Μετασχηματισμοί Lorentz Σύμφωνα με την ειδική θεωρία της σχετικότητας οι νόμοι της φυσικής είναι ανεξάρτητοι από το αν το σύστημα αναφοράς κινείται ή είναι ακίνητο. x =γ(x-vt), y =y, z =z, t =γ(t-vx/c ) x=γ(x +vt ), y=y, z=z, t=γ(t +vx /c ) γ=(1-v /c ) -1/ 1. Η σχετικότητα του ταυτόχρονου t A =t B t A = t B +γv(x A -x B )/c. Συστολή του μήκους L=L /γ Κινούμενα αντικείμενα φαίνονται μικρότερα 3. ιαστολή του χρόνου Τ=γΤ Κινούμενα ρολόγια πάνε πιο αργά 4. Πρόσθεση ταχυτήτων Δx Δx'+vΔt' (Δx'/Δt')+v = = Δt Δt'+(v/c )Δx' 1+(v/c )(Δx'/Δt') u'+v u= 1+(u'v/c ) c+c=c 1
Τετραδιανύσματα Για ευκολία ορίζουμε το τετραδιάνυσμα του χωρο-χρόνου x μ, μ=0, 1,, 3 ο μετασχηματισμός του Lorentz γράφεται: x 0 = ct, x 1 = x, x = y, x 3 = z x 0 = γ(x 0 -βx 1 ) x 1 = γ(x 1 -βx 0 ) x =x x 3 =x 3 Σ 3 x μ = ΣΛ νμ x ν (μ = 0, 1,, 3) ν=0 γ -γβ 0 0 -γβ γ 0 0 Λ= 0 0 1 0 0 0 0 1 x μ = Λ νμ x ν
Τετραδιανύσματα Παρότι οι συντεταγμένες αλλάζουν από το ένα σύστημα συντεταγμένων από το ένα σύστημα συντεταγμένων στο άλλο όμως το μέγεθος Ι (x 0 ) -(x 1 ) -(x ) -(x 3 ) =(x 0 ) -(x 1 ) -(x ) -(x 3 ) παραμένει αναλλοίωτο (ανάλογο είναι το r =x +y +z σε στροφές) θα μπορούσαμε να γράψουμε την αναλλοίωτη ποσότητα σαν για να αποφύγουμε την ύπαρξη του - εισάγουμε την μετρική ` 1 0 0 0 0-1 0 0 g μν = 0 0-1 0 0 0 0-1 I=g μν x μ x ν ορίζουμε σαν συναλλοίωτο (covariant) το 4-διάνυσμα x μ g μν x μ συνεπώς Ι= x μ x μ ανταλλοίωτο (contravariant) 3 μ μ xx μ=0 3
Τετραδιανύσματα έχοντας σαν πρότυπο το 4-διάνυσμα του χωροχρόνου ορίζουμε ένα οποιοδήποτε 4-διάνυσμα, δάνυσμα, α μ, σαν ένα αντικείμενο που έχει 4 συντεταγμένες και μετασχηματίζεται σαν α μ = Λ νμ α ν επίσης ορίζουμε το συναλλοίωτο και ανταλλοίωτο 4-διάνυσμα g μν είναι g -1 αλλά g μν = g μν συναλλοίωτο : α μ =g μν α ν ανταλλοίωτο : α μ =g μν α ν ορίζουμε το εσωτερικό γινόμενο δύο 4-διανυσμάτων, α μ και b μ την ποσότητα α b α μ b μ =α μ b μ =α 0 b 0 -α 1 b 1 -α b -α 3 b 3 για τα συναλλοίωτα αλλάζει ο ορισμός α b =α 0 b 0 - α b α α a =(α 0 ) - α a >0 a μ timelike a <0 a μ spacelike a =0 a μ lightlike 4
Ενέργεια και Ορμή έστω ότι κινούμαστε με ταχύτητα κοντά στο c. για καποιο ακίνητο παρατηρητή στο έδαφος ο στοιχειώδης χρόνος είναι dt ενώ για μας είναι dt/γ. Για τον δικό μας χρόνο (proper time) έχουμε dτ=dt/γ από τον ορισμό της ταχύτητας έχουμε υ=dx/dt. Ορίζουμε την δική μας proper ταχύτητα : η dx/dτ δηλαδή η=γυ (για την ταχύτητα στο S έχουμε dx/dt και στο S dx /dt. για την proper ταχύτητα μόνο ο αριθμητής αλλάζει γιατί το dτ είναι αμετάβλητο) Ορίζουμε το 4-διάνυσμα της ταχύτητας: μ μ dx η = dτ 0 0 dx d(ct) η = = =γc dτ (1/γ)dt μ η =γ(c,υ x,υ y,υ z) μ ηη=γ μ (c -υ x-υ y-υ z)=γ c (1-υ /c )=c 5
Ενέργεια και Ορμή Αν ορίσουμε την ορμή με τον κλασσικό τρόπο mυ τότε η ορμή δεν διατηρείται στους μετασχηματισμούς σμούς Lorentz. Μπορούμε να σώσουμε τη διατήρηση της ορμής ορίζοντάς την p mη Από τη στιγμή που η proper ταχύτητα είναι 4-διάνυσμα το ίδιο είναι και η ορμή p μ =mη μ για τη χωρική συντεταγμένη έχουμε για τη χρονική συνταταγμένη έχουμε p=γmc p=γmυ= γ mυ 1-υ /c Ορίζουμε: ρζ Ε = γmc άρα η 0 συντεταγμένη της ορμής είναι Ε/c άρα p μ =(Ε/c,p x, p y, p z ) p μ p μ =E /c -p =m c 6
σχετικιστική ενέργεια Ενέργεια και Ορμή 4 mc 1 υ 3 υ E=γmc = =mc 1+ + + 4 1-υ υ /c c 8c σχετικιστική κινητική ενέργεια σχετικιστική μάζα 1 3 υ 8 c 4 ( ) T=mc γ - 1 = mυ + m + m rel γm 7
Κλασσικά Κρούσεις διατηρείται ΠΑΝΤΑ η ορμή, διατηρείται ΠΑΝΤΑ η μάζα Μερικές φορές διατηρείται η κινητική ενέργεια p διατηρείται ΠΑΝΤΑ η συνολική ενέργεια Σχετικιστικά διατηρείται ΠΑΝΤΑ η ορμή, p Μερικές φορές φορές διατηρείται η μάζα Μερικές φορές διατηρείται η κινητική ενέργεια διατηρείται ΠΑΝΤΑ η συνολική ενέργεια ΙΑΤΗΡΕΙΤΑΙ Η 4-ΟΡΜΗ 8
ιατηρούμενες vs Αναλλοίωτες ποσότητες Λέμε ότι μια ποσότητα διατηρείται όταν σε κάποιο σύστημα συντεταγμένων παραμένει η ίδια πριν και μετά από κάποιο γεγονός Λέμε ότι μια ποσότητα είναι αναλλοίωτη όταν παραμένει η ίδια ανεξάρτητα από το σύστημα συντεταγμένων Η ενέργεια είναι διατηρούμενη ποσότητα αλλά δεν είναι αναλλοίωτη Η μάζα είναι αναλλοίωτη ποσότητα αλλά δεν είναι διατηρούμενη 9
Παραδείγματα Στο πείραμα BABAR συγκρούονται δέσμες e - (9 GeV) με δέσμες e + (3.1 GeV) ποιες είναι οι ταχύτητες των συγκρουόμενων σωματιδίων; m e =0.511 MeV και Ε=γm γ - =17600 γ + =6070 αλλά 1 1 1 γ = β = 1-1 - 1-β γ γ υ - = (1-10 -9 )c υ + = (1-10 -8 )c 10
ποιες είναι οι ενέργειες στο κέντρο μάζας(cm) βρίσκουμε την ταχύτητα του CM με την απαίτηση υ - = υ + Υπολογίζουμε γζ τις ταχύτητες των e + e - Υπολογίζουμε τις ενέργειες Χρονοβόρο!! Χρησιμοποιούμε αναλλοίωτα μεγέθη για να πάμε από το σύστημα του εργαστηρίου στο CM Εύκολο / Κομψό!! 11
ποιες είναι οι ενέργειες στο κέντρο μάζας(cm); στο CM έχουμε: p =(E e - CM-,p CM-) το αναλλοίωτο μέγεθος είναι: ( - + ) στο σύστημα του εργαστηρίου άρα ( ) e e p +p =(E,0) =4E CM p =(E,p ) e + CM+ CM+ CM p =(E,p ) p + =(E +,p + ) e - - - e p - + p + = p - +p + +p - p + =m +m +(E e e e e e e - E+ -p- p + ) E E + p p ( ) 4 E E - + - + - + E = E E = 9 GeV 3.1 GeV =5.3 GeV CM - + ( )( ) 1
Πειράματα σταθερού στόχου vs συγκρουομένων δεσμών στο BaBar (9+3.1)=1.1 GeV ενέργεια δέσμης μας δίνει ( 5.3)=10.6 GeV ενέργεια στο CM Πόση ενέργεια πρέπει να έχει μια δέσμη ώστε να παράγει την ενέργεια του CM σε πείραμα σταθερού στόχου; τα 4-διανύσματα μ είναι: ( m,0 ) και ( E,p ) ( ) ( ) ( ) - + e e p +p = m +m + m,0 E,p E m άρα E m=4 E E = 10 5 GeV CM 13
πριν: μετά: p A = ( m,0) A ιάσπαση σωματιδίων p = ( E, p), p = ( E, p) B B C C E = m + p = m + E m C C C B B A B C B B A B = C + B B ( ) m = E + m + E m m E m E m m m E = m m A A B C B ma + mb mc E B = ma 14
π μ + ν διάσπαση σε σωματίδια στο σύστημα CM τα σωματίδια βγαίνουν σε 180 ο τα 4-διανύσματα είναι p π=(m π,0), p μ=(e μ,p) και p ν=(e ν,-p) διατήρηση 4-ορμής p π=p μ+pν p =p -p μ π ν p = p -p ( ) μ π ν m =p +p -p μ π ν π ν m =m μ π π E ν = m π μ p +0-m E m -m π ν 15
π μ + ν με τον ιδιο τρόπο p =p -p ν π ( ) p ν = p π -p μ π μ διάσπαση σε σωματίδια μ 0=p +p -p p 0=m +m -m E π μ π π m π+m E μ = m π μ μ μ m π-m μ m π+m μ E +E = m + ν μ m = π π m π 16
πχ διάσπαση σε 3 σωματίδια n p+ e+ ν e μ e + ν + ν e οι ενέργειες των σωματιδίων της τελικής κατάστασης στο CM δεν είναι μοναδικές. η παρατήρηση της ενέργειας του ηλεκτρονίου έπαιξε σημαντικό ρόλο στην υπόθεση για την ύπαρξη του νετρίνο μ M μ / 53 MeV 17
Η αντίδραση Α+Β Μεταβλητές Mandelstam Α+ΒC+D C+D χαρακτηρίζεται από μεταβλητές CM lab στο CM E A & θcm στο lab E A & θlab ( ) ( ) s = p + p = pc + pd = m + m + E E p ip t = ( pa pc ) = ( pb pd ) = ma + mc EAEC + paipc u = p p = p p = m + m E E + p i p A B A B A B A B ( ) ( ) A D B C A D A D A D μεταβλητές που παραμένουν αμετάβλητες σε μετασχ. Lorentz 18
Μεταβλητές Mandelstam ( ) s + t + u = p + p + p + p + p p p p 3 A B C D A B C D = p + p + p + p A B C D = m + m + m + m A B C D χρήσιμες εκφράσεις για τις s, u, t la b : p = E, p E, + p & p = m, 0 ( ) ( ) ( ) A A A A B B Ενέργεια του Α: ( ) s= p + p = m + m + E m A B A B A B E A = ( s -ma -mb ) m B 19
Μεταβλητές Mandelstam CM : p = E, p E, + p & p = E, p E, p ( ) ( ) ( ) ( ) A A A A B B B B ( s + ma mb ) ( ) ενέργεια CM: E = E + E = E + E = s Ενέργεια του Α: E A = A B A B s για Α + Α Α + Α στο CM ( ) s = 4 p + m ( 1 θ ) ( ) t = p 1 cosθ u = p 1 + cosθ 0
Φερμιόνια & Μποζόνια Φερμιόνια Στατιστική Fermi-Dirac spin ημιακέραιο 1 3 5,, Μποζόνια Στατιστική Bose-Einstein 0,1, spin ακέραιο δύο ταυτόσημα φερμιόνια, 1 & δύο ταυτόσημα μποζόνια, 1 & έχουν αντισυμμετρική έχουν συμμετρική κυματοσυνάρτηση κυματοσυνάρτηση στην εναλλαγή στην εναλλαγή Ψ (1, ) = Ψ (,1) Ψ (1, ) =Ψ(,1) 1
Φερμιόνια & Μποζόνια εξάρτηση της ολικής κυματοσυνάρτησης από χωρικές συντεταγμένες και spin Ψ=Ψ a ( χ ώρου) Ψ ( spin) b Ψ a (1,)=(-1) l Ψ α (,1) Ψ b (1,)=+Ψ b (,1) Ψ b (1,)=-Ψ b (,1) l: κβαντικός αριθμός στροφορμής παράλληλα ομόρροπα spin παράλληλα αντίρροπα spin Φερμιόνια l άρτιο παράλληλα αντίρροπα l περιττό παράλληλα ομόρροπα Μποζόνια l άρτιο παράλληλα ομόρροπα l περιττό παράλληλα αντίρροπα
3
4
5
Βασικά συστατικά φερμιονίων πειραματικά έχουν βρεθεί δύο θεμελιώδη φερμιόνια: Κουάρκ & Λεπτόνια Κουάρκ Λεπτόνια κλασματικά φορτία (+/3 e, -1/3 e ) φορτία 0,+/- e 6 γεύσεις (flavor) u,d,c,s,t,b e,ν e μ,ν μ τ,ν τ Η/Μ, ισχυρές, ασθενείς Η/Μ και ασθενείς 6
7