ΑΠΟ ΤΗ ΛΟΓΙΚΗ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ BOOLE ΚΑΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ BOOLE ΣΤΑ ΛΟΓΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Θεματική Ενότητα: Πολλαπλές Ερμηνευτικές Προσεγγίσεις Βασίλειος Τσακανίκας Γεώργιος Τσαπακίδης vasilistsakanikas@yahoo.gr georgetsapakidis@yahoo.gr Εκπαιδευτήρια «Παναγία Προυσιώτισσα» Ψηλογέφυρο Αγρινίου, 30100 Περίληψη Στην εργασία αυτή θα δούμε πως μπορούμε να λύσουμε απλά πρακτικά προβλήματα της ζωής με εργαλεία τα λογικά κυκλώματα, που υλοποιούν συμπεράσματα της άλγεβρας Boole, η οποία μετατρέπει τη λογική σε άλγεβρα. Και όλα αυτά μέσα στα πλαίσια της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης. Abstract Within this paper we will examine how we can solve simple practical problems of everyday life utilizing logic circuits, which implement the conclusions of algebra Boole that converts logic to algebra. And all this in the context of secondary education. Εισαγωγή Από τη θεωρία συλλογισμού του Αριστοτέλη (η οποία εκτίθεται στη συλλογή πραγματειών του Όργανον ) και τη λογική των προτάσεων που ανέπτυξαν οι Μεγαρικοί και Στωϊκοί φιλόσοφοι, φτάσαμε στην τυπική λογική, η οποία αποφαίνεται για την τιμή αλήθειας (αληθής, ψευδής) μιας σύνθετης πρότασης, της οποίας γνωρίζουμε την τιμή αλήθειας κάθε μιας των απλών προτάσεων από τις οποίες αποτελείται. Από την τυπική λογική, περάσαμε στην Άλγεβρα του Boole, η οποία αποτέλεσε την βάση των σύγχρονων λογικών πυλών και ολοκληρωμένων κυκλωμάτων. Θεωρητικό υπόβαθρο Ο Άγγλος μαθηματικός George Boole (1815 1864) με τις δύο του εργασίες: Μαθηματική Ανάλυση της Λογικής (1847) και Έρευνα στους νόμους της σκέψης στους οποίους στηρίζονται οι μαθηματικές θεωρίες της 1
λογικής και οι πιθανότητες (1854) μετέτρεψε την προτασιακή λογική σε μια άλγεβρα του συνόλου Β = {0, 1} εφοδιασμένη με τις πράξεις +,, οι οποίες ορίζονται από τις: (Levitz & Levitz, 1979), (Halmos, 1963), (Graham, Knuth, & Patashin, 1994) 0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 + 0 = 0 1 + 1 = 1 0 0 = 0 0 1 = 1 0 = 0 1 1 = 1 Στη συνέχεια της εργασίας μας θα δούμε τη μετατροπή της προτασιακής λογικής σε άλγεβρα Boole και την αντιστοιχία της άλγεβρας Boole σε ηλεκτρονικά εργαλεία (λογικά κυκλώματα) με τη βοήθεια των οποίων μπορούμε να λύσουμε πραγματικά προβλήματα. 1 ο Πρόβλημα: Σύστημα ελέγχου συναγερμού Θέλουμε να κατασκευάσουμε ένα συναγερμό για ένα κατάστημα, το οποίο έχει μία είσοδο και δυο βιτρίνες. Αλλά πώς κατασκευάζεται το τμήμα εκείνο του συναγερμού που ενεργοποιεί το ηχητικό μέρος του και ειδοποιεί την αστυνομία; Προς την λύση του προβλήματος Ο συναγερμός θα ενεργοποιήσει το ηχητικό του τμήμα και θα ειδοποιήσει την αστυνομία όταν: παραβιαστεί η είσοδος ή παραβιαστεί η βιτρίνα 1 ή παραβιαστεί η βιτρίνα 2 Μπορούμε να αποδώσουμε την προηγούμενη κατάσταση συμβολικά με όρους προτασιακής λογικής; Θεωρούμε τις απλές προτάσεις: p 1 : παραβιάζεται η είσοδος p 2 : παραβιάζεται η βιτρίνα 1 p 3 : παραβιάζεται η βιτρίνα 2 οπότε η αρχική σύνθετη πρόταση γράφεται συμβολικά (Γαλάνης, 1985): p 1 p 2 p 3 ( είναι το σύμβολο του ή). Πότε θα ενεργοποιηθεί το ηχητικό τμήμα του συναγερμού; 2
Όταν τουλάχιστον μία από τις προτάσεις p 1, p 2, p 3 αληθεύει. Έτσι για την πρόταση p 1 p 2 p 3 έχουμε τον πίνακα αλήθειας: p 1 p 2 p 3 p 1 p 2 p 3 α α α α α α ψ α α ψ α α α ψ ψ α ψ α α α ψ α ψ α ψ ψ α α ψ ψ ψ ψ Πίνακας 1: Πίνακας αλήθειας του προβλήματος (λογική) Μπορούμε τα προηγούμενα να αποδώσουμε με αλγεβρικούς όρους; Ναι, θεωρώντας την αντιστοιχία (Mano, 2000): α (αληθής) 1 ψ (ψευδής) 0 (ή) + και ορίζοντας 1 + 1 = 1, 1 + 0 = 0 + 1 = 1 και 0 + 0 = 0, έχουμε p 1 p 2 p 3 p 1 + p 2 + p 3 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 Πίνακας 2: Πίνακας αλήθειας του προβλήματος (άλγεβρα) Το επόμενο ερώτημα είναι πως θα μπορέσουμε να μετατρέψουμε τον παραπάνω πίνακα πρόσθεσης μεταξύ των στοιχείων του συνόλου B={0, 1} σε ένα μηχανισμό που να θέτει σε κίνηση ένα ηχητικό μηχανισμό, ο οποίος συγχρόνως να ειδοποιεί την αστυνομία. Η απάντηση που έδωσε η τεχνολογία στο παραπάνω ερώτημα είναι οι λογικές πύλες. Οι λογικές πύλες είναι μηχανισμοί οι οποίοι μπορούν να υλοποιήσουν τις βασικές (και όχι μόνο) λογικές πράξεις που εκφράζουν την άλγεβρα Boole. 3
Ουσιαστικά οι λογικές πύλες αποτελούν δομικές συνδεσμολογίες δύο ή τριών τρανζίστορ. Το τρανζίστορ είναι ένα ημιαγωγικό * στοιχείο τριών ακροδεκτών. Αξίζει να σημειωθεί πως το τρανζίστορ θεωρείται η μεγαλύτερη τεχνολογική ανακάλυψη του 20 ου αιώνα, μιας και αποτελεί τον πυλώνα εφαρμογών όπως οι ψηφιακές επικοινωνίες και οι ηλεκτρονικοί υπολογιστές (Sedra & Smith, 2006). Η λογική πύλη η οποία υλοποιεί την πρόσθεση της άλγεβρας Boole είναι η πύλη OR, και στην βιβλιογραφία συμβολίζεται με το διπλανό σύμβολο. Τα κυκλώματα αυτά έχουν δύο εισόδους και μία έξοδο. Ως είσοδος νοείται μία τάση (Volt) από 0 Volt μέχρι συνήθως 15 Volt. Όταν τουλάχιστον μία εκ των δύο εισόδων υπερβεί μία τιμή κατωφλίου (π.χ. 5 Volt), τότε στην έξοδο εμφανίζεται τάση προκαθορισμένης τιμής. Σε αντίθετη περίπτωση, η τάση στην έξοδο είναι 0 Volt. Εάν αντιστοιχήσουμε το 1 της άλγεβρας Boole με μία τιμή τάσης μεγαλύτερη ή ίση των 5 Volt και το 0 της άλγεβρας Boole με μία τιμή τάσης μικρότερης των 5 Volt, τότε μπορούμε να υλοποιήσουμε τον πίνακα 1 με το παρακάτω κύκλωμα: Σχήμα 1: Κύκλωμα που υλοποιεί τον μηχανισμό ελέγχου του συναγερμού Εφόσον παραβιαστεί η είσοδος ή κάποια από τις βιτρίνες, τότε στην αντίστοιχη είσοδο (p 1, p 2 ή p 3 ) θα εφαρμοστεί τάση πάνω από 5 Volt και στην έξοδο του κυκλώματος θα εμφανιστεί τάση ικανή να ενεργοποιήσει το ηχητικό τμήμα του συναγερμού καθώς και τον μηχανισμό ειδοποίησης της * Ημιαγωγός είναι ένα υλικό (π.χ. πυρίτιο) το οποίο επιτρέπει την διέλευση του ρεύματος μόνο εάν έχει «πολωθεί» με συγκεκριμένη τάση. Σε αντίθετη περίπτωση λειτουργεί σαν μονωτής, εμποδίζοντας την διέλευση του ρεύματος. Αυτές οι τιμές αναφέρονται συνήθως στις απλές εφαρμογές. Αντίστοιχες τιμές τάσης οδήγησης πυλών μπορούν να φτάσουν τα μvolt, ή και ακόμα μικρότερες, όταν αναφερόμαστε σε πιο σύνθετα συστήματα, όπως ένας επεξεργαστής (CPU). 4
αστυνομίας. Μία εικόνα σχετική με το πώς μοιάζει μία συστοιχία πυλών OR στο εμπόριο φαίνεται στην εικόνα 1. Εικόνα 1: Συστοιχία πυλών OR Σημειώνεται πως το παραπάνω κύκλωμα (Σχήμα 1) χρησιμοποιεί 3 λογικές πύλες OR. Η πρώτη πύλη δέχεται τις εισόδους p 1 και p 2, ενώ η δεύτερη δέχεται ως είσοδο την τρίτη είσοδο P 3 και την τιμή 0 Volt, ως όρο αδιαφορίας (η έξοδος δηλαδή της δεύτερης πύλης εξαρτάται μόνο από την είσοδο p 3 ). Η τρίτη λογική πύλη OR συνδυάζει τις εξόδους των δύο προηγουμένων πυλών, παράγοντας την επιθυμητή έξοδο. 2 ο Πρόβλημα: Σύστημα προειδοποίησης οδηγού Αν η θερμοκρασία του αέρα είναι μικρότερη από 3 ο C, η ταχύτητα του αυτοκινήτου είναι πάνω από 60 km/h και η ορατότητα είναι μικρότερη από 20 m, θέλουμε να ενεργοποιείται φωτεινό μήνυμα στο ταμπλό του αυτοκινήτου που να λέει: ΠΡΟΣΟΧΗ ΜΕΓΑΛΟΣ ΚΙΝΔΥΝΟΣ. ΜΕΓΙΣΤΗ ΤΑΧΥΤΗΤΑ 60km/h Το πρόβλημα συνίσταται στην κατασκευή ενός μηχανισμού, που θα ενεργοποιεί το παραπάνω φωτεινό μήνυμα του ταμπλό. Προς την λύση του προβλήματος Ο μηχανισμός θα ενεργοποιήσει το φωτεινό σήμα όταν: Η θερμοκρασία του αέρα είναι μικρότερη από 3 ο C και η ταχύτητα του αυτοκινήτου είναι 60km/h και πάνω και η ορατότητα είναι μικρότερη από 20m. Η προηγούμενη λεκτική περιγραφή μπορεί να περιγραφεί με τη βοήθεια της συμβολικής λογικής ως εξής: Θεωρούμε τις απλές προτάσεις: 5
p 1 : Η θερμοκρασία του αέρα είναι μικρότερη από 3 ο C p 2 : Η ταχύτητα του αυτοκινήτου είναι πάνω από 60 km/h p 3 : Η ορατότητα είναι μικρότερη από 20 m οπότε η αρχική σύνθετη πρόταση γράφεται συμβολικά p 1 p 2 p 3 ( είναι το σύμβολο του ΚΑΙ). Πότε θα ενεργοποιηθεί η επιγραφή; Όταν όλες οι προτάσεις p 1, p 2 και p 3 αληθεύουν συγχρόνως. Έτσι, για την πρόταση p 1 p 2 p 3 έχουμε τον πίνακα αληθείας: p 1 p 2 p 3 p 1 p 2 p 3 α α α α α α ψ ψ α ψ α ψ α ψ ψ ψ ψ α α ψ ψ α ψ ψ ψ ψ α ψ ψ ψ ψ ψ Πίνακας 3: Πίνακας αλήθειας του προβλήματος (λογική) Η απόδοση των προηγούμενων με αλγεβρικούς όρους γίνεται αν θεωρήσουμε την αντιστοιχία: α (αληθής) 1 ψ (ψευδής) 0 (και) και ορίζοντας 1 1 = 1, 1 0 = 0 1 = 0 0 = 0, έχουμε p 1 p 2 p 3 p 1 p 2 p 3 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 Πίνακας 4: Πίνακας αλήθειας του προβλήματος (άλγεβρα) Η λογική πύλη η οποία υλοποιεί τον πολλαπλασιασμό της άλγεβρας Boole είναι η πύλη AND, και στην βιβλιογραφία συμβολίζεται με το διπλανό σύμβολο. 6
Τα κυκλώματα αυτά έχουν δύο εισόδους και μία έξοδο. Ως είσοδος νοείται μία τάση (Volt) από 0Volt μέχρι συνήθως 15Volt. Όταν και στις δύο εισόδους ταυτόχρονα εφαρμοστεί τάση που υπερβαίνει μία τιμή κατωφλίου (π.χ. 5Volt), τότε στην έξοδο εμφανίζεται τάση προκαθορισμένης τιμής. Σε αντίθετη περίπτωση, η τάση στην έξοδο είναι 0Volt. Εάν αντιστοιχήσουμε το 1 της άλγεβρας Boole με μία τιμή τάσης μεγαλύτερη ή ίση των 5Volt και το 0 της άλγεβρας Boole με μία τιμή τάσης μικρότερης των 5Volt, τότε μπορούμε να υλοποιήσουμε τον πίνακα 1 με το παρακάτω κύκλωμα: Σχήμα 2: Κύκλωμα που υλοποιεί τον μηχανισμό ελέγχου του μηχανισμού προειδοποίησης Εφόσον και οι τρείς από τους προαναφερθέντες αισθητήρες (θερμοκρασία, ταχύτητα, ορατότητα) είναι ενεργοποιημένοι, τότε και στις τρείς εισόδους (p 1, p 2 ή p 3 ) θα εφαρμοστεί τάση πάνω από 5 Volt και στην έξοδο του κυκλώματος θα εμφανιστεί τάση ικανή να ενεργοποιήσει το φωτεινό σήμα προειδοποίησης. Σημειώνεται πως το παραπάνω κύκλωμα χρησιμοποιεί 3 λογικές πύλες AND. Η πρώτη πύλη δέχεται τις εισόδους p 1 και p 2, ενώ η δεύτερη δέχεται ως είσοδο την τρίτη είσοδο p 3 και την τιμή 5 Volt, ως όρο αδιαφορίας (η έξοδος δηλαδή της δεύτερης πύλης εξαρτάται μόνο από την είσοδο p 3 ). Η τρίτη λογική πύλη AND συνδυάζει τις εξόδους των δύο προηγουμένων πυλών, παράγοντας την επιθυμητή έξοδο. 3 ο Πρόβλημα: Σύστημα απενεργοποίησης του κλιματισμού δωματίου ξενοδοχείου. Θέλουμε να κατασκευάσουμε μηχανισμό απενεργοποίησης του κλιματισμού, ενός δωματίου ξενοδοχείου όταν η πόρτα του δωματίου είναι ανοιχτή, ή να είναι κλειστή και η θερμοκρασία του δωματίου να είναι κάτω από 22 ο C. 7
Προς την λύση του προβλήματος Ο μηχανισμός θα απενεργοποιήσει τον κλιματισμό όταν: Η πόρτα του δωματίου είναι ανοιχτή ή πόρτα είναι κλειστή και η θερμοκρασία του δωματίου είναι κάτω από 22 ο C. Η προηγούμενη λεκτική περιγραφή μπορεί να περιγραφεί με τη βοήθεια της συμβολικής λογικής ως εξής: Θεωρούμε τις απλές προτάσεις: p 1 : Η πόρτα είναι κλειστή p 2 : Η θερμοκρασία είναι κάτω από 22 ο C οπότε η αρχική σύνθετη πρόταση γράφεται συμβολικά p 1 (p1 p 2 ) ( είναι το σύμβολο του OXI). Πότε θα απενεργοποιηθεί ο κλιματισμός; Όταν η πρόταση p 1 είναι ψευδής (ανοιχτή πόρτα) ή όταν η πρόταση p 1 είναι αληθής και η p 2 αληθής συγχρόνως. Έτσι, για την πρόταση p 1 (p1 p 2 ) έχουμε τον πίνακα αληθείας: p 1 p 2 p 1 p 1 p 2 p 1 (p 1 p 2 ) α α ψ α Α α ψ ψ ψ Ψ ψ α α ψ Α ψ ψ α Ψ Α Πίνακας 5: Πίνακας αλήθειας του προβλήματος (λογική) Η απόδοση των προηγούμενων με αλγεβρικούς όρους γίνεται αν θεωρήσουμε την αντιστοιχία: α (αληθής) 1 ψ (ψευδής) 0 (και) (ή) + και ορίζοντας 1 = 0 και 0 = 1 (θεωρούμε φυσικά και τις αντίστοιχες παραδοχές των προηγούμενων παραδειγμάτων) έχουμε p 1 p 2 p 1 p 1 p 2 p 1 (p 1 p 2 ) 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 Πίνακας 6: Πίνακας αλήθειας του προβλήματος (άλγεβρα) Για να υλοποιήσουμε τον παραπάνω πίνακα αλήθειας, θα χρειαστούμε, πέρα των προαναφερθέντων πυλών, και μία πύλη που υλοποιεί 8
την άρνηση της άλγεβρας Boole. Αυτή η πύλη είναι η πύλη NOT, και στην βιβλιογραφία συμβολίζεται με το διπλανό σύμβολο. Η πύλη NOT έχει μία είσοδο και μία έξοδο. Ως είσοδος νοείται μία τάση (Volt) από 0 Volt μέχρι συνήθως 15 Volt. Όταν στην είσοδο εφαρμοστεί τάση που υπερβαίνει μία τιμή κατωφλίου (π.χ. 5 Volt), τότε στην έξοδο εμφανίζεται τάση 0Volt. Σε αντίθετη περίπτωση, εμφανίζεται τάση στην έξοδο. Εάν αντιστοιχήσουμε το 1 της άλγεβρας Boole με μία τιμή τάσης μεγαλύτερη ή ίση των 5 Volt και το 0 της άλγεβρας Boole με μία τιμή τάσης μικρότερης των 5 Volt, τότε μπορούμε να υλοποιήσουμε τον πίνακα 3 με το παρακάτω κύκλωμα: Σχήμα 3: Κύκλωμα που υλοποιεί τον μηχανισμό απενεργοποίησης του κλιματισμού Παρόλο που το κύκλωμα του σχήματος 3 μοιάζει περισσότερο πολύπλοκο από τα αντίστοιχα των άλλων προβλημάτων, η τεχνική που χρησιμοποιήθηκε είναι σχετικά απλή. Πηγαίνουμε στον πίνακα αλήθειας του προβλήματος και παρατηρούμε την στήλη εξόδου. Για κάθε 1 προσθέτουμε μία πύλη AND. Σε αυτή την πύλη οδηγούμε τις εισόδους του προβλήματος ως έχουν, εάν στην αντίστοιχη θέση η είσοδος έχει την τιμή 1 στον πίνακα ή τις αρνήσεις τους εάν στην αντίστοιχη θέση υπάρχει η τιμή 0. Τέλος, οδηγούμε τις εξόδους των πυλών AND σε πύλες OR, μιας και επιθυμούμε όταν μία από αυτές γίνει 1, να ενεργοποιηθεί το φωτεινό μήνυμα. Σχόλια Είναι γνωστό πως τα Μαθηματικά είναι σπουδαία, γιατί έχουν άπειρες εφαρμογές στην επιστήμη, την τεχνολογία και τη ζωή. Πλην όμως η 9
σπουδαιότητα αυτή δεν γίνεται εμφανής στους μαθητές της δευτεροβάθμιας Ελληνικής εκπαίδευσης, οι οποίοι μετά από την διδασκαλία κάθε κεφαλαίου θέτουν το ερώτημα: Σε τι χρειάζονται όλα αυτά; Οι απαντήσεις που δίνονται συνήθως είναι: 1 η : Αυτά ζητάνε στις εξετάσεις. 2 η : Θα τα χρειαστείτε στο πανεπιστήμιο. Με το άρθρο μας αυτό δίνουμε πραγματικές εφαρμογές σε έννοιες που αναφέρονται στην εισαγωγή του σχολικού βιβλίου της Άλγεβρας της Α Λυκείου και δείχνουμε, κατά κάποιο τρόπο, ότι τα Μαθηματικά αφ ενός δεν είναι ένα διανοητικό παιχνίδισμα και αφ ετέρου για να έχουν εφαρμογές στην ζωή πρέπει να συνδυαστούν με άλλες επιστήμες. Έτσι προκύπτει το πρόβλημα της διεπιστημονικής διδασκαλίας, που τόσο τονίστηκε, μελετήθηκε και προτάθηκε, χωρίς όμως και να υλοποιηθεί. Επομένως η εργασίας μας αυτή αποσκοπεί στο να δείξει μια από τις σύγχρονες εφαρμογές των Μαθηματικών και να αποτελέσει έναυσμα για μια διεπιστημονική διδασκαλία των Μαθηματικών. Βιβλιογραφία Graham, R. L., Knuth, D. E., & Patashin, O. (1994). Concete Mathematics. USA: Addison - Wesley Publishing Company. Halmos, P. R. (1963). Lectures on Boolean Algebra. New Jersey: D. Van Nostrand Company Inc. Levitz, K., & Levitz, H. (1979). Logic and Boolean algebra. New York: Barron's Educational Series. Mano, M. M. (2000). Ψηφιακή σχεδίαση. Αθήνα: Εκδόσεις Τζιόλας. Sedra, A. S., & Smith, K. C. (2006). Microelectronic circuits. Torodo: Oxford University Press. Γαλάνης, Ε. (1985). Πεπερασμένα μαθηματικά. Αθήνα. 10