Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [ <

Transcript

1 Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [ < Mathematica.gr], τον οποίο κι ευχαριστώ ιδιαίτερα για το ήθος και την ευχάριστη διάθεση, με την οποία συμβάλλει στην ελεύθερη διάθεση της γνώσης. Για την αντιγραφή: Κόλλας Αντώνης.

2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ C ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ C. Έστω οι φυσικοί αριθμοί κ, λ, μ, ν οι οποίοι, αν διαιρεθούν με το 4, αφήνουν το ίδιο υπόλοιπο. Να αποδείξετε ότι: α. i κ = i λ = i μ = i ν β. i κ λ μ ν =. Να αποδείξετε ότι για κάθε ν * ισχύει: α. i ν i ν i ν i ν = ν i i i i i i β. = 4 i i i i ν i ν i ν γ. (α βi) 0ν (β αi) 0ν = 0, για κάθε α, β. Αν ν είναι φυσικός μεγαλύτερος του, να υπολογίσετε τα αθροίσματα: α. S = i i i i 004 β. S = i i i... () ν i ν 4. Να βρείτε τις τιμές του φυσικού αριθμού ν, για τις οποίες ισχύει καθεμία από τις παρακάτω ισότητες: α. i ν = β. ( i) ν = ( i) ν 5. Να βρείτε για ποιες τιμές του ν * η παράσταση: Α = (κ λi) (κ λi )... (κ λi ν ), κ, λ είναι πραγματικός αριθμός. 6. Για κάθε ν *, να βρείτε το άθροισμα: S = i ( i) (4 5i)... ( (ν ) (ν )i ) 7. Αν = i, =, να αποδείξετε ότι: α. = 0 β. =

3 γ = δ. ν = ν, για κάθε φυσικό ν ε. 00 = και = στ. 004 = = 8. Να λύσετε στο τις εξισώσεις: α. ( x) (4 x) = 0 β. λ 4 = λ(i 4λ) για κάθε λ 9. Έστω Μ, Μ οι εικόνες των μιγαδικών = ημθ iσυνθ, = ημθ iσυνθ, θ π π,. α. Να αποδείξετε ότι τα σημεία Μ, Μ ανήκουν στον ίδιο κύκλο. β. Αν Μ είναι το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος ΜΜ, να βρείτε το γεωμετρικό τόπου του Μ. 0. Αν, και x, y, να λύσετε τα συστήματα: α. 5i 8 = 7 ( i) 6i = 5 4i β. ix ( i)y = 4 ( i)x yi =. Έστω οι μιγαδικοί = λ (5λ )i, λ. α. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του. β. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του μιγαδικού, για τον οποίο ισχύει = ( i). γ. Ποια σχέση συνδέει τους δύο γεωμετρικούς τόπους; δ. Να βρείτε το μιγαδικό, που έχει την πλησιέστερη εικόνα στην αρχή Ο (0, 0).. Στο μιγαδικό επίπεδο, να σημειώσετε το σύνολο των σημείων, που είναι εικόνες των μιγαδικών, όταν: α. = κ 5( κ)i, κ 0 β. = (α 4α )i, α γ. = iσυνθ, θ [0, π)

4 δ. = ημθ iσυνθ, θ ε. = σφθ i, θ {κπ, κ } ημθ στ. = ημθ (λ )i, για κάθε θ, λ ζ. = ημ θ iημθ, θ. Για τους μιγαδικούς, ισχύει ότι =. Αν η εικόνα του i είναι στην ευθεία x = 0, να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του. 4. Αν η εικόνα του μιγαδικού = α βi, α, β ανήκει σε κύκλο με κέντρο το Ο (0, 0) και ακτίνα, να βρεθεί η εξίσωση της γραμμής, στην οποία κινούνται οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών, με =. 5. Για τους, ισχύει ότι: = 0. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο της εικόνας Μ του όταν: α. οι εικόνες 0,, είναι σημεία συνευθειακά. β. Re() =. 6. Αν οι εικόνες των μιγαδικών,, i βρίσκονται στην ίδια ευθεία, να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ() είναι κύκλος. 7. Ο μιγαδικός = i να αναλυθεί σε άθροισμα δύο μιγαδικών u, που οι εικόνες τους βρίσκονται στις ευθείες y = x και y = x, αντίστοιχα. 8. Να βρεθούν οι τιμές των παραμέτρων α, β, γ, ώστε να είναι συζυγείς οι μιγαδικοί, όταν: α. = (α i) i και = α (5i α) 4i β. = γ i, = α ( γ 4 β ) i 9. Αν δύο μιγαδικοί αριθμοί έχουν άθροισμα πραγματικό αριθμό και διαφορά φανταστικό αριθμό, να αποδείξετε ότι είναι συζυγείς.

5 0. Αν, είναι μιγαδικοί αριθμοί να δειχθεί ότι: Α. είναι πραγματικοί αριθμοί οι: i α. = β. i Β. είναι φανταστικοί οι αριθμοί οι: α. ( i) ( i) ( i) ( i) β. ( )( ) u u u u. Αν ο είναι μιγαδικός με =, να αποδείξετε ότι ή.. Αν, να αποδείξετε ότι ο ( )( ), είναι πραγματικός αριθμός, αν και μόνον αν, Re() = Re().. Έστω οι, με, {0, }. Να αποδείξετε ότι: = 4. Αν = με,, = = και, τότε να αποδείξετε ότι. 5. Να λύσετε τις εξισώσεις: α. = 5 i β. i( ) = 6. Να λύσετε το παρακάτω σύστημα: ( i) = i ( i) ( i) = 7. Για κάθε μιγαδικό να αποδείξετε ότι: α. ( ) 0 β. ( ) 0 8. Αν Ο, Α, Β είναι οι εικόνες των μιγαδικών 0, και i στο μιγαδικό επίπεδο, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ορθογώνιο.

6 9. Αν,,, να αποδείξετε ότι: Im() Im( ) Im( ) = 0 0. Αν για τους μιγαδικούς και ισχύει ότι αποδείξετε ότι: Im() > 0 Im() < 0. =, τότε να. Αν, και 0, τότε να αποδείξετε ότι: α. Re = β. Im = i. Έστω ο μιγαδικός με 0. Αν α. ο είναι πραγματικός. β. γ. αν = τότε. δ. αν = τότε. =, να αποδείξετε ότι:. Αν είναι i i =, να αποδείξετε ότι και ότι. i i 4 4. Έστω = x yi, x, y και =, με 4. Να βρείτε το 4 γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ() του μιγαδικού επιπέδου, όταν. 5. Έστω = x yi, x, y και Μ() εικόνα του στο μιγαδικό επίπεδο. Αν είναι =, να βρείτε το γεωμετρικό τόπο του Μ, όταν: α. Re() = β. Re( ) = 6. Αν {0}, να αποδείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών, και στο μιγαδικό επίπεδο είναι σημεία συνευθειακά. 7. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων, που είναι εικόνες των ριζών κάθε μίας από τις εξισώσεις: α. 4 = 4 β. =

7 8. Να λύσετε την εξίσωση ( i) ( i) = και να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των ριζών της είναι μια ευθεία κάθετη στη διανυσματική ακτίνα του = i. 9. Αν Μ, Μ, Μ, Μ4 είναι οι εικόνες των μιγαδικών,,, 4, αντίστοιχα, με 0, τότε να δείξετε ότι: α. OM //OM β. M M MM με Ο(0, 0) Να αποδείξετε ότι: ( 4i) 4ν (4 i) 4ν για κάθε ν *. 4. Να βρείτε τις τετραγωνικές ρίζες των μιγαδικών αριθμών: α. = 4 β. = i γ. = 4i 4. Η εξίσωση α β = 0, α, β έχει ρίζα το μιγαδικό i. Να βρείτε την άλλη ρίζα, καθώς επίσης τα α, β. 4. Στην ισότητα: i α = 0, ο είναι φανταστικός αριθμός, ενώ ο α πραγματικός. Να βρεθεί: α. το διάστημα, στο οποίο παίρνει τιμές ο α και β. ο αριθμός συναρτήσει του α. 44. Αν οι αριθμοί = (α β) (γ α)i και = γ (β α)i ικανοποιούν τη συνθήκη =, να αποδείξετε ότι οι α, β, γ αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου. 45. Να αποδείξετε ότι οι εικόνες των ριζών της εξίσωσης: ημ θ ημθ 5 4ημ θ = 0, θ (0, π) ανήκουν σε υπερβολή, για κάθε θ (ο, π). 46. Αν,, να αποδείξετε ότι οι αριθμοί: = α u = α με α, β, γ είναι πραγματικοί. β ( ) γ β i ( ) γ

8 47. Να αποδείξετε ότι: α. η παράσταση Α = ( i) ν ( i) ν, ν β. ( i) 4ν = (4) ν και να υπολογίσετε την παράσταση Α για κάθε ν *. 48. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του, όταν ισχύει α α = α α, α *. ( )( ) ( )( ) 49. Έστω συνάρτηση ( ) f() =, ν. ν ν α. Να αποδείξετε ότι f = f(). β. Αν είναι =, να αποδείξετε ότι f(). γ. Να βρείτε για ποια ν ορίζεται το f(i). δ. Να αποδείξετε ότι το f(i) είναι πραγματικός, για κάθε επιτρεπτό ν. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ 50. Να βρείτε το μέτρο του μιγαδικού, όταν: α. 4 ( i) ( i) = β. 7 6i γ. i α β i 5 =, ν =, με α, β, γ * δ. 8 = ( 6) i 5. Αν x, y να δειχθεί ότι: α. είναι φανταστικός ο αριθμός β. x y x = y =. xy γ. Αν, και = τότε 5. Να αποδείξετε ότι: x y y x =. xy xy. ν α. i = i β. =

9 5. Έστω,. Να αποδείξετε τις ισότητες: α. = ( )( ) β. ( ) = ( Re( )) [ ] = ( ) γ. Re( ) 54. α. Για κάθε να αποδείξετε ότι: 0 = =. 5 β. Αν ( 4i) = ( i), τότε να προσδιορίσετε γεωμετρικά τις εικόνες του. 55. Να αποδείξετε ότι: α. = e ln e = ln β. log 00 = log = Αν, και ισχύει =, να αποδείξετε ότι: = 57. Δίνονται οι, με, 0. Αν ( )( ) =, να αποδείξετε ότι. 58. Δίνονται οι, για τους οποίους ισχύει ότι Re() Im() = Re() Im() Να αποδείξετε ότι: = Re( ) 59. Αν να αποδείξετε ότι: 5 α. = β. > 60. Αν, με και ισχύει = ότι = ή =., τότε να αποδείξετε 6. Αν, με να αποδείξετε ότι αν ή =., τότε

10 6. Να αποδείξετε ότι: = λ = 6. Για κάθε,, να αποδείξετε ότι: α. = ( ) β. = u u u = γ. = 64. Αν, {0} και ισχύει =, να αποδείξετε ότι: α. = β. = 65. Έστω οι,, * για τους οποίους ισχύει: τότε να δείξετε ότι. = ( 66. Αν, και = =. Να δείξετε ότι: =. 67. Αν = για κάθε, {0}, τότε να αποδείξετε ότι: α. = β. και 68. Αν, με = =, τότε: α. να δείξετε ότι: = 0 = 0 β. να βρείτε το μέτρο του: 69. Αν, και λ με = =, να αποδείξετε ότι: λ = λ )

11 70. Αν, με = = να αποδείξετε ότι: α. = β. 7. Να δείξετε ότι = = =,. 7. Δίνεται ο με =. Να αποδείξετε ότι: α. = 4 β., 0 7. Να αποδείξετε ότι αν u = 0 και u u = 0, τότε είναι = u =. 74. Αν = = =, = και =, να αποδείξετε ότι = και να βρείτε τους,,. 75. Αν,,, = = και οι εικόνες των,, στο επίπεδο είναι κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου, να αποδείξετε ότι οι εικόνες των,, είναι, επίσης, κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου. 76. Αν = 0 και = 0, να αποδείξετε: α. = = β. = = 77. Αν =, να αποδείξετε ότι: = = 78. Αν = = και = 0, με,,, να αποδείξετε ότι = Αν,, διαφορετικοί ανά δύο και ισχύει = =, να αποδείξετε ότι: =. 80. Αν οι εικόνες των,, στο μιγαδικό επίπεδο σχηματίζουν ισόπλευρο τρίγωνο, να αποδείξετε ότι: ( ) ( ) ( ) = 0

12 8. Να αποδείξετε ότι: α. ( ) ( ) ( ) u u 0 u u = = = β. u u u u u = = = 8. Έστω ο θετικός αριθμός ρ και οι μιγαδικοί,, τέτοιοι, ώστε να ισχύουν οι σχέσεις: = = = ρ, = ρ και = 0 Να αποδείξετε ότι: = Έστω οι,, για τους οποίους ισχύει: =, ( )( )( ) = 0 να βρεθεί το: ( )( )( ) 84. Αν = = =, να αποδείξετε ότι: α. 0 = β. = 85. Αν, να αποδείξετε ότι: α. = β. γ. ( ) i 86. Για τους,,, να αποδείξετε ότι: α. ( ) β. γ. 87. Να αποδείξετε ότι: α. ( )( ) β. 0 u u u

13 γ. ( )( ) u u δ. i i για κάθε * 88. Για κάθε, u, να αποδείξετε ότι: α. β. 5 γ. u = 0 u δ. 89. Να αποδείξετε ότι: α. β. γ. συνx ημx αν x, 0 < x < π/ 90. Αν = = να αποδείξετε ότι: α. β. 9. Να βρείτε το σύνολο των σημείων του επιπέδου, που είναι εικόνες του, αν log 5 log. 9. Για κάθε,, με =, να αποδείξετε ότι: i i 9. Αν για τους, ισχύει ότι < και <, τότε να αποδείξετε ότι: <.

14 94. Για κάθε μιγαδικό να αποδείξετε ότι: α. αν Re() < Im() τότε < i. β. αν > τότε Re() <. γ. αν / = τότε / 5, *. δ. αν / τότε /, *. 95. Για κάθε, να αποδείξετε ότι: α. ( ) 0 β. ( ) 0 γ. ( ) ( ) = δ. 96. Για τον ισχύει / = 008 () τότε: α. να αποδείξετε ότι η εικόνα του είναι σημείο του μοναδιαίου κύκλου, με κέντρο το Ο (0, 0). β. αν για τους,, ισχύει η σχέση (), τότε να αποδείξετε ότι: ( ) Για τον ισχύει ότι: i 4. α. Να αποδείξετε ότι: 9 7i 7. β. Να βρείτε τις τιμές του, για τις οποίες η παράσταση 7i γίνεται μέγιστη ή ελάχιστη. i i 98. Αν,, {i}, να αποδείξετε ότι αν ισχύει < i i i τότε θα ισχύει η <. i 99. Αν 0 = i και με =, τότε: α. να βρείτε για ποιες τιμές του η παράσταση 0 γίνεται μέγιστη και πότε ελάχιστη.

15 β. Αν, οι τιμές του από το πρώτο ερώτημα και Μ, Μ οι εικόνες τους στο επίπεδο, με Ο (0, 0), τότε να αποδείξετε ότι τα σημεία Μ, Ο, Μ είναι συνευθειακά. 00. Έστω = (ημα ) ( συνα)i, α. α. Να αποδείξετε ότι οι εικόνες των σημείων Μ() είναι σημεία κύκλου. β. Να αποδείξετε ότι 4 i 7. γ. Να βρείτε τους μιγαδικούς με το ελάχιστο και μέγιστο μέτρο. 0. Έστω. Να αποδείξετε ότι: α. αν = 5 τότε 6. β. αν i 5 τότε 8 4 6i 8. γ. αν τότε ημθ, θ. δ. αν και = τότε. 0. Αν για τους, ισχύει i και ( i), τότε να αποδείξετε ότι Να αποδείξετε ότι οι ρίζες των εξισώσεων: = 0 και = 0 ορίζουν τις κορυφές ισοσκελούς τραπεζίου. 04. Να αποδείξετε ότι για κάθε, η εξίσωση: έχει πραγματικές ρίζες. x x = Re ( ) 05. Να αποδείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης λ 4 = 0 με 4 < λ < 4 βρίσκονται σε κύκλο. 06. Έστω, και το πολυώνυμο: Ρ(x) = x x ( )( ), x α. Να αποδέιξετε ότι Ρ(x) 0, για κάθε x. β. Πότε ισχύει Ρ(x0) = 0 ;

16 07. Να λύσετε στο τις εξισώσεις: α. 6 9 = 0 β. = 0 = γ. i = 0 δ Να λύσετε στο τα συστήματα: α. = = β. i = i i = i 4 γ. = και = 8 δ. = = και = α 09. Δίνονται οι μιγαδικοί και, που συνδέονται με τη σχέση =, α *. Αν ισχύει ότι =, τότε να αποδείξετε ότι η εικόνα του κινείται σε παραβολή. 0. Δίνονται οι, *, ώστε = 0. Να αποδείξετε ότι οι εικόνες των, και η αρχή των αξόνων σχηματίζουν ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο.. Έστω,, με = /. Αν η εικόνα του ανήκει σε κύκλο με κέντρο το Ο (0, 0) και ακτίνα ρ =, τότε να αποδείξετε ότι η εικόνα του μιγαδικού ανήκει σε έλλειψη, της οποίας να βρείτε τις εστίες.. Αν η εικόνα του μιγαδικού κινείται στον κύκλο x y = 4, να 4i αποδείξετε ότι η εικόνα του μιγαδικού αριθμού = κινείται, επίσης, σε κύκλο.. Να αποδείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών ανήκουν σε ένα ορισμένο κύκλο. λ i =, λ λi 4. Αν η εικόνα του μιγαδικού ανήκει σε κύκλο με κέντρο Ο (0, 0) και ακτίνα ρ =, να αποδείξετε ότι το ίδιο ισχύει και για την λ i εικόνα του =, λ. i λ

17 5. α. Αν =, να βρείτε τη γραμμή που διαγράφει η εικόνα Μ του. β. Αν = =, να δείξετε ότι Δίνονται οι μιγαδικοί, με =. Αν η εικόνα του κινείται στον κύκλο 4i = 5, να αποδείξετε ότι η εικόνα του κινείται σε ένα κύκλο. 7. Να προσδιορίσετε στο μιγαδικό επίπεδο τα σύνολα των εικόνων των μιγαδικών, που αποτελούν τις γραφικές λύσεις των συστημάτων: α. 5 β. = = γ. < 4i 5 δ. < i < 8. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ() του μιγαδικού επιπέδου, που είναι εικόνες του μιγαδικού αριθμού, για τον οποίο ισχύει ότι: α. = 0 β. i i = 6 γ. = δ. i i = 6 9. Για τον ισχύει: = 0. Αν Μ είναι η εικόνα του στο μιγαδικό επίπεδο, να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος του Μ είναι παραβολή. 0. Να βρεθεί στο μιγαδικό επίπεδο ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγαδικού, για τον οποίο ισχύει κάθε μία από τις σχέσεις: α. β. log < log. Αν οι μιγαδικοί αριθμοί, έχουν εικόνες στο μιγαδικό επίπεδο τα σημεία Α, Β αντίστοιχα, που δεν ανήκουν στον κύκλο C: x y =, να αποδείξετε ότι ισχύει >, αν και μόνον αν, ένα μόνο από τα σημεία Α, Β είναι εσωτερικό σημείο του κύκλου (C).

18 . Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών,,, των οποίων οι εικόνες τους αντιστοίχως στο επίπεδο είναι συνευθειακά σημεία.. Να δείξετε ότι οι εικόνες των = ( ) ν, = ( ) ν, ν * με, *, =,, ορίζουν ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων. 4. Έστω, με = Re( ) = =. Να αποδείξετε ότι οι εικόνες των, στο μιγαδικό επίπεδο και η αρχή των αξόνων είναι σημεία συνευθειακά. ( )( ) 5. Αν για το μιγαδικό αριθμό ισχύει να δειχθεί ότι οι εικόνες των,,, είναι ομοκυκλικά σημεία. 6. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών, που ικανοποιούν τη σχέση: = 5 i (). Από τους μιγαδικούς, που ικανοποιούν την (), ποιος έχει το μικρότερο μέτρο; 7. Αν για το μιγαδικό αριθμό ισχύει =, να βρείτε την τιμή της παράστασης Α = i i. Να δοθεί γεωμετρική ερμηνεία όταν ±i. 8. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ() του επιπέδου, που είναι εικόνες του μιγαδικού αν ισχύει: i i = 9. Έστω ο μιγαδικός, για τον οποίο ισχύει: ( ) 4 50 = 0 Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος της εικόνας Μ του είναι υπερβολή i i 0. Να δείξετε ότι: = 0. i i

19 . α. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο C των εικόνων του στο 0 επίπεδο, αν =. i i 9 β. Αν οι εικόνες των μιγαδικών, ανήκουν στη C και είναι συμμετρικές ως προς την αρχή των αξόνων, να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της παράστασης.. Αν Μ, Μ είναι οι εικόνες των μιγαδικών, αντίστοιχα και =, να αποδείξετε ότι OM OM όπου Ο (0, 0).. Αν Μ, Μ είναι οι εικόνες των μιγαδικών, αντίστοιχα και = Im, να αποδείξετε ότι OM OM όπου Ο (0, 0). ( ) 4. Έστω ο μιγαδικός, για τον οποίο ισχύει: = 004. Να αποδείξετε ότι: α. ( ) = = β. = γ. ο αριθμός = είναι φανταστικός. 5. Αν, με =, να αποδείξετε ότι ο ( ) 004 ( ) ( ) είναι φανταστικός. ( ) 00, ενώ ο 6. Έστω οι διαφορετικοί μιγαδικοί και, ώστε ο είναι φανταστικός, να αποδείξετε ότι: α β. = = να 7. Αν η εξίσωση (i ) ν = ( i) ν με άγνωστο το, ν *, έχει πραγματική ρίζα τότε =. 8. Να εξετάσετε αν η εξίσωση ( i) ρίζα. ν i = έχει πραγματική i

20 9. Για κάθε, να λύσετε τις ανισώσεις: α. 4 > 0 β. 4 < Έστω ο μιγαδικός f(ν) = ν ( i), ν *. Να αποδείξετε ότι για κάθε ρ * ισχύει: α. f(4ρ) f(4ρ ) f(4ρ ) f(4ρ ) = 0 β. f() f() f()... f(0) = i