TRIGONOMETRIA: ANGOLI ASSOCIATI

FACOLTÀ DI INGEGNERIA CORSO DI AZZERAMENTO - MATEMATICA ANNO ACCADEMICO 010-011 ESERCIZI DI TRIGONOMETRIA: ANGOLI ASSOCIATI Esercizio 1: Fissata in un piano cartesiano ortogonale xoy una circonferenza goniometrica, trovare il valore dell angolo α 0, il cui seno è uguale, in valore assoluto, a 13 3. Svolgimento: Poiché 13 3 = 4 + 1 3, si ha 13 3 = 4 + 1 3 = + 13 = 3, essendo il seno una funzione periodica di periodo. Quindi l angolo cercato è α = 3. Esercizio : Fissata in un piano cartesiano ortogonale xoy una circonferenza goniometrica, trovare i valori degli angoli α, β 0, in modo tale che α e cos β siano uguali, in valore assoluto, a cos 10. Svolgimento: Risulta cos 10 = cos 90 + 30 = 30, essendo 10 e 30 angoli che differiscono di 90. Allora α = 30. Si ha anche cos 10 = cos 180 60 = cos 60, essendo 10 e 60 angoli supplementari. Quindi β = 60. Esercizio 3: Fissata in un piano cartesiano ortogonale xoy una circonferenza goniometrica, sapendo che α, e α =, calcolare il valore di + α. 1

CORSO DI AZZERAMENTO - MATEMATICA Svolgimento: Innanzitutto si ha + α = cos α, quindi per calcolare il valore dell espressione data bisogna determinare cos α. Dalla prima relazione fondamentale della trigonometria segue che Tenendo conto del fatto che α α + cos α = 1 cos α = 1 α.,, risulta e quindi si ha cos α 0, cos α = 1 α. Sostituendo in tale espressione α = si ottiene 1 cos α = 1 =. Allora 1 + α =. Esercizio 4: Calcolare il valore della seguente espressione α assume i valori per i quali sono definite tutte le funzioni che compaiono nell espressione + α cos α cos α + α. Svolgimento: Per la periodicità della funzione seno si ha Inoltre risulta + α = α. cos α = cos α, essendo α e α angoli opposti e cos α = α, poiché α e α sono complementari. Infine si ha anche + α = α, essendo α e + α angoli che differiscono di.

CORSO DI AZZERAMENTO - MATEMATICA 3 Tenendo conto di queste relazioni l espressione data si può riscrivere come + α cos α cos α α = α cos α α α = α cos α + 1. Esercizio : Verificare se vale la seguente identità α assume i valori per i quali sono definite tutte le funzioni che compaiono nell espressione 3 + α + cos α 3 + α + cos α cos + α + α α + cos + α = 1 α. Svolgimento: Consideriamo il primo membro dell espressione data. Si ha 3 + α = + α = + α = cos α, essendo la funzione seno periodica di periodo e poiché gli angoli α e + α differiscono di. Utilizzando le proprietà degli angoli complementari risulta che cos α = α e α = cos α. Inoltre, essendo α e α supplementari si ha α = α, mentre 3 + α = + + α = + α = α e cos + α = cos α, per le proprietà degli angoli che differiscono di. Infine cos + α = α, poichè gli angoli α e + α differiscono di, e cos α = cos α. Sostituendo tali relazioni nel primo membro dell espressione data si ottiene

4 CORSO DI AZZERAMENTO - MATEMATICA 3 + α + cos α 3 + α + cos α cos + α + α α + cos + α α + cos α cos α = cos α + α + α α cos α α cos α cos α = α cos α + α α cos α = α cos α α cos α + α cos α α α cos α = α α cos α + cos α + α cos α α = 1 α, per la prima relazione fondamentale della trigonometria α + cos α = 1. Quindi l identità data è vera. Esercizi: Fissata in un piano cartesiano ortogonale xoy una circonferenza goniometrica 1. disegnare gli angoli complementari, supplementari, esplementari, opposti e quelli che differiscono di 90 e di 180 gradi rispetto ai seguenti a. 60 b. 30 c. 4 d. 10 e. 6 3 f. g. 10 h. 3 i. 90 j. 7 4 ;

. trovare il valore dell angolo α a. 10 b. cos 1 c. 4 d. 330 e. cos 6 f. 1 ; 3. trovare il valore dell angolo α a. cos 6 b. cos 13 c. 4 d. cos 3 e. 7 1 f. cos ; 4. sapendo che α a. + α b. cos α c. tan α d. + α e. + α f. cos α g. α h. cos α ; CORSO DI AZZERAMENTO - MATEMATICA 0, il cui seno è uguale, in valore assoluto, a 0, il cui coseno è uguale, in valore assoluto, a 0, e α = 1, calcolare i valori delle seguenti espressioni 3. sapendo che α, e cos α =, calcolare i valori delle seguenti espressioni a. cot α

6 CORSO DI AZZERAMENTO - MATEMATICA b. + α c. cos α d. cos α e. tan + α f. tan α g. cos α h. cos + α ; 3 6. sapendo che α, e cos α = 3, calcolare i valori delle seguenti espressioni 4 a. tan + α b. cot + α c. α d. α e. cos + α f. α g. α h. tan α ; 7. sapendo che α, 3 e α = 3, calcolare i valori delle seguenti espressioni a. cot + α b. cos + α c. α d. cos α e. α f. cos α g. tan + α h. cos α ; 8. supponendo che siano note le funzioni di α R, calcolare i valori delle seguenti espressioni

a. cos α b. tan α 3 CORSO DI AZZERAMENTO - MATEMATICA 7 c. 40 + α d. 70 α e. tan α f. cos α 3 g. cos 630 α h. α 70. Esercizi: Calcolare il valore delle seguenti espressioni α assume i valori per i quali sono definite tutte le funzioni che compaiono nell espressione 1. 180 α cos α α cos 180 + α. 3 α cos α + 3 + α α 3. α + 3 + cos + α cos α 3 3 cos + α 4. 90 + α 180 α + cos 90 + α cos 180 + α. tan + α α cos + α tan α cos α 6. α 7 + cos α 3 cos α 3 7. 1 + 180 + α 1 + 180 α cos 360 α 8. α + α cos α cos + α 9. α 1 cos α α cos + α + 1 10. 90 + α cos α + cos 90 + α α 180 + α cos 90 α 11. cos α cos α + 1 + α + α 1 1. tan 3 α + cot α

8 CORSO DI AZZERAMENTO - MATEMATICA 13. tan 180 + α 1 1 180 α + 1 cos 360 α 3 14. α cos + α + α cos α 1. tan 180 + α cos α + 180 α tan α 16. cos + α cos α + α α 17. α + tan + α tan α + cos α 18. cos α + + α cos α + cos α 19. α + cos α 1 tan α + α cos α tan + α 1 0. cos + 3 cos α 3 α + α 3 cos α. Esercizi: Verificare se valgono le seguenti identità α assume i valori per i quali sono definite tutte le funzioni che compaiono nell espressione 1. cos + α cos α + + α + α = 0. 40 + α 70 α = 40 α 70 + α 3. a + b cos α + 3 4ab a b = α + α 4. tan 90 + α tan 180 + α + tan 90 α tan α = 0. a + b cos 90 α ab 360 α a α b cos 90 = a + b tan 180 α tan α 90, a b + α 6. a cos + α + b cos α ab α tan α = a b α 7. tan α cot 90 + α cot 90 α = tan 180 α + tan α

CORSO DI AZZERAMENTO - MATEMATICA 9 8. a cot + α + b tan + α + a + b tan α 3 a + b cot α tan 3 + α = b cos α, a b α 9. cos 70 α + 70 + α + cot 70 + α + α = cot α 70 90 α 10. a + b tan α cot ab α = + α cot + α + a 4 + α b cos 3 + α.