ΜΑΘΗΜΑ ΤΑΞΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ : Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής κατεύθυνσης : Β Ενιαίου Λυκείου : Υπερβολή : Λυµπερόπουλος Ιωάννης. Σκοπός : Οι µαθητές να γνωρίζουν : α) Τον ορισµό της υπερβολής. β) την εξίσωσή της, όταν είναι οι εστίες πάνω στον άξονα x x και όταν οι εστίες είναι πάνω στον άξονα ψ ψ. γ) Τις ασύµπτωτες της υπερβολής. δ) Την εκκεντρότητα της υπερβολής. ε) Την εφαπτοµένη της υπερβολής.. Στόχοι : Οι µαθητές να είναι ικανοί : α) Να διακρίνουν την εξίσωση της υπερβολής από τις άλλες κωνικές τοµές και µάλιστα να αντιλαµβάνονται πότε οι εστίες είναι πάνω στον άξονα x x και πότε πάνω στον άξονα ψ ψ. β) Να βρίσκουν την εξίσωση της εφαπτοµένης. γ) Να βρίσκουν τις ασύµπτωτες της υπερβολής και να µπορούν να σχεδιάζουν εύκολα την υπερβολή από το ορθογώνιο βάσης. δ) Να συνδέσουν την εκκεντρότητα µε την µορφή που έχει η υπερβολή. 3. ιδακτική προσέγγιση : Έλεγχος για την ύπαρξη γνωστικών προαπαιτήσεων και ανάκλησή τους. Τι είναι γεωµετρικός τόπος. Συµµετρικά σηµεία ως προς την αρχή των αξόνων και ως προς τους άξονες x x και ψ ψ. 4. Μέσα διδασκαλίας : Το µάθηµα θα γίνει στο εργαστήριο της πληροφορικής µε χρήση του προγράµµατος sketchpad και φύλλα εργασίας.
ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Στην οθόνη του υπολογιστή σας βλέπετε το παράθυρο µιας εφαρµογής που λέγεται «Sketchpad». Στο πάνω µέρος του παράθυρου αυτού υπάρχει το µενού επιλογών Κάντε «κλικ» µε το ποντίκι στην επιλογή «Εργασία» και επιλέξτε το αρχείο «Υπερβ.gsp». ) Στο σχήµα που έχετε στην οθόνη σας µετακινήστε το σηµείο Ε ή το σηµείο Μ µε το ποντίκι. ) Κάντε «κλικ» µε το ποντίκι στο σηµείο Μ. Κρατώντας πατηµένο το αριστερό πλήκτρο του ποντικιού σύρετε το Μ προς τα αριστερά της οθόνης. Σας δίνει την αίσθηση ότι το Μ πετάγεται σε µια άλλη θέση. 3) Μετακινήστε µε το ποντίκι το σηµείο Μ και σε κάθε θέση που το αφήνετε συµπληρώστε τον παρακάτω πίνακα. 4) Τι παρατηρείτε; 3 4 5 ΜΕ ΜΕ ΜΕ ΜΕ 5) Κάντε διπλό «κλικ» µε το ποντίκι στο πλήκτρο για να δείτε την γραµµή πάνω στην οποία κινείτε το σηµείο Μ. 6) Μπορείτε να δώσετε τον ορισµό της υπερβολής;
7) Μετακινήστε µε το ποντίκι είτε το σηµείο Ε είτε το σηµείο ελέγχου Σ ε για να δείτε πως µεταβάλλεται η υπερβολή. 8) Τι συµβαίνει όταν το σηµείο Σ ε συµπέσει µε το σηµείο Ε ή το σηµείο Ε ; 9) Ισχύει γ α; ικαιολογήστε την απάντησή σας.
ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Κάντε «κλικ» στο µενού «Εργασία» και µετά «κλικ» στο αρχείο «Υπερβ.gsp» ) Στο σχήµα που εµφανίζεται στην οθόνη σας βλέπετε πάλι µια υπερβολή και ένα ορθοκανονικό σύστηµα συντεταγµένων. ) Μπορείτε να παρατηρήσετε πως έχει επιλεγεί το ορθοκανονικό σύστηµα συντεταγµένων; 3) Η εξίσωση της υπερβολής στο σύστηµα συντεταγµένων που βλέπετε x ψ στην οθόνη σας είναι = όπου β = γ α. α β 4) Κάντε διπλό «κλικ» στο πλήκτρο για να εµφανιστεί η εφαπτοµένη της υπερβολής στο σηµείο Μ. Μπορείτε να ελέγξετε την µετακίνηση του σηµείου Μ έµµεσα µετακινώντας το πράσινο πλήκτρο. Μετακινείστε το πλήκτρο και προσέξτε την µετακίνηση της εφαπτοµένης. Τι παρατηρείτε; Κάντε «κλικ» στο µενού εργασία και µετά «κλικ» στο αρχείο «Υπερβ3.gsp» 5) Στο σχήµα που βλέπετε στην οθόνη σας έχετε µια υπερβολή και µια ευθεία MM που διέρχεται από την αρχή των αξόνων 6) Μπορείτε να περιστρέψετε την ευθεία MM γύρω από την αρχή των αξόνων µετακινώντας είτε το σηµείο Μ είτε το Μ είτε το κόκκινο βέλος 7) Μετακινείστε το κόκκινο βέλος. Για την ευθεία MM τι παρατηρείτε;
8) Κάντε διπλό «κλικ» στο πλήκτρο για να εµφανιστούν οι οριακές θέσεις που µπορεί να πάρει η ευθεία MM. 9) Οι δυο πράσινες ευθείες που εµφανίστηκαν στην οθόνη σας λέγονται β β ασύµπτωτες της υπερβολής και έχουν εξισώσεις ψ = x και ψ = x. α α 0) Οι ασύµπτωτες της υπερβολής είναι οι διαγώνιες του ορθογωνίου ΚΛΜΝ µε κορυφές τα σηµεία Κ (α, β), Λ(α, β), Μ( α, β) και Ν( α, β). Το ορθογώνιο ΚΛΜΝ λέγεται ορθογώνιο βάσης της υπερβολής. Κάντε διπλό «κλικ» στο πλήκτρο εµφανιστεί το ΚΛΜΝ. για να
ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 3 Κάντε «κλικ» στο µενού «Εργασία» και µετά «κλικ» στο αρχείο «Υπερβ4.gsp». Στην οθόνη εµφανίζεται µια υπερβολή µε το ορθογώνιο βάσης και τις ασύµπτωτες. ) Μπορείτε να µετακινήσετε τα σηµεία Ε, Σ ε για να µεταβάλετε την υπερβολή ) Μετακινώντας το σηµείο Σ ε συµπληρώστε τον παρακάτω πίνακα σε κάθε θέση που αφήνετε το σηµείο Σ ε. Ξεκινήστε το σηµείο Σ ε από θέσεις που είναι κοντά στην εστία Ε και προχωρήστε το προς την εστία Ε γ α β α 3 4 5 6 7 9 0 3) Τι παρατηρείτε για το σχήµα της υπερβολής σε σχέση µε τις τιµές του λόγου α γ ; Κάντε «κλικ» στο µενού «Εργασία» και µετά «κλικ» στο αρχείο «Υπερβ5.gsp». Το σχήµα που εµφανίζεται µπορείτε να το µεταβάλλετε είτε µε το πράσινο βέλος το οποίο µεταβάλλει την
σταθερή διαφορά α, είτε µε το κόκκινο βέλος που µεταβάλλει την εστιακή απόσταση γ. Ακόµη µπορείτε να περιστρέψετε την υπερβολή γύρω από το κέντρο συµµετρίας της το Ο. Αυτό γίνεται όταν µετακινήσετε το σηµείο Ε ή το Ε, δηλαδή τις εστίες της υπερβολής. ) Μετακινήστε το πράσινο βέλος ώστε να γίνει α = β. Στην περίπτωση αυτή η υπερβολή λέγεται ισοσκελής. ) Τι σχήµα είναι το ορθογώνιο βάσης όταν η υπερβολή είναι ισοσκελής; 3) Οι ασύµπτωτες της υπερβολής είναι οι πράσινες ευθείες. Όταν η υπερβολή είναι ισοσκελής τι σχέση έχουν µεταξύ τους οι ευθείες αυτές; 4) Μετακινήστε την εστία Ε και τοποθετείστε την στον κατακόρυφο άξονα ψ ψ. Στην περίπτωση αυτή η εξίσωση της υπερβολής γίνεται ψ x =. α β 5) Μπορείτε µετακινώντας την εστία Ε να ταυτίσετε τις ασύµπτωτες µε τους άξονες x x και ψ ψ; Πότε µπορεί να συµβεί αυτό; 6) Έχοντας ταυτίσει τις ασύµπτωτες µε τους άξονες x x και ψ ψ παρατηρείτε ότι η υπερβολή είναι γραφική παράσταση συνάρτησης. Ποια συνάρτηση σας θυµίζει;