Λυμένα παραδείγματα 1.Οι ισόθερμες καμπύλες σε δυο ποσοτήτων ιδανικού αερίου, n 1 και n 2 mol, στην ίδια θερμοκρασία Τ φαίνονται στο διπλανό διάγραμμα. Να αποδείξετε ότι είναι n 2 > n 1. ΑΠΑΝΤΗΣΗ: Παίρνουμε ένα τυχαίο όγκο V 1, στον οποίο στην ισόθερμη καμπύλη των n 1 mol αντιστοιχεί στο σημείο Α, όπου η πίεση είναι p 1, και στην ισόθερμη καμπύλη των n 2 mol αντιστοιχεί το σημείο Β, όπου η πίεση είναι p 2.Για το σημείο Α η καταστατική εξίσωση γράφεται: p 1 V 1 = n 1 RT Ενώ για το σημείο Β γράφεται: p 2 V 1 = n 2 RT Διαιρώντας τις παραπάνω σχέσεις κατά μέλη παίρνουμε: p1 n1 p2 n2 και επειδή όπως φαίνεται από το διάγραμμα, είναι p 1 < p 2, θα έχουμε n 1 < n 2 ή n 2 > n 1. 2. Να αποδείξετε ότι δυο ισόθερμες καμπύλες δεν είναι δυνατό να τέμνονται. ΑΠΑΝΤΗΣΗ: Για ίδια ποσότητα (n mol) ιδανικού αερίου αποκλείεται δυο ισόθερμες καμπύλες να τέμνονται. Πράγματι, αν υποθέσουμε ότι δυο ισόθερμες τέμνονται σ ένα σημείο Α, τότε για το σημείο τομής θα έχουμε την ίδια πίεση p Α και ίδιο όγκο V A, οπότε από την καταστατική εξίσωση προκύπτει: p Α V Α = nrt 1 και p Α V Α = nrt 2, δηλαδή Τ 1 = Τ 2 = Τ Α οπότε οι ισόθερμες θα ταυτίζονται. 3. Στο διπλανό διάγραμμα παριστάνονται δυο ισόχωρες μεταβολές μιας ποσότητα ιδανικού αερίου που αντιστοιχούν σε δυο διαφορετικούς όγκους V A και V B. Να αποδείξετε ότι είναι V A > V B. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Στην ίδια θερμοκρασία Τ, στην ισόχωρη μεταβολή του αεριού που γίνεται με όγκο V A αντιστοιχεί πίεση p A ενώ στην ισόχωρη μεταβολή του αερίου που γίνεται με όγκο V B αντιστοιχεί πίεση p B. Για την κατάσταση Α του αερίου η καταστατική εξίσωση γράφεται: P A V A = nrt. Αντίστοιχα, για την κατάσταση Β γράφεται: P Β V Β = nrt Παρατηρούμε ότι τα δεύτερα μέλη των δυο εξισώσεων είναι ίσα, οπότε εξισώνοντας τα πρώτα μέλη παίρνουμε:
P A V A = P Β V Β ή Από το διάγραμμα όμως βλέπουμε ότι είναι P B >P A, συνεπώς θα ισχύει V A >V B. 4. Σε δυο δοχεία Ι και ΙΙ υπάρχουν ίσες ποσότητες από το ίδιο ιδανικό αέριο. Στο δοχείο Ι το αέριο υφίσταται ισόβαρη μεταβολή με σταθερή πίεση p 1, ενώ στο δοχείο ΙΙ υφίσταται ισόβαρη μεταβολή με σταθερή πίεση p 2. Οι μεταβολές αυτές φαίνονται στο διπλανό διάγραμμα V T. Να αποδείξετε ότι είναι p 1 < p 2. ΑΠΑΝΤΗΣΗ: Στην ίδια θερμοκρασία Τ 0, στην ισοβαρή μεταβολή του αεριού που γίνεται πίεση p 1 αντιστοιχεί όγκος V 1 (σημείο Α), v ενώ στην ισοβαρή μεταβολή του αερίου που γίνεται με πίεση p 2, V 1 A αντιστοιχεί όγκος V 2 (σημείο Β). Για τις καταστάσεις Α και Β η V 2 B καταστατική εξίσωση γράφεται αντίστοιχα: T 0 T p 1 V 1 = nrt 0 και p 2 V 2 = nrt 0 Επειδή τα δεύτερα μέλη των εξισώσεων αυτών είναι ίσα, θα ισχύει p 1 V 1 = P 2 V 2 ή V1 p 2 V 2 p1 Αλλά από το διάγραμμα φαίνεται ότι V 1 > V 2, όποτε θα είναι p2 > 1 ή p 2 > p 1 p1
Λυμένες ασκήσεις 1. Δοχείο με έμβολο περιέχει αέρα σε πίεση Σπρώχνουμε το έμβολο αργά αργά έως ότου ο όγκος του αέρα μειωθεί στο ένα δέκατο. Ποια η τελική τιμή της πίεσης του αέρα, αν η μεταβολή γίνεται τόσο αργά, ώστε να μπορεί να θεωρηθεί η θερμοκρασία σταθερή; Απάντηση: Δεδομένα: Ζητούμενα: Επειδή, από το νόμο του Boyle έχουμε: Παρατηρήστε ότι δεν απαιτείται μετατροπή μονάδων, αφού δημιουργούνται λόγοι όμοιων μεγεθών. 2. Σε δοχείο περιέχεται ποσότητα ιδανικού αερίου με πίεση, σε όγκο και θερμοκρασία. Το αέριο: α) θερμαίνεται με σταθερό όγκο : Ποια η καινούρια τιμή της πίεσής του; β) εκτονώνεται με σταθερή θερμοκρασία μέχρι να αποκτήσει την αρχική του πίεση: Ποιος ο τελικός όγκος του αερίου; Απάντηση: Αρχική κατάσταση: Ενδιάμεση κατάσταση: Τελική κατάσταση: α) Στην πρώτη μεταβολή με σταθερό όγκο άρα θερμαίνεται μέχρις ότου. Από το Νόμο του Charles:, δηλαδή
β) Στη δεύτερη μεταβολή με σταθερή θερμοκρασία άρα εκτονώνεται μέχρις ότου. Από το Νόμο των Boyle Mariotte:, δηλαδή 3. Σε κατακόρυφο κύλινδρο, κλειστό και στις δύο βάσεις του, είναι δυνατόν να κινείται χωρίς τριβές ένα έμβολο. Στα δύο διαμερίσματα βρίσκονται ίσες μάζες του ίδιου αερίου. Αν στη θερμοκρασία το έμβολο ισορροπεί σε θέση που ο όγκος του πάνω διαμερίσματος είναι τριπλάσιος από τον όγκο του κάτω διαμερίσματος, να βρεθεί η σχέση μεταξύ των όγκων, αν η θερμοκρασία γίνει. Να βρεθεί ότι η διαστολή του δοχείου είναι αμελητέα. Απάντηση: Δεδομένα: Ζητούμενα: Έστω το εμβαδό του εμβόλου και Β το βάρος του. Αφού αρχικά το εμβολο ισορροπεί, θα ισχύει: Ομοίως, στην τελική κατάσταση θα ισχύει: Εφαρμόζοντας την Καταστατική για κάθε χώρο, στην κατάσταση (α) έχουμε: Αλλά άρα Άρα Όταν θερμάνουμε το δοχείο το έμβολο μετατοπίζεται και θεωρούμε ότι ο λόγος των νέων όγκων είναι, οπότε για τους δύο χώρους στην κατάσταση (β) έχουμε:
Από Από Για τους όγκους όμως φυσικά ισχύει: 4. Ποια είναι η μέση κινητική ενέργεια λόγω μεταφοράς ενός μορίου ιδανικού αερίου σε = C, = C ; Ποια είναι η μέση κινητική ενέργεια λόγω μεταφοράς ανά mol ιδανικού αερίου; Δίνονται k = 1,38 J/K, = 6,023 Λύση μόρια/mol. Η μέση κινητική ενέργεια ενός μορίου (λόγω μεταφορικής κίνησης) είναι = k = 1,38 323 J = 6,69 J = k = 1,38 473 J = 9,79 J
για τους C και C αντίστοιχα. Σε κάθε mole περιέχονται μεταφοράς ανά mol θα είναι: μόρια, επομένως η μέση κινητική ενέργεια λόγω = = 6,023 6,69 J = 4029,4 J/mol = = 6,023 9,79 J = 5896,5 J/mol