ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΣΥΝΘΕΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΣΥΝΘΕΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ Θεωρούµε ινώδες σύνθετο υλικό ενισχυµένο µονοδιευθυντικά µε συνεχείς ίνες. Για τη µελέτη της µηχανικής συµπεριφοράς µιας τυχαίας στρώσης, πρέπει να είναι γνωστές οι βασικές ελαστικές σταθερές της. Για τον υπολογισµός των σταθερών αυτών θεωρούµε σύστηµα συντεταγµένων µε άξονα 1 κατά τη διεύθυνση των ινών και άξονα κατά την κάθετη διεύθυνση (Σχ. 1). Στην ανάλυση που παρουσιάζεται κατωτέρω ο δείκτης αναφέρεται στις ίνες (ibers) και ο δείκτης στη µήτρα (atrix). Σχήµα 1 1. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ E1 Όταν εφαρµόζεται φορτίο εφελκυσµού κατά τη διεύθυνση της ενίσχυσης (διεύθυνση των ινών), βλ. Σχ., για να εξασφαλίζεται η συνέχεια του υλικού (δηλ. η συνάφεια µεταξύ ινών και µήτρας), πρέπει τα συστατικά υλικά του συνθέτου ίνες και µήτρα να υφίστανται το ίδιο ποσοστό παραµόρφωσης, δηλ. θα ισχύει ε = ε =ε 1. Σχήµα : Εφελκυσµός µονοδιευθυντικά ενισχυµένης στρώσης κατά τη διεύθυνση των ινών Το συνολικό φορτίο που ασκείται στη στρώσης ισούται µε όπου: A, A P1 = P + P ή ισοδύναµα σ1a1 = σa + σa είναι οι εγκάρσιες διατοµές ινών και µήτρας, αντίστοιχα. Το µέτρο ελαστικότητας E 1 µπορεί να γραφεί ως 1

E 1 σ P/A σ A + σ A σ A σ A = = = = + ε ε A ε A ε A ε 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 σ A σ A σ LA σ LA = + = + ε A ε A ε LA ε LA 1 1 1 1 1 1 = EV+ E V όπου V και L εκφράζουν το ποσοστό όγκου και το µήκος κάθε συστατικού. Να σηµειωθεί ότι ισχύει: V + V = 1 (µηδενικός όγκος κενών). Είναι προφανές ότι το σύστηµα των συστατικών του συνθέτου υλικού συµπεριφέρεται ως σύστηµα ελατηρίων συνδεδεµένων παράλληλα (Σχ. 3). Σχήµα 3 ΣΗΜΕΙΩΣΗ H παραπάνω ανάλυση δεν έχει λάβει υπόψη τις τάσεις που εισάγονται από το διαφορετικό λόγο Poisson των συστατικών του συνθέτου. Μια τέτοια θεώρηση θα οδηγούσε στη σχέση 4VV ( ν ν) E1 = EV + EV + V V 1 K K G + + όπου: K, τα µέτρα ινών και µήτρας και το µέτρο διάτµησης της µήτρας. K G Το σφάλµα στην τιµή του είναι µικρότερο 1-%.. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ E E 1 Στην περίπτωση εφελκυσµού της στρώσης κατά διεύθυνση κάθετη προς τη διεύθυνση των ινών (Σχ. 4), οι τάσεις που παραλαµβάνονται από τις ίνες και τη µήτρα κατά τη διεύθυνση αυτή θα είναι ίσες (δηλ. σ =σ =σ), ενώ η εγκάρσια παραµόρφωση ε θα είναι το άθροισµα των παραµορφώσεων ινών και µήτρας ανάλογα µε το ποσοστό όγκου που συµµετέχουν στο σύνθετο υλικό, δηλ. θα ισχύει: ε = Vε + Vε Το µέτρο ελαστικότητας ισούται µε: E E σ σ 1 1 = = = = ε V V V V Vε + V ε + ε ε ε ε + σ σ σ 1 1 EE = = = V ε V ε V V + + VE + V E E ε E ε E E =

Σχήµα 4: Εφελκυσµός µονοδιευθυντικά ενισχυµένης στρώσης κάθετα προς τη διεύθυνση των ινών Είναι προφανές ότι το σύστηµα των συστατικών του συνθέτου υλικού συµπεριφέρεται ως σύστηµα ελατηρίων συνδεδεµένων σε σειρά (Σχ. 5). Σχήµα 5 ΣΗΜΕΙΩΣΗ Εάν ληφθεί πάλι η επίδραση των διαφορετικών λόγων Poisson των δύο συστατικών του συνθέτου, προκύπτει η διορθωµένη σχέση όπου: E E =. ν 1 E = E E E(1 V) + VE 3. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΛΟΓΟΥ POISSON ν1 Σύµφωνα µε όσα έχουν υποτεθεί κατά τον υπολογισµό των µέτρων ελαστικότητας ισχύουν οι σχέσεις, βλ. επίσης Σχ. 6: E1και E, 3

Κατά τη διεύθυνση 1: ε 1 =ε =ε Κατά τη διεύθυνση : ε = Vε + V ε = (Vνε + V νε ) Ο συντελεστής Poisson ν ορίζεται από τη σχέση και εκτέλεση των πράξεων 1 1 1 ν = ε / ε, ή µετά την αντικατάσταση ε V ν ε + V ν ε V ν ε V ν ε ν = = = + = ν + ν 1 V V ε1 ε1 ε ε. Σχήµα 6 4. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ ΙΑΤΜΗΣΗΣ G1 Με βάση όσα έχουν ακολουθηθεί για τον προσδιορισµό του E, µπορεί να υποτεθεί ότι στην περίπτωση καθαρής διάτµησης (Σχ. 7) οι διατµητικές τάσεις που παραλαµβάνουν οι ίνες και η µήτρα είναι ίσες, δηλ. θα ισχύει τ = G γ = G γ Σχήµα 7: Καταπόνηση στρώσης σε καθαρή διάτµηση Η διατµητική παραµόρφωση θα ισούται µε το άθροισµα των διατµητικών παραµορφώσεων ινών και µήτρας, σταθµισµένων µε το ποσοστό όγκου που συµµετέχουν στο σύνθετο υλικό: γ= V γ + V γ 4

Το µέτρο διάτµησης G G 1 1 ορίζεται από τη σχέση: τ τ 1 1 GG = = = = = γ V γ + V γ V γ V γ V γ V γ + + V G + V G τ τ G γ G γ ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Οι τιµές που προκύπτουν από τις ανωτέρω σχέσεις είναι απλά εκτιµήσεις των σταθερών του συνθέτου υλικού, σε κάθε περίπτωση απαιτείται πειραµατικός προσδιορισµός των πραγµατικών τιµών τους. ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ Οι βασικές υποθέσεις που έγιναν στην προηγηθείσα ανάλυση, π.χ. ότι είναι σ=σ ή ότι η παραµόρφωση κάθε φάσης είναι οµοιόµορφη, δεν είναι ρεαλιστικές. Στην πραγµατικότητα, η µήτρα υφίσταται µεγαλύτερη παραµόρφωση από τις ίνες. Επιλύσεις µε πιο ρεαλιστικές υποθέσεις έχουν δοθεί από πολλούς ερευνητές, π.χ. η προσέγγιση των Halpin-Tsai που είναι αρκετά δηµοφιλής παρέχει αντίστοιχα E1 = EV + E (1 V ) ν 1 = V ν +ν(1 V ) M 1+ ξηv = M 1 η V (M / M ) 1 όπου: η= (M / M ) +ξ, Μ παριστάνει τα µεγέθη E, G 1, ν 1 του συνθέτου υλικού, M παριστάνει τα αντίστοιχα µεγέθη της µήτρας και ξ είναι ένας συντελεστής που εξαρτάται από τη µορφή και τη γεωµετρία των ινών, τη διαστρωµάτωση και τις συνθήκες φόρτισης.. 5. ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΤΑΣΕΩΝ-ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ Α. ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΜΟΝΟ ΙΕΥΘΥΝΤΙΚΕΣ ΙΝΕΣ Θεωρούµε τις συνθήκες αστοχίας µονοδιευθυντικά ενισχυµένου συνθέτου υλικού σε µονοαξονικό εφελκυσµό παράλληλα προς τη διεύθυνση των ινών. Για τον προσδιορισµό της τάσης θραύσης του συνθέτου απαιτείται να είναι γνωστές οι τάσεις και οι παραµορφώσεις θραύσης κάθε ίνας χωριστά, πρόκειται δηλαδή για θέµα στατιστικής φύσης που εισάγει πρόσθετες δυσκολίες. Προς το παρόν θα υποτεθεί ότι όλες οι ίνες του συνθέτου έχουν ακριβώς τις ίδιες ιδιότητες. ΙΣΧΥΡΕΣ ΨΑΘΥΡΕΣ ΙΝΕΣ ΣΕ ΟΛΚΙΜΗ ΜΗΤΡΑ Γενικά, διακρίνουµε τα εξής 4 στάδια της καµπύλης τάσεων παραµορφώσεων: Επιµήκυνση µήτρας και ινών στην ελαστική περιοχή. Η µήτρα διαρρέει πλαστικά, ενώ οι ίνες παραµένουν στην ελαστική περιοχή. Πλαστική παραµόρφωση ινών και µήτρας. Θραύση της µήτρας ή των ινών. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Το τελευταίο στάδιο µπορεί να οδηγεί ή όχι σε αυτόµατη αστοχία του συνθέτου. 5

Στο πρώτο στάδιο ισχύουν για τις ελαστικές σταθερές οι εκφράσεις που βρέθηκαν ανωτέρω. Το δεύτερο στάδιο αρχίζει όταν η µήτρα εισέρχεται στην πλαστική περιοχή. Λόγω τωνεσωτερικών τάσεων, η διαρροή θα συµβεί σε µία τάση ε ελαφρά µικρότερη από την παραµόρφωση διαρροής της µήτρας ε y yc και θα ολοκληρωθεί σε ελαφρά µεγαλύτερη παραµόρφωση. Εάν η απόσταση µεταξύ των ινών είναι µεγαλύτερη από 10 µ (σχετικά αραιή διάταξη), µπορεί να υποτεθεί ε ε. yc y Κατά τη διάρκεια του δευτέρου σταδίου, µπορεί να υπολογιστεί ένα κατώτερο όριο της κλίσης της καµπύλης σ ε, αν τεθεί V = 0. 5, E = G 0 στην έκφραση του µέτρου ελαστικότητας E1 = V E + V (1 ν) V V 1 K K G + + η οποία έχει ελάχιστη τιµή VE. Ο δεύτερος όρος µέσα στην παρένθεση οφείλεται σε µία παραµένουσα ελαστική τάση µέσα στη µήτρα. Γενικά, παρατηρείται µία σχετική επιβράδυνση στην παραµόρφωση της µήτρας λόγω παρεµπόδισης της διαρροής της από τις ίνες. Μετά την έναρξη της διαρροής, η εφελκυστική τάση που απαιτείται για περαιτέρω παραµόρφωση του συνθέτου ισούται µε σc= E cεy+e1ε p όπου: εp είναι η πλαστική παραµόρφωση. Εάν οι ίνες εκδηλώνουν παραµόρφωση στην πλαστική περιοχή, αποδεικνύεται ότι η διαρροή τους αρχίζει σε παραµόρφωση µικρότερη από αυτή που παρατηρείται όταν εφελκύονται µόνες τους, λόγω ακριβώς της επίδρασης της ήδη πλαστικοποιηµένης µήτρας. Πρέπει, όµως, να σηµειωθεί ότι η επίδραση αυτή είναι µικρή. Εάν µήτρα και ίνες εκδηλώνουν αµφότερες πλαστική παραµόρφωση, η κατάρρευση του συνθέτου υλικού εξαρτάται από ορισµένα κριτήρια ευστάθειας. Το φορτίο που ασκείται στο σύνθετο υλικό είναι ίσο µε: Fc = σ A +σ A. Η συνθήκη ευστάθειας απαιτεί σε κάθε αύξηση της παραµόρφωσης,dε να είναι: dfc > 0. Πέραν της αντοχής UTS του συνθέτου, η κλίση της καµπύλης φορτίου-παραµόρφωσης πρέπει να είναι αρνητική. ηλαδή, θα έχουµε: df = σ da + A dσ +σ da + A σ > 0 ή διαιρώντας και τα δύο µέλη µε (A + A ) c d df σ da A dσ σ da A dσ = + + + A A + A A + A A + A A + A c > 0 ή θέτοντας A A + A =V και A A + A = V, da da σ + Vdσ + σ + V dσ > 0 (A + A ) (A + A ) Λόγω, όµως, της διατήρησης του όγκου στην πλαστική περιοχή, είναι dε= da /A = da /A. Οπότε, µε αντικατάσταση στην προηγούµενη σχέση, λαµβάνεται 6

σ dε σ dε A + V dσ A + V dσ A + A A + A > ή 0 Vd σ Vσdε+ Vd σ Vσdε> 0 ή V(d σ σd) ε + V (dσ σ σd) ε > 0ή τελικά dσ dσ V σ + V σ >0 dε dε Με επίλυση της τελευταίας ανισότητας µπορεί να βρεθεί η τάση (UTS), στην οποία το σύνθετο υλικό γίνεται ασταθές, απαιτείται όµως η αναλυτική έκφραση της καµπύλης σ-ε των υλικών ίνας και µήτρας. Η λύση είναι της µορφής: σ =σ V λ +σ V λ uc u u όπου: λ, λ είναι πεπλεγµένες εκφράσεις που περιέχουν τις σταθερές που περιγράφουν τις καµπύλες σ-ε των υλικών ίνας και µήτρας, αντίστοιχα. Στην περίπτωση που οι µέγιστες παραµορφώσεις ίνας και µήτρας είναι ίσες, έχουµε λ =λ = 1 και ισχύει σ uc =σ ucv +σ uv, όπου: σ uc είναι η UTS του συνθέτου, σu η UTS των ινών και σu η UTS της µήτρας. Με τη µέθοδο που αναπτύχθηκε λαµβάνεται ένα άνω όριο για την αντοχή του συνθέτου υλικού. Κανονικά, υπάρχουν δύο περιοχές ενίσχυσης που εξαρτώνται από την κατ όγκο περιεκτικότητα των ινών. Αν η µέγιστη παραµόρφωση των ινών είναι µικρότερη από εκείνη της µήτρας, η αντοχή του συνθέτου παρέχεται από τη σχέση όπου: σ σ =σ V +σ (1 V ) uc u είναι η τάση της µήτρας όταν η ίνα έχει φθάσει στην παραµόρφωση θραύσης. Κάτω από ένα όριο, V in, η θραύση των ινών δεν προκαλεί αστοχία (κατάρρευση) του συνθέτου, δεδοµένου ότι υπάρχει αρκετή αποµένουσα αντοχή στη µήτρα, ώστε να µεταφέρει και το φορτίο των θραυσµένων ινών. Στο όριο αυτό, το φορτίο αυξάνει την τάση στη µήτρα από σ στην τιµή σ u και θα ισχύει: V in σu σ σw = = σ +σ σ σ +σ u u u w Υπό τις συνθήκες αυτές, η αστοχία των ινών προκαλεί µόνο κενά µέσα στο υλικό και η µήτρα συµπεριφέρεται ως µη ενισχυµένη, δηλαδή έχουµε σ uc =σu(1 V ) Στην οριακή τιµή Vin είναι σ uc <σu. Σε µικρά ποσοστά ινών η αντοχή του συνθέτου είναι πολύ χαµηλή, ενώ αυξάνεται µε αύξηση του ποσοστού των ινών. Γίνεται δε µεγαλύτερη από την αντοχή της µήτρας σε µία κρίσιµη τιµή του ποσοστού της ενίσχυσης, V, στην οποία είναι σ u = V critσ u + (1 V crit ) σ 7 crit

ή λαµβάνοντας υπόψη τη σχέση σ uc = V σ u + (1 V ) σ, τελικά προκύπτει η εξίσωση V crit σ σ σ = u w σu σ σ, εάν σ u σ u Εάν το ποσοστό των ινών είναι µικρότερο από την τιµή V in, οι ίνες συνεχίζουν να σπάζουν σε µικρότερα τµήµατα ενώ αυξάνεται η παραµόρφωση του συνθέτου. Τούτο συνεχίζεται µέχρι ένα οριακό στάδιο, οπότε η ίνα αδυνατεί να παραλάβει φορτίο ικανό να προκαλέσει περαιτέρω θραύση της. Οι εξισώσεις που περιγράφουν συνολικά την αστοχία ενός µονοδιευθυντικά ενισχυµένου συνθέτου υλικού παρουσιάζονται διαγραµµατικά στο Σχ. 8. Σχήµα 8 Μεταφορά των τάσεων στην ίνα Υπάρχει µια διατµητική τάση τ, η οποία ενεργεί στη διεπιφάνεια µήτρας-ίνας και αποκτά µία µέγιστη οριακή τιµή κατά την κατάρρευση της διεπιφάνειας (λύση της συνεχείας). Θεωρούµε ίνα ακτίνας r που υπόκειται σε διάτµηση τ, όπως φαίνεται στο Σχ. 9. Από την ισορροπία στοιχειώδους λωρίδας πάχους dx προκύπτει Σχήµα 9 πr τ dx d σ= πr ή ισοδύναµα d σ τ = dx r και µε ολοκλήρωση της σχέσης 8

r σ x = τ σ 0 u υπολογίζεται ότι η µέγιστη τάση της ίνας, σu σηµειώνεται σε απόσταση r σu /τ, που αποτελεί και ένα κάτω όριο του µήκους των τµηµάτων που προκύπτουν από τη θραύση της ίνας. Το πλάσιο της d σu cri τιµής αυτής ονοµάζεται κρίσιµο µήκος, δηλ. crit. =, ενώ ολόγος t. σ = u καλείται κρίσιµος τ d τ λόγος διαστάσεων της ίνας. ΙΣΧΥΡΕΣ ΨΑΘΥΡΕΣ ΙΝΕΣ ΣΕ ΨΑΘΥΡΗ ΜΗΤΡΑ Όταν µήτρα και ίνες είναι από ψαθυρό υλικό, υπάρχει πιθανότητα να προηγηθεί η θραύση της µήτρας. Στην περίπτωση αυτή, οι ίνες µπορεί να είναι σε θέση ή να αδυνατούν να µεταφέρουν το εφαρµοζόµενο φορτίο εφελκυσµού. Το κατώφλι µεταξύ των δύο αυτών συµπεριφορών των ινών προσδιορίζεται από το ποσοστό ινών που παρέχεται από τη σχέση V in = σu σ + ( σ σ ) u u όπου σ είναι η τάση των ινών όταν σηµειώνεται η θραύση της µήτρας. Εάν το ποσοστό ινών είναι µικρότερο από V in, τότε το σύνθετο υλικό αστοχεί ταυτόχρονα µε την αστοχία της µήτρας. Σε µεγαλύτερες τιµές του ποσοστού ινών, η µήτρα θα τεµαχίζεται σε δίσκους, βλ. Σχ. 10, το πάχος των οποίων θα εξαρτάται από την απόσταση που διανύεται για τη µεταφορά από τις ίνες στη µήτρα του αναγκαίου φορτίου θραύσης. Σχήµα 10 Εάν οι µεταφερόµενες τάσεις σε απόσταση dx είναι ίσες προς dσ, θα ισχύει V r dx = dσ ή µε ολοκλήρωση V τ V r x = σ V τ u όπου x είναι ελάχιστη απόσταση µεταφοράς φορτίου θραύσης της µήτρας. Συνεπώς, τα πάχη των δίσκων της µήτρας θα κυµαίνονται µεταξύ των τιµών x και x. Μετά τη θραύση της µήτρας, η κλίση της καµπύλης σ ε του συνθέτου υλικού θα είναι ίση µε EV και το υλικό θα αστοχεί σε τάση σ uc = σu V. Τυπικές καµπύλες σ ε διαφόρων τύπων συνθέτου υλικού παρουσιάζονται στο Σχ. 11. 9

Β. ΑΣΥΝΕΧΕΙΣ ΜΟΝΟ ΙΕΥΘΥΝΤΙΚΕΣ ΙΝΕΣ (α) (β) Σχήµα 11: Τυπικές καµπύλες συνθέτου υλικού (α) Ψαθυρής µήτρας, (β) Όλκιµης µήτρας Στο Σχ. 1 φαίνεται η κατανοµή των τάσεων µεταξύ όλκιµης µήτρας και ασυνεχούς ίνας µήκους L, όταν το σύστηµα υπόκειται σε εφελκυσµό σ c. dσ τ ( πr ) d σ = (πr dx) τ ή dx r Σχήµα 1: (α) Εφελκυσµός σύνθετου υλικού µε όλκιµη µήτρα ενισχυµένη µε ασυνεχείς ίνες µήκους L (β) Κατανοµή των αξονικών τάσεων στην ίνα και των διατµητικών τάσεων στη διεπιφάνεια ίνας- µήτρας (γ) Ισορροπία στοιχειώδους τµήµατος ίνας µήκους dx. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Η µεταφορά τάσεων γίνεται µέσω της διεπιφάνειας υπό συνθήκες διάτµησης. Η ίνα παραλαµβάνει τάση σ και η µήτρα σ. Αύξηση της εφελκυστικής τάσης οδηγεί σε αύξηση της σ. Όταν γίνει σ = σy, αρχίζει η διαρροή της µήτρας που ξεκινά από τις περιοχές των άκρων της ίνας (µέγιστη τ ). Όσο προχωρεί η πλαστική παραµόρφωση της µήτρας, αυξάνεται και η τάση σ που παραλαµβάνει η ίνα. Αστοχία της ίνας (και του συνθέτου) σηµειώνεται όταν γίνει σ = σ. u Η σταδιακή µεταφορά τάσεων στην ίνα επιτελείται στα ακραία τµήµατα ΑΒ και Γ. Από την ισορροπία του στοιχειώδους τµήµατος της ίνας (Σχ. 1(γ)) προκύπτει η σχέση = ή µε ολοκλήρωση και οριακή συνθήκη [ ] 10 σ = 0 x= L

τ σ = (1 x) r ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ Σε ίνα αρκετά µεγάλου µήκους, η τάση σ λαµβάνει τη µέγιστη τιµή της στο κεντρικό τµήµα της (ΒΓ), µε µήκος: L(1 q) x L(1 q). Η µέγιστη τάση στο κεντρικό τµήµα της ίνας δίνεται από τη σχέση: σ ax = qsτ, όπου:s= L/r είναι ο συντελεστής σχήµατος της ίνας. Μια τυχαία εγκάρσια διατοµή του συνθέτου τέµνει τις ίνες σε διαφορετική θέση x. Συνεπώς, σε κάθε εγκάρσια διατοµή µπορεί να υπολογιστεί µία µέση τιµή της τάσης που παραλαµβάνεται από τις ίνες σύµφωνα µε τη σχέση σ =σ ax q 1 ενώ η συνολική τάση που ασκείται στο σύνθετο προκύπτει από τον κανόνα των µιγµάτων ως q σ c = V σ + (1 V ) σ = Vσ ax 1 + (1 V ) σ όπου: σ η µέση τιµή της τάσης που παραλαµβάνεται από τη µήτρα. Στο µεσαίο τµήµα (ΒΓ) οι παραµορφώσεις της ίνας και της µήτρας είναι ίσες. Αν η παραµόρφωση της µήτρας συµβαίνει στην ελαστική περιοχή ( σ <σ y), η παραµόρφωση του συνθέτου σax σ υπολογίζεται από τη σχέση: ε= =, ενώ η αντίστοιχη τάση που ασκείται στο σύνθετο E E VE παρέχεται από την: σ c = VE + ( 1 V ) E ε 4s τ της ίνας είναι ίση προς ε = s τ/ E. ax ε και η αντίστοιχη µέγιστη παραµόρφωση Στην οριακή περίπτωση που όλη η ίνα βρίσκεται σε διάτµηση (q = 1), είναι σ =σ και η ( ) ax / αντίστοιχη τάση που παραλαµβάνει το σύνθετο υλικό γίνεται: σ c = Vs τ+ 1 V E ε. H επίδραση του συντελεστή σχήµατος της ίνας (i) Υψηλός συντελεστής σχήµατος: Συναντάται σε ίνες µεγάλου µήκους και µικρής διαµέτρου και ισχύουν: Επιβαλλόµενη τάση στο σύνθετο υλικό: σ c = VE + ( 1 V ) E ε Μέτρο ελαστικότητας συνθέτου υλικού: E c =σc / ε= VE + ( 1 V ) E (ii) Μέτριος συντελεστής σχήµατος: Ο παράγοντας VE ε /4τ s δεν είναι αµελητέος και δεν µπορεί να αγνοηθεί. Η τάση δεν µεταβάλλεται γραµµικά µε την παραµόρφωση, η δε καµπύλη σ ε αποκτά µεγαλύτερη κλίση µε µείωση του s. (iii) Μικρός συντελεστής σχήµατος: Η συµπεριφορά του συνθέτου διέπεται από µία κρίσιµη τιµή του συντελεστή σχήµατος, που προσδιορίζεται από τη σχέση: s* = σ / τ. Εάν γίνει s< s*, τότε η u 11

µέγιστη τάση που παραλαµβάνουν οι ίνες προσεγγίζει την αντοχή τους, ( ) σύνθετο τάση ισούται µε: σ c = Vs τ+ 1 V E. σ u και η επιβαλλόµενη στο 1