Τι είναι: μονάδα, δεκάδα και εκατοντάδα

Α ΠΕΡΙΟ ΟΣ - ΕΝΟΤΗΤΑ 1 η Κεφάλαιο 1ο Παιχνίδια στην κατασκήνωση Υπενθύμιση τάξης Τι είναι: μονάδα, δεκάδα και εκατοντάδα Τα ψηφία 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 αντιστοιχούν στις μονάδες, λέμε δηλαδή ανήκουν στην τάξη των μονάδων. Λέμε π.χ. 0 μηδέν μονάδες 1 μία μονάδα 2 δύο μονάδες 9 εννιά μονάδες

1 ο Κεφάλαιο 4 Ενώ οι αριθμοί 10, 11,..., 99 που είναι διψήφιοι αριθμοί αποτελούνται από μονάδες και δεκάδες. Πάντα ο τελευταίος αριθμός εκφράζει μονάδες ενώ ο πρώτος εκφράζει δεκάδες. Λέμε π.χ. 10 μία δεκάδα και μηδέν μονάδες 11 μία δεκάδα και μία μονάδα Παρατηρούμε ότι διαβάζουμε τους αριθμούς από την αρχή προς το τέλος. Τώρα αν μιλήσουμε για αριθμούς όπως 100, 101, 102,...999, οι οποίοι είναι αριθμοί τριψήφιοι μιλάμε για εκατοντάδες, δεκάδες και μονάδες. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Το τριψήφιο τμήμα ενός αριθμού που βρίσκεται στα δεξιά π.χ. 931782 αντιστοιχεί στην κλάση των μονάδων. Η κλάση αυτή αποτελείται από τάξεις που είναι οι εξής: «τάξη των μονάδων», «τάξη των δεκάδων» και «τάξη των εκατοντάδων». Ας δούμε μερικά παραδείγματα 1. Τοποθετούμε το μονοψήφιο αριθμό 9 στη σωστή θέση ΜΟΝΑ ΕΣ Ε= εκατοντάδες Ε Μ = δεκάδες 9 Μ = μονάδες ιαβάζουμε: 9 μονάδες 2. Τοποθετούμε το διψήφιο αριθμό 15 στη σωστή θέση. ΜΟΝΑ ΕΣ Ε Μ 1 5 ιαβάζουμε: 1 δεκάδα και 5 μονάδες

Μαθηματικά 5 3. Τοποθετούμε τον τριψήφιο αριθμό 145 στη σωστή θέση ΜΟΝΑ ΕΣ Ε Μ 1 4 5 ιαβάζουμε: 1 εκατοντάδα, 4 δεκάδες και 5 μονάδες. Όπως παρατηρούμε στα πινακάκια η τοποθέτηση των αριθμών γίνεται από δεξιά προς τα αριστερά. Ξέροντας αυτά λοιπόν ας θυμηθούμε πως λογαριάζουμε χιλιάδες. Ξέρουμε ότι 9 + 1 =10 (το 10 είναι μία μονάδα δεκαδικών ή μία δεκάδα). Προσθέτουμε διαδοχικά στο 9 και το 1 μηδενικά και προσπαθούμε να λογαριάσουμε: 90 + 10 = 100. Σκεφτόμαστε πόσα μηδενικά γράψαμε δεξιά και του 9 και του 1: γράψαμε ένα μηδενικό. Άρα στο άθροισμα που πήραμε από την πρόσθεση 9 + 1 γράφουμε δεξιά ένα μηδενικό: 9 + 1 =10 90 + 10 = 100 Προχωράμε παρακάτω με τον ίδιο τρόπο: 900 + 100 =1.000 (αυτός είναι ο α- ριθμός χίλια ή αλλιώς μια μονάδα χιλιάδων). Με τον ίδιο τρόπο: 9000 + 1000 =10.000 (δέκα χιλιάδες ή αλλιώς μία δεκάδα χιλιάδων). 90.000 + 10.000 = 100.000 (εκατό χιλιάδες ή αλλιώς μία εκατοντάδα χιλιάδων). ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Το δεύτερο τριψήφιο τμήμα από τα δεξιά ενός αριθμού αντιστοιχεί στην κλάση των χιλιάδων ή πιο απλά στις χιλιάδες. Π.χ. 372.589 Η κλάση αυτή αποτελείται από την τάξη των μονάδων, την τάξη των δεκάδων και την τάξη των εκατοντάδων.

1 ο Κεφάλαιο 6 Ας δούμε τα πινακάκια: Θα τοποθετήσουμε σ αυτό το πινακάκι το 1.000 (δηλαδή τη μία μονάδα χιλιάδων) ΧΙΛΙΑΔΕΣ ΜΟΝΑΔΕΣ Ε Δ Μ Ε Δ Μ 1 0 0 0 Διαβάζουμε: 1 μονάδα χιλιάδων Θα τοποθετήσουμε τώρα στον πίνακα τον αριθμό 10.000 ΧΙΛΙΑΔΕΣ ΜΟΝΑΔΕΣ Ε Δ Μ Ε Δ Μ 1 0 0 0 0 Διαβάζουμε: 1 δεκάδα χιλιάδων Τέλος τοποθετούμε στον πίνακα τον αριθμό 100.000 ΧΙΛΙΑΔΕΣ ΜΟΝΑΔΕΣ Ε Δ Μ Ε Δ Μ 1 0 0 0 0 0 Διαβάζουμε: 1 εκατοντάδα χιλιάδων Ας δούμε μερικά παραδείγματα 1. Να τοποθετήσετε τους παρακάτω αριθμούς σε πινακάκια και να τους διαβάσετε: 1) 753.489 2) 125.813 3) 341.769 1) 753.489 ΧΙΛΙΑ ΕΣ ΜΟΝΑ ΕΣ Ε Μ Ε Μ 7 5 3 4 8 9 ιαβάζουμε (πάντα από την αρχή προς το τέλος): 7 εκατοντάδες χιλιάδων, 5 δεκάδες χιλιάδων, 3 μονάδες χιλιάδων, 4 εκατοντάδες, 8 δεκάδες και 9 μονάδες.

Μαθηματικά 7 2) 125.813 ΧΙΛΙΑ ΕΣ ΜΟΝΑ ΕΣ Ε Μ Ε Μ 1 2 5 8 1 3 ιαβάζουμε: 1 εκατοντάδα χιλιάδων, 2 δεκάδες χιλιάδων, 5 μονάδες χιλιάδων, 8 εκατοντάδες, 1 δεκάδα και 3 μονάδες. 2) 341.769 ΧΙΛΙΑ ΕΣ ΜΟΝΑ ΕΣ Ε Μ Ε Μ 3 4 1 7 6 9 ιαβάζουμε: 3 εκατοντάδες χιλιάδων, 4 δεκάδες χιλιάδων, 1 μονάδα χιλιάδων, 7 εκατοντάδες, 6 δεκάδες και 9 μονάδες. Τι είναι σύγκριση; Έστω ότι έχουμε δύο αριθμούς το 8 και το 3. Όλοι ξέρουμε ότι το 8 είναι μεγαλύτερο από το 3. Στη μαθηματική γλώσσα γράφουμε: 8 > 3 και διαβάζουμε: «8 μεγαλύτερο του 3». Τώρα θέλουμε να πούμε ότι το 3 είναι μικρότερο του 8 γράφουμε: 3 < 8 και διαβάζουμε «3 μικρότερο του 8». Επομένως, για να συγκρίνουμε δύο αριθμούς χρησιμοποιούμε τα σύμβολα > και <. Πώς όμως χρησιμοποιούμε αυτά τα σύμβολα; Το μεγαλύτερο από τους δύο αριθμούς που συγκρίνουμε τον βάζουμε στο «άνοιγμα» του συμβόλου ενώ το μικρότερο το βάζουμε στη μύτη». Κάθε αριθμός που έχει περισσότερα ψηφία από κάποιον άλλο θα είναι ο μεγαλύτερος αριθμός στη σύγκριση και ο άλλος ο μικρότερος.

1 ο Κεφάλαιο 8 Εάν όμως οι αριθμοί που θέλουμε να συγκρίνουμε έχουν ίδιο πλήθος ψηφίων, π.χ. το 200 και το 100 τότε τη σύγκριση την κάνουμε συγκρίνοντας ένα προς ένα τα ψηφία, ξεκινώντας από τα πρώτα ψηφία των αριθμών: το πρώτο ψηφίο του 200 είναι το 2, ενώ το πρώτο ψηφίο του 100 είναι το 1 και επειδή 2> 1 θα είναι και 200 > 100. Έστω ότι έχουμε δύο αριθμούς που έχουν για πρώτο ψηφίο τον ίδιο αριθμό π.χ. 158.000 και 125.000. Η σύγκριση σ αυτήν την περίπτωση θα γίνει από το δεύτερο ψηφίο. Το δεύτερο ψηφίο του 158.000 είναι το 5 ενώ το δεύτερο ψηφίο του 125.000 είναι το 2 και επειδή 5 > 2 θα είναι 158.000 > 125.000. Εάν είναι και τα δεύτερα ψηφία των αριθμών ίδια τότε πηγαίνουμε στα τρίτα ψηφία κτλ. Ας δούμε μερικά παραδείγματα: Θέλουμε να συγκρίνουμε τους αριθμούς 158.912 και 158.312 Γράφουμε τους αριθμούς τον έναν κάτω από τον άλλο: 158.912 158.312 Βλέπουμε ότι οι δύο αριθμοί έχουν από έξι ψηφία ο καθένας. Το πρώτο ψηφίο και των δύο αριθμών είναι το 1, Το δεύτερο ψηφίο και των δύο αριθμών είναι το 5, Το τρίτο ψηφίο και των δύο αριθμών είναι το 8, Το τέταρτο ψηφίο του πρώτου αριθμού είναι το 9 ενώ το τέταρτο ψηφίο του δεύτερου αριθμού είναι το 3. Επειδή το 9 είναι μεγαλύτερο του 3 (9>3) ο πρώτος αριθμός θα είναι μεγαλύτερος από το δεύτερο, δηλαδή 158912>158.312.

Μαθηματικά 9 Πρόβλημα Για τις διακοπές της μια οικογένεια ξόδεψε 2.500 ενώ μια άλλη 1250. Για να δούμε ποια από τις δύο οικογένειες ξόδεψε περισσότερα χρήματα; Αρκεί να συγκρίνουμε τους αριθμούς 2500 και 1250. Επειδή οι δύο αριθμοί έχουν το ίδιο πλήθος ψηφίων δεν μπορούμε ακόμη να πούμε ποιος είναι ο μεγαλύτερος. Σκεφτόμαστε! Το πρώτο ψηφίο του 2500 είναι το 2 ενώ το πρώτο ψηφίο του 1250 είναι το 1 και επειδή 2>1 θα είναι και 2500>1250. Βλέπουμε λοιπόν ότι η πρώτη οικογένεια ξόδεψε περισσότερα χρήματα για τις διακοπές της. Τι είναι διάταξη; Όταν λέμε διάταξη εννοούμε την τακτοποίηση μιας σειράς αριθμών από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο ή από το μεγαλύτερο προς το μικρότερο. Έστω ότι θέλουμε να διατάξουμε τους αριθμούς: 237.546, 237.801 και 237.648 από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο. Για να κλείσουμε τη διάταξη θα τους συγκρίνουμε μεταξύ τους. Συγκρίνουμε τους αριθμούς 237.546, 237.801 Παρατηρούμε ότι έχουν το ίδιο πλήθος ψηφίων οπότε θα πρέπει να κάνουμε τη σύγκριση ψηφίο προς ψηφίο. 2 3 7. 5 4 6 2 3 7. 8 0 1 ίσοι Βλέπουμε ότι το τέταρτο κατά σειρά ψηφίο του πρώτου αριθμού είναι το 5 και είναι μικρότερο από το 8 που είναι το αντίστοιχο ψηφίο του δεύτερου αριθμού. Λέμε λοιπόν ότι: 237546 < 237801 ίσοι ίσοι 5 < 8 Συγκρίνουμε τους αριθμούς 237.801, 237.648 Παρατηρούμε ότι έχουν το ίδιο πλήθος ψηφίων οπότε θα πρέπει να κάνουμε τη σύγκριση ψηφίο προς ψηφίο.

1 ο Κεφάλαιο 10 2 3 7. 8 0 1 2 3 7. 6 4 8 ίσοι ίσοι ίσοι 8 > 6 Επειδή το τέταρτο ψηφίο του πρώτου αριθμού είναι μεγαλύτερο από το αντίστοιχο ψηφίο του άλλου θα είναι: 237801 < 237648. Συγκρίνουμε τους αριθμούς 237.546, 237.648 Παρατηρούμε ότι έχουν το ίδιο πλήθος ψηφίων οπότε θα πρέπει να κάνουμε τη σύγκριση ψηφίο προς ψηφίο. 2 3 7. 5 4 6 2 3 7. 6 4 8 ίσοι ίσοι ίσοι 5 < 6 Επειδή το τέταρτο ψηφίο του πρώτου αριθμού είναι μικρότερο από το αντίστοιχο ψηφίο του δεύτερου αριθμού θα είναι: 237546 < 237648. Από τις συγκρίσεις που κάναμε είδαμε ότι ο 237.546 είναι μικρότερος από τον 237.648 και αυτός είναι μικρότερος από τον 237.801. Γράφουμε λοιπόν: 237546 < 237648 < 237801. Για να διατάξουμε κάποιους αριθμούς που μας έχουν δοθεί τους συγκρίνουμε πρώτα και έπειτα τους τοποθετούμε στη σειρά από το μεγαλύτερο προς το μικρότερο ή από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο (ανάλογα με το τι μας έχει ζητηθεί) βάζοντας ανάμεσά τους ένα από τα σύμβολα: > ή <.

Μαθηματικά 11 Τι είναι στρογγυλοποίηση; Στρογγυλοποίηση λέμε τη διαδικασία με την οποία αντικαθιστούμε έναν αριθμό με κάποιον άλλο που είναι πολύ κοντά στον αρχικό μας αριθμό. Για παράδειγμα αν ο μισθός κάποιου εργάτη είναι 738 αυτός μπορεί να λέει για συντομία ότι πληρώνεται 740. Η στρογγυλοποίηση μπορεί να γίνει σ οποιοδήποτε ψηφίο του αριθμού. Έστω π.χ. ο αριθμός 253: μπορούμε να στρογγυλοποιήσουμε στο ψηφίο των μονάδων, δηλαδή το 3 ή στο ψηφίο των δεκάδων, που είναι το 5 ή στο ψηφίο των εκατοντάδων που είναι το 2. Για να κάνουμε στρογγυλοποίηση πρέπει να προσέχουμε τον αριθμό που υπάρχει πίσω (δεξιά) απ αυτόν που θέλουμε να στρογγυλοποιήσουμε. Αν αυτός ο αριθμός είναι 0, 1, 2, 3 ή 4 τότε φεύγει και στη θέση αυτού και των ψηφίων που ακολουθούν βάζουμε μηδενικά. Αν ο αριθμός που ακολουθεί το ψηφίο που θέλουμε να στρογγυλοποιήσουμε είναι ένας από τους 5, 6, 7, 8, ή 9 τότε στη θέση αυτού του αριθμού και των υπολοίπων που ακολουθούν βάζουμε μηδενικά ενώ το ψηφίο στο οποίο κάνουμε τη στρογγυλοποίηση αυξάνεται κατά μία μονάδα. Ας δούμε μερικά παραδείγματα 1. Να στρογγυλοποιηθεί ο αριθμός 125.743 στο ψηφίο των δεκάδων και στο ψηφίο των εκατοντάδων. Λύση Έχουμε τον αριθμό 125.743 και θέλουμε να στρογγυλοποιήσουμε στο ψηφίο των δεκάδων δηλαδή το 4. εξιά του 4 υπάρχει το 3 που ανήκει στους παραπάνω αριθμούς (0, 1, 2, 3, 4) άρα στη θέση του βάζουμε το μηδέν. Έτσι ο αριθμός μας μετά τη στρογγυλοποίηση γίνεται 125.740.

1 ο Κεφάλαιο 12 Έστω ότι θέλουμε να στρογγυλοποιήσουμε τον ίδιο αριθμό στο ψηφίο των εκατοντάδων δηλαδή στο 7. εξιά του 7 υπάρχει το 4 άρα το αντικαθιστούμε με το μηδέν καθώς και τα ψηφία που ακολουθούν. Έτσι ο αριθμός γίνεται 125.700. 2. Να στρογγυλοποιηθούν οι αριθμοί: α) 175.297 στο ψηφίο των εκατοντάδων χιλιάδων β) 30. 754 στο ψηφίο των εκατοντάδων Λύση α) Έχουμε τον αριθμό 175297 και θέλουμε να στρογγυλοποιήσουμε στο ψηφίο των εκατοντάδων χιλιάδων (που είναι το 1). Βλέπουμε ότι το ψηφίο που ακολουθεί είναι το 7, άρα αντικαθιστούμε αυτό και όλα τα υπόλοιπα ψηφία με μηδενικά και το 1 το αυξάνουμε κατά μία μονάδα, δηλαδή στη θέση του γράφουμε τον αριθμό 1+1 =2. Ο αριθμός μας μετά τη στρογγυλοποίηση γίνεται: 200.000. β) Έχουμε τον αριθμό 30.754 και θέλουμε να το στρογγυλοποιήσουμε στο ψηφίο των ε- κατοντάδων. Το ψηφίο των εκατοντάδων είναι το 7 και βλέπουμε ότι μετά απ αυτό ακολουθεί ο αριθμός 5. Σύμφωνα με όσα έχουμε αναφέρει θα προσθέσουμε μία μονάδα στο 7 και τα υπόλοιπα ψηφία θα τα κάνουμε μηδενικά. Έτσι ο αριθμός 30.754 στρογγυλοποιείται στον 30.800. Ας δούμε μια ξεχωριστή περίπτωση στρογγυλοποίησης Θέλουμε να στρογγυλοποιήσουμε τον αριθμό 32.954 στο ψηφίο των εκατοντάδων. Το ψηφίο των εκατοντάδων είναι το 9 και μετά από αυτό ακολουθεί ο αριθμός 5, οπότε θα αυξήσουμε το 9 κατά μία μονάδα και τα επόμενα ψηφία θα γίνουν μηδενικά. Όμως αν αυξήσουμε το 9 κατά μία μονάδα θα γίνει 9 + 1 =10. Τότε στη θέση του 9 θα βάλουμε το 0 και το ψηφίο αριστερά του 9 θα αυξηθεί κατά μία μονάδα. Το ψηφίο αυτό είναι το 2 οπότε θα γίνει 2 + 1 =3. Έτσι ο αριθμός 32.954 στρογγυλοποιείται στον 33.000.

Μαθηματικά 13 Η πράξη της πρόσθεσης Όταν προσθέτουμε δύο αριθμούς δε μας ενδιαφέρει με ποια σειρά θα τους γράψουμε, αν γράψουμε δηλαδή πρώτα το μεγαλύτερο ή πρώτα το μικρότερο. Διαλέγουμε να κάνουμε την πρόσθεση όπως θέλουμε εμείς. Το αποτέλεσμα θα είναι το ίδιο. Για παράδειγμα: 325.500 1.257 + 1.257 ή + 325.500 326.757 326.757 Εκείνο που πρέπει να προσέξουμε είναι η τοποθέτηση των δύο προσθετέων. Αφού γράψουμε τον πρώτο προσθετέο αρχίζουμε να γράφουμε το δεύτερο προσθετέο από το τέλος προς την αρχή. Πρέπει δηλαδή κάθε ψηφίο του ενός αριθμού να είναι κάτω από το αντίστοιχο ψηφίο του άλλου αριθμού. Παράδειγμα: 15.253 1.589 + 1.589 ή + 15.253 16.842 16.842 Γράφουμε λοιπόν τις μονάδες κάτω από τις μονάδες, τις δεκάδες κάτω από τις δεκάδες, τις εκατοντάδες κάτω από τις εκατοντάδες, κ.τλ. Μπορούμε να προσθέσουμε περισσότερους από δύο αριθμού μεταξύ τους, για παράδειγμα: 189015 123 7 123 7 123 + 7 ή + 189015 ή + 189015 189145 189145 189145 Παρατηρούμε λοιπόν εδώ ότι μπορούμε να αλλάξουμε τη θέση προσθετέων χωρίς να αλλάξει το άθροισμά τους.

1 ο Κεφάλαιο 14 Όταν κάνουμε πρόσθεση τοποθετούμε τους αριθμούς κατακόρυφα έτσι ώστε κάθε ψηφίο του ενός αριθμού να είναι κάτω από το αντίστοιχο ψηφίο του άλλου αριθμού. Αρχίζουμε την πρόσθεση από τα τελευταία ψηφία. Παράδειγμα: 278.002 1.237 + 12.777 292.016 Προσθέτουμε πρώτα τα ψηφία 7,7, και 2 και έχουμε 7+7+2=16 γράφουμε το 6 και κρατάμε μία μονάδα την οποία θα προσθέσουμε στα αμέσως επόμενα ψηφία κτλ. Όταν έχουμε να προσθέσουμε πολλούς αριθμούς μεταξύ τους τότε μπορούμε να προσθέσουμε πρώτα τους δύο αριθμούς και στο άθροισμα που θα βρούμε να προσθέσουμε έναν άλλον αριθμό. Στο νέο άθροισμα που θα βρούμε θα προσθέσουμε και άλλον αριθμό και θα κάνουμε τη διαδικασία αυτή μέχρι να τελειώσουν όλοι οι αριθμοί. Το τελικό άθροισμα θα είναι το άθροισμα όλων των αριθμών. Παράδειγμα: Έστω ότι θέλουμε να προσθέσουμε τους αριθμούς 125, 9.987 και 137.000. Προσθέτουμε αρχικά τους δύο πρώτους αριθμούς: 125 + 9.987 10.112 Έπειτα προσθέτουμε στο παραπάνω άθροισμα τον αριθμό 137.000 10.112 + 137.000 147.112 Όταν μας δίνεται μία άσκηση στην οποία υπάρχουν αριθμοί μέσα σε παρένθεση πρέπει πρώτα να κάνουμε τις πράξεις μέσα στην παρένθεση και έπειτα να κάνουμε τις υπόλοιπες προσθέσεις Παράδειγμα: (10.100+200.000)+3.506=

Μαθηματικά 15 Προσθέτουμε πρώτα τους αριθμούς που είναι μέσα στην παρένθεση: 10.100 + 200.000 210.100 Τώρα προσθέτουμε τον αριθμό που βρήκαμε με τον αριθμό 3.506 : 210.100 + 3.506 213.606 Με νοερούς υπολογισμούς μπορώ να εκτιμήσω είτε να υπολογίσω με ακρίβεια το α- ποτέλεσμα μιας πράξης (π.χ. 39.999+59.999 είναι περίπου 40.000+60.000=100.000 ή με ακρίβεια είναι 100.000-2= 99.998) Αφαίρεση κάνουμε όταν ξέρουμε το άθροισμα δύο αριθμών και τον έναν από τους δύο. Για να βρούμε τον άλλο, αφαιρούμε από το άθροισμα το γνωστό αριθμό. Παράδειγμα: Ξέρουμε ότι το άθροισμα του 753 με έναν αριθμό ισούται με 5.678. Για να βρούμε τον άλλο αριθμό αφαιρούμε: 5678 (μειωτέος) - 753 (αφαιρετέος) 4925 (διαφορά) Όταν προσθέτουμε στον αφαιρετέο τη διαφορά, βρίσκουμε το μειωτέο. Αυτή η πρόταση αποτελεί τη δοκιμή της αφαίρεσης. Παράδειγμα: 4925 (υπόλοιπο) - 753 (αφαιρετέος) 5678 (μειωτέος)

1 ο Κεφάλαιο 16 Όταν από το μειωτέο αφαιρέσουμε τη διαφορά, θα βρούμε τον αφαιρετέο. Παράδειγμα: 5678 (μειωτέος) - 4925 (διαφορά) 753 (αφαιρετέος) Αν από το άθροισμα δύο αριθμών αφαιρέσουμε τον έναν αριθμό βρίσκουμε τον άλλον: 4925 (α προσθετέος) 5678 (άθροισμα) 5678 (άθροισμα) + 753 (β προσθετέος) - 753 (β προσθετέος) - 4925 (α προσθετέος 5678 (άθροισμα) 4925 (α προσθετέος) 753 (β προσθετέος) Δεν μπορούμε από έναν αριθμό να αφαιρέσουμε κάποιον άλλο που είναι μεγαλύτερός του. Από έναν αριθμό μπορούμε να αφαιρέσουμε τον εαυτό του (τον ίδιο) και αριθμούς που είναι μικρότεροι από αυτόν. Για παράδειγμα: 127.800 127.800-127.800-27.800 000.000 100.000

Μαθηματικά 17 Πολλαπλασιασμός Ένα γινόμενο δύο αριθμών παραμένει το ίδιο με όποια σειρά και να πολλαπλασιάσουμε τους αριθμούς. Για παράδειγμα: Το γινόμενο 4 9 είναι ίσο με το 9 4 αφού 4 9 =36 και 9 4 = 36. Ας θυμηθούμε σ αυτό το σημείο πως γίνεται ο πολλαπλασιασμός αριθμών που έχουν πάνω από δύο ψηφία. Θα κάνουμε τον πολλαπλασιασμό του 4.781 με το 6. 4.781 x 6 Λέμε 1 6 = 6. Γράφουμε το 6 κάτω από τη γραμμή στη θέση των μονάδων. 6 4.781 x 6 Λέμε 6 8 =48. Γράφουμε το 8 κάτω από τη γραμμή στη θέση των δεκάδων και έχουμε 4 κρατούμενα.. 86 4.781 x 6 686 Λέμε 6 7 =42 και 4 τα κρατούμενα που είχαμε από πριν μας κάνουν 46. Γράφουμε το 6 στη θέση των εκατοντάδων και έχουμε 4 κρατούμενα και πάλι. 4.781 x 6 28.686 Λέμε 6 4 =24 και 4 τα κρατούμενα που είχαμε από πριν μας κάνουν 28. Γράφουμε το 28 στις θέσεις των δεκάδων χιλιάδων και των μονάδων χιλιάδων.

1 ο Κεφάλαιο 18 Το σχήμα της διαίρεσης: ιαίρεση Διαιρετέος διαιρέτης πηλίκο - Τέλεια λέγεται η διαίρεση στην οποία ο διαιρετέος είναι πολλαπλάσιο του διαιρέτη. Σε μια τέλεια διαίρεση είναι Δ = δ π. - Μια διαίρεση που δεν είναι τέλεια λέγεται ατελής. Στην ατελή διαίρεση προκύπτει ένας αριθμός στον οποίο δεν χωράει ο διαιρέτης και λέγεται υπόλοιπο. Για παράδειγμα: 1 ος τρόπος 2 ος τρόπος (σύντομος) ' ' ' ' 278513 26 214 18-13 55-52 3 ' ' ' ' 278513 18 214 55 3 Ας θυμηθούμε τι είναι κλασματικές μονάδες και τι είναι τα κλάσματα. Κλάσματα - Η κλασματική μονάδα αποτελείται από δύο αριθμούς: τον παρονομαστή που μας δείχνει σε πόσα ίσα μέρη έχουμε χωρίσει την ακέραιη μονάδα και τον αριθμητή, που είναι ο αριθμός 1. Η κλασματική μονάδα εκφράζει ένα από τα ίσα μέρη στα οποία έχουμε χωρίσει την ακέραιη μονάδα. - Το κλάσμα είναι το άθροισμα πολλών ίδιων κλασματικών μονάδων. Ο αριθμητής ενός κλάσματος μας δείχνει πόσα ίσα μέρη παίρνουμε, από τα ίσα μέρη στα οποία χωρίσαμε την ακέραιη μονάδα. - Οι κλασματικές μονάδες που έχουν στον παρονομαστή τους έναν από τους α- ριθμούς 10, 100, 1000 λέγονται δεκαδικές κλασματικές μονάδες. - Τα δεκαδικά κλάσματα έχουν ως αριθμητή έναν αριθμό μεγαλύτερο του 1 και ως παρονομαστή έναν από τους αριθμούς 10, 100, 1000,... Για παράδειγμα: το κλάσμα 7 είναι ένα δεκαδικό κλάσμα. 10

Μαθηματικά 19 - Μπορούμε να μετατρέψουμε το δεκαδικό κλάσμα 7 σε δεκαδικό αριθμό. Κοιτάζουμε πόσα μηδενικά έχει ο παρονομαστής του κλάσματος. Ο αριθμός 10 έχει 10 1 μηδενικό. Γράφουμε λοιπόν ένα μηδενικό και δίπλα του γράφουμε τον αριθμητή του κλάσματος: 7 = 0,7 10 υποδιαστολή Τα δύο αυτά ψηφία τα χωρίζουμε με ένα κόμμα το οποίο λέγεται υποδιαστολή. Γεωμετρία Άξονας συμμετρίας ονομάζεται η ευθεία γραμμή που χωρίζει ένα σχήμα σε δύο μέρη με τέτοιο τρόπο ώστε αν διπλώσω το σχήμα στον άξονα συμμετρίας τα δύο μέρη να συμπέσουν. Ένα σχήμα έχει περισσότερους από έναν άξονες συμμετρίας. Παράδειγμα: Πολύγωνο είναι ένα επίπεδο σχήμα, το οποίο έχει πολλές γωνίες. Ένα πολύγωνο το ονομάζουμε ανάλογα με τον αριθμό των γωνιών του. Παράδειγμα:

1 ο Κεφάλαιο 20 Για να υπολογίσω το εμβαδό ενός ορθογωνίου παραλληλόγραμμου πολλαπλασιάζω τα μήκη δύο διαδοχικών πλευρών. Παράδειγμα: 3 5 Σε ένα ορθογώνιο με διαδοχικές πλευρές 5 και 3 εκατοστά το εμβαδό είναι 5 3 =15 τετραγωνικά εκατοστά. Για να σχεδιάσω ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με δοσμένο εμβαδό θα πρέπει το γινόμενο δύο διαδοχικών πλευρών του να είναι όσο το εμβαδό που θέλω. Παράδειγμα για εμβαδό 12 τ. εκ. το γινόμενο των πλευρών θα είναι: 12 1 = 12 1 12 ή 6 2 =12 2 6 ή 3 4 =12 3 4

Μαθηματικά 21 ραστηριότητες του βιβλίου ραστηρι ότητα 1η Η Νεφέλη, ο Γιάννης, ο Οδυσσέας, η Θεοδώρα, ο Γιώργος και ο Μίλτος πήγαν στην ίδια κατασκήνωση το καλοκαίρι. Όλοι ασχολήθηκαν με αθλήματα. Αν ο αγώνας μπάσκετ άρχισε πριν από ένα τέταρτο και η συνολική του διάρκεια είναι μία ώρα, τι ώρα θα τελειώσει; Στον αγώνα παίζει το 1 των αγοριών 10 της κατασκήνωσης. Πόσα μπορεί να είναι όλα τα αγόρια; Βάζω 10 100 1.000 Εξηγώ στην τάξη πως σκέφτηκα Η ώρα χωρίζεται σε τέσσερα τέταρτα. 1 ώρα = 4 4 της ώρας. ΣΚΕΦΤΟΜΑΙ

1 ο Κεφάλαιο 22 Λύση Αφού ο αγώνας άρχισε πριν από ένα τέταρτο (ή 1 4 της ώρας) και η συνολική του διάρκεια είναι μία ώρα (ή 1 ώρα = 4 4 της ώρας), ο αγώνας θα τελειώσει μετά από 4 1 3 τρία τέταρτα της ώρας γιατί = 4 4 4. Παρατηρώ την εικόνα και βλέπω ότι τα αγόρια που παίζουν στον αγώνα είναι 10. Άρα το 1 1 των αγοριών είναι 10. Τα αγόρια όλα είναι 100 γιατί το του 100 είναι 10 10 1 10. Τα αγόρια όλα δε γίνεται να είναι 1.000 γιατί το του 1000 είναι 100 επομένως: 10 10 100 1.000 Κάθε παιδί ρίχνει 6 βέλη. Προσοχή Αν το βέλος βγει εκτός στόχου, αφαιρούνται 50 βαθμοί Πόσες μπορεί να ήταν οι βολές που έριξε ο Μίλτος; Αν η Νεφέλη συγκέντρωσε περισσότερους βαθμούς από το Γιώργο και το Μίλτο, ποιες μπορεί να ήταν οι βολές της;

Μαθηματικά 23 Λύση Ο Γιώργος πέτυχε 1200 βαθμούς με ένα βέλος εκτός στόχου: 1 500 = 500 (1 φορά το 500) 2 250 = 500 (2 φορές το 250) 2 125 = 250 (2 φορές το 125) 500 + 500 + 250 =1250 (Ο Γιώργος συγκέντρωσε 1250 βαθμούς σε 5 βολές) 1250-50 = 1200 (αφαιρούνται 50 βαθμοί γιατί έριξε 1 βέλος εκτός στόχου, άρα συγκέντρωσε 1.200 βαθμούς) Και ο Μίλτος πέτυχε 1200 βαθμούς αλλά με 2 βέλη εκτός στόχου. Άρα οι βολές του Μίλτου θα είναι: 2 500 = 1000 (2 φορές το 500) 1 250 = 250 (1 φορά το 250) 1 50 = 50 (1 φορά το 50) 1000 + 250 + 50 =1300 (Ο Μίλτος συγκέντρωσε 1300 βαθμούς σε 4 φορές) 2 50 = 100 (όμως έχασε 100 βαθμούς γιατί 2 βέλη του βγήκαν εκτός στόχου) 1300-100 = 1200 (άρα συγκέντρωσε 1200 βαθμούς) Η Νεφέλη συγκέντρωσε περισσότερους βαθμούς από το Γιώργο και από το Μίλτο. Οι βολές της μπορεί να είναι: 1 500 = 500 (1 φορά το 500) 2 250 = 500 (2 φορές το 250) 2 125 =250 (2 φορές το 125) 1 50 = 50 (1 φορά το 50) Άρα η Νεφέλη συγκέντρωσε 500 + 500 + 250 + 50 = 1300 βαθμούς.

1 ο Κεφάλαιο 24 Με τα ψηφία 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 μπορούμε να φτιάξουμε αριθμούς. Κάθε ψηφίο έχει διαφορετική αξία μέσα σε έναν αριθμό. Η αξία του εξαρτάται από τη θέση που έχει το ψηφίο μέσα στον αριθμό. Σύγκριση δύο ακέραιων αριθμών σημαίνει να βρούμε αν αυτοί είναι ίσοι ή στην περίπτωση που δεν είναι ίσοι, να βρούμε ποιος είναι ο μεγαλύτερος. Δύο ακέραιοι αριθμοί είναι ίσοι αν έχουν τα ίδια ψηφία. Διάταξη κάποιων ακέραιων αριθμών σημαίνει η τοποθέτησή τους σε σειρά από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο ή από το μεγαλύτερο προς το μικρότερο. Τα σύμβολα που χρησιμοποιούμε για τη διάταξη είναι το < αν διατάξουμε από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο ή το > αν διατάξουμε από το μεγαλύτερο προς το μικρότερο. Στρογγυλοποίηση ενός αριθμού σημαίνει να αντικαταστήσουμε τον αριθμό αυτό με έναν άλλο που είναι πολύ κοντά του, έτσι ώστε να μην αλλάξει πολύ η αξία του. Όταν κάνουμε στρογγυλοποίηση, πάντα πρέπει να αναφέρουμε το ψηφίο στο ο- ποίο γίνεται αυτή. Με νοερούς υπολογισμούς μπορώ να εκτιμήσω είτε να υπολογίσω με ακρίβεια το αποτέλεσμα μιας πράξης (π.χ. 59.999 + 89.999 είναι περίπου 60.000 + 90.000 = 150.000 ή με ακρίβεια είναι 150.000-2 =149.998)

Μαθηματικά 25 Όταν προσθέτω δύο αριθμούς, μπορώ να αλλάξω τη θέση των προσθετέων (π.χ. 12 + 34 = 34 + 12). Το κλάσμα είναι το άθροισμα πολλών ίδιων κλασματικών μονάδων. Ο αριθμητής ενός κλάσματος δείχνει πόσα μέρη παίρνουμε από τα ίσα μέρη στα οποία χωρίσαμε την ακέραιη μονάδα. Άξονας συμμετρίας ονομάζεται η ευθεία γραμμή που χωρίζει ένα σχήμα σε δύο μέρη με τέτοιο τρόπο ώστε αν διπλώσω το σχήμα στον άξονα συμμετρίας τα δύο μέρη να συμπέσουν. Ένα σχήμα μπορεί να έχει περισσότερους από έναν άξονες συμμετρίας. Για να υπολογίσω το εμβαδό ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου πολλαπλασιάζω τα μήκη δύο διαδοχικών πλευρών του. Για να σχεδιάσω ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με δοσμένο εμβαδό θα πρέπει το γινόμενο δύο διαδοχικών πλευρών του να είναι όσο το εμβαδό που θέλω.

1 ο Κεφάλαιο 26 1. Φτιάχνουμε στόχους με άδεια κουτιά. Αν χρειαστήκαμε 6 κουτιά για να στήσουμε 3 σειρές, πόσα κουτιά θα χρειαστούμε για να στήσουμε μια παρόμοια πυραμίδα με 5 σειρές; Πόσα κουτιά θα χρειαστούμε για μια παρόμοια πυραμίδα με 9 σειρές; Εξηγώ πώς σκέφτηκα. λύση Παρατηρούμε ότι στην 1 η σειρά υπάρχει 1 κουτί, στη 2 η 2 κουτιά, στην 3 η 3 κουτιά. Άρα στην 4 η θα υπάρχουν 4 κουτιά, στην 5 η 5 κουτιά, στην 6 η 6 κουτιά, στην 7 η 7 κουτιά, στην 8 η 8 κουτιά, στην 9 η 9 κουτιά, κ.τλ. Μπορώ να ζωγραφίσω το πρόβλημα: Μπορώ να χρησιμοποιήσω πίνακα για να καταγράψω τις παρατηρήσεις μου. Αριθμός σειράς 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Πλήθος κουτιών 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Οπότε για την κατασκευή με 5 σειρές χρειαστήκαμε: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 κουτιά. Για την κατασκευή με 9 σειρές χρειαστήκαμε: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45 κουτιά.

Μαθηματικά 27 2. Φτιάχνουμε με το χάρακα ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με εμβαδόν: -12 τετραγωνάκια -10 τετραγωνάκια - 7 τετραγωνάκια λύση Για να σχεδιάσω ένα ορθογώνιο με δοσμένο εμβαδό θα πρέπει το γινόμενο δύο διαδοχικών πλευρών του να είναι όσο το εμβαδό που θέλω. Για να κατασκευάσω ένα ορθογώνιο με εμβαδό 12 τετραγωνάκια το γινόμενο των πλευρών μπορεί να είναι 3 4 =12. Για να κατασκευάσω ένα ορθογώνιο με εμβαδό 10 τετραγωνάκια το γινόμενο των πλευρών μπορεί να είναι 2 5 = 10. Για να κατασκευάσω ένα ορθογώνιο με εμβαδό 7 τετραγωνάκια το γινόμενο των πλευρών μπορεί να είναι 1 7 =7.

1 ο Κεφάλαιο 28 3. Προτείνουμε μερικούς 6ψήφιους αριθμούς που μπορούμε να φτιάξουμε με τον πατώντας τα πλήκτρα 3, 5, 7, 9, 1. Γράφουμε 5 από αυτούς και τους διατάσσουμε από το μικρότερο στο μεγαλύτερο: < < < < < λύση Με τα ψηφία 3, 5, 7, 9, 1 μπορούμε να φτιάξουμε πολλούς διαφορετικούς αριθμούς: 135579, 153579, 173559, 193557, 315579, 513579, 713559, 913557, κ.τλ. Παίρνουμε 5 από αυτούς και τους διατάσσουμε από το μικρότερο στο μεγαλύτερο: 135579 < 315579 < 513579 < 713559 < 913557. Μπορούμε να διατάξουμε τους α- ριθμούς συγκρίνοντας τα ψηφία τους. Ξεκινάμε από το πρώτο ψηφίο των αριθμό το 1<3 < 5 < 7 < 9.

Μαθηματικά 29 Η πρόταση που ακολουθεί είναι σωστή ή λάθος; Δύο αριθμοί που έχουν τον ίδιο αριθμό ψηφίων είναι ίσοι; Σωστό Λάθος Απάντηση Λάθος. Γιατί για να είναι ίσοι θα πρέπει και τα ψηφία τους ένα προς ένα να είναι ίσα. Η πρόταση που ακολουθεί είναι σωστή ή λάθος; Μπορούμε να κάνουμε στρογγυλοποίηση ενός ακέραιου αριθμού σε όποιο ψηφίο θέλουμε; Σωστό Λάθος Απάντηση Σωστό, αρκεί να αναφέρουμε το ψηφίο στο οποίο γίνεται αυτή.

1 ο Κεφάλαιο 30 Μπορώ στην αφαίρεση να αλλάξω τη σειρά του μειωτέου και του αφαιρετέου όπως κάνω στην πρόσθεση; Απάντηση Όχι. Στην πράξη της πρόσθεσης αν αλλάξουμε τη σειρά των προσθετέων το άθροισμα δεν αλλάζει. Αυτό στην αφαίρεση δεν ισχύει, δε μπορούμε δηλαδή να αλλάξουμε τη θέση των δύο αριθμών, του μειωτέου και του αφαιρετέου γιατί δε μπορούμε από έναν α- ριθμό να αφαιρέσουμε κάποιον άλλο που είναι μεγαλύτερός του. Τι είναι ο άξονας συμμετρίας; Απάντηση Άξονας συμμετρίας ονομάζεται η ευθεία γραμμή που χωρίζει ένα σχήμα σε δύο μέρη με τέτοιο τρόπο ώστε αν διπλώσω το σχήμα στον άξονα συμμετρίας, τα δύο μέρη να συμπέσουν. Πώς υπολογίζεται το εμβαδό ενός ορθογωνίου παραλληλόγραμμου; Απάντηση Για να υπολογίσω το εμβαδό ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου πολλαπλασιάζω τα μήκη δύο διαδοχικών πλευρών του.

Μαθηματικά 31 Τετράδιο Εργασιών α. Ποιο από τα παρακάτω σχήματα έχουν ίσο εμβαδόν; Σχεδιάζουμε έναν ή περισσότερους άξονες συμμετρίας σε όποια από τα παραπάνω σχήματα είναι δυνατόν. λύση ΣΚΕΦΤΟΜΑΙ Άξονας συμμετρίας ονομάζεται η ευθεία γραμμή που χωρίζει ένα σχήμα σε δύο μέρη με τέτοιο τρόπο ώστε αν διπλώσω το σχήμα στον άξονα συμμετρίας τα δύο μέρη να συμπέσουν. Ένα σχήμα μπορεί να έχει περισσότερους από έναν άξονες συμμετρίας.

1 ο Κεφάλαιο 32 Τα σχήματα α, β και δ έχουν ίσα εμβαδά, γιατί καλύπτουν όλα την ίδια επιφάνεια: ένα τετραγωνάκι στο πλέγμα που είναι σχεδιασμένα. Άξονες συμμετρίες: το σχήμα α έχει 2 άξονες συμμετρίας, το σχήμα β δεν έχει άξονα συμμετρίας, το σχήμα γ έχει 1 άξονα συμμετρίας και το σχήμα δ έχει 4 άξονες συμμετρίας. β. Βρίσκω το λάθος και εξηγώ προφορικά γιατί δεν είναι λογικό να ισχύει το αποτέλεσμα στις παρακάτω πράξεις. Εκτιμώ αρχικά και στη συνέχεια υπολογίζω με ακρίβεια το σωστό αποτέλεσμα: λύση Για να βρω το λάθος πρέπει να παρατηρήσω και να εκτελέσω τις πράξεις. ΣΚΕΦΤΟΜΑΙ

Μαθηματικά 33-3,5 χιλιάδες + 3,5 χιλιάδες δεν μπορεί να κάνει 8.000 Το σωστό είναι 7.002 3.501 + 3.501 7002 - Δε γίνεται να αφαιρέσω μόνο 30 από το 13.000 και να μείνουν 10.000! Το σωστό είναι: 13.057,00-30,31 13.026,69 - Δε μπορεί 3 φορές το 800 να κάνει 24.000! Το σωστό είναι: 820 x 3 2.460 γ. ιατάσσω τους αριθμούς από το μικρότερο στο μεγαλύτερο. 150.199 149.800 150.203 < < Ποιο ζευγάρι από αυτούς τους αριθμούς έχει άθροισμα που βρίσκεται πιο κοντά στο 300.000; Εκτιμώ... Βρίσκω με ακρίβεια με το κομπιουτεράκι είχνω στην αριθμομηχανή το άθροισμα που βρίσκεται πιο κοντά στο 300 χιλιάδες. λύση

1 ο Κεφάλαιο 34 Πρέπει να συγκρίνω τους αριθμούς και να τους στρογγυλοποιήσω. ΣΚΕΦΤΟΜΑΙ Η σωστή σειρά είναι: 149.800 < 150.199 < 150.203 γιατί : 1 4 9. 8 0 0 1 5 0. 1 9 9 ίσοι 4 < 5 άρα 149.800 < 150.199 1 4 9. 8 0 0 1 5 0. 2 0 3 ίσοι 4 < 5 άρα 149.800 < 150.203 1 5 0. 1 9 9 1 5 0. 2 0 3 ίσοι ίσοι ίσοι 1 < 2 άρα 150.199 < 150.203 Πιο κοντά στο 300.000 βρίσκεται το άθροισμα 149.800 + 150.199 γιατί θα του λείπει μόνο 1, ενώ με το ζευγάρι 159.800, 150203 θα περισσεύουν 3.

Μαθηματικά 35 Ελέγχω 149.800 + 150.199 =299.999 149.800 + 150.203 =300.003 299.999 300.001 300.003 δ. Έδωσα 50 ευρώ. Πήρα ρέστα 2 ευρώ και 50 λεπτά. Τι μπορεί να αγόρασα; Ελέγχω με εποπτικό υλικό. λύση Ότι πρέπει να κάνω διάφορους συνδυασμούς για να καταλήξω στο αποτέλεσμα που θέλω. ΣΚΕΦΤΟΜΑΙ Έχω ξοδέψει 50-2,5 = 47,5. Μπορεί να έχω πάρει διάφορα αγγεία, που να κοστίζουν όλα μαζί 47,5 ; - α περίπτωση: 12,5 + 12,5 + 12,5 + 5 + 5 = 47,5 - β περίπτωση: 15 + 15 + 12,5 + 5 = 47,5 Ελέγχω τα ψηφία από αριστερά προς τα δεξιά.

1 ο Κεφάλαιο 36 ε. Βοηθώ τη Θεοδώρα να συμπληρώσει το μαγικό τετράγωνο: Στα άδεια κουτάκια θα τοποθετήσουμε αριθμούς με τέτοιο τρόπο, ώστε το άθροισμα των τεσσάρων αριθμών οριζόντια, κάθετα και διαγώνια να είναι το ίδιο. ιαγώνια το άθροισμα των αριθμών είναι: Μπορούμε να κατασκευάσουμε κι εμείς ένα μαγικό τετράγωνο; οκιμάζουμε πρώτα με ένα τετράγωνο που έχει διαστάσεις 3 3. 100 1400 400 1200 500 500 1000 200 1300 λύση Βρίσκω το διαγώνιο άθροισμα: 100 + 500 + 200 + 1300 =2100 Ξεκινώ από την πρώτη κάθετη και την πρώτη οριζόντια στήλη που λείπει μόνο ένας αριθμός και μετά συνεχίζω με τις άλλες. 100 200 1400 400 1200 500 400 0 500 1000 200 400 300 400 100 1300 Για να φτιάξω ένα δικό μου παρόμοιο μαγικό τετράγωνο διαλέγω πρώτα ένα άθροισμα (π.χ. 15) και βρίσκω τριάδες αριθμών που να δίνουν αυτό το άθροισμα. Στη συνέχεια ξεκινώντας διαγώνια τοποθετώ τους αριθμούς προσέχοντας κάθε φορά το άθροισμα να είναι 15. Ένα μαγικό τετράγωνο με 3 στήλες είναι το παρακάτω. 4 9 2 3 5 7 8 1 6

Μαθηματικά 37 Λυμένες ασκήσεις εκτός βιβλίου Γράψτε τους παρακάτω αριθμούς στη σειρά από το μικρότερο στο μεγαλύτερο, χρησιμοποιώντας το σύμβολο της ανισότητας. 213.456 423.589 200.000 560.000 λύση Παρατηρούμε ότι όλοι οι αριθμοί έχουν το ίδιο πλήθος ψηφίων, οπότε η σύγκριση πρέπει να γίνει ψηφίο προς ψηφίο. Θα ξαναγράψουμε τους αριθμούς και ακριβώς από κάτω το πρώτο από τ αριστερά ψηφίο τους. 213.456 423.589 200.000 560.000 2 4 2 5 Επειδή 2 < 4 και 4 < 5 ο μεγαλύτερος είναι ο αριθμός 560.000. Υπάρχουν δύο αριθμοί με πρώτο ψηφίο το 2, γι αυτό θα συγκρίνουμε το δεύτερο ψηφίο τους: 200.000 213.456 20 21 Επειδή το 0 < 1 θα είναι 200.000 < 213.456. Τώρα μπορούμε να γράψουμε τους αριθμούς με τη σειρά από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο. 200.000 < 213.456 < 423.589 < 560.000

1 ο Κεφάλαιο 38 Να στρογγυλοποιήσετε τους παρακάτω αριθμούς στην πλησιέστερη δεκάδα: i) 725.317 ii) 208.521 λύση i) Θα συγκρίνουμε το ψηφίο των μονάδων με τον αριθμό 5. 725.317 725.320 Το ψηφίο των μονάδων είναι το 7 που είναι μεγαλύτερο του 5, άρα το ψηφίο των δεκάδων θα αυξηθεί κατά μία μονάδα, ενώ το ψηφίο των μονάδων θα γίνει 0. ii) 208.521 208.520 Το ψηφίο των μονάδων είναι το 1 που είναι μικρότερο του 5, άρα το ψηφίο των δεκάδων θα παραμείνει όπως είναι, ενώ το ψηφίο των μονάδων θα γίνει 0. Οι καταθέσεις μιας εταιρείας στην Τράπεζα στην αρχή της χρονιάς είναι 236.758 ευρώ. Η εταιρεία μέσα στον χρόνο κατέθεσε στην Τράπεζα και άλλα 105.000. Πόσες ήταν οι καταθέσεις της εταιρείας στο τέλος του χρόνου αν η τράπεζα έδωσε τόκο στο τέλος του χρόνου στην εταιρεία 49.500 ; λύση Αφού στα χρήματα που υπήρχαν στην τράπεζα κατατέθηκαν και άλλα, τελικά το συνολικό ποσό θα είναι αυτό που θα βγει από την πρόσθεση των δύο ποσών. ΣΚΕΦΤΟΜΑΙ

Μαθηματικά 39 Κάνουμε λοιπόν την πρόσθεση: 236.758 + 105.000 341.758 Αφού για τις καταθέσεις της αυτές η τράπεζα έδωσε στην εταιρεία στο τέλος του χρόνου τόκο 49.500 τότε η εταιρεία θα έχει συνολικά στο τέλος του χρόνου: 341.758 + 49.500 391.258 Άρα η εταιρεία θα έχει στο τέλος του χρόνου 391.258. Μπορούμε να λύσουμε το πρόβλημα και με άλλους τρόπους: α. 236.758 + 105.000 + 49.500 = 391.258 β. 236.758 + (105.000 + 49.500) = 236 + 154.500 =391.258. Ο κύριος Γιάννης μάζεψε από το περιβόλι του 24 κιλά ντομάτες και θέλει να τις μοιράσει εξίσου σε 4 τελάρα. Πόσα κιλά θα βάζει σε κάθε τελάρο; λύση ΣΚΕΦΤΟΜΑΙ Ο κύριος Γιάννης θέλει να χωρίσει 24 κιλά ντομάτες σε 4 ίσα μέρη. Θα διαιρέσουμε λοιπόν τα κιλά ντομάτες με το 4 και θα βρούμε πόσα κιλά θα περιέχει καθένα από αυτά τα μέρη. Κάνουμε τη διαίρεση 24 6-24 4 00 Άρα καθένα από τα 4 τελάρα θα περιέχει 6 κιλά ντομάτες.

1 ο Κεφάλαιο 40 1. Να βάλετε στη σωστή διάταξη τους αριθμούς: α) 12.577 12.579 12.542 < < β) 852.937 352.937 852.934 < < 2. 3. 4. Να στρογγυλοποιήσετε τους παρακάτω αριθμούς στο ψηφίο των εκατοντάδων: α) 859.198 β) 175.093 γ) 125.731 Να κάνετε τις πράξεις: α) 2.375 + (384.695 + 23.562) β) 8.316-6.715 γ) 876 54 δ) 3.124 : 71 Ο Γιάννης αγόρασε 5 τετράδια και πλήρωσε 450 λεπτά του ευρώ. Πόσο κοστίζει το 1 τετράδιο; 5. Μια παρέα έξι παιδιών είπε τα κάλαντα και μοίρασε δίκαια τα χρήματα που συγκέντρωσε. Κάθε παιδί πήρε 42. Πόσα χρήματα είχαν συγκεντρώσει τα παιδιά συνολικά;

Μαθηματικά 41 Απαντήσεις των άλυτων ασκήσεων 1. α) 12542 < 12577 < 12579 β) 352937 < 852934 < 852937 2. α) 859.200 β) 175.100 γ) 125.700 3. α) 410.632 β) 1601 γ) 47.304 δ) 44 4. 90 λεπτά 5. 252

Μαθηματικά 42 Κεφάλαιο 2 ο Στην Ιχθυόσκαλα Οι αριθμοί μέχρι το 1.000.000 Ένας αριθμός μπορεί να γραφεί με τρεις διαφορετικούς τρόπους: με ψηφία, με λέξεις και με μεικτό τρόπο. Για παράδειγμα: με ψηφία: 136.500 με λέξεις: εκατόν τριάντα έξι χιλιάδες πεντακόσια με μεικτό τρόπο: 136 χιλιάδες 500. Θυμηθήκαμε στο προηγούμενο μάθημα πως λογαριάζουμε χιλιάδες. Ξέρουμε ότι 9 + 1 = 10 (το 10 είναι μία μονάδα δεκάδων ή μία δεκάδα). Προσθέτουμε διαδοχικά στο 9 και το 1 μηδενικό και προσπαθούμε να λογαριάσουμε: 90 + 10 = 100. Σκεφτόμαστε πόσα μηδενικά γράψαμε δεξιά και του 9 και του 1: γράψαμε 1 μηδενικό. Άρα στο άθροισμα που πήραμε από την πρόσθεση 9 +1 γράφουμε δεξιά 1 μηδενικό: 9 + 1 =10 90 + 10 =100 Προχωράμε παρακάτω με τον ίδιο τρόπο: 900 + 100 =1000 (αυτός είναι ο αριθμός χίλια ή αλλιώς μια μονάδα χιλιάδων). Με τον ίδιο τρόπο: 9000 + 1000 = 10.000 (δέκα χιλιάδες ή αλλιώς μία δεκάδα χιλιάδων) 90.000 + 10.000 = 100.000 (εκατό χιλιάδες ή αλλιώς μία εκατοντάδα χιλιάδων) 900.000 + 100.000 = 1.000.000 (1 εκατομμύριο ή 1 δεκάδα εκατομμυρίων).

Μαθηματικά 43 Ας δούμε τώρα το πινακάκι: Τοποθετούμε τον αριθμό 1.000.000 ΕΚΑΤΟΜΜΥΡΙΑ ΧΙΛΙΑΔΕΣ ΜΟΝΑΔΕΣ Ε Δ Μ Ε Δ Μ Ε Δ Μ 1 0 0 0 0 0 0 Διαβάζουμε: 1 μονάδα εκατομμυρίων. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Το πρώτο τριψήφιο τμήμα από τα δεξιά ενός αριθμού αντιστοιχεί στην κλάση των μονάδων, το δεύτερο τριψήφιο τμήμα από τα δεξιά στην κλάση των χιλιάδων και το τρίτο τριψήφιο τμήμα στην τάξη των εκατομμυρίων. Η θέση κάθε ψηφίου μέσα σ έναν αριθμό χαρακτηρίζει και την αξία του σε σχέση με τα άλλα. Έτσι στον αριθμό: 740.417 7 4 0. 4 1 7 το 7 φανερώνει το 4 φανερώνει το 4 φανερώνει το 1 φανερώνει το 7 φανερώνει επτά τέσσερις τέσσερις μια δεκάδα εφτά μονάδες εκατοντάδες χιλιάδες δεκάδες χιλιάδες εκατοντάδες

2 ο Κεφάλαιο 44 Ας δούμε μερικά παραδείγματα Να τοποθετήσετε τους αριθμούς και ύστερα να γράψετε τι δηλώνει κάθε ψηφίο τους: 1) 758.290 ΧΙΛΙΑ ΕΣ ΜΟΝΑ ΕΣ Ε Μ Ε Μ 7 5 8 2 9 0 Το 7 εκατοντάδες χιλιάδων Το 5 δεκάδες χιλιάδων Το 8 μονάδες χιλιάδων Το 2 εκατοντάδες μονάδων Το 9 δεκάδες μονάδων Το 0 μονάδες 2) 631.459 ΧΙΛΙΑ ΕΣ ΜΟΝΑ ΕΣ Ε Μ Ε Μ 6 3 1 4 5 9 Το 6 εκατοντάδες χιλιάδων Το 3 δεκάδες χιλιάδων Το 1 μονάδες χιλιάδων Το 4 εκατοντάδες μονάδων Το 5 δεκάδες μονάδων Το 9 μονάδες

Μαθηματικά 45 3) 732.145 ΧΙΛΙΑ ΕΣ ΜΟΝΑ ΕΣ Ε Μ Ε Μ 7 3 2 1 4 5 Το 7 εκατοντάδες χιλιάδων Το 5 δεκάδες χιλιάδων Το 2 μονάδες χιλιάδων Το 1 εκατοντάδα μονάδων Το 4 δεκάδες μονάδων Το 5 μονάδες Ας πάμε τώρα να συγκρίνουμε αριθμούς μέχρι το 1.000.000 και να προσπαθήσουμε να τους διατάξουμε. Σύγκριση δύο ακέραιων αριθμών σημαίνει να βρούμε αν αυτοί είναι ίσοι ή στην περίπτωση που δεν είναι ίσοι, να βρούμε ποιος είναι μεγαλύτερος. Δύο ακέραιοι αριθμοί είναι ίσοι αν έχουν τα ίδια ψηφία. Διάταξη ακέραιων αριθμών σημαίνει η τοποθέτησή τους από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο ή από το μεγαλύτερο προς το μικρότερο. Τα σύμβολα που χρησιμοποιούμε για τη διάταξη είναι το < αν διατάξουμε από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο ή το > αν διατάξουμε από το μεγαλύτερο προς το μικρότερο. Ας δούμε μερικά παραδείγματα Να συγκρίνετε και να διατάξετε από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο τους αριθμούς: 58.976, 18.976, 38.225, 38.224, 24.322.

2 ο Κεφάλαιο 46 Λύση Για να κάνουμε τη διάταξη πρέπει να συγκρίνουμε τους αριθμούς. Θα ξαναβρούμε τους αριθμούς και ακριβώς από κάτω το πρώτο από τ αριστερά ψηφίο τους. 58.976 18976 38225 38224 24322 5 1 3 3 2 Επειδή το 1 < 2 το 2 < 3 και το 3 < 5. Ο μεγαλύτερος από τους αριθμούς είναι ο 58.976 και ο μικρότερος ο 18.976. Υπάρχουν δύο αριθμοί με πρώτο ψηφίο το 3 γι αυτό θα συγκρίνουμε τα άλλα ψηφία τους. άρα ο αριθμός 38224 < 38225. Οπότε τώρα μπορούμε να γράψουμε τους αριθμούς με τη σειρά από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο: 3 8. 2 2 5 3 8. 2 2 4 ίσοι ίσοι ίσοι ίσοι 5 > 4 18.976 < 24.322 < 38.224 < 38.225 < 58.976. Έναν αριθμό μπορούμε να τον αναλύσουμε σε δεκαδικό ανάπτυγμα. Για παράδειγμα: 38.946 =30.000 + 8.000 + 900 + 40 + 6 Ένας αριθμός μπορεί να εκφραστεί ως άθροισμα, διαφορά, γινόμενο ή πηλίκο δύο άλλων αριθμών. Για παράδειγμα: 5.200+5.350 = 10.550 12.000-1.450 = 10.550 1055 10 = 10.550 105.500 : 10 = 10.550.

Μαθηματικά 47 Το βάρος είναι μέγεθος που χαρακτηρίζει όλα τα υλικά σώματα, μέχρι και ο αέρας που δε φαίνεται έχει και αυτός βάρος. Η βασική μονάδα μέτρησης του βάρους είναι το κιλό ή χιλιόγραμμο. Το κιλό ή χιλιόγραμμο αποτελείται από 1000 γραμμάρια. Το γραμμάριο (γραμ.) είναι υποδιαίρεση του κιλού. 1 κιλό = 1000 γραμμάρια ή 1 γραμμάριο = 1 χγρ. = 0,001 χγρ. 1000 Ένα πολλαπλάσιο του κιλού, που χρησιμοποιούμε για τη μέτρηση, του βάρους μεγάλων αντικειμένων όπως είναι τα αυτοκίνητα, τα αεροπλάνα, κ.τλ. είναι ο τόνος. Ο τόνος αποτελείται από 1000 κιλά. 1 τόνος = 1.000 κιλά ή 1 χγρ. = Για παράδειγμα: 1 τον. = 0,001 τον. 1000 Οι 13,2 τόνοι είναι 13,2 1000 = 13.200 κιλά. Τα 13.700 κιλά είναι 13.700: 1000 = 13,7 τόνοι.

2 ο Κεφάλαιο 48 Το ευρώ είναι το νόμισμα που χρησιμοποιούμε για τις συναλλαγές μας. 1 ευρώ έχει 100 λεπτά. Το 1 λεπτό είναι υποδιαίρεση του ευρώ. Υπάρχουν νομίσματα του 1 λεπτού, των 2 λεπτών, των 5 λεπτών, των 10 λεπτών, των 20 λεπτών και των 50 λεπτών, τα οποία είναι υποδιαιρέσεις του ευρώ και νομίσματα των 2 ευρώ, των 5 ευρώ, των 10 ευρώ, των 20 ευρώ, των 50 ευρώ, των 100 ευρώ, των 200 ευρώ και των 500 ευρώ που είναι πολλαπλάσια του ευρώ. Για παράδειγμα: 1) Πόσα κέρματα των 10 λεπτών κάνουν 10.000 ; 10.000 : 10 = 1000 κέρματα των 10 λεπτών. 2) Πόσα κέρματα των 20 λεπτών κάνουν 10.000 ; 10.000 :20 = 500 κέρματα των 20 λεπτών. 3) Μπορείς να συνθέσεις 1000 με διαφορετικούς τρόπους; 5 200 = 1000 (5 φορές διακόσια ) 2 200 = 400 (2 φορές διακόσια ευρώ) 6 100 = 600 (6 φορές εκατό ευρώ) 600 + 400 =1000 ευρώ.

Μαθηματικά 49 ραστηριότητες του βιβλίου ραστηρι ότητα 1η Στην ιχθυόσκαλα Με ποιους τρόπους μπορούμε να εκφράσουμε το 1 εκατομμύριο; Σε όλες τις αλιευτικές περιοχές και στα νησιά υπάρχουν ιχθυόσκαλες... Ποσότητες ψαριών που αλιεύτηκαν στα ελληνικά νησιά το 1992 Κοκκινόψαρα Ξιφίες Ροφοί Τσιπούρες Χάννοι τετρακόσιοι ενενήντα εφτά τόνοι ή 497 χιλιάδες κιλά χίλιοι τόνοι ή... κιλά εκατόν σαράντα τόνοι ή... κιλά εκατόν εβδομήντα ένας τόνοι ή... κιλά εκατόν ογδόντα εννιά τόνοι ή... κιλά ίπλα σε κάθε είδος ψαριού συμπληρώνω τον αριθμό που αντιστοιχεί στην ποσότητα σε κιλά που αλιεύτηκε το 1992 (1Μ = 1 κιλό):

2 ο Κεφάλαιο 50 Εκατομμύρια Χιλιάδες Μονάδες Μ Ε Μ Ε Μ 10.0000.000 1.0000.000 100.000 10.000 1.000 100 10 1 Είδος ψαριού Κοκ/ρα Ξιφίες Ροφοί Τσιπούρες Χάννοι Πόσα είδη ψαριού αλιεύτηκε στα ελληνικά νερά το 1992; σε μεγαλύτερη ποσότητα;... σε μικρότερη ποσότητα;... Παρατηρώ προσεκτικά τον πίνακα και το γράφημα και συμπληρώνω με Σ (σωστό) ή Λ (λάθος) τις προτάσεις: - Τα κοκκινόψαρα είναι περίπου τα μισά από ότι οι ξιφίες - Οι χάνοι είναι λίγο περισσότεροι από τις τσιπούρες - Οι ροφοί είναι περίπου δέκα φορές λιγότεροι από τους ξιφίες - Οι τσιπούρες είναι λιγότερες από τους ροφούς - Οι ξιφίες είναι περίπου όσα όλα τα υπόλοιπα είδη ψαριών μαζί. Συζητάμε στην τάξη για τη μόλυνση των θαλασσών στις μέρες μας και τις συνέπειές της.

Μαθηματικά 51 ΛΥΣΗ 1 τόνος = 1.000 κιλά. Άρα Ποσότητες ψαριών που αλιεύτηκαν στα ελληνικά νησιά το 1992 Κοκκινόψαρα Ξιφίες Ροφοί Τσιπούρες Χάννοι τετρακόσιοι ενενήντα εφτά τόνοι ή 497 χιλιάδες κιλά χίλιοι τόνοι ή 1000 10.000 = 1.000.000 κιλά εκατόν σαράντα τόνοι ή 140.000 κιλά εκατόν εβδομήντα ένας τόνοι ή 171 1000 = 171.000 κιλά εκατόν ογδόντα εννιά τόνοι ή 189 1000 = 189.000 κιλά 1.000 τόνοι είναι 1.000 1.000 = 1.000.000 κιλά. Εκατομμύρια Χιλιάδες Μονάδες Μ Ε Μ Ε Μ 10.0000.000 1.0000.000 100.000 10.000 1.000 100 10 1 Είδος ψαριού Κοκ/ρα 4 9 7 0 0 0 Ξιφίες 1 0 0 0 0 0 0 Ροφοί 1 4 0 0 0 0 Τσιπούρες 1 7 1 0 0 0 Χάννοι 1 8 9 0 0 0 Για να βρούμε ποιο είδος ψαριού αλιεύτηκε στα ελληνικά νερά το 1992 σε μεγαλύτερη ποσότητα πρέπει να συγκρίνουμε τους αριθμούς: 497.000 1.000.000 140.000 171.000 189.000

2 ο Κεφάλαιο 52 Παρατηρούμε ότι ο αριθμός 1.000.000 έχει 7 ψηφία άρα είναι ο μεγαλύτερος. Ξαναγράφουμε τους υπόλοιπους αριθμούς και από κάτω γράφουμε το πρώτο ψηφίο τους. 497.000 140.000 171.000 189.000 4 1 1 1 Το 4 > 1 άρα από τους υπόλοιπους αριθμούς ο μεγαλύτερος είναι ο αριθμός 497.000. Υπάρχουν 3 αριθμοί με πρώτο ψηφίο το 1 γι αυτό θα συγκρίνουμε το δεύτερο ψηφίο τους. 140.000 171.000 189.000 4 7 8 Επειδή το 4 < 7 και το 7 < 8 μεγαλύτερος είναι ο αριθμός 189.000 και μικρότερος ο αριθμός 140.000. Οπότε τώρα μπορούμε να γράψουμε τους αριθμούς με τη σειρά από το μεγαλύτερο προς το μικρότερο. 1.000.000 > 497.000 > 189.000 > 171.000 > 140.000 Οπότε σε μεγαλύτερη ποσότητα αλιεύτηκαν οι ξιφίες και σε μικρότερη οι ροφοί. - Τα κοκκινόψαρα είναι περίπου τα μισά από ότι οι ξιφίες Σ Τα κοκκινόψαρα είναι 497.000 κιλά, οι ξιφίες είναι 1.000.000 κιλά άρα τα κοκκινόψαρα είναι περίπου τα μισά από ότι οι ξιφίες. - Οι χάνοι είναι λίγο περισσότεροι από τις τσιπούρες Λ Οι χάνοι είναι 189.000, οι τσιπούρες είναι 171.000 κιλά οπότε οι χάνοι είναι περισσότεροι από τις τσιπούρες. - Οι ροφοί είναι περίπου δέκα φορές λιγότεροι από τους ξιφίες. Λ Οι ροφοί είναι 140.000 κιλά ενώ οι ξιφίες είναι 1.000.000 κιλά. 1.000.000 :10 = 100.000 κιλά οπότε οι ροφοί δεν είναι περίπου δέκα φορές λιγότερο από τους ξιφίες, είναι 7 φορές περίπου λιγότεροι από τους ξιφίες.

Μαθηματικά 53 - Οι τσιπούρες είναι λιγότερες από τους ροφούς. Λ Οι τσιπούρες είναι 171.000 κιλά και οι ροφοί είναι 140.000 κιλά άρα οι τσιπούρες είναι περισσότερες από τους ροφου ς. - Οι ξιφίες είναι περίπου όσα όλα τα υπόλοιπα είδη ψαριών μαζί. Σ Οι ξιφίες είναι 1.000.000 κιλά για να βρούμε πόσα κιλά είναι όλα τα υπόλοιπα ψάρια θα τα προσθέσουμε: 497.000 140.000 171.000 +189.000 997.000 ηλαδή όλα τα υπόλοιπα ψάρια είναι 997.000 κιλά άρα είναι περίπου τόσα κιλά όσα και οι ξιφίες. Τα απόβλητα των βιομηχανιών που ρίχνονται στη θάλασσα καθώς και τα σκουπίδια και τα λύμματα τη μολύνουν με αποτέλεσμα η θάλασσα να κινδυνεύει να νεκρωθεί και οι επιπτώσεις θα είναι σοβαρές όχι μόνο για κάθε μορφή ζωής που υπάρχει στη θάλασσα όπως τα ψάρια, τα θαλάσσια φυτά αλλά και για τον άνθρωπο. Γι αυτό θα πρέπει να γίνεται επεξεργασία των λυμάτων και οι άνθρωποι να φροντίζουν να διατηρούν καθαρές τις ακτές και τις θάλασσες.

2 ο Κεφάλαιο 54 Ένας αριθμός μπορεί να γραφεί με τρεις διαφορετικούς τρόπους: με ψηφία (π.χ. 34.672), με λέξεις (π.χ. τριάντα τέσσερις χιλιάδες εξακόσια εβδομήντα δύο) και με μεικτό τρόπο (π.χ. 34 χιλιάδες 672). Θα πρέπει να μπορούμε με έναν εύκολο τρόπο να διαβάζουμε έναν πολυψήφιο α- ριθμό. Ακολουθούμε τον εξής κανόνα: - Χωρίζουμε τον αριθμό (αρχίζοντας από δεξιά) σε τμήματα των τριών ψηφίων το καθένα. Κάθε ένα από αυτά τα τμήματα (αρχίζοντας από δεξιά) τα ονομάζουμε κατά σειρά: το 1 ο μονάδες το 2 ο χιλιάδες το 3 ο εκατομμύρια Τα τριψήφια τμήματα που αναφέρονται παραπάνω αποτελούν τις κλάσεις του αριθμού. - Προσέξτε όμως: το πρώτο τμήμα από αριστερά μπορεί να μην είναι συμπληρωμένο με τρία ψηφία. Καθένα όμως από τα υπόλοιπα τμήματα πρέπει να έχει τρία ψηφία. - Καθένα από τα ψηφία μιας κλάσης έχει διαφορετική αξία. Έτσι το πρώτο από τα δεξιά ψηφία αντιστοιχεί στις μονάδες, το μεσαίο ψηφίο αντιστοιχεί στις δεκάδες και το πρώτο από τα αριστερά ψηφίο αντιστοιχεί στις εκατοντάδες. Αυτά τα ψηφία αποτελούν τις τάξεις της κλάσης.

Μαθηματικά 55 Όταν απαγγέλλουμε έναν αριθμό ακολουθούμε τον εξής κανόνα: - Αρχίζουμε την απαγγελία από το πρώτο από τα αριστερά τμήμα. Διαβάζουμε τον αριθμό που έχει το κάθε τμήμα και τον αντίστοιχο χαρακτηρισμό. Αν ένα τμήμα έχει όλα τα ψηφία του μηδενικά τότε το παραλείπουμε κατά την απαγγελία του αριθμού. Κάθε ψηφίο έχει διαφορετική αξία μέσα σ έναν αριθμό. Η αξία του εξαρτάται από τη θέση που έχει το ψηφίο μέσα στον αριθμό. 1 τόνος = 1000 κιλά 1 κιλό = 1000 γραμμάρια 1 = 100 λεπτά.

2 ο Κεφάλαιο 56 Συμπληρώνω τους αριθμούς που λείπουν: λύση Στην κάθε περίπτωση θα φτάσουμε στο 1.000.000 με το στοιχείο που έχουμε δηλαδή τον αριθμό και την πράξη που πρέπει να κάνουμε. ΣΚΕΦΤΟΜΑΙ - Πρώτη περίπτωση: ποιος αριθμός συν 1 κάνει 1.000.000; Βρίσκω: 999.999 + 1 = 1.000.000 γιατί 1.000.000-999.999 = 1. Άρα ο αριθμός που λείπει είναι ο 999.999. - Δεύτερη περίπτωση: Ποιος αριθμός αν τον πολλαπλασιάσω με το 1.000 θα μου κάνει 1.000.000; Βρίσκω: 1.000 1000 = 1.000.000 γιατί 1.000.000 : 1.000 = 1.000 Άρα ο αριθμός που λείπει είναι ο 1.000 - Τρίτη περίπτωση: Ποιος αριθμός συν το 990 κάνει 1.000.000; Βρίσκω: 990 + 999.010 = 1.000.000 γιατί 1.000.000-990 = 999.010 Άρα ο αριθμός που λείπει είναι ο 999.010

Μαθηματικά 57 - Τέταρτη περίπτωση: Ποιος αριθμός αν τον πολλαπλασιάσουμε με το 4 θα μου κάνει 1.000.000; Βρίσκω: 4 250.000 = 1.000.000 γιατί 1.000.000 : 4 = 250.000 Άρα ο αριθμός που λείπει είναι ο 250.000 - Πέμπτη περίπτωση: Ποιος αριθμός συν το 990.800 κάνει 1.000.000; Βρίσκω: 990.800 + 9.200 = 1.000.000 γιατί 1.000.000-990.800 = 9.200 Άρα ο αριθμός που λείπει είναι ο 9.200 - Έκτη περίπτωση: Ποιος αριθμός αν τον πολλαπλασιάσω με το 2 θα μου κάνει 1.000.000; Βρίσκω: 2 500.000 = 1.000.000 γιατί 1.000.000 : 2 =500.000. Άρα ο αριθμός που λείπει είναι ο 500.000 Οπότε:

2 ο Κεφάλαιο 58 Με ποιους διαφορετικούς τρόπους μπορούμε να γράψουμε έναν αριθμό; Απάντηση Ένας αριθμός μπορεί να γραφεί με τρεις διαφορετικούς τρόπους: με ψηφία, με λέξεις και με μεικτό τρόπο. Τι δηλώνει κάθε ψηφίο του αριθμού 976.482; Απάντηση 9 Εκατοντάδες χιλιάδων 7 δεκάδες χιλιάδων 6 μονάδες χιλιάδων 4 εκατοντάδες 8 δεκάδες 2 μονάδες

Μαθηματικά 59 ΧΙΛΙΑΔΕΣ ΜΟΝΑΔΕΣ Ε Δ Μ Ε Δ Μ 9 7 6 4 8 2 Ένας τόνος με πόσα κιλά ισοδυναμεί; Με 1.000 κιλά Απάντηση Ένα ευρώ πόσα λεπτά είναι; Απάντηση 100 λεπτά.

Μαθηματικά 60 Τετράδιο Εργασιών Ασκήσεις α. Ο τέταρτος πλανήτης ήταν ο πλανήτης του επιχειρηματία. Αυτός ο άνθρωπος ήταν τόσο απασχολημένος που, όταν έφτασε ο μικρός πρίγκιπας, δε σήκωσε καν το κεφάλι. Γράφω τους αριθμούς που υπάρχουν στους διαλόγους. ΕΚΑΤΟΜΜΥΡΙΑ ΧΙΛΙΑΔΕΣ ΜΟΝΑΔΕΣ Μ Ε Δ Μ Ε Δ 1.000.000 100.000 10.000 1.000 100 10 Μ 1

Μαθηματικά 61 ΕΚΑΤΟΜΜΥΡΙΑ ΧΙΛΙΑΔΕΣ ΜΟΝΑΔΕΣ Μ 1.000.000 Ε 100.000 Δ 10.000 Μ 1.000 Ε 100 Δ 10 Μ 1 1 0 9 0 0 0 3 9 1 0 0 0 5 0 0 0 0 0 5 0 0 9 0 1 4 2 0 1 0 1 9 2 1 0 0 2 2 8 0 0 0 7 9 0 0 0 3 0 7 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 Πώς μπορούμε να γράψουμε στον άβακα τον αριθμό «σχεδόν 1 εκατομμύριο»; λύση Στον άβακα μπορούμε να γράφουμε μόνο ακριβείς μετρήσεις. Το «σχεδόν ένα εκατομμύριο» μπορούμε να το «γράψουμε» ως 999.999. β. Υπολογίζω τα αθροίσματα, αφού κάνω πρώτα μια εκτίμηση του αποτελέσματος. Πόσο διαφέρει η εκτίμηση που έκανα από το ακριβές αποτέλεσμα; Αλλάζει το αποτέλεσμα αν προσθέσουμε τους αριθμούς κατεβαίνοντας ή ανεβαίνοντας κάθε φορά;

2 ο Κεφάλαιο 62 λύση Στην πρώτη περίπτωση για να εκτιμήσω θα κάνω μια γρήγορη νοητή πρόσθεση των πιο μεγάλων αριθμών: 100.000 + 1.000 =101.000 Για να βρω το ακριβές αποτέλεσμα θα κάνω πρόσθεση: 100.000 + 1.000 + 100 + 5 = 101.105 ή 100.000 1.000 100 + 5 101.105 Η διαφορά ανάμεσα στην εκτίμησή μου και στο ακριβές αποτέλεσμα ήταν πολύ μικρή. Στη δεύτερη περίπτωση για να εκτιμήσω μπορώ να κάνω μια γρήγορη στρογγυλοποίηση των πιο μεγάλων αριθμών και μετά να κάνω μια γρήγορη νοητή πρόσθεσή τους: 1.000.000 + 100.000 + 1.000 = 1.101.000 (Το 999.000 το στρογγυλοποίησα σε 1.000.000, το 99.000 σε 100.000 και το 990 σε 1.000). Για να βρω το ακριβές αποτέλεσμα θα κάνω πρόσθεση: 1 + 99 + 900 + 99.000 + 999.000 =1.099.000 ή 999.000 99.000 900

Μαθηματικά 63 99 + 1 1.099.000 Η διαφορά ανάμεσα στην εκτίμησή μου και στο ακριβές αποτέλεσμα ήταν μικρή σε σχέση με τον αριθμό. Το αποτέλεσμα δεν αλλάζει αν κάνουμε την πρόσθεση από πάνω προς τα κάτω ή αντίθετα, γιατί στην πρόσθεση μπορούμε να βάλουμε τους προσθετέους με όποια σειρά θέλουμε. Στα συγκεκριμένα παραδείγματα, στην πρώτη περίπτωση μας εξυπηρετεί να κάνουμε τις νοητές πράξεις από κάτω προς τα πάνω, ενώ στη δεύτερη από πάνω προς τα κάτω. γ. Με πόσα χαρτονομίσματα μπορώ να έχω ένα ποσό αξίας 1 εκατομμυρίου: Αν χρησιμοποιήσω χαρτονομίσματα μόνο των 500 ; Αν χρησιμοποιήσω χαρτονομίσματα των 100 ; Αν έχω στη διάθεσή μου χαρτονομίσματα των 200 και των 50 ταυτόχρονα; ίνω 2 διαφορετικά παραδείγματα. λύση Για να κάνουμε 1.000.000 με χαρτονομίσματα των 500 σκέφτομαι: με ποιον αριθμό πρέπει να πολλαπλασιάσω το 500 για να μου κάνει 1.000.000; Βρίσκω: 2.000 500 = 1.000.000 γιατί 1.000.000 : 500 = 2000. Άρα χρειαζόμαστε 2.000 χαρτονομίσματα των 500. Για να βρω πως θα κάνω 1.000.000 με χαρτονομίσματα των 100 σκέφτομαι: Με ποιον αριθμό πρέπει να πολλαπλασιάσω το 100 για να μου κάνει 1.000.000; Βρίσκω: 10.000 100 = 1.000.000 γιατί 1.000.000: 100 = 10.000. Άρα χρειαζόμαστε 10.000 χαρτονομίσματα των 100. Με τα χαρτονομίσματα των 200 και των 50 μπορούμε να κάνουμε πολλούς συνδυασμούς, για παράδειγμα: Για να βρω πως θα κάνω 1.000.000 με χαρτονομίσματα των 200 και των 50 σκέφτομαι: Αν πολλαπλασιάσω το 4.000 με το 200 θα μου κάνει 4000 200 = 800.000. Άρα θα χρειαστώ 4000 χαρτονομίσματα των 200.

2 ο Κεφάλαιο 64 Από το 800.000 μέχρι το 1.000.000 είναι 200.000 γιατί 1.000.000-800.000 = 200.000. Με ποιον αριθμό πρέπει να πολλαπλασιάσω το 50 για να μου κάνει 200.000; Βρίσκω: 4.000 50 =200.000 γιατί 200.000 :50 = 4.000. Άρα θα χρειαστώ και 4.000 χαρτονομίσματα των 50 για να κάνω 1.000.000, α- φού 4.000 200 + 4.000 50 = 1.000.000, ή Αν πολλαπλασιάσω το 200 με το 3000 θα μου κάνει: 200 3000 = 600.000 Άρα θα χρειαστώ 3000 χαρτονομίσματα των 200. Από το 600.000 μέχρι το 1.000.000 είναι 400.000 γιατί 1.000.000-600.000 = 400.000. Με ποιον αριθμό πρέπει να πολλαπλασιάσω το 50 για να μου κάνει 400.000; Βρίσκω 8000 50 = 400.000 γιατί 400.000 : 50 = 8.000 Άρα θα χρειαστώ και 8.000 χαρτονομίσματα των 50 για να κάνω 1.000.000, α- φού 3.000 200 + 8.000 50 = 1.000.000. δ. Το κρυπτόλεξο των εκατομμυρίων Κερδίζει όποια ομάδα βρει οριζόντια ή κάθετα: τρεις 7ψήφιους αριθμούς που το ψηφίο των εκατομμυρίων να είναι μεγαλύτερο από 4. τρεις 7ψήφιους αριθμούς που το ψηφίο των εκατοντάδων χιλιάδων να είναι μικρότερο από 5.