min f(x) x R n (1) x g (2)
|
|
- Ἰουλία Γαλάνη
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 KΕΦΑΛΑΙΟ Κλασσικές Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Με Περιορισµούς Ισότητες. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΥΣ ΙΣΟΤΗΤΕΣ Ζητούνται οι τιµές των µεταβλητών απόφασης που ελαχιστοποιούν την αντικειµενική συνάρτηση κάτω από ένα σύνολο m-περιορισµών µε τη µορφή ισοτήτων min () R n κάτω από (),,, m Προκειµένου να αναζητηθεί λύση, απαιτείται m < n. Αλλοιώς, το πρόβληµα θα αφορούσε απλά την ύπαρξη ή όχι λύσης στο σύστηµα m εξισώσεων µε µικρότερο αριθµό αγνώστων n.. ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΓΙΑ ΤΟ ΠΡΟΣ ΙΟΡΙΣΜΟ ΤΟΥ ΑΚΡΟΤΑΤΟΥ.. Λύση µε άµεση αντικατάσταση Επιλύονται οι m εξισώσεις περιορισµοί εκφράζοντας m µεταβλητές σαν συναρτήσεις των υπολοίπων n-m µεταβλητών. Οι m µεταβλητές αντικαθίστανται στη συνάρτηση και προκύπτει µια νέα συνάρτηση µε µόνο n-m µεταβλητές που πρέπει να ελαχιστοποιηθεί χωρίς περιορισµούς, σύµφωνα µε τις µεθόδους που ήδη παρουσιάστηκαν στο Κεφάλαιο... Μεταβολή υπό περιορισµούς Για απλοποίηση της παρουσίασης, έστω n και m. Η αναζήτηση ακρότατου γίνεται στα στάσιµα σηµεία για τα οποία η αναγκαία συνθήκη είναι το ολικό διαφορικό της συνάρτησης να είναι µηδέν d d d () Στην περιοχή του ακρότατου (, ) ικανοποιείται επίσης ο περιορισµός (, ). Εξετάζουµε τα σύνολα επιτρεπτών µεταβολών (d, d ) που δεν παραβιάζουν τον περιορισµό και εποµένως ικανοποιούν τη σχέση d d d ()
2 Από τη () µε προκύπτει d dκαι αντικαθιστώντας στην () d d στο σηµείο (, ) (4), J, (5) Η γενική µορφή των συνθηκών () και (4) µπορεί να αποδειχθεί ότι είναι,, K, m J,,, όπου,,, m ανεξάρτητες µεταβλητές (6) K m,,, K, m J,,,, m, m,, n n-m εξισώσεις (7) K m Ο υπολογισµός των οριζουσών Jacobi τάξης m είναι από µόνος του πολύπλοκος. Επιπλέον, η ικανή συνθήκη για ακρότατο απαιτεί τον υπολογισµό των δευτέρων παραγώγων της συνάρτησης υπό τους περιορισµούς και µπορεί να γίνει υπολογιστικά απαγορευτική. Γι αυτό η µέθοδος των µεταβολών υπό περιορισµούς έχει εφαρµογή µόνο σε προβλήµατα µε λίγες µεταβλητές και περιορισµούς. Παράδειγµα. min () ½ ( 4 ) κάτω από () 5 4 () Επειδή n 4 και m χρειάζεται να επιλεγούν m ανεξάρτητες µεταβλητές, ώστε να ικανοποιούν τη συνθήκη J, ()
3 Έστω,,, J δεν ικανοποιείται η συνθήκη Έστω, 5,, J ικανοποιείται η συνθήκη Η δεύτερη αναγκαία συνθήκη είναι,,,, J, 4 εξισώσεις 5 (5-) (-6) (-) (5-) (5-8) (5-6) Εποµένως οι ικανές συνθήκες για ακρότατο της είναι: 4 / / Αντικαθιστώντας στους περιορισµούς προκύπτει () / ( 4 7/ ) () / 5( 4 7/ )
4 Η λύση είναι: -5/7 4 /7-5/74 55/74.. Πολλαπλασιαστές arane Συνεχίζοντας την ανάλυση της προηγουµένης ενότητας για n και m και εισάγοντας τη µεταβλητή λ στην εξίσωση (4) προκύπτει λ Εξάλλου από τον ορισµό του λ προκύπτει: λ Επίσης στο σηµείο ακρότατου (, ) ισχύει και ο περιορισµός (, ) Είναι προφανές ότι αυτές οι τρεις αναγκαίες συνθήκες µπορεί να βρεθούν µε παραγώγιση της συνάρτησης arane (,, λ) (, ) λ (, ) ως προς τις µεταβλητές,, και λ και αναζήτηση των στάσιµων σηµείων της, όπως στην περίπτωση βελτιστοποίησης χωρίς περιορισµούς. Ο συντελεστής λ ονοµάζεται πολλαπλασιαστής arane. Στην γενική περίπτωση (, λ) (,,, n ) min (, λ),λ i λ m R n λ R m i,,, n (8),,, m (9) λ (,,, n ) Οι σχέσεις (8) και (9) αποτελούν σύστηµα από n m εξισώσεις µε n m αγνώστους και λ. Ερµηνεία των πολλαπλασιαστών arane Έστω ότι οι περιορισµοί γράφονται στη µορφή () b m (, λ) () λ [ () b ],,, m
5 Θεωρώντας ότι το επίπεδο κάθε περιορισµού b µπορεί να µεταβληθεί, στην περιοχή του ακροτάτου ισχύει λ λ b b b δηλαδή ο πολλαπλασιαστής arane λ αντιπροσωπεύει την οριακή µεταβολή (βελτίωση ή γενικά αλλαγή) στη συνάρτηση που προκύπτει από τη διαφορική χαλάρωση του επιπέδου b του περιορισµού (σκιώδης τιµή). Παράδειγµα. Επίλυση του παραδείγµατος. µε πολλαπλασιαστές arane (, λ) ½ ( 4 ) λ ( 5 4 ) λ ( ) λ λ - λ - λ λ λ - λ - λ λ 5 λ - λ -5 λ 4 5 λ 6 λ 4-5 λ -6 λ 4 () -λ - λ - ( λ λ ) - ( λ 5 λ ) - 5(5 λ 6 λ ) - -9 λ - 5 λ - () -λ - λ - ( λ λ ) -5( λ 5 λ ) - 6(5 λ 6 λ ) λ - 66 λ λ λ /74-5/7 55/74 4 / Παράδειγµα. Σχεδιασµός ανοικτής δεξαµενής συγκράτησης φερτών µε δεδοµένα την παροχή Q και τον επιθυµητό χρόνο παραµονής Τ, ώστε να ελαχιστοποιείται το κόστος που είναι ανάλογο της ολικής επιφάνειας της δεξαµενής. Μέσα στη δεξαµενή και κάθετα στη ροή υπάρχει διαπερατό τοίχωµα. Έστω,, z οι διαστάσεις της δεξαµενής (η φορά της ροής είναι κατά το ). Ο όγκος της δεξαµενής δίδεται εµµέσως V Q z και το πρόβληµα είναι: min ( z z) κάτω από z V 5
6 z z λ ( z - V) z λ z z - λ V z λ z z - λ V λ z z - λ V z z V λ 6λV z -λv 6λ λv z -λv z z V λ λ λ V z -λv λv z λ / (9/ V) / (4/ V) / z (/6 V) / Παράδειγµα.4 Να βρεθεί η ακτίνα r και το ύψος h δεξαµενής νερού κλειστού κυλινδρικού σχήµατος µε δεδοµένο όγκο ώστε να έχει ελάχιστη επιφάνεια. min Α ( π r h π r ) κάτω από V π r h π r h π r λ (π r h - V) πh π r λ π r h πh 4 πr (-/r) π r h h r r π r λ π r π r ( λ r) λ -/r h π r h V π r r V r (V/π) / A 6 πr 6π (V/π) / λ. ΙΚΑΝΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΣΤΗ ΜΕΘΟ Ο ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΩΝ AGRAGE Χρειάζεται να ελεγχθεί η ικανή συνθήκη για το πρόβληµα βελτιστοποίησης χωρίς περιορισµούς, δηλαδή να ελεγχθεί το πρόσηµο του πίνακα Hessian της συνάρτησης arane. Παρατηρώντας ότι
7 λ i λ λ i i λ i i i ο πίνακας Hessian παίρνει τη µορφή n m n K m G n n nn n n mn i i i B H() G n i B n m m mm Ο παραπάνω πίνακας λέγεται συνοριακός πίνακας του Hess (Bordered Hessian atri). Σύµφωνα µε όσα ήδη αναπτύχθηκαν αν Η > υπάρχει τοπικό ελάχιστο, ενώ αν Η < υπάρχει τοπικό µέγιστο. Πρέπει να διευκρινιστεί ότι οι συνθήκες αυτές είναι ικανές για την ύπαρξη ακρότατου, αλλά όχι και αναγκαίες. Με άλλα λόγια ένα στάσιµο σηµείο µπορεί να είναι ακρότατο χωρίς να ικανοποιεί τις παραπάνω συνθήκες (δηλαδή να ισχύει Η > ή Η < ). Αποδεικνύεται ότι για να ελεγχθούν οι ικανές συνθήκες, αρκεί να ελεγχθούν οι ρίζες του n-m βαθµού πολυωνύµου i sinn B det ή B s n m m n - s nn n n n n mm - s n n K m m mn 7
8 και αν όλες οι n-m ρίζες s είναι θετικές τότε υπάρχει τοπικό ελάχιστο, ενώ αν είναι αρνητικές τότε υπάρχει τοπικό µέγιστο. Παράδειγµα.5 Να διερευνηθούν τα ακρότατα της (, ) κάτω από h(, ) 6. (, ) λ ( 6). λ, λ, 6 -λ 6 λ λ -, Η λύση αυτή πρέπει να ελεγχθεί µε τις ικανές συνθήκες ώστε να διαπιστωθεί αν είναι µέγιστο, ελάχιστο ή τίποτε. Ο συνοριακός πίνακας του Hess είναι H s det s -s (-) (-) (s) s s s s - < Εποµένως το κρίσιµο σηµείο (, ) είναι µέγιστο. Παράδειγµα.6 - Προσδιορισµός της κατεύθυνσης επικλινέστερης ανόδου Πρόταση: Η κλίση της συνάρτησης () αντιπροσωπεύει την κατεύθυνση επικλινέστερης ανόδου (δηλαδή την κατεύθυνση στην οποία η συνάρτηση µεταβάλλεται εντονότερα), ενώ η αρνητική κλίση της συνάρτησης δείχνει την κατεύθυνση επικλινέστερης καθόδου. Έστω το µοναδιαίο διάνυσµα στην κατεύθυνση s. Για ένα βήµα ds, έχουµε dr ds d d dr d r d ds d ds ds d d d d d d ds ds ds
9 9 Η παράγωγος ds d εκφράζει τη µεταβολή της συνάρτησης στην κατεύθυνση s. Εάν ds d > στη φορά του dr τότε είναι κατεύθυνση ανόδου, αλλοιώς καθόδου. Το πρόβληµα προσδιορισµού της κατεύθυνσης επικλινέστερης ανόδου παίρνει τη µορφή: ds d ma κάτω από (,, λ) ) - λ (- λ λ λ λ λ λ / λ Αλλά / και συνεπώς i i και δηλαδή η κατεύθυνση της µέγιστης µεταβολής της συνάρτησης είναι η κατεύθυνση της κλίσης της συνάρτησης. Ο ρυθµός µεταβολής υπολογίζεται ως s ma δηλαδή είναι ίσος µε το µέγεθος του διανύσµατος κλίσης της συνάρτησης.
10 Παρατήρηση Το πρόβληµα µπορεί να τεθεί ισοδύναµα ως εξής: ma z a b κάτω από (,, λ) a b λ (- - ) a a λ λ b b λ λ - - a λ a b a b / a b / ( a ) / b 4λ λ b ( ) ( ) a Επειδή z z [ a b ] / z b και z z Η αντικειµενική συνάρτηση είναι ευθεία και έχει µέγιστο στο σηµείο (-a, -b) και ελάχιστο στο (a, b). Απόδειξη µε έλεγχο της ικανής συνθήκης s - λ s a/λ s a/λ - λ b/λ s b/λ - (λ s) (-b /λ ) a/λ (λ s) a/λ (λ s) (b /λ a /λ ) (λ s) 4 s -λ οπότε επειδή s - (a b ) / < το σηµείο αντιστοιχεί σε τοπικό µέγιστο. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΑΣΚΗΣΗ. Ο Οργανισµός Αστικών Λεωφορείων έχει προσδιορίσει ότι το µέσο κόστος για την εξυπηρέτηση των επιβατών σε ένα σύστηµα δύο γραµµών είναι. ανά επιβάτη. Η επιχείρηση αναζητεί µια µέθοδο για να καθιερώσει τις τιµές εισιτηρίων, λαµβάνοντας υπόψη το µήκος της διαδροµής του επιβάτη και τον αριθµό των επιβατών σε κάθε γραµµή. ηλαδή, οι επιβάτες της γραµµής µε τον µεγαλύτερο αριθµό επιβατών ενδέχεται να πληρώνουν µικρότερο εισιτήριο απ ότι οι επιβάτες της γραµµής µε τη µικρότερη ζήτηση. Παρόµοια, οι επιβάτες της γραµµής µε το µεγαλύτερο µήκος ενδέχεται να πληρώνουν µεγαλύτερο εισιτήριο απ ότι οι επιβάτες της γραµµής µε το µικρότερο µήκος.
11 Αραιοκατοικηµένη Περιοχή Πυκνοκατοικηµένη Περιοχή Εµπορικό Κέντρο ιαδροµή i Μέσο µήκος διαδροµής i Μέσος αριθµός επιβατών n i 6 5,4 Ένα δίκαιο σύστηµα θεωρείται ότι ελαχιστοποιεί τις αποκλίσεις του κόστους της διαδροµής ανάµεσα σε όλους τους επιβάτες. Σαν µέτρο αποτελεσµατικότητας λαµβάνεται η σταθµισµένη εξίσωση διασποράς V n ( r r) i i i όπου V είναι η διασπορά του κόστους της διαδροµής, r i είναι το έσοδο από το εισιτήριο που πληρώνει κάθε επιβάτης της γραµµής i και r είναι το µέσο έσοδο από το εισιτήριο που πληρώνουν οι επιβάτες, ή r n i r i i, και Ν είναι ο συνολικός αριθµός επιβατών. (α) ιαµορφώστε το µαθηµατικό υπόδειγµα για να προσδιορίσετε τις τιµές εισιτηρίων, ώστε οι επιβάτες να επιµερίζονται δίκαια το κόστος µε βάση το µήκος της διαδροµής και τη ζήτηση. (β) Προσδιορίστε τη βέλτιστη λύση µε τη µέθοδο των πολλαπλασιαστών arane. Επίλυση Έστω p και p οι τιµές εισιτηρίων που θα πληρώνουν οι επιβάτες των γραµµών και αντίστοιχα, ανά µονάδα µήκους - επιβάτη. Εποµένως r i p i i o µέτρο αποτελεσµατικότητας γράφεται V n / (r - r) n / (r - r) 6/ (p.) 4/ (5p.) Υποθέτουµε ότι η επιχείρηση δεν έχει κέρδη, δηλαδή τα έσοδα από τα εισιτήρια καλύπτουν το κόστος, ή p n p n r p 6 p p p.4 Το µαθηµατικό υπόδειγµα είναι
12 min V 6/ (p.) 4/ (5p.) κάτω από 6 p p.4 p, p (β) (p, p, λ) 6/ (p.) 4/ (5p.) λ (.4-6 p - p ).6( p p.4(5 p p.4-6 λ λ.) 6λ p.) 5 λ p. λ. λ 5. λ. λ p p.7.6 λ.68.4 λ.4 οπότε p. και p.8 ανά µονάδα µήκους επιβάτη. Έλεγχος του πίνακα Hess αποδεικνύει ότι είναι θετικά ορισµένος, άρα τοπικό ελάχιστο και κυρτή συνάρτηση. Από την πρόταση έπεται ότι είναι απόλυτο ελάχιστο.. (Σηµειώσεις ΚΠΑ) Εξετάστε τα ακρότατα του προβλήµατος µε τη µέθοδο των πολλαπλασιαστών arane. Να ελέγξετε και τη σχετική ικανή συνθήκη. in () () () 5 5 (, λ) ( ) - λ ( ) - λ (5 5) - λ - 5 λ.5 λ.5 λ - λ - λ.5 λ λ - λ - λ.5 λ.5 λ () (.5 λ.5 λ ) (.5 λ λ ) (.5 λ.5 λ ) 5.5 λ 5 λ () 5 (.5λ.5λ ) (.5 λ λ ) (.5λ.5λ ) 5 5 λ 5 λ 5 λ /.5.87 λ
13 H B 5 5 H B > 4 (( 9) ( )) (Σηµειώσεις ΚΠΑ) Εξετάστε τα ακρότατα του προβλήµατος µε τη µέθοδο των πολλαπλασιαστών arane. Να ελέγξετε και τη σχετική ικανή συνθήκη. in () () Το όριο ενός οικισµού µπορεί να προσεγγιστεί µε την εξίσωση µιας έλλειψης: /α /β. Η πυκνότητα πληθυσµού του οικισµού δίδεται από τη σχέση: (,) A. Προσδιορίστε τις τοποθεσίες και τις τιµές της µέγιστης πυκνότητας πληθυσµού..5 (Bertseas) - Βέλτιστος Έλεγχος σε ιακριτό Χρόνο Θεωρείστε τη διαχείριση του ισοζυγίου νερού ενός µεµονωµένου ταµιευτήρα. Έστω στάθµη του νερού στον ταµιευτήρα τη χρονική στιγµή (µεταβλητή κατάστασης), η στάθµη τη χρονική στιγµή είναι γνωστή r εισροή νερού στον ταµιευτήρα τη χρονική στιγµή, (µεταβλητή εισόδου), γνωστή για, Ν εκροή από τον ταµιευτήρα τη χρονική στιγµή (µεταβλητή απόφασης), ζητούµενο για, Ν ( ) κόστος απόφασης για εκροή τη στιγµή - Συνολικό Κόστος Πολιτικής Περιορισµός (ισοζύγιο µάζας ταµιευτήρα): - - r ( ), Ν- και γνωστό
14 Έστω και - - Σηµείωση: κάθε είναι συνάρτηση της πολιτικής ή r... r - Φ () Μια τεχνική που µπορεί να χρησιµοποιείται για να απαλείφονται οι περιορισµοί συνίσταται στη χρησιµοποίηση συναρτήσεων ποινής, δηλαδή στην εισαγωγή µιας συνιστώσας κόστους (συνήθως τετραγωνικής µορφής) όταν η στάθµη αποµακρύνεται από την επιθυµητή τιµή για κάθε χρονική στιγµή (επιθυµητή τροχιά). Για την ειδική περίπτωση όπου ενδιαφέρει µόνο η τελική απόκλιση από την επιθυµητή τιµή, το κόστος γράφεται - Κόστος Πολιτικής ( ) ( ) Κ όπου είναι η γνωστή επιθυµητή τελική στάθµη ηλαδή η πολιτική µε µικρότερο κόστος πρέπει να έχει τελική τιµή στάθµης ούτε πολύ ψηλά ούτε πολύ χαµηλά σε σχέση µε την επιθυµητή τελική τιµή. Προκύπτει άµεσα ότι το κόστος παίρνει τη µορφή Κόστος Πολιτικής J( ) Κ ( Φ () ) Ζητείται να βρεθεί η πολιτική που ελαχιστοποιεί το κόστος: min J() Γενικότερα το κόστος µπορεί να έχει τη µορφή J( ) G - ( Φ ()) ( ) - ( ) Επίλυση Αναγκαίες συνθήκες για ακρότατο σηµείο: J J G Αλλά Ν Φ Ν () - - r
15 Οπότε οι αναγκαίες συνθήκες γράφονται G δηλαδή το οριακό κέρδος από κάθε απόφαση πρέπει να είναι ίσο µε το οριακό κέρδος από τη µεταβολή της τελικής κατάστασης. 5 Γενίκευση για πολλούς ταµιευτήρες σε σειρά - - r - - r n m Έστω R το διάνυσµα κατάστασης και R το n m διάνυσµα απόφασης τη χρονική στιγµή για m ταµιευτήρες. Το σύστηµα εξισώσεων ισοζυγίου µάζας γράφεται (, ), ώστε n m n : R R Με γνωστά το και το υπολογιστεί. Κόστος, το Φ() µπορεί να ( Φ ()) ( Φ (), ) J( ) G ( ) (, ) G κόστος τελική ς κόστος ενδιάµεσης κατάστασης κατάστασης Για το µη γραµµικό σύστηµα (, ) µε συνάρτηση κόστους (, ) - συνάρτηση µόνο των αποφάσεων
16 µπορεί να αποδειχθεί ότι µε,,n,, [,,] : (m,n),,n,m,m J() p (m,) (m,n) (n,) (m,) όπου το p ικανοποιεί τη συζυγή (adoint) εξίσωση p p -,..., µε p (n,) (n,n) (n,) (n,) (n,) (n,).5 (Bertseas) - Γραµµικός/Τετραγωνικός Βέλτιστος Έλεγχος Θεωρείστε τη γενική περίπτωση του προβλήµατος.4 µε γραµµική δυναµική εξίσωση συστήµατος και τετραγωνικό κριτήριο κόστους (για απλοποίηση συµβολισµού η υπογράµµιση των διανυσµάτων παραλείπεται). A B γνωστό, R n R m - J Q ( Q R ) Q, R > (n,n) (m,m) Πρόταση: Το πρόβληµα έχει ένα µοναδικό απόλυτο ελάχιστο Με γνωστό το : A τ A -τ Β γραµµική ως προς Ώστε η συνάρτηση κόστους J() είναι τετραγωνική συνάρτηση του και µπορεί να πάρει τη µορφή J() [ ][ m m] - - b -
17 Το πρόβληµα ανάγεται, εποµένως, σε πρόβληµα ελαχιστοποίησης χωρίς περιορισµούς της { Q ~ J() b } και έχει ένα µοναδικό απόλυτο ελάχιστο αν Q ~ > Καθώς, J() > αυτή η συνθήκη ισχύει από τον ορισµό του θετικά ορισµένου πίνακα Q ~ - b Έστω και Αναγκαία συνθήκη για ελάχιστο J( ) Καθώς A B B Συζυγής εξίσωση: Εξίσωση συστήµατος: Q R R - B p R R B p p Q p A p Q -,..., - A BR B p γνωστό p και. Οι παραπάνω n εξισώσεις έχουν n αγνώστους Πρόταση: p K όπουκ είναι πίνακας, (n, n) Απόδειξη: Για Για - ( I Ν - R Ν- p Q K Q ανεξάρτητος από το ισχύει - - R B Κ R B Κ (A B ) - B Κ Ν (I R Ν B) - (R B Ν- B Ν- Κ Κ Ν R Ν B) B) - - B - R Κ B - B Ν Κ Ν Ν Κ A A Ν Ν- - Ν- A Ν- (καθώς R > και K, υπάρχει ο αντίστροφος του πίνακα) Τώρα A B - - -
18 - ( A - B (R B Κ B) B Κ A) Ν Ν Ν- Q Ν- πολλαπλασιάζοντας µε Α Τ Κ Ν και προσθέτοντας A K Q για να λάβουµε το - [ A ( K ) ] - K B (R B ΚΝB) B ΚΝ A Q Ν p - K - p - K - - ισχύει. Παρόµοια: p K 4 p Ν- Εξίσωση Ricatti K Q K A [K - K B(R B K B) - B K ] A Q -, Επίλυση της Εξίσωσης Ricatti προς τα πίσω δίνει τους πίνακες Κ (εξαρχής) Υπολογισµός της βέλτιστης τροχιάς του συστήµατος και των µεταβλητών ελέγχου - (R B Κ B) B Κ A,,..., - () δοµή του προβλήµατος: γραµµικοί περιορισµοί και τετραγωνική συνάρτηση κόστους () η βέλτιστη µεταβλητή ελέγχου είναι γραµµική συνάρτηση της µεταβλητής κατάστασης σε κάθε χρονική στιγµή µπορεί να αποδειχθεί ότι το βέλτιστο κόστος είναι τετραγωνική συνάρτηση της µεταβλητής κατάστασης σε κάθε χρονική στιγµή ή το κόστος για εκκίνηση από το τη στιγµή είναι J ( K ). εδοµένου ότι τα κόστη είναι K () έπεται ότι min J() ( K ) (4) η πολυπλοκότητα επίλυσης της εξίσωσης Ricatti είναι (Ν) ενώ n, m <<..6 Μια βιοµηχανία κατασκευάζει ένα αγαθό χρησιµοποιώντας δύο πρώτες ύλες, Χ και Υ. Η ποσότητα του αγαθού που παράγεται από µονάδες της X και της Y δίδεται από τη συνάρτηση Q(, ) /4 /4. Εάν η βιοµηχανία δαπανά 8 κάθε βδοµάδα για πρώτες ύλες, ποια είναι µια πιθανή τιµή για τη µέγιστη δυνατή εβδοµαδιαία παραγωγή, δεδοµένου ότι µια µονάδα της X κοστίζει 6 και µια µονάδα της Y κοστίζει ;
19 .7 Στη µέθοδο της γραµµικής παλινδρόµησης αναζητείται µια γραµµική σχέση ανάµεσα στην εξαρτηµένη µεταβλητή û i και την ανεξάρτητη µεταβλητή i µε τη µορφή û i i a i,, () όπου και a είναι σταθερές που πρέπει να προσδιοριστούν. Έχοντας παρατηρήσει Ν ζεύγη { i, i } µε i,,, το συνολικό τετραγωνικό σφάλµα, Ε, που γίνεται όταν χρησιµοποιείται η () γράφεται: Ε i ( i - û i ) α) Θέτοντας σαν κριτήριο την ελαχιστοποίηση του σφάλµατος E, γράψτε την αναγκαία συνθήκη για ελάχιστο και υπολογίστε τις σταθερές και a. β) Ελέγξτε την ικανή συνθήκη για την περίπτωση i..8 Εξετάστε τα ακρότατα του προβλήµατος µε τη µέθοδο των πολλαπλασιαστών arane. Να ελέγξετε και τη σχετική ικανή συνθήκη. min () z () z - 5 () () z - () (, λ) ( z ) - λ ( z - 5) - λ ( z -) λ λ λ λ z λ λ z z ()-(): 4 z - z -/ λ -5/, λ 7/ Ο συνοριακός πίνακας Hess είναι Η και έχει µία ιδιοτιµή s >. 9
min f(x) x R n b j - g j (x) = s j - b j = 0 g j (x) + s j = 0 - b j ) min L(x, s, λ) x R n λ, s R m L x i = 1, 2,, n (1) m L(x, s, λ) = f(x) +
KΕΦΑΛΑΙΟ 4 Κλασσικές Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Με Περιορισµούς Ανισότητες 4. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΥΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ Ζητούνται οι τιµές των µεταβλητών απόφασης που ελαχιστοποιούν την αντικειµενική συνάρτηση
Διαβάστε περισσότερα1. ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ
. ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Μέγιστα και Ελάχιστα Συναρτήσεων Χωρίς Περιορισμούς Συναρτήσεις μιας Μεταβλητής Εστω f ( x) είναι συνάρτηση μιας μόνο μεταβλητής. Εστω επίσης ότι x είναι ένα σημείο στο πεδίο ορισμού
Διαβάστε περισσότεραή J (u * ) = 0 (2) J(u) = u 3 στο σηµείο u * = 0 J (1) = 3 u 2 = 0 J (2) = 6 u = 0 J (3) = 6 > 0
KΕΦΑΛΑΙΟ Κλασσικές Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Χωρίς Περιορισµούς. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Το γενικό πρόβληµα βελτιστοποίησης διατυπώνεται ως εξής: Ζητούνται οι τιµές των µεταβλητών απόφασης u που ελαχιστοποιούν την αντικειµενική
Διαβάστε περισσότερα(S k R n ) (C k R m )
KΕΦΑΛΑΙΟ 7 υναµικός Προγραµµατισµός 7.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η θεωρία αποφάσεων διακρίνεται σε δύο µεγάλες κατηγορίες, µε βάση το αν ο υπεύθυνος απόφασης είναι µοναδικός φορέας ή πολλοί φορείς. Μέχρι τώρα αναπτύχθηκαν
Διαβάστε περισσότεραII.6 ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΚΕΣ. 1. Γραφήματα-Επιφάνειες: z= 2. Γραμμική προσέγγιση-εφαπτόμενο επίπεδο. 3. Ισοσταθμικές: f(x, y) = c
II.6 ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΚΕΣ.Γραφήματα-Επιφάνειες.Γραμμική προσέγγιση-εφαπτόμενο επίπεδο 3.Ισοσταθμικές 4.Κλίση ισοσταθμικών 5.Διανυσματική ή Ιακωβιανή παράγωγος 6.Ιδιότητες των ισοσταθμικών 7.κυρτότητα των ισοσταθμικών
Διαβάστε περισσότεραx k+1 = x k + α k (x k ) ώστε f(x k+1 ) < f(x k ),
KΕΦΑΛΑΙΟ 5 Υπολογιστικές Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Χωρίς Περιορισµούς 5.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ζητούνται οι τιµές των µεταβλητών απόφασης που ελαχιστοποιούν την αντικειµενική συνάρτηση min f(x) x R n x Στα περισσότερα
Διαβάστε περισσότεραIII.9 ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΕ ΠΕΡΙΟΧΗ
III.9 ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΕ ΠΕΡΙΟΧΗ.Ολικά και τοπικά ακρότατα..εσωτερικά και συνοριακά ακρότατα 3.Χωριζόμενες μεταβλητές 4.Συνθήκες για ακρότατα 5.Ολικά ακρότατα κυρτών/κοίλων συναρτήσεων 6.Περισσότερες μεταβλητές.
Διαβάστε περισσότεραΜέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης
Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης με παραγώγους Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης Δ. Γ. Παπαγεωργίου Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων dpapageo@cc.uoi.gr http://pc64.materials.uoi.gr/dpapageo
Διαβάστε περισσότεραΑΡΙΣΤΕΣ ΤΙΜΕΣ ΚΑΙ ΑΚΡΟΤΑΤΕΣ ΤΙΜΕΣ
ΑΡΙΣΤΕΣ ΤΙΜΕΣ ΚΑΙ ΑΚΡΟΤΑΤΕΣ ΤΙΜΕΣ Κοινό κριτήριο επιλογής µεταξύ εναλλακτικών τρόπων παραγωγής είναι η µεγιστοποίηση (κέρδος ήηελαχιστοποίηση (κόστος κάποιου µεγέθους. Αυτά τα προβλήµατα µεγιστοποίησης
Διαβάστε περισσότερα5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ
48 49 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΟΡΙΣΜΟΣ: Κάθε συνάρτηση : A B με Α R n και Β R ονομάζεται πραγματική συνάρτηση n μεταβλητών ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ: Ι Αν Α R n και Β R n τότε έχουμε διανυσματική συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ
ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Α. Ντούνης ΔΙΔΑΣΚΩΝ ΑΚΑΔ. ΥΠΟΤΡΟΦΟΣ Χ. Τσιρώνης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ - Επαναληπτικές ασκήσεις - Μέθοδος Lagrange - Γενικές συνθήκες (EC) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Θα
Διαβάστε περισσότερα3 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΕΝΟΣ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ
ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗN ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΕΝΟΣ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ Μ. Καρλαύτης Ν. Λαγαρός Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Διαβάστε περισσότερα1. Τετραγωνικές μορφές. x y 0. 0x y 0 1α 1β 2α 2β 3. 0x + y 0
Β4. ΕΣΣΙΑΝΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ 1.Τετραγωνικές μορφές.χαρακτηρισμός συμμετρικών πινάκων 3.Δεύτερες μερικές παράγωγοι-εσσιανός πίνακας 4.Συνθήκες για ακρότατα 5.Κυρτές/κοίλες συναρτήσεις 6.Ολικά ακρότατα
Διαβάστε περισσότερα1. Ολικά και τοπικά ακρότατα. 2. Εσωτερικά και συνοριακά ακρότατα
Β3. ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΕΣ LAGRANGE.Ολικά και τοπικά ακρότατα.εσωτερικά και συνοριακά ακρότατα 3. Χωριζόμενες μεταβλητές 4.Ισοτικός περιορισμός 5.Περιορισμένη στασιμότητα 6.Πολλαπλασιαστής Lagrange 7.Συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραIII.10 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΕΣ LAGRANGE
III.10 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΕΣ LAGRANGE 1.Ισοτικός περιορισμός.περιορισμένη στασιμότητα 3.Πολλαπλασιαστής Lagrange 4.Συνάρτηση Lagrange 5.Ερμηνεία του πολλαπλασιαστή Lagrange 6.Περιορισμένη τετραγωνική μορφή 7.
Διαβάστε περισσότεραIII.10 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΕΣ LAGRANGE
III.10 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΕΣ LAGRANGE 1.Ισοτικός περιορισμός.περιορισμένη στασιμότητα 3.Πολλαπλασιαστής Lagrange 4.Συνάρτηση Lagrange 5.Ερμηνεία του πολλαπλασιαστή Lagrange 6.Περιορισμένη τετραγωνική μορφή 7.
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ I 22 Διάρκεια εξέτασης: 2 ώρες και 15' 1 (4 μονάδες)
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ I Διάρκεια εξέτασης: ώρες και 15' 1 (4 μονάδες) f() α) Να βρεθούν γραφικά τα σημεία ισοελαστικότητας, αν υπάρχουν, της συνάρτησης f() που έχει το γράφημα του παραπλεύρως
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX, διαλ. 3. Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 29/4/2017
ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX, διαλ. 3 Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 29/4/2017 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Bέλτιστος σχεδιασμός με αντικειμενική συνάρτηση και περιορισμούς
Διαβάστε περισσότεραΑκρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange
64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2. Τα μαθηματικά της αριστοποίησης ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ. Τιμή μιας παραγώγου σ ένα σημείο. Παράγωγοι
Κεφάλαιο ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Τα μαθηματικά της αριστοποίησης Πολλές οικονομικές θεωρίες ξεκινούν με την υπόθεση ότι ένα άτομο ή επιχείρηση επιδιώκουν να βρουν την άριστη τιμή μιας συνάρτησης
Διαβάστε περισσότεραΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX
ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX Θεμελιώδης αλγόριθμος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού που κάνει χρήση της θεωρίας της Γραμμικής Άλγεβρας Προτάθηκε από το Dantzig (1947) και πλέον
Διαβάστε περισσότεραΓραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Πρότυπη Μορφή ΓΠ 2. Πινακοποίηση
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 12., στο ίδιο σύστημα
Μέρος Α ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 1. (4 μονάδες) α). Η συνάρτηση () έχει το παραπλεύρως γράφημα. () Να βρεθούν τα γραφήματα της μέσης τιμής: A() = () / και του οριακού ρυθμού: M() = (), στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων.
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ
ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Α. Ντούνης ΔΙΔΑΣΚΩΝ Χ. Τσιρώνης ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΤΑΡΤΟ - Εφικτός χώρος λύσεων - Συνάρτηση Lagrange - Γενικές συνθήκες ECM ΣΥΝΘΗΚΕΣ CONSTRAINED Ιδιαιτερότητες των προβλημάτων
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι 22Νοεμβρίου 2015 ΑΥΞΟΥΣΕΣ ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Αν μια συνάρτηση f ορίζεται σε ένα διάστημα
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήμιο Ιωαννίνων ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΤΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Διδάσκων:
Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΤΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Διδάσκων: Φάμπιο Αντωνίου Στοιχεία Επικοινωνίας: email: fantoniou@cc.uoi.gr Τηλ:651005954 Προσωπική Ιστοσελίδα: fantoniou.wordpress.com Γραφείο: Κτίριο
Διαβάστε περισσότεραm 1 min f = x ij 0 (8.4) b j (8.5) a i = 1
KΕΦΑΛΑΙΟ 8 Προβλήµατα Μεταφοράς και Ανάθεσης 8. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Μια ειδική κατηγορία προβληµάτων γραµµικού προγραµµατισµού είναι τα προβλήµατα µεταφοράς (Π.Μ.), στα οποία επιζητείται η ελαχιστοποίηση του κόστους
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι 4 ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ 2016 ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ι Κεντρική έννοια το μέτρο ή ρυθμός μεταβολής:
Διαβάστε περισσότεραΠοσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος
Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΜηχανική ΙI Ροή στο χώρο των φάσεων, θεώρηµα Liouville
Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 16/5/2000 Μηχανική ΙI Ροή στο χώρο των φάσεων, θεώρηµα Liouville Στη Χαµιλτονιανή θεώρηση η κατάσταση του συστήµατος προσδιορίζεται κάθε στιγµή από ένα και µόνο σηµείο
Διαβάστε περισσότερα(f,g) f(x,y,v, w) = xy v= 0 x (v,y) = = = = = 3. g(x,y,v,w) = x+ 2y w= 0. (x,y) g g 1 2. Λύση 2. Με πλεγμένη παραγώγιση ως προς v, με σταθερό w :
ΤΕΣΤ Β.λύσεις ΟΜΑΔΑ Ι Οι εξισώσεις: {=, + = w} ορίζουν πλεγμένα τα {,} ως συναρτήσεις των {,w}. Να βρεθεί η μερική παράγωγος του ως προς. Λύση. Με τους τύπους πλεγμένης παραγώγισης: (,g) (,,, w) = = (,)
Διαβάστε περισσότεραΕπίλυση Συστήματος Γραμμικών Διαφορικών Εξισώσεων
Επίλυση Συστήματος Γραμμικών Διαφορικών Εξισώσεων. Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Ανυσμάτων Θεωρούμε χώρο δύο διαστάσεων και συμβατικά ένα ορθογώνιο σύστημα αξόνων για την περιγραφή κάθε ανύσματος του χώρου
Διαβάστε περισσότεραΠαράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους
Παράδειγμα 1 Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με _ + Σχήμα 1 στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Α) Γράψτε το σύστημα ευθέως κλάδου σε κανονική παρατηρήσιμη μορφή στο χώρο
Διαβάστε περισσότεραΤΕΣΤ Β2.λύσεις ΟΜΑΔΑ Ι
Η εξίσωση ΤΕΣΤ Β.λύσεις ΟΜΑΔΑ Ι αβ+ α = ορίζει πλεγμένα το ως συνάρτηση των {α,β}. Να βρεθούν η παράγωγος και η ελαστικότητα του ως προς β, στις τιμές: {α=,β =, = }. Λύση. Ο τύπος πλεγμένης παραγώγισης
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγικές έννοιες. Κατηγορίες προβλημάτων (σε μια διάσταση) Προβλήματα εύρεσης μεγίστου. Συμβολισμοί
Κατηγορίες προβλημάτων (σε μια διάσταση) Εισαγωγικές έννοιες Δ. Γ. Παπαγεωργίου Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων dpapageo@cc.uoi.gr http://pc164.materials.uoi.gr/dpapageo Το πρόβλημα
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ I ιαγώνισµα 24 ιάρκεια εξέτασης: 2 ώρες Θεωρία. 2 (4 µονάδες)
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ I ιαγώνισµα 4 ιάρκεια εξέτασης: ώρες Θεωρία (4 µονάδες) (α) Μια συνάρτηση f() έχει την παράγωγο του f () γραφήµατος παραπλεύρως. Να βρεθεί η µέγιστη τιµή της για, υποθέτοντας
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Δυαδικότητας ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου. Επιχειρησιακή Έρευνα
Θεωρία Δυαδικότητας Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Βασικά Θεωρήματα 2. Παραδείγματα 3. Οικονομική Ερμηνεία
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι 11 ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ 2016 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οικονομικές Συναρτήσεις με μεταβλητούς ρυθμούς
Διαβάστε περισσότεραΠροσαρµοστικοί Αλγόριθµοι Υλοποίησης Βέλτιστων Ψηφιακών Φίλτρων: Ο αναδροµικός αλγόριθµος ελάχιστων τετραγώνων (RLS Recursive Least Squares)
ΒΕΣ 6 Προσαρµοστικά Συστήµατα στις Τηλεπικοινωνίες Προσαρµοστικοί Αλγόριθµοι Υλοποίησης Βέλτιστων Ψηφιακών Φίλτρων: Ο αναδροµικός αλγόριθµος ελάχιστων τετραγώνων RLS Rcrsiv Last Sqars 27 iclas sapatslis
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ
ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Ελαχιστοποίηση κόστους διατροφής Ηεπιχείρηση ζωοτροφών ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ εξασφάλισε µια ειδική παραγγελίααπό έναν πελάτη της για την παρασκευή 1.000 κιλών ζωοτροφής, η οποία θα πρέπει
Διαβάστε περισσότεραΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΚΩΣΤΑΣ ΒΕΛΕΝΤΖΑΣ Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ. Μερικές έννοιες Η συνάρτηση παραγωγής (, ), όπου είναι το συνολικό προϊόν και και οι συντελεστές
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Η διαδικασία, µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο
Διαβάστε περισσότεραΚεφ. 3: Παρεμβολή. 3.1 Εισαγωγή. 3.2 Πολυωνυμική παρεμβολή Παρεμβολή Lagrange Παρεμβολή Newton. 3.3 Παρεμβολή με κυβικές splines
Κεφ. 3: Παρεμβολή 3. Εισαγωγή 3. Πολυωνυμική παρεμβολή 3.. Παρεμβολή Lagrage 3.. Παρεμβολή Newto 3.3 Παρεμβολή με κυβικές splies 3.4 Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων 3.5 Παρεμβολή με ορθογώνια πολυώνυμα 3.
Διαβάστε περισσότερα3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex
3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex Παράδειγμα 1ο (Παράδειγμα 1ο - Κεφάλαιο 2ο - σελ. 10): Το πρόβλημα εκφράζεται από το μαθηματικό μοντέλο: max z = 600x T + 250x K + 750x Γ + 450x B 5x T + x K + 9x Γ + 12x
Διαβάστε περισσότερα2.0. , κ R, η γραφική παράσταση της οποίας διέρχεται από το σημείο Ρ=(1,1). Να βρεθεί η τιμή του αριθμού κ.
Άσκηση. α Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία (,y, Α=(, και Β=(0, β Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο B(0, και έχει κλίση -0.. Να βρεθούν τα σημεία που
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία. έχει το γράφηµα του παραπλεύρως σχήµατος.
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ I ιαγώνισµα 6 ιάρκεια εξέτασης: ώρες Θεωρία. (4 µονάδες) α) Να γίνει το γράφηµα µιας συνεχούς συνάρτησης f() της οποίας η παράγωγος f () έχει το γράφηµα του παραπλεύρως
Διαβάστε περισσότεραa n = 3 n a n+1 = 3 a n, a 0 = 1
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
Διαβάστε περισσότεραKεφάλαιο 4. Συστήματα διαφορικών εξισώσεων. F : : F = F r, όπου r xy
4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήματα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσματικό πεδίο F : : F = Fr, όπου r x, και είναι η ταχύτητα στο σημείο πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουμε τις τροχιές κίνησης των
Διαβάστε περισσότεραΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ
1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..
Διαβάστε περισσότεραQ 12. c 3 Q 23. h 12 + h 23 + h 31 = 0 (6)
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Τοµέας Υδατικών Πόρων Μάθηµα: Τυπικά Υδραυλικά Έργα Μέρος 2: ίκτυα διανοµής Άσκηση E0: Μαθηµατική διατύπωση µοντέλου επίλυσης απλού δικτύου διανοµής
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1. Α Μέρος
Α Μέρος ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 1. (3.6 μονάδες) (α). Δίνεται η εξίσωση: = 8. Αν το ελαττωθεί από την τιμή = κατά 1%, να εκτιμηθεί η αντίστοιχη ποσοστιαία μεταβολή στην τιμή του. (β). Να διαπιστωθεί ότι η συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΕισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500
Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο 1ο Ανάλυση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ
Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο ο Ανάλυση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΟΜαθηµατικός Προγραµµατισµός είναι κλάδος των εφαρµοσµένων µαθηµατικών που ασχολείται µε την εύρεση άριστης λύσης. ιαφέρει από την κλασική αριστοποίηση στο ότι προσπαθεί να
Διαβάστε περισσότεραx=l ηλαδή η ενέργεια είναι µία συνάρτηση της συνάρτησης . Στα µαθηµατικά, η συνάρτηση µίας συνάρτησης ονοµάζεται συναρτησιακό (functional).
3. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΥΣ Η Μέθοδος των Πεπερασµένων Στοιχείων Σηµειώσεις 3. Ενεργειακή θεώρηση σε συνεχή συστήµατα Έστω η δοκός του σχήµατος, µε τις αντίστοιχες φορτίσεις. + = p() EA = Q Σχήµα
Διαβάστε περισσότερα1. Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο ενός άλλου συνόλου Β είναι συνάρτηση.
Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Ανάλυση o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο ενός άλλου συνόλου
Διαβάστε περισσότεραΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ
6 KΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Η θεωρία μεγίστων και ελαχίστων μιας πραγματικής συνάρτησης με μια μεταβλητή είναι γνωστή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε τη θεωρία μεγίστων και ελαχίστων
Διαβάστε περισσότεραΒέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη
ΒΕΣ 6 Προσαρµοστικά Συστήµατα στις Τηλεπικοινωνίες Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη 7 Nicolas sapatsoulis Βιβλιογραφία Ενότητας Benvenuto []: Κεφάλαιo Wirow
Διαβάστε περισσότεραΔΕΙΓΜΑ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΔΙΟΡΘΩΣΕΙΣ - ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΡΙΤΙΚΗ
Συναρτήσεις Προεπισκόπηση Κεφαλαίου Τα μαθηματικά είναι μια γλώσσα με ένα συγκεκριμένο λεξιλόγιο και πολλούς κανόνες. Πριν ξεκινήσετε το ταξίδι σας στον Απειροστικό Λογισμό, θα πρέπει να έχετε εξοικειωθεί
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚH Ι (ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 - ΛΥΣΕΙΣ Άσκηση. (6 µον.) Ελέγξτε ποια από τα επόµενα σύνολα είναι διανυσµατικοί χώροι
Διαβάστε περισσότεραf f 2 0 B f f 0 1 B 10.3 Ακρότατα υπό συνθήκες Πολλαπλασιαστές του Lagrange
Μέγιστα και ελάχιστα 39 f f B f f yx y x xy Οι ιδιοτιμές του πίνακα Β είναι λ =-, λ =- και οι δυο αρνητικές, άρα το κρίσιμο σημείο (,) είναι σημείο τοπικού μεγίστου. Εφαρμογή 6: Στο παράδειγμα 3 ο αντίστοιχος
Διαβάστε περισσότεραόπου Η μήτρα ή πίνακας του συστήματος
Έστω το γραμμικό σύστημα: Το ίδιο σύστημα σε μορφή πινάκων: 3 5 7 3 2 y x y x B X y x 3 7 5 3 2 όπου Η μήτρα ή πίνακας του συστήματος B Η μήτρα ή πίνακας των σταθερών όρων X Η μήτρα ή πίνακας των αγνώστων
Διαβάστε περισσότεραΕπίλυση Γραµµικών Συστηµάτων
Κεφάλαιο 3 Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων 31 Εισαγωγή Αριθµητική λύση γενικών γραµµικών συστηµάτων n n A n n x n 1 b n 1, όπου a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A [a i j, x a n1 a n2 a nn x n, b b 1 b 2 b n
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 11. (δ). Να βρεθεί η λύση της διαφορικής εξίσωσης: y = xy, που έχει θετικές τιμές: y 0 και ικανοποιεί: y(0) = 1. 2.
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 11 Μέρος Α 1. (4 μονάδες) (α). Να δοθεί το γράφημα μιας συνάρτησης () στο διάστημα, της οποίας η παράγωγος έχει το γράφημα του παραπλεύρως σχήματος. (β). Οι μεταβλητές {,} συνδέονται με την
Διαβάστε περισσότεραΚεφ. 7: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών
Κεφ. 7: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών 7. Εισαγωγή (ορισμός προβλήματος, αριθμητική ολοκλήρωση ΣΔΕ, αντικατάσταση ΣΔΕ τάξης n με n εξισώσεις ης τάξης) 7. Μέθοδος Euler 7.3
Διαβάστε περισσότερααx αx αx αx 2 αx = α e } 2 x x x dx καλείται η παραβολική συνάρτηση η οποία στο x
A3. ΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ. εύτερη παράγωγος.παραβολική προσέγγιση ή επέκταση 3.Κυρτή 4.Κοίλη 5.Ιδιότητες κυρτών/κοίλων συναρτήσεων 6.Σηµεία καµπής ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 7. εύτερη πλεγµένη παραγώγιση 8.Χαρακτηρισµός
Διαβάστε περισσότεραB6. OΜΟΓΕΝΕΙΑ-ΔΙΑΦΟΡΙΚΑ
B6. OΜΟΓΕΝΕΙΑ-ΔΙΑΦΟΡΙΚΑ 1.Διαφορικά.Σχετικά ή ποσοστιαία διαφορικά 3.Λογισμός Διαφορικών 4.Ομογενείς συναρτήσεις μιας μεταβλητής 5.Ελαστικότητα κλίμακας 6.Ομογενής μηδενικού βαθμού 7.Ομογενής βαθμού κ
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 15
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 13 ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 17 1. Εισαγωγή 17 2. Πραγματικές συναρτήσεις διανυσματικής μεταβλητής
Διαβάστε περισσότεραΠαράγωγος συνάρτησης. Έννοια παραγώγου Υπολογισμός Χρήση παραγώγου. ελαστικότητα Οριακές συναρτήσεις
Παράγωγος συνάρτησης Έννοια παραγώγου Υπολογισμός Χρήση παραγώγου ελαστικότητα Οριακές συναρτήσεις Έννοια Στην οικονομική επιστήμη μας ενδιαφέρει πολλές φορές να προσδιορίσουμε την καλύτερη επιλογή, π.χ
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 Ηµεροµηνία αποστολής στον φοιτητή: 9 Φεβρουαρίου 5. Τελική ηµεροµηνία αποστολής από τον φοιτητή: Μαρτίου 5.
Διαβάστε περισσότεραΣτοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές
Στοχαστικά Σήµατα & Εφαρµογές Ανασκόπηση Στοιχείων Γραµµικής Άλγεβρας ιδάσκων: Ν. Παπανδρέου (Π.. 407/80) Πανεπιστήµιο Πατρών ΤµήµαΜηχανικώνΗ/Υ και Πληροφορικής ιανύσµατα Ορίζουµετοδιάνυσµα µε Ν στοιχεία
Διαβάστε περισσότεραKεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων.
4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές
Διαβάστε περισσότερα2.1 Αριθμητική επίλυση εξισώσεων
. Αριθμητική επίλυση εξισώσεων Στο κεφάλαιο αυτό διαπραγματεύεται μεθόδους εύρεσης των ριζών εξισώσεων γραμμικών ή μη-γραμμικών για τις οποίες δεν υπάρχουν αναλυτικές 5 4 3 εκφράσεις. Παραδείγματα εξισώσεων
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά. Ενότητα 3: Εξισώσεις και Ανισώσεις 1 ου βαθμού. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής
Μαθηματικά Ενότητα 3: Εξισώσεις και Ανισώσεις 1 ου βαθμού Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότερα3.6 Μεικτά ορισμένα προβλήματα. 2. Γράφοµε τις ανωτέρω σχέσεις για q= 1,... Mσε διανυσµατική µορφή : G λ (3.30)
. Γράφοµε τις ανωτέρω σχέσεις για q=,... Mσε διανυσµατική µορφή : = G λ (3.30) 3. Επειδή ισχύει παράλληλα και d = G, αντικαθιστώντας το από την 3.30 στην αρχική εξίσωση παίρνοµε : d= G G λ / (3.3) 4. Εάν
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές
Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Πεπερασμένες και Διαιρεμένες Διαφορές Εισαγωγή Θα εισάγουμε την έννοια των διαφορών με ένα
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ
ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ Η ανάλυση προβλημάτων δύο διαστάσεων με τη μέθοδο των Πεπερασμένων Στοιχείων περιλαμβάνει τα ίδια βήματα όπως και στα προβλήματα μιας διάστασης. Η ανάλυση γίνεται λίγο πιο πολύπλοκη
Διαβάστε περισσότεραwebsite:
Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ρευστών Μαάιτα Τζαμάλ-Οδυσσέας 3 Μαρτίου 2019 1 Τανυστής Παραμόρφωσης Συνοδεύον σύστημα ονομάζεται το σύστημα συντεταγμένων ξ i το οποίο μεταβάλλεται
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1: Προβλήµατα τύπου Sturm-Liouville
Κεφάλαιο : Προβλήµατα τύπου Stur-Liouvie. Ορισµός προβλήµατος Stur-Liouvie Πολλές τεχνικές επίλυσης µερικών διαφορικών εξισώσεων βασίζονται στην αναγωγή της µερικής διαφορικής εξίσωσης σε συνήθεις διαφορικές
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ
ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Α. Ντούνης ΔΙΔΑΣΚΩΝ ΑΚΑΔ. ΥΠΟΤΡΟΦΟΣ Χ. Τσιρώνης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ ΔΕΥΤΕΡΟ - Διανύσματα - Πράξεις με πίνακες - Διαφορικός λογισμός (1D) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ
Διαβάστε περισσότεραΣχεδιασμός Χημικών Διεργασιών και Βιομηχανιών Διάλεξη 6
Σχεδιασμός Χημικών Διεργασιών και Βιομηχανιών Διάλεξη 6 Δευτέρα, 14 Απριλίου 008 Οικονομική Ανάλυση Βιομηχανιών και Διεργασιών 1 Εισαγωγή Αριστοποίηση: ενός κριτηρίου (αντικειμενικής συνάρτησης) πολυκριτηριακή
Διαβάστε περισσότεραΣχεδίαση τροχιάς. (α) (β) (γ) (δ) Σχήµα 2.5
Σχεδίαση τροχιάς Η πιο απλή κίνηση ενός βραχίονα είναι από σηµείο σε σηµείο. Με την µέθοδο αυτή το ροµπότ κινείται από µία αρχική θέση σε µία τελική θέση χωρίς να µας ενδιαφέρει η ενδιάµεση διαδροµή που
Διαβάστε περισσότερα11. Η έννοια του διανύσµατος 22. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο
Παραουσίαση βιβλίου αθηµατικών Προσαναταλισµού Β Λυκείου. Η έννοια του διανύσµατος. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο Παραουσίαση βιβλίου
Διαβάστε περισσότεραιανυσµατικά πεδία Όπως έχουµε ήδη αναφέρει ένα διανυσµατικό πεδίο είναι µια συνάρτηση
44 ιανυσµατικά πεδία Όπως έχουµε ήδη αναφέρει ένα διανυσµατικό πεδίο είναι µια συνάρτηση F : U R R. Για εµάς φυσικά µια τέτοια συνάρτηση θα θεωρείται ότι είναι τουλάχιστον συνεχής και συνήθως C και βέβαια
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 14. Μέρος Α
Μέρος Α ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 14 1. (4 μονάδες) (α). Να δοθεί το γράφημα μιας συνάρτησης f() της οποίας η παράγωγος έχει το γράφημα του παραπλεύρως σχήματος, και αρχική τιμή f() =. (β). Να βρεθεί συνάρτηση f() σταθερής
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο
Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό Χειμερινό Εξάμηνο 2016-2017 Δεσμευτικοί περιορισμοί Πρόβλημα Βιομηχανική επιχείρηση γαλακτοκομικών προϊόντων Συνολικό μοντέλο Maximize z = 150x 1 + 200x 2 (αντικειμενική
Διαβάστε περισσότεραΓ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες
Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ
Διαβάστε περισσότεραI. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr
I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο 3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η. (Σ) όπου α, β, α, β, είναι οι
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ. Ποια είναι η μορφή ενός συστήματος δύο γραμμικών εξισώσεων, δύο αγνώστων; Να δοθεί παράδειγμα.
Διαβάστε περισσότεραΠαραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα
Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Παράδειγμα Να βρείτε τις ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα του πίνακα A 4. Επίσης να προσδιοριστούν οι ιδιοχώροι και οι γεωμετρικές πολλαπλότητες των ιδιοτιμών.
Διαβάστε περισσότεραπου προκύπτουν στις δύο περιπτώσεις: (α) και (β) αντίστοιχα;
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 9 Μέρος Α. (3.6 μονάδες) (α). Να γίνει το γράφημα της συνάρτησης f() = ln(+ ), και να βρεθεί γραφικά το σημείο ισοελαστικότητας. (β). Δίνεται η συνάρτηση f() = ln. Να διαπιστωθεί ότι είναι κυρτή
Διαβάστε περισσότεραΧρονικές σειρές 5 Ο μάθημα: Γραμμικά στοχαστικά μοντέλα (1) Αυτοπαλίνδρομα μοντέλα Εαρινό εξάμηνο Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ
Χρονικές σειρές 5 Ο μάθημα: Γραμμικά στοχαστικά μοντέλα (1) Αυτοπαλίνδρομα μοντέλα Εαρινό εξάμηνο 2018-2019 Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ Διδάσκουσα: Αγγελική Παπάνα Μεταδιδακτορική Ερευνήτρια Πολυτεχνική σχολή,
Διαβάστε περισσότεραΕυχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17
Περιεχόμενα Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών... 19 1.1 Σύνολα αριθμών... 19 1.2 Αλγεβρική δομή του R... 20 1.2.1 Ιδιότητες πρόσθεσης...
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Ορίζουσα Gram και οι Εφαρµογές της Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 65 11 Η Ορίζουσα Gram και
Διαβάστε περισσότεραΤα περισσότερα προβλήματα βελτιστοποίησης είναι με περιορισμούς, αλλά οι μέθοδοι επίλυσης χωρίς περιορισμούς έχουν γενικό ενδιαφέρον.
ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΧΩΡΙΣ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΥΣ Τα περισσότερα προβλήματα βελτιστοποίησης είναι με περιορισμούς, αλλά οι μέθοδοι επίλυσης χωρίς περιορισμούς έχουν γενικό ενδιαφέρον. Μέθοδοι που απαιτούν
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Διάνυσμα Θέσης ενός σημείου Αν θεωρήσουμε ένα οποιοδήποτε σημείο Ο του επιπέδου ως σημείο αναφοράς (ακόμα
Διαβάστε περισσότεραΜέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης
Βασικές αρχές μεθόδων ελαχιστοποίησης Μέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης Οι μέθοδοι ελαχιστοποίησης είναι επαναληπτικές. Ξεκινώντας από μια αρχική προσέγγιση του ελαχίστου (την συμβολίζουμε ) παράγουν
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Δυϊκότητα. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Δυϊκότητα Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016 1 Το δυϊκό πρόβλημα Για κάθε πρόβλημα Γραμμικού Προγραμματισμού υπάρχει
Διαβάστε περισσότεραΒασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D.
Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Μη γραμμικός προγραμματισμός: μέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σχολή Θετικών Επιστημών ΤμήμαΠληροφορικής Διάλεξη 6 η /2017 Τι παρουσιάστηκε
Διαβάστε περισσότερα