ΦΥΣΙΚΗ ΙΙ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ Ηλεκτρομαγνητισμός και Οπτική. Χριστόφιλος Τομέας Φυσικής, Γενικό Τμήμα
Το μάθημα περιλαμβάνει: Πληροφορίες ΠΑΡΑ ΟΣΕΙΣ: (θεωρία και ασκήσεις). ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ: (ομάδες, 3 εργαστηριακές ασκήσεις). ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ: τελική Ιουνίου. ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΑ ΤΕΛΙΚΟΣ ΒΑΘΜΟΣ: Τελική εξέταση 80% Εργαστήριο 20%
ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ H.D. Young Πανεπιστημιακή Φυσική Εκδόσεις Παπαζήση Alonso / Finn Θεμελιώδης Πανεπιστημιακή Φυσική Α. Φίλιππας,, Λ. Ρεσβάνης (Μετ.) R. A. Serway Φυσική για επιστήμονες και μηχανικούς Λ. Ρεσβάνης (Μετ.) Ohanian i Φυσική Α. Φίλιππας (Μετ.), Εκδόσεις Συμμετρία Οι διαφάνειες αυτές βρίσκονται: http://users.auth.gr/christop/physics/
Εισαγωγή γή Ηλεκτρισμός + Μαγνητισμός = Ηλεκτρομαγνητισμός μ υο όψεις του ίδιου νομίσματος Παράδειγμα ενοποίησης στη Φυσική Άλλα Παραδείγματα: 1. Θερμοδυναμική: μ κινητική θεωρία ενσωματώνεται στη Μηχανική 2. Οπτική: μέσω θεωρίας του Maxwell ενσωματώνεται στο Ηλεκτρομαγνητισμό 3. Ενοποίηση των 4 θεμελιωδών δυνάμεων σε 3: (a) Βαρυτική, (b) Ηλεκτρομαγνητική + (c) Aσθενής = Ηλεκτροασθενής, (d) Ισχυρή. Σκοπός: Η Μεγάλη ενοποίηση της Φυσικής "τρεις" να μειωθούν σε "μία"
Σώματα «Ανακεφαλαίωση» Φυσικής Ι (Μηχανική) Καθορίζονται από τη μάζα και τη γεωμετρία υνάμεις m1 m2 Βαρύτητα: F G r 2 m 1 Άλλες: Τάση, Αντίδραση, Τριβή Χώρος και Χρόνος r m 2 Ευκλείδειος, Μετασχηματισμός Γαλιλαίου Κανονικός Κανονικός 3D χώρος, χαμηλές ταχύτητες
Ο Κόσμος Σύμφωνα με την Ηλεκτρομαγνητική Θεωρία Σώματα και Πεδία (E,B) υνάμεις Καθορίζονται από μάζα, γεωμετρία και φορτίο Βαρύτητα: Ηλεκτρομαγνητική: Χώρος και Χρόνος m1 m2 F G rˆ 2 r F qeq B Ευκλείδειος, Μετασχηματισμός Lorentz m 1 συνήθης χώρος αλλά μπορεί να έχουμε μεγάλες ταχύτητες... r m 2 q v
Αφετηρία Ηλεκτρομαγνητισμού μ Φαινόμενα Μετάξι σε γυαλί γυαλί θετικό Γούνα σε ελαστικό ελαστικό αρνητικό Η ιδέα Ηλεκτρικό Φορτίο Ιδιότητα του σώματος Ανόμοια φορτία έλκονται Όμοια φορτία απωθούνται
ύναμη σε Ηλεκτρικό Φορτίο ύναμη μεταξύ δυο φορτισμένων σωμάτων ενεργεί κατά μήκος της γραμμής που τα ενώνει (Κεντρική ύναμη). Αυξάνει εάν η τιμή του ενός των φορτίων αυξάνει. Αυξάνει εάν η απόσταση μεταξύ των φορτίων ελαττώνεται.
Νόμος Coulomb q 1 F Μονάδες SI: r F q 2 0 F = 1 q 1 q 2 4 1 =9 10 N m C 4 9 2-2 r σε μέτρα Συχνά συμβολίζουμε αυτόν τον q σε Coulomb F σε Newton r 2 παράγοντα k οπότε: F = k q 1 q 2 /r 2 ιηλεκτρική σταθερά του κενού =8,9 10 N A sec V m Αυτή η δύναμη έχει την ίδια χωρική εξάρτηση με την βαρυτική δύναμη, ΑΛΛΑ ΕΝ εξαρτάται από τη μάζα. Η ένταση της ΥΝΑΜΗΣ μεταξύ δύο σωμάτων καθορίζεται από το φορτίο τους. 0 ˆr -12-1 -1
Για περισσότερα φορτία; Όπως στην μηχανική: Νόμος Υπέρθεσης: Η ΟΛΙΚΗ ΥΝΑΜΗ σε φορτίο είναι το ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟ ΑΘΡΟΙΣΜΑ των επιμέρους q F 1 q 1 F F 2 q 2 δυνάμεων. q n F F n n F F 1F2... F n Fi i1
F elec = Σύγκριση δυνάμεων Ηλεκτρική vs Βαρυτική 1 q 1 q 2 4 0 r 2 F grav = G m 1 m 2 0 grav r 2 Για ένα πρωτόνιο, q = 1.6 X 10-19 C m = 1.67 X 10-27 q 1 F F q 2 m 1 m 2 r 27 kg 9 2-2 k=910 Nm Cb F elec F = grav F F 1 4 q 1 q 2 4 0 m 1 m 2 G -11 2-2 G=6,710 Nm kg elec grav 123. 10 36
ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Εάν q = Q = 1 C, r = 1 m, τότε F e = 9 10 9 N Ισοδύναμη μάζα: m = M = F e /g = 9 10 8 kg = 900 Mkg λόγος δυνάμεων (q = Q = 1 C, m = M = 1 kg): Ιδιότητες φορτίου q = + q είναι κβαντισμένο και αναλλοίωτο, q min = e e (ηλεκτρονικό φορτίο) Θεμελιώδεις σωματιδιακές ιδιότητες ηλεκτρονικό φορτίο : q = -e = -1.60 10-19 C (R.A. Millikan 1909/13, Chicago) λόγος ηλεκτρονικού φορτίου προς τη μάζα: e/m e = 1.76 10 11 C/kg (J.J. J Thomson 1897, Cavendish Lab., see later) ηλεκτρονική μάζα : m e = 9.11 10-31 kg πρωτονικό φορτίο: q = e = +1.60 10-19 C λόγος μάζας πρωτονίου προς ηλεκτρονίου: m p /m e = 1836 λόγος μάζας νετρονίου προς ηλεκτρονίου : m n /m e = 1839
ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΝΟΜΟΣ του Coulomb ΟΡΙΣΜΟΣ Πεδίο "σημειακού" φορτίου Q Ένα φορτίο ελέγχου q στο σημείο P (P= P(r) = σημείο "πεδίου", r = διάνυσμα θέσης) Q στο S (= σημείο "πηγής") 1 Q 1 E rˆ E( r) rˆ, E( r) 4πε 4 Q 2 2 0 r πε 0 r Παρατήρηση: E(r) δεν είναι το μέτρο του διανύσματος E(r), αλλά η συνιστώσα του κατά την ακτινική διεύθυνση, ως εκ τούτου μπορεί να είναι αρνητική ή θετική.
Πεδίο πολλών σημειακών φορτίων {Q i } E 1 Q 4πε r 0 i i 2 i rˆ (διανυσματικό άθροισμα) i Παρατήρηση: 1. Μέτρο του E: E k Σ i (Q i /r i2 ) ιανυσματικό άθροισμα Αλγεβρικό άθροισμα 2. ιεύθυνση (και μέτρο) του E: μπορεί συχνά να υποτεθεί από τη συμμετρία του σμήνους των φορτίων.
Παράδειγμα: Ηλεκτρικό δίπολο p=q a a, a 2d x+d x-d ύο φορτία ίσης και αντίθετης τιμής σε απόσταση a μεταξύ τους, με χαρακτηριστικό μέγεθος την ηλεκτρική διπολική ροπή p=qa. (από - + ) Πεδίο κατά μήκος του άξονα, σε θέση x > d k -k E( x) ( x d) ( x d) ( x d ) 4dx 2 qax 2 p x k q k = k e 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( x d ) ( x d ) ( x d ) 2 2 q k q ( x d ) ( x d ) q 2 2 k 2 2 2 Όπου εσά εισάγαμε εaa = 2d, (απόσταση αση μεταξύ εαξύτων φορτίων) ) και την ηλεκτρική διπολική ροπή p e = q a. Για x >>d, x-dx και συνεπώς: 2pe x 1 2pe Ex ( ) =k x d 2 2 3 ( x ) 4πε x 0
Πεδίο κατά μήκος της μεσοκαθέτου, στη θέση y Σημειώστε ότι το πεδίο κατευθύνεται προς την αρνητική κατεύθυνση x. Για λόγους συμμετρίας το μέτρο του δίνεται από: E q 2k cos, cos α= y d α, 2 2 2 2 y d d E Συνεπώς 2d p 1 p k q = k ( y d ) y y e e 2 2 3/2 yd 3 4 πε0 3 όπου p e = q 2d = q a όπως προηγουμένως. Σημειώστε ότι E 1/r 3 (r = x,y).
y Ηλεκτρικό δίπολο +Q d d -Q r x Ειδική περίπτωση: (κεραίες κεραίες, μόρια) ) r > > d Σημεία στον x-άξονα : Σημεία στον y- άξονα : Για r >>d, Για r >>d, Ey r,0 2 1 Qd 4 3 0 r Κατά διεύθυνση γωνίας Ex 0, r 4 1 Qd r 4 0 3
ιπολικές ροπές μορίων 0 Μόνιμες ;; Στιγμιαίες π.χ. λόγω δόνησης του μορίου Ε Επαγόμενες π.χ. λόγω πεδίου
υναμικές Γραμμές Πεδίου Παρέχουν τρόπο απεικόνισης ηλεκτρικού πεδίου. Σχετίζονται με το πεδίο σε κάθε περιοχή του χώρου ως εξής: Οι δυναμικές αρχίζουν από θετικά και τερματίζονται σε αρνητικά φορτία ή στο άπειρο. Οι γραμμές σχεδιάζονται συμμετρικά κατά την είσοδο ή την έξοδο από φορτίο. Ο αριθμός των γραμμών που αφήνουν θετικό ή πλησιάζουν αρνητικό φορτίο είναι ανάλογος προς την ποσότητα του φορτίου. Ο αριθμός των γραμμών ανά μονάδα επιφανείας κάθετης προς τις γραμμές (πυκνότητα) η είναι ανάλογη προς την ένταση του ηλεκτρικού πεδίου σε αυτή την περιοχή. Σε μεγάλες αποστάσεις από σύστημα φορτίων, οι δυναμικές γραμμές ισαπέχουν μεταξύ τους και είναι ακτινικές σαν να προήλθαν από σημειακό φορτίο ίσο προς το ολικό φορτίο του συστήματος. Το διάνυσμα του ηλεκτρικού πεδίου E είναι εφαπτόμενο των δυναμικών γραμμών Οι δυναμικές γραμμές δεν τέμνονται.
υναμικές Γραμμές Φορτίων E Κατευθύνεται από το +q E Κατευθύνεται προς το -q
Ροπή σε δίπολο Χρησιμοποιήσαμε το σύμβολο a για το διάνυσμα διαχωρισμού των δυο φορτίων που απαρτίζουν το δίπολο και συνεπώς για την έκφραση που ορίζει την ηλεκτρική διπολική ροπή (διάνυσμα), δηλ. p e = q a. Για απλοποίηση του προβλήματος θεωρούμε ότι το δίπολο βρίσκεται στο επίπεδο του «χαρτιού» και το ηλεκτρικό πεδίο είναι ομογενές (ή ότι το μήκος του διπόλου είναι κατά πολύ μικρότερο της βαθμίδας μη ομογενούς πεδίου).
Τότε η συνισταμένη των δυνάμεων ισούται με μηδέν και άρα το κέντρο μάζας του συστήματος ακινητεί (ή κινείται με σταθερή ταχύτητα). Θεωρώντας ομογενές πεδίο (ή το σύστημα να ακινητεί στο προηγούμενο μη ομογενές πεδίο), οι δυο αντίθετες δυνάμεις στα δυο φορτία παράγουν την ίδια ροπή qe(d/2) sinφ ωςπροςτοκέντρο του διπόλου. Συνεπώς, μολονότι η συνολική δύναμη στο δίπολο είναι μηδέν, υπάρχει μια συνολική ροπή με κατεύθυνση προς τα «μέσα» και μέτρο: τ dfsin dqesin pesin όπου p = qdείναιq d η ηλεκτρική διπολική ροπή. Επειδή όμως, τόσο το p όσο και το E είναι διανύσματα, η παραπάνω έκφραση παριστά το μέτρο του διανύσματος που είναι το εξωτερικό γινόμενο των p και E, δηλαδή, ηροπήτ που ασκείται στο δίπολο είναι: τ p E Η διεύθυνση αυτού του διανύσματος είναι προς τα «μέσα» στο επίπεδο του χαρτιού.
Επιπτώσεις Εάν ένα δίπολο είναι ελεύθερο να περιστρέφεται, θα ευθυγραμμιστεί με την διεύθυνση του πεδίου E. (για την ακρίβεια, αν δεν υπάρχουν τριβές, θα ταλαντώνεται γύρω απότην κατεύθυνση του πεδίου ή θα περιστρέφεται ρ με μεταβλητή ω). ) (1) Ένα δίπολο μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον προσδιορισμό της κατεύθυνσης του πεδίου σε κάθε σημείο του χώρου. Άρα, κινώντας το δίπολο κατάλληλα μπορούμε να διαγράψουμε μια δυναμική γραμμή. (2) Όταν στρέφουμε ένα δίπολο κατά μια γωνία dφ, το παράγεται έργο dw = -τ dφ = -pe sinφ dφ. Στρέφοντας το δίπολο από τον προσανατολισμό φ 1 στον φ 2, έχουμε: Αυτό οδηγεί σε μια μεταβολή της δυναμικής ενέργειας του συστήματος πεδίου- διπόλου, που δίνεται από το U(φ 1 ) U(φ 2 ). Άρα, η δυναμική ενέργεια του συστήματος πεδίου-διπόλου δίνεται από: U ( φ) pe cosφ pe όπου φ είναι η γωνία μεταξύ των p και E. Θέσεις ευσταθούς ισορροπίας;
Ηλεκτρικά πεδία από Συνεχείς κατανομές φορτίων Αρχές (Νόμος Coulomb + Νόμος επαλληλίας) ισχύουν και εφαρμόζονται. Μόνη αλλαγή: Παράδειγμα: γραμμική κατανομή r E(r) =? ++++++++++++++++++++++++++ Σ
Πως προσεγγίζουμε αυτόν τον υπολογισμό Με λόγια: r E(r) =? ++++++++++++++++++++++++++ προσθέτουμε τη συνεισφορά από το φορτίο κάθε απειροστού τμήματος της κατανομής, χρησιμοποιώντας την αρχή της επαλληλίας Στην πράξη: Με το νόμο του Coulomb βρίσκουμε το E για κάθε τμήμα της κατανομής Μετά ολοκληρώνουμε (αθροίζουμε) για όλη τη γραμμή x: από έως ή : από έως +++++++++++++++ Υπάρχουν συμμετρίες? ιευκολύνουν τους υπολογισμούς.
Πυκνότητες φορτίου Πως περιγράφουμε το φορτίο Q σε εκτεταμένο σώμα; ολικό φορτίο Q Άθροισμα των απειροστών τμημάτων φορτίου dq Γραμμή φορτίου: λ = φορτίο ανά μονάδα μήκους = γραμμική πυκνότητα φορτίου Επιφάνεια φορτίου: dq = dx dq = da σ = φορτίο ανά μονάδα επιφάνειας = επιφανειακή πυκνότητα φορτίου Χωρική κατανομή: φορτίο ανά dq = dv = φορτίο ανά μονάδα όγκου = πυκνότητα φορτίου
ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΠΕ ΙΟΥ (1) Ομοιόμορφα φορτισμένος δακτύλιος de dq k 2 r Λάθος προσέγγιση: = Λάθος!!
Σωστό: de x = cosα de, cosα = x/r, 1 dq x 1 xdq dex de cosα 4πε x α x α 4 x α 2 2 2 2 2 2 3/2 0 πε0 οπότε E x 1 xdq 1 xq 4πε x α 4 x α 2 2 3/2 2 2 3/2 0 πε0 Λόγω συμμετρίας Ε y =0 άρα Ε=ΕΕ x Παρατηρήσεις: 1. x 0 E(0) 0 2. x a xa x E E x 1 4πε 0 Q x 2 (σημειακό φορτίο!) 3. x a xaa E E x 1 4πε 0 Qx a 3
(2) Ομογενώς φορτισμένος δίσκος (ακτίνα R), σ = dq/da = σταθερά = Q/A σ = επιφανειακή πυκνότητα φορτίου Παρατ.: πεδίο φορτισμένου δακτυλίου ακτίνας r πάχους dr Φορτίο δακτυλίου dq=2πσrdr de x 1 (2 πσrdr ) x 4πε0 2 2 x r 3/2 E x R 1 (2 πσrdr) x σx rdr x r x r Οπότε 2 2 3/2 3/2 2 2 0 4πε0 2ε0 0 R [Ολοκλήρωση λή ] =
d 1 1 2 2 3/2 r 2 dr 2 x r r x r x r 2 2 1/2 2 2 3/2 E x R σx d 1 σx 1 σx 1 1 dr 2 ε dr 2 ε 2 ε x R 2 2 1/2 2 2 1/2 2 2 1/2 0 0 x r 0 x r 0 x R 0 R σ Ex E E( x) 1 2ε 0 1 R x 2 1 / Παρατηρήσεις: x0 ή R, E E(0) σ/2ε0
(3) Πεδίο φορτισμένου σύρματος άπειρου μήκους Γραμμική πυκνότητα φορτίου λ = dq/dl = σταθ. r der cos θde, cosθ s rsecθ s 1 λdz 1 de der cos θ 4πε s 4πε λdz 2 2 0 0 s Το z και το θ συνδέονται dz 2 2 z rtanθ r sec θ dz r sec θdθ dθ z θ τότε (- < z < - π/2 < θ < π/2)
1 λr sec θdθ 1 λ der cosθ cosθdθ 2 2 4πε r sec θ 4πε r 2 0 0 Τελικά π /2 1 λ λ π /2 E E() r der cosθdθ sinθ π /2 4πε0 r π /2 4 πε0 r λ λ 1 ( 1) 4 πε r 2 πε r 0 0
ΣΥΝΟΨΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΠΕ ΙΟΥ Σημειακό φορτίο Q: Er ( ) 1 Q 1 ˆ r 4πε r r 0 2 2 Γραμμική κατανομή φορτίου ( μήκους, πυκνότητα λ) Er ( ) λ 2πε r rˆ Επίπεδη κατανομή φορτίου E n ( εκτάσεως, πυκνότητα σ) 0 Er ( ) 0 σ 1 2ε r ίπολο, κατά μήκος άξονα (P e = qa) 3 3 Er () 0 0 1 1 2P e 1 4πε r r 1 P e 1 4πε r r ίπολο, κατά μήκος της μεσοκαθέτου 3 3 0 r 1