0.5(24,000) 0.02 in Ενώ η μετακίνηση δ 2 μπορεί να υπολογιστεί από πίνακες: 3 3 PL 1(12) (1728) δ 2 = = = 3EI 3(30,000) in Άρα, δbb = δ1 + δ2 = 0,02 + 0,0384 = in Αντικαθιστώντας στην εξίσωση συμβιβαστού υπολογίζεται το υπερστατικό μέγεθος Τ Τ = 0 Τ = kips ΠΠΜ220: Στατική Ανάλυση Κατασκευών IΙ

10 Μέθοδος των υνάμεων:08-10 Ανάλυση Χρησιμοποιώντας Εσωτερικές Ελευθερώσεις (...) Η (απόλυτη) μετακίνηση Β στο σημείο Β προκύπτει είτε υπολογίζοντας τη μεταβολή του μήκους της ράβδου ως F TL 3.945(20 12) B = = = = in K AE 0.5(24,000) είτε αθροίζοντας τις μετακινήσεις στο άκρο της δοκού από τα σχήματα (c) και (d): B = B0 + Tδ2 = (0.0384) = in Αφού προσδιοριστεί το άγνωστο υπερστατικό μέγεθος, οι αντιδράσεις και οι εσωτερικές δυνάμεις υπολογίζονται από επαλληλία των δυνάμεων στα σχήματα (c) και (d). Για παράδειγμα: R M A A = 6 1( T) = = kips = 72 12( T) = 72 12(3.945) = kip.ft ΠΠΜ220: Στατική Ανάλυση Κατασκευών IΙ

11 Παράδειγμα 8-2 Μέθοδος των υνάμεων:08-11 Να υπολογιστούν οι δυνάμεις σε όλες τις ράβδους του δικτυώματος. [ΑΕ σταθερό]. Οφορέαςστοσχήμα(a) είναι μία φορά εσωτερικά υπερστατικός, αφού οι άγνωστες δυνάμεις (αντιδράσεις, r, και αξονικές δυνάμεις στις ράβδους, b) είναι 9 και μόνο 2n=8 εξισώσεις είναι διαθέσιμες (r+b>2n, n=αρ. κόμβων). Ως υπερστατικό μέγεθος επιλέγουμε την αξονική δύναμη F AC που εφαρμόζεται ως εξωτερική δύναμη στα άκρα της ράβδου AC. Ο θεμελιώδης φορέας φαίνεται στο σχήμα (b). H ανάλυση του θεμελιώδους φορέα ανάγεται σε επαλληλία δύο αναλύσεων: λόγω της δοσμένης εξωτερικής φόρτισης (40 kips) (σχήμα (c)) που προκαλεί σχετική μετακίνηση 0 των άκρων της ράβδου εκατέρωθεν της νοητής τομής και λόγω του υπερστατικού μεγέθους (σχήμα (d)) που προκαλεί σχετική μετακίνηση δ 00 των άκρων της ράβδου ίση με το άθροισμα των μετακινήσεων δ 1 και δ 2. Η εξίσωση συμβιβαστού στην περίπτωση αυτή είναι: Rel = Χδ 00 = 0

12 Παράδειγμα 8-2 (...) Μέθοδος των υνάμεων:08-12 Οι μετακινήσεις 0 και δ 00 μπορούν να υπολογιστούν χρησιμοποιώντας την Αρχή υνατών Έργων. Συγκεκριμένα: Για να υπολογίσουμε τη 0 (σχήμα (c)), θεωρούμε ως δυνατό σύστημα το σχήμα (d): NN 1 0 = L EA 1( 50)(20 12) 0.8(40)(16 12) 0.6(30)(12 12) = + + AE AE AE 20,736 0 = = in AE Για να υπολογίσουμε τη δ 00 (σχήμα (d)), θεωρούμε και πάλι ως δυνατό σύστημα το σχήμα (d): 1 δ + 1 δ = 1 2 NN L EA ( 0.6) (12 12) ( 0.8) (16 12) 1 (20 12) = (2) + (2) + (2) AE AE AE δ00 = δ1 + δ2 = = in AE

13 Παράδειγμα 8-2 (...) Μέθοδος των υνάμεων:08-13 Αντικαθιστώντας στην εξίσωση συμβιβαστού προκύπτει το υπερστατικό μέγεθος Χ: Αφού υπολογιστεί η αξονική δύναμη Χ, προσδιορίζουμε τις άγνωστες δυνάμεις των ράβδων από επαλληλία των μεγεθών του σχήματος (c) και φορές τα μεγέθη του σχήματος (d). Για παράδειγμα: X = 0 X = kip F F F DC AB DB = 0 + ( 0.8)(25.07) = kip = 40 + ( 0.8)(25.07) = kip = (25.07) = kip Στο σχήμα (e) φαίνονται οι τελικές τιμές των αξονικών δυνάμεων στις ράβδους.