Οι πλευρές κάθε τριγώνου είναι. ανάλογες προς τα ημίτονα των απέναντι γωνιών του. γ. β Δηλαδή: = =.

ΜΕΡΟΣ Β.4 ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΗΜΙΤΟΝΩΝ-ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ 59.4 ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΗΜΙΤΟΝΩΝ-ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ Νόμος των ημιτόνων Με τον νόμο αυτό μπορούμε να υπολογίσουμε τις πλευρές και τις γωνίες ενός τριγώνου όταν δεν είναι ορθογώνιο(μπορεί να είναι οποιοδήποτε τρίγωνο). Οι πλευρές κάθε τριγώνου είναι Α ανάλογες προς τα ημίτονα των απέναντι γωνιών του. γ α β γ β Δηλαδή:. ημα ημβ ημγ Με το νόμο των ημιτόνων, αν γνωρίζουμε μια πλευρά ενός τριγώνου, την απέναντι γωνία της και μια άλλη πλευρά ή γωνία του, τότε μπορούμε να υπολογίσουμε τα υπόλοιπα πρωτεύοντα στοιχεία του ( πλευρές γωνίες ). Νόμος των συνημιτόνων Σ ένα τρίγωνο ΑΒΓ, αν γνωρίζουμε τις τρεις πλευρές του ή δύο πλευρές και την περιεχόμενη γωνία τους, τότε με το νόμο των ημιτόνων δεν μπορούμε να υπολογίσουμε τα υπόλοιπα στοιχεία του τριγώνου, αφού δεν γνωρίζουμε μια πλευρά και την απέναντι γωνία της. Σε κάθε τρίγωνο με πλευρές α, β και γ ισχύουν: α β + γ β γ συνα β γ + α γ α συνβ γ α + β α β συνγ Με το νόμο των συνημιτόνων αν σ ένα τρίγωνο γνωρίζουμε τις τρεις πλευρές του ή δύο πλευρές και την περιεχόμενη γωνία τους, τότε μπορούμε να υπολογίσουμε τα υπόλοιπα πρωτεύοντα στοιχεία του. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1. Να γράψετε το νόμο των ημιτόνων στο τρίγωνο του διπλανού σχήματος Β α Γ

51 ΜΕΡΟΣ Β.4 ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΗΜΙΤΟΝΩΝ-ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΗ Επειδή το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι 18 η άγνωστη γωνία του τριγώνου ισούται με 18 (8 + ) 18 11 7. Επομένως έχουμε: x y ω ημ8 ημ ημ7. Να γράψετε το νόμο των ημιτόνων α) στο τρίγωνο ΑΒΔ β) στο τρίγωνο ΑΔΓ ΑΠΑΝΤΗΣΗ α) Αρχικά από το τρίγωνο ΑΒΔ θα υπολογίσουμε την γωνία Β 18 (7 + ) 18 1 8.Επομένως ο νόμος των η- ΒΔ ΑΔ ΑΒ μιτόνων για το τρίγωνο αυτό γράφεται : ημ ημ8 ημ7 β) Θα υπολογίσουμε από το τρίγωνο ΑΔΓ την γωνία ΑΔΓ η οποία είναι 18 7 ) 11, ως παραπληρωματική της ΑΔΒ καθώς και την γωνία Γ 18 (11 + ) 18 1 5. Σχετικά με τον ΔΓ ΑΓ ΑΔ νόμο των ημιτόνων τώρα έχουμε : ημ ημ11 ημ5. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω ισότητες με (Σ), αν είναι σωστές ή με (Λ), αν είναι λανθασμένες. α) Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει αημβ βημα. β) Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι Α 6, Γ 1, τότε ισχύει β γ ημ1 ημ γ) Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει βγσυνα β + γ - α.δ) Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι Α 7, Γ 8, τότε ισχύει β γ +α γασυν8. ε) Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι Γ 6, τότε ισχύει γ α + β αβ. ΑΠΑΝΤΗΣΗ

ΜΕΡΟΣ Β.4 ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΗΜΙΤΟΝΩΝ-ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ 511 α) Από τον νόμο των ημιτόνων έχουμε ότι: α β ή α.ημβ β.ημα,άρα η α είναι σωστή (Σ). ημα ημβ β) Από τον νόμο των ημιτόνων έχουμε ότι: β γ β γ ή, άρα η β είναι λάθος (Λ). ημβ ημγ ημ ημ1 γ) Από τον νόμο των συνημιτόνων έχουμε ότι: α β + γ βγ συνα ή βγσυνα β + γ -α, άρα η γ είναι σωστή (Σ). δ) Από τον νόμο των συνημιτόνων έχουμε ότι: β γ + α γασυνβ ή β γ + α γασυν,γιατί Β 18 Α Γ 18 7 8, άρα η δ είναι λάθος (Λ). ε) Από τον νόμο των συνημιτόνων έχουμε ότι: γ α + β αβσυνγ ή γ α + β αβσυν6 1 α + β αβ. α + β αβ, άρα η ε είναι σωστή (Σ). 4. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες σύμφωνα με το νόμο των συνημιτόνων x. y ω ΑΠΑΝΤΗΣΗ Είναι : x y + ω yω συν75, Παρόμοια y x + ω xω συν6. Αρχικά θα υπολογίσουμε την άγνωστη γωνία η οποία είναι απέναντι της πλευράς ω. Η γωνία αυτή ισούται με 18 (6 + 75 ) 18 15 45. Είναι τώρα ω x + y xy συν45. 5. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω προτάσεις α) Η γωνία x υπολογίζεται με το νόμο των από την ισότητα.. β) Η πλευρά x υπολογίζεται με το νόμο των. από την ισότητα

51 ΜΕΡΟΣ Β.4 ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΗΜΙΤΟΝΩΝ-ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ γ) Η γωνία x υπολογίζεται με το νόμο των από την ισότητα. δ) Η πλευρά x υπολογίζεται με το νόμο των από την ισότητα. ΑΠΑΝΤΗΣΗ α) Η γωνία x υπολογίζεται με το νόμο των ημιτόνων από την ισότητα 1 1 ημ6 ημx β) Η πλευρά x υπολογίζεται με το νόμο των συνημιτόνων από την ισότητα x 4 +5 4 5 συν5 γ) Η γωνία x υπολογίζεται με το νόμο των συνημιτόνων από την ισότητα 6 4 +5 4 5 συνx ή 4 + 5 6 συνχ 4 5 δ) Η πλευρά x υπολογίζεται με το νόμο των ημιτόνων από την ισότητα x 1 ημ5 ημ7 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ-ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

ΜΕΡΟΣ Β.4 ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΗΜΙΤΟΝΩΝ-ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ 51 ΑΣΚΗΣΗ 1 Να υπολογίσετε το x σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις. α) β) γ) x 4 α) σχ.(1) ή ημ ημ45 x 4 8 ή x 1 8 4 4 x ( ) 4 x 15 β) σχ.() ή ημ45 ημ1 x 15 ή x ή x ή x 15 15 ( ) 15 6 5 6 α) Στη σχέση (1) αντικαθιστούμε τις τιμές του ημ με 1 και του ημ45 με κάνουμε τις πράξεις τρέποντας τα σύνθετα κλάσματα σε απλά διαιρούμε διά του συντελεστή του αγνώστου και τρέπουμε το 4 κλάσμα σε ισοδύναμο με ρητό παρονομαστή πολλαπλασιάζοντας τους όρους του επί β) Στη σχέση () αντικαθιστούμε τις τιμές του ημ45 με 6 ) ημ6 και του ημ1 ημ(18 κάνουμε τις πράξεις τρέποντας τα σύνθετα κλάσματα σε απλά διαιρούμε διά του συντελεστή του αγνώστου και τρέπουμε το κλάσμα 15 σε ισοδύναμο με ρητό παρονομαστή πολλαπλασιάζοντας τους όρους του επί γ) Στη σχέση () αντικαθιστούμε τις τιμές

514 ΜΕΡΟΣ Β.4 ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΗΜΙΤΟΝΩΝ-ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ x 8 γ) ημ1 ημ45 x 8 ή x 16 ή x 16 ή 16 8 8 x ( ) 8 6 4 6 του ημ1 ημ(18 6 ) ημ6 και του ημ45 με Κάνουμε τις πράξεις τρέποντας τα σύνθετα κλάσματα σε απλά Διαιρούμε διά του συντελεστή του αγνώστου και τρέπουμε το κλάσμα ισοδύναμο με ρητό παρονομαστή πολλαπλασιάζοντας τους όρους του επί ΑΣΚΗΣΗ Να υπολογίσετε το x σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις. α) β) γ) 8 σε 8 4 α) σχ. (1) ή ημx ημ 8 4 8 8 ή ή ημx 1 ημx 1 8 ημx 8 ή ημx 1 ή x 9 5 5 β) σχ.() ή ημx ημ1 α) Στη σχέση (1) αντικαθιστούμε το ημ 1 Κάνουμε τις πράξεις τρέποντας τα σύνθετα κλάσματα σε απλά Διαιρούμε διά του συντελεστή του αγνώστου. Από τους τριγωνομετρικούς πίνακες βρίσκουμε ότι η γωνία x είναι 9. β) Στη σχέση () αντικαθιστούμε τις τιμές

ΜΕΡΟΣ Β.4 ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΗΜΙΤΟΝΩΝ-ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ 515 5 ημx 5 5 1 5 1 ή ή ημx ημx 1 1 ημx 5 ή 5 1 ημx ή x 1 6 γ) σχ. () ή ημx ημ6 6 6 6 ή ή ημx ημx 1 1 ή ημx 1ή x 9 ημx 1 του ημ1 ημ(18 6 ) ημ6 Κάνουμε τις πράξεις τρέποντας τα σύνθετα κλάσματα σε απλά και κάνοντας τις σχετικές απλοποιήσεις. Επιλύουμε ως προς ημx. Από τους τριγωνομετρικούς πίνακες βρίσκουμε ότι η γωνία x είναι. γ) Αντικαθιστούμε στην σχ.() το ημ6 με Κάνουμε τις πράξεις, τρέποντας το σύνθετο κλάσμα σε απλό,καθώς επίσης και τις σχετικές απλοποιήσεις, επιλύοντας ως προς ημx. Από τους τριγωνομετρικούς πίνακες βρίσκουμε ότι η γωνία x είναι 9. ΑΣΚΗΣΗ Να υπολογίσετε τις υπόλοιπες γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ, όταν α) α, β και Β β) β, γ και Γ 6 α β α) ή ημα ημβ σχ.(1) ή ημα ημ ή ημα 1 ημα 1 1 ή ημα 1ή ημα 1 1 ημα ( ) ή α) Εφαρμόζουμε τον νόμο των ημιτόνων Αντικαθιστούμε τα γνωστά στοιχεία 1 Αντικαθιστούμε στην σχ.(1) το ημ με Κάνουμε τις πράξεις, τρέποντας το σύνθετο κλάσμα σε απλό,καθώς επίσης και τις σχετικές απλοποιήσεις Επιλύουμε ως προς ημα και τρέπουμε το 1 κλάσμα σε ισοδύναμο με ρητό παρονομαστή πολλαπλασιάζοντας τους όρους του επί Από τους τριγωνομετρικούς πίνακες βρίσκουμε την γωνία A

516 ΜΕΡΟΣ Β.4 ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΗΜΙΤΟΝΩΝ-ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ A 45 και Γ 15 ή 15 και Γ 15 β γ β) ή ημβ ημγ σχ.() ή ημβ ημ6 ή ή ημβ ημβ ή ημβ ή ημβ 1 ημβ ή 45 και B A 75 ΑΣΚΗΣΗ 4 A β) Εφαρμόζουμε τον νόμο των ημιτόνων Αντικαθιστούμε τα γνωστά στοιχεία Αντικαθιστούμε στην σχ.() το ημ6 με Κάνουμε τις πράξεις, τρέποντας το σύνθετο κλάσμα σε απλό,καθώς επίσης και τις σχετικές απλοποιήσεις Επιλύουμε ως προς ημβ Από τους τριγωνομετρικούς πίνακες βρίσκουμε την γωνία B Αν σ τρίγωνο ΑΒΓ είναι Β, β 1, α 1, τότε να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο ή ισοσκελές. α β ή ημα ημβ 1 1 σχ.(1) ή ημα ημ 1 ή ημα 1 ημα 1 ημα ή ημα Τότε : A6 ή A 1 Εάν A6 τότε είναι Γ 18 (6 + ) Εφαρμόζουμε τον νόμο των ημιτόνων Αντικαθιστούμε τα γνωστά στοιχεία Αντικαθιστούμε στην σχ.(1) το ημ με 1 Κάνουμε τις πράξεις, τρέποντας το σύνθετο κλάσμα σε απλό,καθώς επίσης και τις σχετικές απλοποιήσεις Επιλύουμε ως προς ημα Από τους τριγωνομετρικούς πίνακες βρίσκου-με την γωνία A A Παρατηρούμε ότι 6. Επειδή όμως είναι ημ1 ημ(18 6 ) ημ6 η γωνία A είναι δυνατόν να είναι και 1

ΜΕΡΟΣ Β.4 ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΗΜΙΤΟΝΩΝ-ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ 517 18 9 9 Άρα το τρίγωνο είναι ορθογώνιο με ορθή γωνία την Γ. Εάν A 1 τότε Γ 18 (1 + ) 18 15 Β. Άρα το τρίγωνο είναι ισοσκελές με ΑΒ ΑΓ. ΑΣΚΗΣΗ 5 Να υπολογίσετε το μήκος της διαδρομής x του εναέριου σιδηρόδρομου στο διπλανό σχήμα.( Να χρησιμοποιήσετε τριγωνομετρικούς πίνακες). Θα προσδιορίσουμε την τρίτη γωνία του τριγώνου που είναι 18 (1 + )18 16. x m Είναι τώρα ή ημ1 ημ x m ή,766,4 Ο,4 x,766 m ή 15,m x 448m,4 ΑΣΚΗΣΗ 6 Αφού γνωρίζουμε τις δύο από αυτές, από τις 18 θα αφαιρέσουμε το άθροισμα των δύο γνωστών γωνιών. Εφαρμόζουμε τον νόμο των ημιτόνων. Για τον υπολογισμό του ημ1 έχουμε: ημ1 ημ(18 5 ) ημ5,766 όπως διαπιστώνου-με από τους τριγωνομετρικούς πίνακες. Επιλύουμε την εξίσωση Ένας μαθητής απευθυνόμενος στον καθηγητή του των Μαθηματικών είπε - Κύριε, σε ένα βιβλίο βρήκα μια άσκηση στην οποία έδινε ένα τρίγωνο ΑΒΓ με α 1, β 6, Β 6 και ζητούσε να βρεθούν τα υπόλοιπα στοιχεία του. Πώς λύνεται ; Ο καθηγητής αφού είδε την άσκηση τού είπε : - Κάποιο λάθος έχεις κάνει, γιατί δεν υπάρχει τέτοιο τρίγωνο. Πώς το κατάλαβε ο καθηγητής ; Ο καθηγητής εφάρμοσε τον νόμο των ημιτόνων στο τρίγωνο και διαπίστωσε ότι:

518 ΜΕΡΟΣ Β.4 ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΗΜΙΤΟΝΩΝ-ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ α β 1 6 1 6 ή ή ή 6 ημα,866 1 ή ημα ημα ημβ ημα ημ6 ημα,866 1,9 1,7>1 το οποίο δεν είναι δυνατό να συμβαίνει. 6 ΑΣΚΗΣΗ 7 Οι δυνάμεις F 1, F έχουν συνισταμένη F 1 N που σχηματίζει με την F 1 γωνία 8 και με την F γωνία 5.Nα υπολογίσετε τις δυνάμεις F 1, F. ( Να χρησιμοποιήσετε τριγωνομετρικούς πίνακες). Αρχικά θα υπολογίσουμε τις γωνίες του τριγώνου ΟFF 1 και έχουμε: Ο FF 1 F O F 5. Θα υπολογίσουμε τώρα την γωνία F 1 η οποία είναι: F 1 18 (8 +5 ) 117 Έχουμε : F F1 F ή ημ117 ημ5 ημ8 F ημ6 F F 1 ή ημ5 ημ8 1N F1 F,891,57,469 Προκύπτουν τώρα οι εξισώσεις: 1N F1 (1) και,891,57 1N F (),891,469 Οι γωνίες είναι ίσες ως εντός εναλλάξ Αφαιρούμε από τις 18 το άθροισμα των δύο γνωστών γωνιών. Εφαρμόζοντας κατάλληλα τον νόμο των ημιτό-νων. Είναι ημ117 ημ(18 6 ) ημ6. Βρίσκουμε τα ημίτονα των 6, 5 και 8 από τους τριγωνομετρικούς πίνακες. Από την επίλυση των εξισώσεων (1) και () βρίσκουμε τις δυνάμεις F 1 και F. Από την επίλυση της εξίσωσης (1) έχουμε:,891 F 1,57 1N ή F 1 5,7N 6,4N.,891

ΜΕΡΟΣ Β.4 ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΗΜΙΤΟΝΩΝ-ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ 519 Παρόμοια από την επίλυση της () έχουμε:,891 F,469 1N ή 4,69N F 5,6N,891 ΑΣΚΗΣΗ 8 Ένας τοπογράφος για να μετρήσει το ύψος ενός ψηλού κτιρίου τοποθέτησε το γωνιόμετρό του στο σημείο Α και βρήκε τη γωνία Ε Γ Ζ 46. Στη συνέχεια μετακινήθηκε κατά m, τοποθέτησε το γωνιόμετρο στη θέση Β και βρήκε τη γωνία Ε Δ Γ 6. Ποιο ήταν το ύψος του κτιρίου, αν το γωνιόμετρο έχει ύψος 1,4 m ;(Να χρησιμοποιήσετε τριγωνομετρικούς πίνακες). Δραστηριότητα Η άσκηση 8 αποτελεί ένα υπόδειγμα για να κάνετε και εσείς ανάλογες μετρήσεις μεταξύ απρόσιτων σημείων. Αν δεν έχετε γωνιόμετρο, τότε μπορείτε να τοποθετήσετε ένα διαβήτη μπροστά στο μάτι σας, ώστε το ένα σκέλος του να είναι οριζόντιο. Αφού ανοίξετε το άλλο σκέλος, να μετρήσετε τη γωνία που σχηματίζεται μ ένα μοιρογνωμόνιο. Μπορείτε να χωριστείτε σε ομάδες, να μετρήσετε όλοι την ίδια απόσταση (π.χ. το ύψος του σχολείου σας), να συγκρίνετε τις μετρήσεις σας και να διορθώσετε πιθανά λάθη. Εάν γνωρίζαμε το μήκος του τμήματος ΓΕ που είναι υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου ΖΓΕ θα μπορούσαμε να υπολογίσουμε το μήκος της κάθετης πλευράς του ΕΖ και από αυτό το ύψος του κτιρίου. Αρχικά θα εργασθούμε στο τρίγωνο ΓΔΕ, για να υπολογίσουμε το μήκος της ΓΕ. Θα υπολογίσουμε τις γωνίες του τριγώνου ΓΔΕ Είναι: Δ ΓΕ 18 Ε ΓΖ 18 46 14. Ακόμα είναι : Δ E Γ 18 (Ε ΔΓ + Ε ΓΔ) ή Οι γωνίες ΔΓΕ και ΕΓΖ είναι παραπληρωματικές. Από τις 18 αφαιρούμε το άθροισμα των

5 ΜΕΡΟΣ Β.4 ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΗΜΙΤΟΝΩΝ-ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ Δ E Γ 18 (6 +14 ) ή Δ E Γ 18 16 Έχουμε τώρα : ΓΔ ΓΕ ΕΔ ή ημε ημδ ημ ΔΓΕ m ΓΕ ή ημ ημ6 m ΓΕ ή,4,48,4 ΓΕ,48 m ή,4 ΓΕ 1,14m 1,14m ή ΓΕ 8,4m,4 γωνιών ΕΔΓ και Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΖΓΕ έχουμε: ημ ΖΓΕ ημ46 ΕΖ 8,4m ΕΓΔ. Εφαρμόζουμε τον νόμο των ημιτόνων στο τρίγωνο ΓΔΕ. Από τους τριγωνομετρικούς πίνακες βρίσκουμε τα ημ, ημ6 και τέλος υπολογίζουμε το μήκος του ΓΕ ΕΖ ή ΕΓ ή ΕΖ ημ46 8,4m,719 8,4m 7,6m. Για να βρούμε τέλος το ύψος του κτιρίου αρκεί στο μήκος του ΕΖ να προσθέσουμε το ύψος του γωνιομέτρου. Το ύψος λοιπόν είναι: 7,6m + 1,4m 9,m ΑΣΚΗΣΗ 9 Να υπολογίσετε το x σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις. α) β) γ) δ) Σε κάθε μία των περιπτώσεων θα εφαρμόσουμε τον νόμο των συνημιτόνων. α ) Είναι : x 7 + ( ) 7 ( )συν45 49+18 4 ( 67 4 ) 67 4 67 4 5, άρα x 5 5.

ΜΕΡΟΣ Β.4 ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΗΜΙΤΟΝΩΝ-ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ 51 β) Είναι : 7 +5 5 συνx ή 49 9+5 συνx ή συνx 9 + 5 49 ή συνx 15 ή συνx,5 συν6 συν(18 1 ) συν1 Άρα x 1 γ) Είναι:x 4 +( ) 4 συν 16+1 16 ( ) 8 16 8 16 8 8 8 4 4, άρα x 4. δ) Είναι : 1 1 + 5 1 5 συνx ή 169 144+5 1συνx ή 1συνx 169 169 ή συνx ή x 9. ΑΣΚΗΣΗ 1 Να υπολογίσετε τις ίσες πλευρές β, γ ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ, αν Α 1 και α. Εάν θέσουμε β γ x, αφού το τρίγωνο είναι ισοσκελές, με εφαρμογή του νόμου των συνημιτόνων έχουμε: α x + x x x συν1 ή ή ( ) x x συν1 ή ( ) x x ( 1 ) ή (γιατί συν1 συν(18 6 ) συν6 1 ) 7 x +x ή 7 x ή x 7 9 ή x 9. ΑΣΚΗΣΗ 11 Σε κύκλο με ακτίνα R 1 c m, η χορδή ΑΒ αντιστοιχεί σε τόξο 1. Να υπολογίσετε το μήκος της χορδής. Επειδή η επίκεντρη γωνία ΑΟΒ 1 εφαρμόζοντας τον νόμο των συνημιτόνων στο τρίγωνο ΑΟΒ έχουμε : (ΑΒ) (ΟΑ) + (ΟΒ) (ΟΑ) (ΟΒ) συν1 ή

5 ΜΕΡΟΣ Β.4 ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΗΜΙΤΟΝΩΝ-ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ (ΑΒ) 1 + 1 1 1 συν1 1+1 ( 1 ) ή ΑΒ 1 1 1 cm ΑΣΚΗΣΗ 1 Να υπολογίσετε τις διαγωνίους παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ με ΑΒ 4, ΒΓ και Α 1. Αρχικά παρατηρούμε ότι 18 B A 18 1 6 ως παραπληρωματικές. Εφαρμόζουμε τον νόμο των συνημιτόνων. α) Στο τρίγωνο ΑΒΓ και έχουμε: (ΑΓ) (ΑΒ) +(ΒΓ) (ΑΒ) (ΒΓ) συν6 4 + 4 1 16+9 11 οπότε συμπεραίνουμε ότι ΑΓ 1 β) Στο τρίγωνο ΑΒΔ, αφού παρατηρήσουμε ότι ΑΔ ΒΓ, ως απέναντι πλευρές παραλληλογράμμου και έχουμε: (ΒΔ) (ΑΒ) +(ΑΔ) (ΑΒ) (ΑΔ) συν1 4 + 4 ( 1 )16+9+1 7 άρα ΒΔ 7 ΑΣΚΗΣΗ 1 Μια τεχνική εταιρεία θέλει να καταθέσει μια προσφορά για την κατασκευή μιας σήραγγας ΑΒ. Ένας μηχανικός της εταιρείας με τους συνεργάτες του έστησε ένα γωνιόμετρο στη θέση Μ που η απόστασή του από το Α ήταν 1 m και από το Β ήταν 154 m. Αφού μέτρησε τη γωνία Α Μ Β 7, ισχυρίστηκε ότι με αυτά τα στοιχεία μπορούσε να υπολογίσει το μήκος της σήραγγας. Είχε δίκιο ή άδικο ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

ΜΕΡΟΣ Β.4 ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΗΜΙΤΟΝΩΝ-ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ 5 Ο μηχανικός είχε δίκιο, γιατί με στοιχεία που γνωρίζει, μετά τις μετρήσεις που έκανε, εφαρμόζοντας τον νόμο των συνημιτόνων στο τρίγωνο ΜΑΒ μπορεί να υπολογίσει το μήκος της σήραγγας ΑΒ. Συγκεκριμένα έχουμε: Στο τρίγωνο ΑΒΜ και έχουμε: (ΑΒ) (ΑΜ) +(ΒΜ) (ΑΜ) (ΒΜ) συν7 1 +154 1 154,9 1+716-894784 οπότε συμπεραίνουμε ότι ΑΓ 4784 157,4 ( ) m ΑΣΚΗΣΗ 14 Ένας πυροσβεστήρας αυτόματης κατάσβεσης πρόκειται να στηριχτεί πάνω από τον καυστήρα ενός καλοριφέρ. Ένας τεχνικός θέλει να κατασκευάσει τη βάση στήριξής του και διαθέτει τρεις μεταλλικές βέργες ΑΒ,7 m, ΑΓ 1, m και ΒΓ1,8 m. Για να κολλήσει όμως κατάλληλα τις βέργες ΑΒ, ΑΓ, όπως φαίνεται στο σχήμα, πρέπει να γνωρίζει τη γωνία ω. Μπορείτε εσείς να την υπολογίσετε, ώστε να βοηθήσετε τον τεχνικό ; Θα εφαρμόσουμε τον νόμο των συνημιτόνων στο τρίγωνο ΑΒΓ και θα υπολογίσουμε την γωνία ω. (ΒΓ) (ΑΒ) +(ΑΓ) (ΑΒ) (ΑΓ)συνω ή 1,8,7 +1, (,7) (1,)συνω ή 1,8.συνω,49+1,69,4 ή 1,8.συνω 1,6 ή 1,6 1,8συνω 1,6 ή συνω, 58 ή συνω συν54 περίπου. 1,8 Επειδή συν54 συν(18 54 ) συν16 προκύπτει ότι ω 16.

54 ΜΕΡΟΣ Β.4 ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΗΜΙΤΟΝΩΝ-ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 1. Να αποδείξετε ότι: α) ( ) 1+ συνx 1 ημx + συνx ( 1 ημx)( 1 + συνx) β) + α) ( 1 ημx + συνx) 1 + ημ x + συν x ημx +συνx ημxσυνx 1+1 ημx+συνx ημxσυνx ημx+συνx ημxσυνx (1 ημx+συνx ημxσυνx ) [(1 ημx) +συνx (1 ημx)] (1 ημx) (1 ημx). 1+ συνx ημx β) + ημx 1+ συνx (1+ συνx) (1+ συνx) ημx ημx + ημx (1+ συνx) (1+ συνx) ημx (1+ συνx) ημ x + ημx (1+ συνx) (1+ συνx) ημx (1+ συνx) + ημ x ημx (1+ συνx) 1+ συνx + συν x + ημ x ημx (1+ συνx) 1+ συνx + 1 + συνx ημx (1+ συνx) ημx (1+ συνx) (1+ συνx) ημx (1+ συνx) ημx ημx ημx 1+ συνx ημx α) Θεωρούμε το 1 ο μέλος της σχέσης που θέλουμε να αποδείξουμε και κάνουμε τις πράξεις. Βρίσκουμε το ανάπτυγμα του τετραγώνου Θέτουμε ημ x + συν x 1 Παραγοντοποιούμε εξάγοντας κοινό παράγοντα το και στη συνέχεια με ομαδοποίηση. β) Θεωρούμε το 1 ο μέλος της σχέσης που θέλουμε να αποδείξουμε και κάνουμε τις πράξεις. Κάνουμε τα κλάσματα ομώνυμα παρατηρώντας ότι το ΕΚΠ των παρονομαστών είναι το γινόμενο ημx (1+ συνx). Κάνουμε τις σχετικές πράξεις Βρίσκουμε το ανάπτυγμα του τετραγώνου. Θέτουμε ημ x + συν x 1 Παραγοντοποιούμε εξάγοντας κοινό παράγοντα το και κάνουμε τις σχετικές απλοποιήσεις. Σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων Οxy δίνεται το σημείο Α ( 4, ) και το σημείο Μ που έχει τετμημένη 5 και η απόστασή του από το Ο είναι 1. Αν ω είναι η γωνία ΟΜ, να υπολογίσετε το συνω και την απόσταση ΑΜ. Α

ΜΕΡΟΣ Β.4 ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΗΜΙΤΟΝΩΝ-ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ 55 Αφού γνωρίζουμε την τετμημένη του σημείου Μ η οποία είναι x 5 και x 5 την απόσταση του από το Ο η οποία είναι ρ 1 το συνω ρ 1 Θα υπολογίσουμε την τεταγμένη y του σημείου M. Είναι ρ x +y ή 1 ( 5) +y ή 169 5+y ή y 169 5 144 ή y ± 144 ± 1 Οπότε Μ( 5,1) ή Μ(( 5, 1) και επομένως : ( AM) ( 5 4) + ( 1 ) 81+ 144 5 15 ή ( AM) ( 5 4) + ( 1 ) 81+ 144 5 15. Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΒΓcm, Β 45 και Γ 75. Να χαράξετε τη διχοτόμο ΑΔ του τριγώνου ΑΒΓ, να εξηγήσετε γιατί το τρίγωνο ΑΔΓ είναι ισοσκελές και να υπολογίσετε το μήκος της διχοτόμου ΑΔ. Αρχικά θα υπολογίσουμε την Α γωνία Α του τριγώνου ΑΒΓ. Είναι Α 18 ( B+ ) 18 (45 +75 ) 18 1 6. Άρα η ΓΑΔ αφού η ΑΔ είναι η διχοτόμος της γωνίας Α. Θα υπολογίσουμε τώρα την γωνία Γ Γ Β ΑΔΓ Δ του τριγώνου ΑΔΓ. Είναι ΑΔΓ 18 ( ΓΑΔ + ) 18 ( +75 ) 18 15 75 Γ. Επομένως το τρίγωνο ΑΔΓ είναι ισοσκελές αφού ΑΔΓ 75, οπότε ΑΔ ΑΓ. Για να υπολογίσουμε τώρα το μήκος της διχοτόμου ΑΔ αρκεί να υπολογίσουμε το μήκος της ΑΓ.Αυτή θα υπολογισθεί με εφαρμογή του νόμου των ημιτόνων στο τρίγωνο ΑΒΓ. Έχουμε: Γ ΑΓ ΒΓ ΑΓ cm ΑΓ cm ή ή ή ημβ ημα ημ45 ημ6,77,866 1,1,866 ΑΓ,77 cm ή ΑΓ 4,49 cm. Άρα και ΑΔ 4,49cm.,866 Γ

56 ΜΕΡΟΣ Β.4 ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΗΜΙΤΟΝΩΝ-ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ 4. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και η διχοτόμος του ΑΔ. Να αποδείξετε ότι: γ ημφ β ημω α) β) ΒΔ ημα 1 ΓΔ ημα γ) γ ΒΔ β ΓΔ ΑΒ ΒΔ γ ΒΔ α) ή ή ημφ ημα 1 ημφ ημα 1 γ ημφ σχ(1). ΒΔ ημα 1 ΑΓ ΔΓ β ΔΓ β) ή ή ημω ημα ημω ημα β ημω σχ() ΔΓ ημα γ) Είναι ημφ ημ(18 ω) ημω σχ() παρόμοια είναι ημα 1 ημα, σχ(4) Από τις σχέσεις () και (4) συμπεραίνουμε ότι τα δεύτερα μέλη των σχέσεων (1) και () είναι ίσα, αφού έχουμε κλάσματα με ί- γ σους όρους. Επομένως β γ ΒΔ ή ΒΔ ΔΓ β ΓΔ α) Εφαρμόζουμε τον νόμο των ημιτόνων στα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΔΓ Αλλάζουμε τους μέσους όρους των αναλογιών εφαρμόζοντας γνωστή ιδιότητα β) Εφαρμόζουμε τον νόμο των ημιτόνων στα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΔΓ Αλλάζουμε τους μέσους όρους των αναλογιών εφαρμόζοντας γνωστή ιδιότητα γ) Οι γωνίες ω και φ είναι παραπληρωματικές Οι γωνίες Α 1 και Α είναι ίσες γιατί η ΑΔ είναι διχοτόμος της γωνίας Α Αλλάζουμε τους μέσους όρους των αναλογιών εφαρμόζοντας γνωστή ιδιότητα 5. α) Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ του διπλανού σχήματος είναι 1 Ε β γ ημα β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του κήπου ΑΒΓ του διπλανού σχήματος.

ΜΕΡΟΣ Β.4 ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΗΜΙΤΟΝΩΝ-ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ 57 α) Παρατηρούμε ότι το ΓΔ είναι το ύψος του τριγώνου που αντιστοιχεί στην πλευρά ΑΒ γ. Επομένως το εμβαδόν του τριγώνου είναι Ε 1 (ΑΒ) (ΓΔ). (1) Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΓΑΔ προκύπτει ότι ημ ΓΑΔ ΓΔ ή ΑΓ ΓΔ (ΑΓ) ημ ΓΑΔ. Οι γωνίες όμως ΒΑΓ και ΓΑΔ είναι παραπληρωματικές, επομένως είναι ημ ΓΑΔ ημ(18 ΒΑΓ ) ημ ΒΑΓ ημ Α. Άρα τελικά ΓΔ β ημ Α, (). Η σχέση τώρα (1) αν λάβουμε υπό όψη μας 1 1 την σχέση () γίνεται Ε γβημα βγημα. β) Θα εφαρμόσουμε τον νόμο των συνημιτόνων στο τρίγωνο ΑΒΓ και θα υπολογίσουμε το συνα και στη συνέχεια την γωνία Α. Είναι (ΒΓ) (ΑΒ) + (ΑΓ) (ΑΒ)(ΑΓ)συνΑ ή α β +γ βγσυνα ή (8m) (1m) + (m) (1m)(m)συνΑ ή 784m 144m +4m 48m συνα ή 48m συνα144m +4m 784m ή 48m συνα 4m 4m 1 ή συνα. 48m 1 Έχουμε λοιπόν συνα συν6 συν(18 1 ) συν1. Άρα A 1. Σύμφωνα τώρα με τον τύπο του εμβαδού του τριγώνου που είδαμε στο ερώτημα (α) είναι: Ε (ΑΒ)(ΑΓ)ημΑ (m)(1m) ημ1 1 1 1 4m ημ(18 6 ) 1m ημ6 1m,866 1,9m. 6. α) Αν σ ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ημ Α ημ Β + ημ Γ, τότε να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο. β) Αν σ ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ημ(β+γ) + συν (Β Γ ), τότε να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές. α β γ ή ημα ημβ ημγ α) Από τον νόμο των ημιτόνων στο τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε Υψώνουμε τα μέλη της ισότητας αυτής στο τετράγωνο και έχουμε.

58 ΜΕΡΟΣ Β.4 ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΗΜΙΤΟΝΩΝ-ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ α (ημα) β γ ή (ημβ) (ημγ) α β γ ή ημ Α ημ Β ημ Γ α β + γ (1) ή ημ Α ημ Β + ημ Γ Γνωρίζουμε ότι ένα έχουμε ίσα μεταξύ τους κλάσματα τότε αυτά είναι ίσα και με ένα κλάσμα που έχει αριθμητή το άθροισμα των αριθμητών και παρονομαστή το άθροισμα των παρονομαστών. Επειδή ημ Α ημ Β + ημ Γ αντικαθιστούμε στην (1) το ημ Β + ημ Γ με ημ Α Αφού στη σχέση () έχουμε ίσα κλάσμα-τα με ίσους παρονομαστές αυτά θα έχουν και ίσους αριθμητές. δηλ. ισχύει το Πυθαγόρειο θεώρημα άρα το τρίγωνο είναι ορθογώνιο με υποτείνουσα την πλευρά α. α β + γ σχ().ή ημ Α ημ A α β + γ β) Η δοσμένη σχέση ημ(β+γ) + συν (Β Γ ) ισχύει μόνο στην περίπτωση που καθένας από τους τριγωνομετρικούς αριθμούς ημ(β+γ) και συν(β Γ) πάρει την μεγαλύτερη δυνατή τιμή, δηλ. εάν ημ(β+γ) 1 και συν(β Γ) 1. Επειδή όμως Α+Β+Γ 18 συμπεραίνουμε ότι Β+Γ 18 Α άρα και ημ(β+γ) ημ(18 Α) ημα. Επομένως είναι ημα ημ(β+γ) 1,ή ημα ημ9. Άρα Α 9, δηλ. το τρίγωνο είναι ορθογώνιο. Από την σχέση τώρα συν(β Γ) 1 επειδή συν 1 συμπεραίνουμε ότι συν(β Γ) συν. Επομένως πρέπει Β Γ ή Β Γ. Άρα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι και ισοσκελές. 7. Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ να αποδείξετε ότι α) α(ημβ ημγ) + β ( ημγ ημα)+γ ( ημα ημβ). β) α β συν Γ + γ συν Β γ) β γ α( β συνγ γ συν Β) συνα συνβ συνγ α + β + γ δ) + + α β γ αβγ α) Εάν συμβολίσουμε με λ την τιμή καθενός από τα ίσα κλάσματα του νόμου των ημιτόνων για το τρίγωνο ΑΒΓ δηλαδή θέσουμε : α β γ λ τότε έχουμε: ημα ημβ ημγ α λ ή α λ ημα, (1) ημα β λ ή β λ ημβ, () ημβ α) Εξισώνοντας καθένα από τα κλάσματα με την τιμή λ και επιλύοντας την σχέση που προκύπτει ως προς την πλευρά του τριγώνου καταλήγουμε στις σχέσεις (1), (),() από τις οποίες αποδίδεται κάθε πλευρά του τριγώνου ως συνάρτηση του ημιτόνου της απέναντι γωνίας.

ΜΕΡΟΣ Β.4 ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΗΜΙΤΟΝΩΝ-ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ 59 γ λ ή γ λ ημγ, () ημγ Θεωρούμε τώρα το 1 ο μέλος της σχέσης που μας δίνεται και αντικαθιστούμε κάθε μία από τις πλευρές όπως τις έχουμε στις παραπάνω σχέσεις.τότε: α ( ημβ ημγ) + β ( ημγ ημα ) + γ ( ημα ημβ ) λ ημα ( ημβ ημγ ) + λ ημβ ( ημγ ημα ) + λ ημγ ( ημα ημβ ) λ [ ημα ( ημβ ημγ ) + ημβ ( ημγ ημα ) + ημγ ( ημα ημβ )] λ ( ημα ημβ ημα ημγ + ημβ ημγ ημβ ημα + ημγ ημα ημγ ημβ ) λ. β)εφαρμόζουμε τον νόμο των συνημιτόνων στο τρίγωνο ΑΒΓ για τις πλευρές γ και β. γ α + β αβσυν Γ ή αβσυν Γ α + β γ ή α + β γ βσυν Γ. (1) α Παρόμοια β γ + α γασυν B ή γασυν B γ + α β γ + α β γσυν B () α βσυν Γ + γσυν B α + β γ γ + α β + α α α + β β) Επιλύουμε την σχέση αυτή ως προς το βσυνγ. Παρόμοια υπολογίζουμε το γσυνβ Προσθέτουμε κατά μέλη τις σχέσεις (1), () και κάνουμε πράξεις. γ + γ α + α β α ή α βσυν Γ + γσυν Bα γ)εφαρμόζουμε τον νόμο των συνημιτόνων στο τρίγωνο ΑΒΓ για τις πλευρές β και γ. Έχουμε λοιπόν: β γ + α γασυν B (1) γ α + β αβσυν Γ () β γ (γ + α γασυν B) -(α + β αβσυν Γ ) ή β γ γ + α γασυν B α β γ) Επιλύουμε την σχέση αυτή ως προς το βσυνγ. Παρόμοια υπολογίζουμε το γσυνβ Προσθέτουμε κατά μέλη τις σχέσεις (1), () και κάνουμε πράξεις. Αφαιρούμε τις σχέσεις (1) και () κατά μέλη και κάνουμε τις σχετικές πράξεις.

5 ΜΕΡΟΣ Β.4 ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΗΜΙΤΟΝΩΝ-ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ + αβσυν Γ ή β γ +β γ γασυν B+ αβσυν Γ ή β γ αβσυν Γ γασυν B () ή (β γ ) α(βσυν Γ γσυν B) ή β γ α(βσυν Γ γσυν B) δ) Από τον νόμο των συνημιτόνων για την πλευρά α έχουμε : α β + γ βγσυνα (1) ή βγσυνα β + γ α ή β + γ α συνα () ή βγ συνα β α συνb α β συν Γ β γ συνα + α β + γ α αβγ + γ β αβγ + α γ αβγ (). (4) συνb συν Γ + β γ + γ α αβγ α + (5) + γ β αβγ β + + α γ αβγ β + γ α + α + γ β + β + α γ αβγ Παραγοντοποιούμε τη σχέση ().Εξάγουμε στο 1 ο μέλος κοινό παράγοντα το και στο ο το α, και στη συνέχεια διαγράφουμε το. α + β + γ αβγ 8. Να βρείτε τις πλευρές τριγώνου ΑΒΓ, αν τα μήκη τους είναι διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί, η γ είναι η μικρότερη πλευρά και συν Γ. 4 Αφού οι πλευρές του τριγώνου είναι φυσικοί αριθμοί με μικρότερη από αυτές είναι η γ οι άλλες πλευρές θα είναι γ+1 και γ+. Έστω λοιπόν ότι δ) Επιλύουμε την σχέση (1) ως προς συνα Διαιρούμε τα μέλη της σχέσης () διά του α οπότε προκύπτει η σχέση (). Εργαζόμενοι αντίστοιχα έχουμε τις σχέσεις (4) και (5). Προσθέτουμε κατά μέλη τις σχέσεις (), (4) και (5) και στη συνέχεια κάνουμε τις πράξεις στο ο μέλος προσθέτοντας τα ομώνυμα κλάσματα που προκύπτουν.

ΜΕΡΟΣ Β.4 ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΗΜΙΤΟΝΩΝ-ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ 51 α γ+ και β γ+1.από τον νόμο των συνημιτόνων έχουμε: γ β + α βασυνγ ή γ (γ+1) + (γ+) (γ+1)(γ+) 4 ή γ (γ+1) + (γ+) (γ+1)(γ+) ή γ (γ+1) + (γ+) (γ+1)(γ+) ή γ (γ+1) + (γ+) (γ+1)(γ+) ή γ (γ +γ+1) + (γ +4γ+4) (γ+1)(γ+) ή γ γ +4γ+ + γ +8γ+8 (γ +γ+) ή γ γ +4γ+ + γ +8γ+8 γ 9γ 6 ή γ γ +γ+4 ή γ γ γ 4 ή γ γ 4 Επιλύουμε την δευτεροβάθμια εξίσωση στην οποία η διακρίνουσα Δ ( ) 4 1 ( 4) 9 + 16 5. ( ) ± 5 ± 5 + 5 8 Είναι τώρα γ. Άρα ή γ 4 ή 1 5 γ 1 Επειδή το γ εκφράζει μήκος πλευράς τριγώνου είναι γ> άρα γ 4, η τιμή γ 1 απορρίπτεται. Τα μήκη των πλευρών του τριγώνου είναι α 4+ 6, β 4+1 5 και γ 4 ή α5, β6 και γ4. 9. Δύο φίλοι τοποθέτησαν τα γωνιόμετρά τους στις θέσεις Α, Β μιας ακτής και παρατήρησαν δύο βράχους που προεξείχαν από την επιφάνεια της θάλασσας. Αν η απόσταση ΑΒ ήταν m και τα αποτελέσματα των μετρήσεών τους φαίνονται στο διπλανό σχήμα, τότε να υπολογίσετε την απόσταση των δύο βράχων. ( Να χρησιμοποιήσετε τριγωνομετρικούς πίνακες). Επειδή στο τρίγωνο ΑΒΓ η γωνία Β 5 + 54 16 η γωνία του τριγώνου ΑΒΓ είναι Γ 18 (49 + 16 ) 18 155 5. Με την βοήθεια του νόμου των ημιτόνων στο τρίγωνο ΑΒΓ θα υπολογίσουμε το μήκος της πλευράς του ΑΓ β. Γ

5 ΜΕΡΟΣ Β.4 ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΗΜΙΤΟΝΩΝ-ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ β γ β m Έχουμε ή ή ημβ ημγ ημ16 ημ5 β m β m ή ή ημ74 ημ5,961,4,4 β,961 m ή,4 β 8,8m ή β Είναι λοιπόν ΑΓ 68,15m. Θα εργασθούμε τώρα στο τρίγωνο ΑΒΔ Επειδή όμως στο τρίγωνο ΑΒΔ η γωνία 8,8 m 68,15m.,4 Α 58 + 49 17 η γωνία του τριγώνου ΑΒΔ είναι Δ 18 (17 + 5 ) 18 159 1 Με την βοήθεια του νόμου των ημιτόνων στο τρίγωνο ΑΒΔ θα υπολογίσουμε το μήκος της πλευράς του ΑΔ. ΑΔ ΑΒ Έχουμε ημ5 ΑΔ m ή ημ1,788 ή,58 ΑΔ,788 m,58,64m ή,58 (ΑΔ),64m ή ΑΔ 66,m,58 Από το τρίγωνο ΑΓΔ στο οποίο γνωρίζουμε τις πλευρές ΑΓ, ΑΔ και την γωνία Δ A Γ 58 θα υπολογίσουμε την ΓΔ με την βοήθεια του νόμου των συνημιτόνων. Είναι(ΓΔ) (ΑΓ) +(ΑΔ) (ΑΓ)(ΑΔ)συν Δ A Γ ή (ΓΔ) (68,7) + (66,) (68,15)(66,)συν 58 ή (ΓΔ) 4674,46 + 459,96 8999,89,5 ή (ΓΔ) 464,48 ή ΓΔ 65, m Δ

ΜΕΡΟΣ Β.4 ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΗΜΙΤΟΝΩΝ-ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ 5 Να συμπληρώσετε το σταυρόλεξο: Οριζόντια 1. Είναι οι αριθμοί ημω, συνω και εφω.. Είναι το συνημίτονο της ορθής γωνίας.. Μιας οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου είναι ο λόγος της απέναντι κάθετης πλευράς προς την υποτείνουσα. 4. Είναι το ημίτονο της ορθής γωνίας. 5. Υπάρχει και τριγωνομετρική. 6. Η. Του σημείου Μ είναι το συνημίτονο της γωνίας xομ, όταν ΟΜρ1. 7. Είναι οι τιμές του συνημιτόνου των αμβλειών γωνιών. 8. Είναι τα ημ και ημ15. 1 1 ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Κάθετα 1. Μιας οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου είναι ο λόγος της προσκείμενης κάθετης πλευράς προς την υποτείνουσα.. Καθεμιά έχει και το ημίτονο της.. Η ισότητα ημ ω+συν ω1 είναι τριγωνομετρική.. 4. Είναι το ημίτονο οποιασδήποτε γωνίας τριγώνου. 5. Είναι οι αριθμοί του συνημιτόνου και της εφαπτομένης οποιασδήποτε οξείας ή αμβλείας γωνίας. 6. Έχει και αυτό τους τριγωνομετρικούς του αριθμούς. 7. Χρησιμοποιούνται για να ορίσουμε τριγωνομετρικούς αριθμούς αμβλείας γωνίας. 8. Δεν. Η εφαπτομένη ορθής γωνίας. 5 6 8 4 7 4 5 6 7 8

54 ΜΕΡΟΣ Β.4 ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΗΜΙΤΟΝΩΝ-ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ 5 6 8 1 Τ Ρ Ι Γ Ω Ν Ο Μ Ε Τ Ρ Ι Κ Ο Ι 1 Ω Μ Ο Ρ Σ Ν Ο Ξ Ι Υ Ι Σ Ο Ζ Ν Α Η Ε Η Μ Η Δ Ε Ν Τ Η Μ Ι Τ Ο Ν Ο 4 Ε Ν Α Ι Α Ι 7 Ι Τ Υ 4 Α Ο Τ Θ 5 Ε Ξ Ι Σ Ω Σ Η Ν Ο Ε Ο Ο 6 Τ Ε Τ Μ Η Μ Ε Ν Η Η Ι Ε 7 Α Ρ Ν Η Τ Ι Κ Ε Σ 8 Ι Σ Α Α Ο

ΜΕΡΟΣ Β.4 ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΗΜΙΤΟΝΩΝ-ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ 55 ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΣΤΙΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ.1-. ΘΕΜΑ 1 : α) Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω ισότητες με (Σ) αν είναι σωστές ή με (Λ) αν είναι λανθασμένες. α γ i. ημγ ημα γ β ii. ημγ ημβ iii. α β + γ + βγσυν Α iv. β α + γ αγσυν Β (4 μονάδες) α β β) Να αποδείξετε ότι σε κάθε οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ημα ημβ (4 μονάδες) ΘΕΜΑ : Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ η γωνία B 45 και η γωνία Γ. Να υπολογίσετε την πλευρά β του τριγώνου αν γνωρίζετε ότι γ 6cm. (6 μονάδες) ΘΕΜΑ : Η απόσταση ενός ιστιοφόρου Ι από τον ύφαλο Υ είναι 5 ναυτικά μίλια ενώ να υπολογί- από τον φάρο Φ είναι ναυτικά μίλια. Αν η γωνία σετε την απόσταση του φάρου από τον ύφαλο. ΦΙΥ 1 Φ Υ 5 1 Ι (6 μονάδες)

56 ΜΕΡΟΣ Β.4 ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΗΜΙΤΟΝΩΝ-ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΜΕΡΟΥΣ Β (ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ) ΠΡΟΧΕΙΡΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΟ ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΜΑ 1 : ημω Α. Να δείξετε ότι: εφω και ημ ω + συν ω 1. συνω συνω 1 1 Β. Να αποδείξετε ότι: εφω +. συνω. ημω 1. ημω συνω ημω ΘΕΜΑ : Α. Να αποδείξετε τον νόμο των ημιτόνων. Β. Να υπολογίσετε τα υπόλοιπα κύρια στοιχεία ενός τριγώνου ΑΒΓ όταν δίνονται: Α 4, Β, α cm. ( ημ4,64, ημ,4, ημ1,866)

ΜΕΡΟΣ Β.4 ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΗΜΙΤΟΝΩΝ-ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ 57 ΠΡΟΧΕΙΡΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΟ ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΜΑ 1 : Α. Να συμπληρωθούν οι παρακάτω ισότητες-ανισότητες: i) ημ( 9 ω)... ii) συν( 9 ω)... iii)... συνω... iv)... ημω... v) ημ( 18 ω)... vi) συν( 18 ω)... vii) εφ( 18 ω)... Β. Αν Α,να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Α Κ 1.ημ + 6.συνΑ ΘΕΜΑ : Α. Να αποδείξετε το νόμο των συνημιτόνων. Β. Να υπολογίσετε τα υπόλοιπα κύρια στοιχεία ενός τριγώνου ΑΒΓ όταν Β 45,α cm, γ 4 cm. συν45,77 δίνονται ( )

58 ΜΕΡΟΣ Β.4 ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΗΜΙΤΟΝΩΝ-ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ ΦΥΛΛΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ: Ο Κεφάλαιο Β Μέρους ΤΕΣΤ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗΣ 1. Σε κάθε τρίγωνο οι πλευρές του είναι... με τα ημίτονα των... γωνιών του.. Ο νόμος των ημιτόνων χρησιμοποιείται για την επίλυση ενός τριγώνου όταν δίνονται:... πλευρά και... οποιεσδήποτε γωνίες.. Σε κάθε τρίγωνο το τετράγωνο μιας πλευράς είναι ίσο με το άθροισμα των... των δύο άλλων πλευρών, μειωμένο κατά το... γινόμενο των πλευρών αυτών επί το... της περιεχόμενης σε αυτές γωνίας. 4. Ο νόμος των συνημιτόνων χρησιμοποιείται για την επίλυση ενός τριγώνου όταν δίνονται... πλευρές του και η... μεταξύ αυτών γωνία. 5. Το πρόσημο των τριγωνομετρικών αριθμών μιας γωνίας ω εξαρτάται από το... στο οποίο βρίσκεται κάθε φορά ένα σημείο της... πλευράς της γωνίας. ΤΕΣΤ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΕΠΙΛΟΓΩΝ 1. Ποια από τις παρακάτω ισότητες είναι λανθασμένη; ημω, συν ω, 7 εφ ω, ημ ω 1, 4. Ποια από τις παρακάτω ισότητες είναι λανθασμένη; α β + γ βγσυνα β α + γ βγσυνβ β α + γ αγσυνβ γ α + β αβσυνγ. Ποιος από τους παρακάτω αριθμούς είναι το συν ; 1 1 4. Σε ποιο από τα παρακάτω τεταρτημόρια όλοι οι τριγωνομετρικοί αριθμοί είναι θετικοί; 1 4 5. Με ποιόν από τους παρακάτω αριθμούς είναι ίση η παράσταση ημ45 +συν45 ; 6. Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ( Α 9 ) ΑΒΓ η παράσταση ημ Β+ημ Γ με ποιόν από τους παρακάτω αριθμούς είναι ίση; 1 1

ΜΕΡΟΣ Β.4 ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΗΜΙΤΟΝΩΝ-ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ 59 ΦΥΛΛΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ: Ο Κεφάλαιο Β Μέρους ΤΕΣΤ ΔΙΑΖΕΥΚΤΙΚΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΗΣ Η ΤΥΠΟΥ «ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ» Από τις παρακάτω προτάσεις μερικές είναι σωστές και μερικές λάθος. Βάλτε σε κύκλο το Σ για τις σωστές και το Λ για τις λανθασμένες. 1. Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο το ημίτονο μίας οξείας γωνίας είναι ίσο με το λόγο της απέναντι κάθετης πλευράς προς την υποτείνουσα. Σ Λ. Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο το συνημίτονο μίας οξείας γωνίας είναι ίσο με το λόγο της προσκείμενης κάθετης πλευράς προς την απέναντι κάθετη πλευρά. Σ Λ. Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο η εφαπτομένη μίας οξείας γωνίας είναι ίση με το λόγο της απέναντι κάθετης πλευράς προς την υποτείνουσα. Σ Λ 4. Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ το εμβαδόν του δίνεται από την ισότητα 1 Ε ΑΒΓ αγημβ Σ Λ 5. Σε κάθε τρίγωνο ισχύουν οι ισότητες β + γ α α + γ β α + β γ συνα συνβ συνγ βγ αγ αβ Σ Λ

54 ΜΕΡΟΣ Β.4 ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΗΜΙΤΟΝΩΝ-ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ ΦΥΛΛΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ: Ο Κεφάλαιο Β Μέρους ΤΕΣΤ ΣΥΖΕΥΞΗΣ Να ενώσετε κάθε μία από τις παραστάσεις που βρίσκονται αριστερά με τις αντίστοιχες παραστάσεις που βρίσκονται δεξιά. 1. ημ(18 -ω) -εφω. συν(18 -ω) συνω ρ x. εφ(18 -ω) ημω 4. ημ(9 -ω) x ρ 5. ημω -συνω 6. συνω y x 7. εφω y ρ 8. ημ ω+συν ω εφω 9. ημω συνω 1. εφβ 1 β γ