Interpolation (1) Τρίτη, 3 Μαρτίου Σελίδα 1

Transcript

1 Iterpolatio () Τρίτη, 3 Μαρτίου 05 9:46 πμ Σελίδα

2 Σελίδα

3 Σελίδα 3

4 Σελίδα 4

5 Σελίδα 5

6 Σελίδα 6

7 Σελίδα 7

8 Σελίδα 8

9 Σελίδα 9

10 Σελίδα 0

11 Σελίδα

12 Σελίδα

13 Σελίδα 3

14 HY3. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ & ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΜΕ TAYLOR Π. ΤΣΟΜΠΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ

15 Βασικό πρόβλημα παρεμβολής Με δοσμένα τα δεδομένα ( i, y i ), i=,...,m, με < <...< m, υπολογίστε μία συνάρτηση f:rr τ.ω. f( i ) = y i, i=,...,m. H f ονομάζεται παρεμβάλλουσα συνάρτηση των παραπάνω δεδομένων. Επιπλέον δεδομένα μπορεί να δίδονται (π.χ. η παράγωγος στα σημεία αυτά). Επιπλέον συνθήκες μπορεί να απαιτούνται, π.χ. ομαλότητα, μονοτονία ή κυρτότητα της παρεμβάλλουσας. Θα μελετήσουμε παρεμβάλλουσες συναρτήσεις μιας μεταβλητής. ΗΥ3, ΤΗΜΜΥ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας

16 Γιατί; Αντικαθιστούμε πολύπλοκες συναρτήσεις με πολυώνυμα. Γρήγορος και εύκολος υπολογισμός πολυωνύμων. Εύκολος υπολογισμός παραγώγων και ολοκληρωμάτων. Σχεδιασμός ομαλής καμπύλης μεταξύ δεδομένων. 3 ΗΥ3, ΤΗΜΜΥ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας

17 Παρεμβολή και προσέγγιση Εξ ορισμού, η παρεμβάλλουσα συνάρτηση περνά από τα σημεία/δεδομένα ακριβώς. Η παρεμβολή δεν είναι η πιο κατάλληλη μέθοδος όταν τα δεδομένα είναι ευαίσθητα σε σφάλματα. Για να αφαιρέσουμε θόρυβο από τα δεδομένα χρησιμοποιούμε μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων. Η προσέγγιση είναι κατάλληλη για ειδικές συναρτήσεις. 4 ΗΥ3, ΤΗΜΜΥ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας

18 Τύποι συναρτήσεων που χρησιμοποιούνται για προσέγγιση δεδομένων και συναρτήσεων. Πολυώνυμα Κατά τμήματα γραμμικά πολυώνυμα Splies Ρητές συναρτήσεις Τριγωνομετρικές συναρτήσεις Εκθετικές συναρτήσεις 5 ΗΥ3, ΤΗΜΜΥ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας

19 Αντιμετώπιση δεδομένων Παρεμβολή Προσέγγιση με άλλες μεθόδους (π.χ., ελάχιστα τετράγωνα) 6 ΗΥ3, ΤΗΜΜΥ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας

20 Αντιμετώπιση συναρτήσεων Ανάπτυγμα Taylor Παρεμβολή με διάφορες μεθόδους 7 ΗΥ3, ΤΗΜΜΥ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας

21 Συναρτήσεις που χρησιμοποιούνται για παρεμβολή Είδη συναρτήσεων που χρησιμοποιούνται για παρεμβολή: Πολυώνυμα, Κατά τμήματα πολυωνυμικές συναρτήσεις, Τριγωνομετρικές συναρτήσεις, Εκθετικές συναρτήσεις, Ρητές συναρτήσεις, Θα ασχοληθούμε με πολυώνυμα και κατά τμήματα πολυωνυμικές συναρτήσεις. Παρεμβολή με τριγωνομετρικές θα δούμε σε μετασχηματισμούς Fourier. 8 ΗΥ3, ΤΗΜΜΥ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας

22 Εισαγωγή / Επανάληψη Μαθηματικών εννοιών Συνάρτηση Καμπύλη Τύποι συναρτήσεων: Αναλυτική: N f ( ) i0 a i i 9 ΗΥ3, ΤΗΜΜΥ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας

23 Εισαγωγή / Επανάληψη Μαθηματικών εννοιών (συνέχεια) Συνεχής ή μη: Διακριτή: ασυνεχής συνεχής με ασυνεχή η παράγωγο συνεχής ου βαθμού 4 ( ), f ( ) 3 4 ( ), 3 Το πεδίο ορισμού είναι σύνολο από πεπερασμένα (ή αριθμήσιμα το πλήθος) σημεία: a i i a( ), i, 0 ΗΥ3, ΤΗΜΜΥ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας

24 Θεώρημα Weierstrass: Αν η f είναι συνεχής συνάρτηση στο φραγμένο διάστημα [a,b], τότε για κάθε ε>0 υπάρχει πολυώνυμο p βαθμού =(ε), τ.ω. ma [ a, b] f ( ) p ( ) Προσοχή: Αυτό δεν σημαίνει ότι το p και η f τέμνονται σε κάποια σημεία. ΗΥ3, ΤΗΜΜΥ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας

25 Παρεμβολή δεδομένων/συναρτήσεων με πολυώνυμα Δεδομένα: {( i, y i )}, i=0,,,, y i μετρήσεις ή f( i ) Ζητούμενο: Ένα πολυώνυμο p, ελάχιστου βαθμού, που να περνά από τα παραπάνω σημεία. Απάντηση: Υπάρχει ένα και μοναδικό πολυώνυμο, βαθμού μικρότερου ή ίσου με, το οποίο παρεμβάλλεται στα σημεία αυτά. Τρόποι υπολογισμού: Lagrage Μονώνυμα Newto Διαιρεμένες διαφορές ΗΥ3, ΤΗΜΜΥ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας

26 Συναρτήσεις βάσης Για καθορισμένα δεδομένα, η οικογένεια των συναρτήσεων που παρεμβάλλεται σε αυτά καθορίζεται από ένα σύνολο συναρτήσεων βάσης, φ 0 (),...,φ (). Η παρεμβάλλουσα συνάρτηση f είναι γραμμικός συνδυασμός των συναρτήσεων βάσης. j0 Για να παρεμβάλλεται η f στα σημεία ( i,y i ), i=0,...,m θα πρέπει: το οποίο είναι ισοδύναμο με το γραμμικό σύστημα f ( ) c j ( ) f ( i ) c j j( i ) yi, i 0,,..., m j0 j Ac y με το c διάνυσμα με στοιχεία, και τον πίνακα Α να περιέχει τις τιμές των συναρτήσεων βάσης σε σημεία i, α ij = φ j- ( i- ). 3 ΗΥ3, ΤΗΜΜΥ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας

27 Bάση πολυωνύμων από μονώνυμα Αν χρησιμοποιήσουμε μονώνυμα σαν βάση για το χώρο των πολυωνύμων, δηλαδή: τότε το πολυώνυμο παρεμβολής είναι της μορφής: όπου οι συντελεστές c i, υπολογίζονται από τη λύση του συστήματος: ο πίνακας Α λέγεται πίνακας Vadermode. j j j,..., 0,, ) ( c c c c p... ) ( 0 ΗΥ3, ΤΗΜΜΥ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 4 y y y y c c c Ac

28 Bάση πολυωνύμων από μονώνυμα 5 ΗΥ3, ΤΗΜΜΥ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας

29 Παράδειγμα με βάση τα μονώνυμα Υπολογίστε το πολυώνυμο ου βαθμού που παρεμβάλλεται στα σημεία (-, -7), (0, -), (, 0). Χρησιμοποιώντας τη βάση των μονώνυμων, το γραμμικό σύστημα είναι: για τα συγκεκριμένα δεδομένα: και το ζητούμενο πολυώνυμο είναι το: c y c c c Ac 4 5 ) ( p ΗΥ3, ΤΗΜΜΥ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 6 y y y y c c c Ac

30 Παρεμβολή με βάση τα μονώνυμα Το κόστος της λύσης του συστήματος είναι Ο( 3 ). Ο πίνακας Α έχει κακή κατάσταση, ειδικά όταν ο βαθμός του πολυωνύμου είναι μεγάλος. Οι συντελεστές του πολυωνύμου υπολογίζονται με μικρή ακρίβεια. Διαλέγοντας μια διαφορετική βάση, ο αντίστοιχος πίνακας έχει καλύτερη κατάσταση και μορφή. Καλύτερη κατάσταση μεγαλύτερη ακρίβεια στον υπολογισμό της λύσης. Καλύτερη μορφή μικρότερο κόστος. 7 ΗΥ3, ΤΗΜΜΥ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας

31 Παρεμβολή Παράσταση σε μορφή Lagrage Για δεδομένα σημεία ( i, y i ), i=0,...,, οι συναρτήσεις βάσεις Lagrage ορίζονται ως: Για τη βάση Lagrage ισχύει: if i j j ( i ), i,j 0,..., 0 if i j επομένως ο πίνακας Α (στο σύστημα A=y) είναι ο μοναδιαίος οι συντελεστές του πολυωνύμου είναι τα παραπάνω y i, άρα p k0, k j j ( ), j 0,..., k0, k j ( ) y0 0( ) y ( )... y ( ) j k k 8 ΗΥ3, ΤΗΜΜΥ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας

32 Παρεμβολή Παράσταση σε μορφή Lagrage Τα 5 πολυώνυμα βάσης Lagrage για τα σημεία 0, 0.5, 0.5, 0.75,. Η παρεμβάλλουσα κατά Lagrage είναι πολύ εύκολο να ορισθεί αλλά αρκετά πολύπλοκο να βρούμε την τιμή της για διάφορα άλλα σημεία. Η μορφή της παρεμβάλλουσας κάνει πολύπλοκη της παραγώγιση και την ολοκλήρωση της. 9 ΗΥ3, ΤΗΜΜΥ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας

33 Παρεμβολή Παράσταση σε μορφή Lagrage 0 ΗΥ3, ΤΗΜΜΥ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας

34 Παρεμβολή Παράσταση σε μορφή Lagrage Για δεδομένα σημεία (-, -7), (0, -), (, 0), το πολυώνυμα Lagrage δευτέρου βαθμού που παρεμβάλλεται στα παραπάνω σημεία ορίζεται σαν: p ( ) 7 ( ( 0)( ) 0)( ) ( ) ( (0 )( ) )(0 ) 0 ( ( )( 0) )( 0) p ( ) 9 ( ) ( )( ) ΗΥ3, ΤΗΜΜΥ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας