ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΧΩΡΙΣ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΥΣ Τα περισσότερα προβλήματα βελτιστοποίησης είναι με περιορισμούς, αλλά οι μέθοδοι επίλυσης χωρίς περιορισμούς έχουν γενικό ενδιαφέρον. Μέθοδοι που απαιτούν πληροφορία ης τάξεως: Μέγιστης Κλίσης (Cauchy) Fletcher Reeves Newto Marquardt Η ταχύτητα σύγκλισης των περισσότερων μεθόδων βελτιώνεται με κατάλληλη κλιμάκωση των μεταβλητών.. Μέγιστη Κλίση Steepest Descet.. X = q X + + q a S.. S = f.3. Εύρεση βέλτιστου a.4. Έλεγχος X q+ Xq a f ( Xq).5. Επανάληψη = για optmalty ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΣΥΓΚΛΙΣΗΣ ( q) ( q ) f Xq+ f X f X ε f x ε, =,,, q X + X ε q Εργαστήριο Στατικής & Αντισεισμικών Ερευνών Ε.Μ.Π. Βλ. Κουμούσης, Καθηγητής
ΕΦΑΡΜΟΓΗ m f x, x = x x + x + x x + x Ζητείται: 0 Αρχικό σημείο X 0 η επανάληψη f x + 4x + x f = + + x f x x Επομένως, f ( X) = και S = f ( X) = x 0 x = a X = X = + as + a ( 0 ) x x = a Η αντικειμενική συνάρτηση γίνεται: [ ] [ ] [ ], f a a = a a + a a + a = a a Για βέλτιστο a θέτουμε Άρα, X X a f ( X ) df a a da = = = 0 0 0 = = 0 0 Επομένως, f ( X ) το X όχι βέλτιστο 0 η επανάληψη S = f X = 3 3 x x = + a X3 = X ( 3) = + as + a ( 3 ) x x = + a Εργαστήριο Στατικής & Αντισεισμικών Ερευνών Ε.Μ.Π. Βλ. Κουμούσης, Καθηγητής
f + a,+ a = 5a a Η αντικειμενική συνάρτηση γίνεται: Για βέλτιστο a θέτουμε Άρα, X X a f ( X ) 3 df 0 0 0 a a da = = = 0. 8 = + = 5. 0. 0 Επομένως, f ( X3 ) το X 3 όχι βέλτιστο 0. 0 5 3 η επανάληψη 0. S3 = f ( X3) = 0. ( 4) X x = = X + a S 0.8 0. x = + a = 0.8 0.a 3 4 3 3 3 4 3 ( 4. 0. ) x x =. + 0.a3 Η αντικειμενική συνάρτηση γίνεται: Για βέλτιστο a θέτουμε Άρα, X X a f ( X ) 4 3 3 3 df ( 4) f 0.8 0. a,. + 0.a = 0.04a 0.08a.0 a3 a3 da = = = 0 0.08 0.08 0 0.8 0. 0.6 = =. 0..0 0.6 0 Επομένως, f ( X4 ) το όχι βέλτιστο 0. 0 X 4 3 3 3 3 Μετά από επιπλέον επαναλήψεις καταλήγουμε στο βέλτιστο.0 X.5 Εργαστήριο Στατικής & Αντισεισμικών Ερευνών Ε.Μ.Π. Βλ. Κουμούσης, Καθηγητής 3
ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΕΙΣ (CONJUGAE) Για κάθε συμμετρικό μητρώο [ A ] το σύνολο των διανυσμάτων { } διευθύνσεις όταν: S ορίζει Α-συζυγείς S AS = 0 για και =,,, Για [ A] [ I ] = οι διευθύνσεις είναι ορθογωνικές. Ισχύει: Για μια τετραγωνική συνάρτηση Q( X) = C + B X + X AX το ελάχιστο βρίσκεται σε λιγότερα από βήματα ακολουθώντας συζυγείς διευθύνσεις, ανεξάρτητα από το αρχικό σημείο. Αν X η βέλτιστη λύση, τότε: Q X = B+ AX = 0 () Για ένα αρχικό σημείο X και διευθύνσεις S, =,,, ισχύει: X X βs = = + () Που δηλώνει ότι τα διανύσματα S, =,,, χρησιμοποιούνται ως βάση. Αντικαθιστώντας στην () προκύπτει: B+ AX + A βs = 0 (3) = Εργαστήριο Στατικής & Αντισεισμικών Ερευνών Ε.Μ.Π. Βλ. Κουμούσης, Καθηγητής 4
Πολλαπλασιάζοντας με S λαμβάνουμε: S ( B+ AX) + S A βs = 0 (4) = Αναστρέφοντας την (4) λαμβάνουμε: β 0 B+ AX S + S AS = (5) Καθόσον S AS = 0 για Από την (5) προκύπτει: β ( + ) B AX S = (6) S AS Παράλληλα, αν ακολουθηθεί μια επαναληπτική διαδικασία ξεκινώντας από X και ακολουθώντας διαδοχικά τις συζυγείς διευθύνσεις S, =,,,, τότε προκύπτουν διαδοχικά τα διανύσματα: X = X + a S, =,,, + Όπου a ελαχιστοποιεί την Q( X + as, δηλαδή: ) S Q X + = (7) 0 Όπου: = + (8) Q X + B AX + { } Οπότε η (7) γράφεται: S B A( X as) + + = 0 (9) Οπότε: a ( + ) B AX S = S AS (0) Εργαστήριο Στατικής & Αντισεισμικών Ερευνών Ε.Μ.Π. Βλ. Κουμούσης, Καθηγητής 5
Οπότε: X X a = = + S () Ώστε: = + = = X AS X AS a S AS X AS () Οπότε η σχέση (0) γίνεται: a ( B AX ) S = + (3) S AS Η οποία ταυτίζεται με τη σχέση (6) που ορίζει το βέλτιστο διάνυσμα. Οπότε: β a ΕΦΑΡΜΟΓΗ m f x, x = 6x + x 6x x x x Ζητείται: Αν S να βρεθεί η συζυγής της S S x 6 x f ( X) = B X + X AX = [ ] + [ x x] x 6 4 x Το μητρώο Hess είναι: [ A] 6 = 6 4 συμμετρικό και θετικά ορισμένο Αν S s s θα πρέπει: 6 0 0 s S AS 0 [ 0 ] s = = = 6 4 0 [ ] ( ) ( ) 0= 0 s s s = 0 Άρα s αυθαίρετο, οπότε S 0 Εργαστήριο Στατικής & Αντισεισμικών Ερευνών Ε.Μ.Π. Βλ. Κουμούσης, Καθηγητής 6
ΜΕΘΟΔΟΣ FLECHER REEVES. Αρχική λύση X. S = f X - steepest descet 3. X = X + a S - βέλτιστη απόσταση, = a 4. f f ( X ) = και f S = f S + f 5. X = + X + a S 6. Έλεγχος σύγκλισης αν δεν έχουμε σύγκλιση τότε πηγαίνουμε στο βήμα 4 ΕΦΑΡΜΟΓΗ 3 m f x, x = x x + x + x x + x Ζητείται: 0 Ξεκινώντας με X 0 η επανάληψη f x + 4x + x f = + + x f x x Επομένως, f ( X) = και Για να βρεθεί η βέλτιστη απόσταση S = f ( X) = df f ( X+ as ) = f ( a, a) = a a, άρα Έτσι: 0 X = X+ as + = 0 a στη διεύθυνση S 0 a da = = Εργαστήριο Στατικής & Αντισεισμικών Ερευνών Ε.Μ.Π. Βλ. Κουμούσης, Καθηγητής 7
η επανάληψη: f ( X ) = ( X ) f S = f ( X) + S 0 f X S = + = f X =, f X = Για να βρεθεί το a ελαχιστοποιούμε: f X + a S = f, + a = 4a a, άρα 0 X3 = X + as + = 4. 5 df 0 a da = = 4 3 η επανάληψη: f ( X ) 0 = 0 optmalty OK, άρα X 3.5 βέλτιστο Εργαστήριο Στατικής & Αντισεισμικών Ερευνών Ε.Μ.Π. Βλ. Κουμούσης, Καθηγητής 8
ΜΕΘΟΔΟΣ NEWON Μια μη γραμμική συνάρτηση όρους ης τάξης: μεταβλητών μπορεί να αναπτυχθεί σε σειρά aylor μέχρι f X f X f X X X X X H X X = + ( ) + ( ) [ ]( ) f f f x x x x x f f f H = H X = x x x x x f f f x x x x x όπου X Για X βέλτιστο ισχύει: f ( X) 0 =, οπότε: f ( X) = f ( X ) + [ H ]( X X ) = 0 και άρα X [ ] X H + = f για [ ] det H 0 ΕΦΑΡΜΟΓΗ 4 Για μια δευτεροβάθμια συνάρτηση η βέλτιστη λύση προκύπτει σε ένα βήμα. f ( X) = X [ A] X + B X + C Το ελάχιστο ικανοποιεί την f ( X) = [ A] X + B= 0, οπότε [ ] Η επαναληπτική σχέση δίνει: X = A B [ ] [ ] ([ ] ) [ ] [ ] [ ] [ ] X = X A f = X A A X + B = X + A A X A B = A B Και άρα για X X X [ A] αρχική τιμή: = = B + Η μέθοδος απαιτεί δευτεροβάθμια πληροφορία δύσκολη και απαιτητική υπολογιστικά. Εργαστήριο Στατικής & Αντισεισμικών Ερευνών Ε.Μ.Π. Βλ. Κουμούσης, Καθηγητής 9
ΜΕΘΟΔΟΣ MARQUARD Η μέθοδος μέγιστης κλίσης είναι αποδοτική για X μακριά της βέλτιστης λύσης, ενώ η μέθοδος Newto πολύ αποτελεσματική κοντά στη βέλτιστη λύση. Η μέθοδος Marquardt επιχειρεί να συνδυάσει τα πλεονεκτήματα και των δύο μεθόδων. Τούτο επιτυγχάνεται τροποποιώντας το μητρώο Hess ως εξής: [ I ] H X = H X + a Όπου [ ] I το μοναδιαίο τετραγωνικό μητρώο και a > 0 Η αύξηση των διαγώνιων όρων του μητρώου Hess εξασφαλίζει το θετικά ορισμένο του τροποποιημένου μητρώου Hess. a > H ( X ) = H( X ) + a [ I] [ I] 4 Για 0 : a Εργαστήριο Στατικής & Αντισεισμικών Ερευνών Ε.Μ.Π. Βλ. Κουμούσης, Καθηγητής 0
ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΥΝΘΗΚΩΝ KUHN UCKER Για ένα μη γραμμικό πρόβλημα μεταβλητών X, =,,, ισχύει: g f λ = J x x, =,,, Όπου J είναι το σύνολο των ενεργών περιορισμών ανισότητας. Η παραπάνω σχέση γράφεται σε μητρωική μορφή: [ G]{ λ} = { F} p p Όπου [ ] g g g p x x x g g g p G = x x x g g g p x x x X p υπολογισμένα στο υπόψη σημείο X, { λ} λ λ λ p και { F} f x f x f x = X = Οι συντελεστές Lagrage προκύπτουν: { λ} G G G { F} p p p p p p Αν όλα τα λ > 0 τότε X - optmum Η δυσκολία είναι να προσδιοριστεί το σύνολο των ενεργών περιορισμών. Συνήθως: g x ε για 0 ε 0 6 Όλοι οι περιορισμοί πρέπει να είναι κανονικοποιημένοι. Εργαστήριο Στατικής & Αντισεισμικών Ερευνών Ε.Μ.Π. Βλ. Κουμούσης, Καθηγητής