Η ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ Ο ΝΤΕΤΕΡΜΙΝΙΣΜΟΣ

ΜΑΘΗΜΑ 5: Η ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ Ο ΝΤΕΤΕΡΜΙΝΙΣΜΟΣ Salviati: Εκεί όπου δεν μας βοηθούν οι αισθήσεις πρέπει να παρέμβει η λογική, γιατί μόνο αυτή θα επιτρέψει να εξηγήσουμε τα φαινόμενα ΓΑΛΙΛΑΪΚΟΙ ΔΙΑΛΟΓΟΙ Η μαθηματική θεωρία της κίνησης, όπως κάθε ορθολογική θεωρία, θεμελιώνεται σε αξιώματα, δηλαδή σε αποδεκτές αλήθειες που συμφωνούν με τη φυσική πραγματικότητα Η κλασική θεωρία της κίνησης βασίζεται σε δυο θεμελιώδη αξιώματα που είναι γνωστά ως Γαλιλαϊκή Αρχή της Σχετικότητας και Νευτώνεια Αρχή του Ντετερμινισμού Η Νευτώνεια Αρχή του Ντετερμινισμού δηλώνει ότι αν σε μια χρονική στιγμή γνωρίζουμε τη θέση και την ταχύτητα ενός σώματος τότε μπορούμε να προβλέψουμε την εξελικτική του πορεία στο μέλλον και να μάθουμε το παρελθόν της Το γενικό σχήμα του επιστημονικού ντετερμινισμού, βασισμένο στη σχέση αιτίας και αποτελέσματος, αποδέχεται την επικράτηση της προδιαγεγραμμένης τάξης Ο Pierre Simn Laplace στο βιβλίο του: Φιλοσοφικό Δοκίμιο επί των Πιθανοτήτων (1814), έγραψε: Πρέπει να αντιμετωπίζουμε την παρούσα κατάσταση του σύμπαντος ως αποτέλεσμα της προηγούμενης κατάστασής του και ως αιτία της επόμενης Μια διάνοια που, σε μια δεδομένη στιγμή, θα γνώριζε όλες τις δυνάμεις που κινούν τη φύση και την αντίστοιχη κατάσταση των όντων που την αποτελούν, ενώ ταυτόχρονα θα ήταν τόσο ευρεία ώστε να μπορεί να αναλύει όλα τα δεδομένα, θα είχε τη δυνατότητα να συμπεριλάβει σε ένα σχήμα τόσο τις κινήσεις των μεγαλύτερων σωμάτων του σύμπαντος όσο και εκείνες των ελάχιστων ατόμων Τίποτε δεν θα ήταν αβέβαιο για αυτήν, το μέλλον και το παρελθόν θα ήταν πάντα παρόντα μπροστά της Pierre Simn Laplace : Essai Philsphique sur les Prbabilités, 1814

ΜΑΘΗΜΑ 5 ο : Η ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ Ο ΝΤΕΤΕΡΜΙΝΙΣΜΟΣ 41 Αρχή του Ντετερμινισμού: Η θέση και η ταχύτητα ενός σώματος σε μια χρονική στιγμή ορίζουν μονοσήμαντα τη μελλοντική και παρελθούσα εξέλιξή του Η αξιωματική αυτή αρχή διασφαλίζει, ως προς την κίνηση ενός υλικού σημείου, την ύπαρξη μιας συνάρτησης ορισμένης στο καρτεσιανό γινόμενο του χώρου των θέσεων, του χώρου των ταχυτήτων και του χρονικού άξονα, με τιμές στο χώρο των θέσεων: f : που, για κάθε δεδομένη αρχική θέση xt ( ) και αρχική ταχύτητα xt ( ), ορίζει την κίνηση ως λύση της θεμελιώδους εξίσωσης: d x = f(, xxt,) Αρχή της Σχετικότητας: Υπάρχει μια κλάση προνομιούχων συστημάτων αναφοράς, των καλούμενων αδρανειακών συστημάτων αναφοράς, όπου οι γαλιλαϊκοί μετασχηματισμοί διατηρούν αναλλοίωτη τη θεμελιώδη εξίσωση της κίνησης Η αξιωματική αυτή αρχή διασφαλίζει την ύπαρξη των αδρανειακών συστημάτων αναφοράς όπου οι γαλιλαϊκοί μετασχηματισμοί μετατρέπουν κάθε κίνηση που διέπεται από τη θεμελιώδη εξίσωση σε κίνηση που διέπεται από την ίδια εξίσωση αλλά με άλλες αρχικές συνθήκες Ο Γαλιλαίος πρώτος δήλωσε ότι οι νόμοι της κίνησης είναι ίδιοι σε όλα τα αδρανειακά συστήματα αναφοράς και, λίγο αργότερα, ο Νεύτωνας έδωσε τη θεμελιώδη εξίσωση της κίνησης που ισχύει σε αυτά τα συστήματα αναφοράς Η θεμελιώδης εξίσωση της κίνησης ενός υλικού σημείου αποσυντίθεται σε τρεις διαφορικές εξισώσεις: όπου d xi = f(, ) i xx, i = 1,, ( ) f( xx, ) = f( xx, ), f( xx, ), f( xx, ) 1 Όταν πρόκειται για N υλικά σημεία που κινούνται ως ενιαίο σύστημα, η θεμελιώδης εξίσωση που διέπει την κίνηση του συστήματός τους στο χώρο συγκροτείται από N διαφορικές εξισώσεις που ορίζονται από τις συνιστώσες μιας συνάρτησης της μορφής: N N N f :

4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α : ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Στην Κλασική Μηχανική, τα συστήματα αναφοράς είναι χωρικής φύσης και παραμένουν ανεπηρέαστα από την απόλυτη υπόσταση του χρόνου Ο χρόνος υπεισέρχεται σε αυτά ως παράμετρος για την καταγραφή των κινήσεων στον τρισδιάστατο χώρο Η ανάγκη αξιωματικής εισαγωγής των αδρανειακών συστημάτων αναφοράς οφείλεται στην αδυναμία απόλυτης πειραματικής επαλήθευσης της ύπαρξής τους στη φύση Η αξιωματική εισαγωγή της θεμελιώδους εξίσωσης, ως διαφορικής εξίσωσης ης τάξης, καθορίζει την ορθολογική βάση ανάπτυξης μιας μαθηματικής θεωρίας της κίνησης ανταποκρινόμενης στα δεδομένα της φυσικής πραγματικότητας Η συνάρτηση που υπεισέρχεται στη θεμελιώδη εξίσωση καθορίζεται από τα φυσικά δεδομένα και, εφόσον πληρούνται οι προϋποθέσεις του θεωρήματος ύπαρξης και μοναδικότητας των λύσεων των διαφορικών εξισώσεων, ορίζεται μονοσήμαντα η κίνηση, για κάθε δεδομένη αρχική θέση και ταχύτητα, σε ένα διάστημα του χρονικού άξονα Η θεμελιώδης εξίσωση που ισχύει στα αδρανειακά συστήματα αναφοράς διατηρείται αναλλοίωτη από τους γαλιλαϊκούς μετασχηματισμούς και προκύπτουν οι εξής συνέπειες: Συνέπεια 1: Χρονική ομογένεια Οι νόμοι της φύσης παραμένουν αναλλοίωτοι στο πέρασμα του χρόνου και αυτό δηλώνεται μαθηματικά με το ότι οι γαλιλαϊκοί μετασχηματισμοί χρονικής μεταφοράς: g( xt, ) = ( x, t+ t ), t, διασφαλίζουν ότι αν η θεμελιώδης εξίσωση αποδέχεται ως λύση την x = φ() t, θα αποδέχεται επίσης ως λύση την x =φ ( t+ t ), για κάθε t Αυτό σημαίνει ότι η συνάρτηση που ορίζει τη θεμελιώδη εξίσωση εξαρτάται έμμεσα και όχι άμεσα από το χρόνο, οπότε, με την προϋπόθεση ότι η κίνηση είναι αυτόνομη και δεν επηρεάζεται από εξωτερικούς παράγοντες, ο χρόνος υπεισέρχεται στη θεμελιώδη εξίσωση ως παράμετρος και όχι ως ανεξάρτητη μεταβλητή Όταν η κίνηση ενός συστήματος υλικών σημείων δεν είναι αυτόνομη και επηρεάζεται από εξωτερικούς παράγοντες, η επίδραση αυτή υποκαθίσταται από μια χρονική μεταβολή των παραμέτρων που επηρεάζουν τη θεμελιώδη εξίσωση και τότε ο χρόνος μπορεί να εμφανιστεί ως ανεξάρτητη μεταβλητή Συνεπώς, στις αυτόνομες κινήσεις, η συνάρτηση αυτή ορίζεται στο καρτεσιανό γινόμενο του χώρου των θέσεων και του χώρου των ταχυτήτων και η θεμελιώδης εξίσωση διατυπώνεται ως εξής: d x = f( xx, ) Στη Θεωρία της Σχετικότητας, η φύση των συστημάτων αναφοράς είναι χωροχρονική και οι μετρήσεις επηρεάζονται από την κινητική τους κατάσταση όταν η ταχύτητά τους πλησιάζει την ταχύτητα του φωτός

ΜΑΘΗΜΑ 5 ο : Η ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ Ο ΝΤΕΤΕΡΜΙΝΙΣΜΟΣ 4 Συνέπεια : Χωρική ομογένεια Ο χώρος είναι ομογενής, δηλαδή έχει παντού ίδιες φυσικές ιδιότητες και αυτό δηλώνεται μαθηματικά με το ότι οι γαλιλαϊκοί μετασχηματισμοί χωρικής μεταφοράς: g (,) xt = ( x+ x, t), x, διασφαλίζουν ότι αν η θεμελιώδης εξίσωση αποδέχεται ως λύση την x = φ() t, θα αποδέχεται επίσης ως λύση την x =φ () t + x, για κάθε x Συνέπεια : Χωρική ισοτροπία Ο χώρος είναι ισότροπος, δηλαδή δεν διαθέτει κάποια προνομιούχο διεύθυνση και αυτό δηλώνεται μαθηματικά με το ότι οι γαλιλαϊκοί μετασχηματισμοί χωρικής στροφής: g (,) x t = ( Sx, t), S (), διασφαλίζουν ότι αν η θεμελιώδης εξίσωση αποδέχεται ως λύση την x = φ() t, θα αποδέχεται επίσης ως λύση την x = S φ() t, για κάθε S () Συνεπώς, η συνάρτηση που ορίζει τη θεμελιώδη εξίσωση πληροί τη συνθήκη: Συνέπεια 4: Αδρανειακή κίνηση f( Sx, Sx ) = S f( x, x ), S () Οι γαλιλαϊκοί μετασχηματισμοί αδρανειακής μετατόπισης: g (,) xt = ( x+ vt, t), v, υποδεικνύουν ότι η θεμελιώδης εξίσωση διατηρείται άθικτη στα συστήματα αναφοράς που κινούνται ευθύγραμμα ομαλά ως προς κάποιο αδρανειακό σύστημα αναφοράς Αυτό σημαίνει ότι κάθε σύστημα αναφοράς που κινείται ευθύγραμμα ομαλά ως προς κάποιο αδρανειακό σύστημα αναφοράς είναι και αυτό αδρανειακό σύστημα αναφοράς Συγκεκριμένα, αν κάποια χρονική στιγμή, η θέση ενός υλικού σημείου καταγράφεται σε ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς R ως εξής: ( ) x() t = x (), t x (), t x () t 1 και, την ίδια στιγμή, καταγράφεται σε ένα σύστημα αναφοράς R που κινείται ευθύγραμμα ομαλά ως προς το R ως εξής: τότε προκύπτει: ( ) x () t = x (), t x (), t x () t, 1 x () t = x () t + v t x ()= t x ()+ t v x ()= t x () t, i = 1,, i i i i i i i i

44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α : ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Συνεπώς, η θεμελιώδης εξίσωση της κίνησης έχει ίδια έκφραση σε όλα τα αδρανειακά συστήματα αναφοράς Δυο παρατηρητές που βρίσκονται σε αδρανειακά συστήματα αναφοράς και καταγράφουν μια συγκεκριμένη κίνηση, ο καθένας στο δικό του σύστημα αναφοράς, κάθε χρονική στιγμή, της αποδίδουν διαφορετική θέση και διαφορετική ταχύτητα αλλά ίδια επιτάχυνση και έτσι δηλώνουν ότι η κίνηση διέπεται από την ίδια θεμελιώδη εξίσωση Αν όμως κάποιος από αυτούς βρίσκεται σε μη αδρανειακό σύστημα αναφοράς τότε αντιλαμβάνεται και ερμηνεύει διαφορετικά την επιτάχυνση άρα την κίνηση και για το λόγο αυτό διαφωνεί για τη μορφή της συνάρτησης η οποία ορίζει τη θεμελιώδη εξίσωση που διέπει την κίνηση: d x = f( xx, ) Εντοπισμός της θέσης ενός σώματος από δυο παρατηρητές σε αντίστοιχα συστήματα αναφοράς Οι νόμοι της φύσης, από ότι τουλάχιστο γνωρίζουμε, είναι ίδιοι παντού στο χρόνο και στο χώρο Αυτές οι χρονικές και χωρικές συμμετρίες της φυσικής πραγματικότητας δηλώνονται μαθηματικά με τη χρονική ομογένεια, τη χωρική ομογένεια, τη χωρική ισοτροπία και την αδρανειακή κίνηση στο χώρο Πρόκειται για τους γαλιλαϊκούς μετασχηματισμούς οι οποίοι, όπως διαπιστώσαμε, αφήνουν αναλλοίωτη τη θεμελιώδη εξίσωση της κίνησης Η αναζήτηση συμμετριών στη γαλιλαϊκή δομή του χώρο-χρόνου και η πειραματική ανάδειξή τους αποτελεί βασικό μέλημά τόσο των μαθηματικών όσο και των φυσικών Όμως, τι ακριβώς σημαίνει συμμετρία στη φυσική πραγματικότητα; Ο χώρος ως μαθηματικό αντικείμενο και ο χώρος ως φυσική πραγματικότητα Να ένα δύσκολο πρόβλημα Η γένεση της έννοιας του χώρου στη σκέψη του ανθρώπου χάνεται στη νύχτα των χρόνων και η σημερινή μας αντίληψη γι'αυτόν αποτελεί εξέλιξη μιας κληρονομιάς των μακρι- Σε ένα σύστημα αναφοράς που εκτελεί πχ ευθύγραμμη επιταχυνόμενη κίνηση ως προς ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς, η μορφή της θεμελιώδους εξίσωσης αλλοιώνεται αφού ισχύει: x () t = x () t + v () t t x () t = x () t + v () t + v () t t x () t = x () t + v () t + v () t t, i = 1,, i i i i i i i i i i i

ΜΑΘΗΜΑ 5 ο : Η ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ Ο ΝΤΕΤΕΡΜΙΝΙΣΜΟΣ 45 νών προγόνων μας Στη φυσική τον προσεγγίζουμε συχνά διαμέσου μιας άλλης προσαρτημένης έννοιας, αυτή των συμμετριών Εμείς οι φυσικοί αποκαλούμε συμμετρία αυτό που αφήνει αναλλοίωτες τις εξισώσεις Ας πάρουμε τη θεμελιώδη εξίσωση της κίνησης Η εξίσωση αυτή έχει τις εξής ωραίες ιδιότητες: Πρώτα, ας φανταστώ ότι κάνω μια μετατόπιση του συστήματος αναφοράς, το μεταφέρω από μια θέση σε κάποια άλλη προσθέτοντας ένα σταθερό διάνυσμα Αυτό δεν θα αλλάξει σε τίποτα την εξίσωση, αφού σε αυτήν δεν υπεισέρχεται απευθείας η θέση αλλά μόνο οι παράγωγοι της ως προς το χρόνο Άρα έχω συμμετρία και αυτή είναι η μαθηματική της έκφραση Από φυσική άποψη σημαίνει ότι δεν υπάρχει κάποιο πείραμα που να μου πει ποια είναι η αρχή του συστήματος των συντεταγμένων Όλα τα σημεία του χώρου είναι ίδια και κανένα δεν μπορεί να ξεχωρίσει ώστε να θεωρηθεί ως απόλυτη αρχή Γι αυτό λέω ότι ο χώρος είναι ομογενής, όπου κι αν μετατοπιστώ ο χώρος είναι ίδιος Αλλά και ο χρόνος είναι ομογενής, γιατί τίποτα δεν αλλάζει στην εξίσωση αν κάνω μια μετατόπιση στο χρονικό άξονα από μια χρονική στιγμή σε μια άλλη προσθέτοντας ένα σταθερό αριθμό Το ίδιο ισχύει για τις στροφές στο χώρο Δεν υπάρχει κάποια προνομιακή διεύθυνση στο χώρο που να έχει κάτι διαφορετικό από τις άλλες Όλες οι διευθύνσεις είναι ίδιες και γι αυτό λέω ότι ο χώρος είναι ισότροπος Όμως, η θεμελιώδης εξίσωση της κίνησης είναι δεύτερης τάξης και αυτό σημαίνει ότι μπορώ να βάλω στους μετασχηματισμούς και έναν όρο πρώτης τάξης ως προς το χρόνο, γιατί στη δεύτερη παραγώγιση αυτός ο όρος θα φύγει Άρα, όχι μονάχα έχω αναλλοίωτο στις χρονικές και χωρικές μετατοπίσεις και στις χωρικές στροφές, αλλά και στην αλλαγή συντεταγμένων όταν το σύστημα αναφοράς εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση ως προς το αρχικό σύστημα αναφοράς Αυτό ονομάστηκε Αρχή της Σχετικότητας του Γαλιλαίου Τελικά, για μας τους φυσικούς, η συμμετρία είναι μια φυσική ιδιότητα, μια υπόθεση που κάνουμε ότι υπάρχει κάτι, κάποιο μέγεθος, από το οποίο δεν εξαρτώνται οι φυσικοί νόμοι και το οποίο δεν είναι μετρήσιμο, δεν μπορούμε να το μετρήσουμε Για μας τους φυσικούς, αυτά που υπάρχουν είναι μόνο αυτά που μπορούμε να μετρήσουμε Αυτός είναι ο ορισμός της ύπαρξης Αν κάτι δεν μπορούμε να το μετρήσουμε, για μας δεν υπάρχει Ποιες ιδιότητες του χώρου δεν μπορούμε να μετρήσουμε; Είναι προφανές ότι αν κάτι δεν μπορούμε να το μετρήσουμε τότε, όταν αλλάζουμε την τιμή του, οι εξισώσεις μας πρέπει να διατηρούνται αναλλοίωτες Αν κάποιο μέγεθος δεν μετριέται, δεν πρέπει να εμφανίζεται στις εξισώσεις Επομένως, αυτό θα το λέμε συμμετρία, αυτό που αφήνει τις εξισώσεις αναλλοίωτες Όλες αυτές οι συμμετρίες αναφέρονται σε μετασχηματισμούς του χώρου Πρόκειται για γεωμετρικούς μετασχηματισμούς, με την καθαυτού έννοια του όρου, που εύκολα γίνονται διαισθητικά αντιληπτοί Για να γίνουν όμως αντιληπτοί οι μετασχηματισμοί που δεν επηρεάζουν το σύστημα των συντεταγμένων του χώρου και του χρόνου, ενώ μεταβάλλεται η μεταβλητή της δυναμικής του προβλήματος, απαιτείται κάποια αφαιρετική σκέψη Γ Ηλιόπουλος: Η έννοια του χώρου στη Σύγχρονη Φυσική, Διάλογοι Φυσικής στην Εστία Επιστημών Πάτρας, Ιούλιος 011, wwwpscedugr

46 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α : ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΙΑ ΤΗ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΤΟΝ ΝΤΕΤΕΡΜΙΝΙΣΜΟ Ερωτήματα ενός μαθηματικού προς ένα φυσικό: Στην επόμενη εικόνα δίνονται σχηματικά οι τροχιές ενός σωματιδίου όπως καταγράφονται σε ένα αδρανειακό και ένα μη αδρανειακό σύστημα αναφοράς Πες μου, πώς θα αντιληφθώ το είδος της κίνησης του μη αδρανειακού συστήματος αναφοράς ως προς το αδρανειακό; Ερωτήματα ενός φυσικού προς ένα μαθηματικό: Στην εικόνα φαίνεται, σε σμίκρυνση 100 :1, η τροχιά που διέγραψε ένα σωματίδιο από το μεσημέρι μέχρι τα μεσάνυχτα μιας μέρας όπως έχει καταγραφεί σε κάποιο αδρανειακό σύστημα αναφοράς Μας πληροφορούν ότι σε όλη τη διάρκεια της κίνησης, μελλοντική και παρελθούσα, η τροχιά εξελίσσεται σε ένα επίπεδο, η γωνιακή ταχύτητα του σωματιδίου παραμένει σταθερή και η ακτινική του ταχύτητα είναι κάθε στιγμή ανάλογη προς την απόστασή του από ένα συγκεκριμένο άγνωστο σε μας σημείο του επιπέδου της κίνησης Πες μου, πώς θα προβλέψω τη μελλοντική πορεία της τροχιάς και θα μάθω το παρελθόν της και πώς θα διατυπώσω την εξίσωση της κίνησης που υποδεικνύεται από την αρχή του ντετερμινισμού του Νεύτωνα;