Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Τριγωνομετρικοι αριθμοι οξειων γωνιων 9 ΑΥΓΟΥΣΤΟΥ 016
Κλίση ευθείας Όλοι έχουμε στο δρόμο τα παρακάτω σήματα, που από την εμπειρία μας καταλαβαίνουμε ότι πλησιάζουμε σε ανηφόρα. Τι σημαίνει όμως το 10% ; Πριν απαντήσουμε, πάμε να θυμηθούμε πότε άλλοτε ακούσαμε τον όρο κλίση στα μαθηματικά. Άντε για να σας βοηθήσω τον ακούσαμε για 1 η φορά όταν μελετήσαμε τη συνάρτηση y=αχ. Βλέποντας τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y=0.5x πιο κάτω : βλέπουμε ότι διέρχεται και από τα σημεία : Α(,1), Β(4,) με τις συντεταγμένες τους βέβαια να ικανοποιούν την πιο πάνω ισότητα δηλ. y = 0,5 x} 1 = 0,5 ΑΔ = 0,5 0Δ } = 0,5 4 ΒΕ = 0,5 OΕ 0,5=a a = απέναντι κάθετη προσκείμενη κάθετη. } 0,5 = ΑΔ ΟΔ = ΒΕ OΕ Οι κάθετες που αναφέρω πιο πάνω βρίσκονται στα ορθογώνια τρίγωνα ΟΑΔ, ΟΒΕ. Μία άλλη ονομασία της κλίσης (α) μιας ευθείας (ε) είναι : εφαπτομένη φ = εφφ, όπου φ η γωνία που σχηματίζει ο θετικός ημιάξονας των χ (Οχ ) με την ευθεία ( ε ). www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 1
Για να επανέλθουμε λοιπόν στο αρχικό μας ερώτημα. Όταν λέμε ότι ο ανηφορικός δρόμος έχει κλίση 10%= 10 = ύψος οριζόντια απόσταση 100 = απέναντι κάθετη προσκείμενη κάθ., δηλ. για κάθε 100μ που μετακινούμαστε οριζόντια ( προσοχή όχι τα μέτρα που διένυσε το αυτοκίνητο, άραγε γιατί ; ) το αυτοκίνητο υψώνεται 10 μέτρα, βλέπε το παρακάτω σχήμα : Αλήθεια πόσα μέτρα διένυσε το αυτοκίνητο, από τη θέση Ζ έως τη θέση Γ ; www.commonmaths.weebly.com Σελίδα
Θα ορίσουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οξείας γωνίας. Α Όπως ορίσαμε την εφαπτομένη πιο πάνω τώρα θα ορίσουμε και τους υπόλοιπους τριγωνομετρι- κούς αριθμούς : Γ Β Στο πιο πάνω ορθογώνιο τρίγωνο έχουμε Β < 90 0 ημβ = απέναντι κάθετη υποτείνουσα = ΑΓ ΑΒ = β γ, συνβ = προσκείμενη κάθετη υποτείνουσα = ΓΒ ΑΒ = α γ, εφβ = απέναντι κάθετη = ΑΓ = β, προσκείμενη καθετη ΓΒ α Αλλά και για την A < 90 0 Συμπληρώστε τις παρακάτω ισότητες και πείτε τι παρατηρείτε : ημa = συνa = εφa = Τι σχέση έχουν οι γωνίες Β, A ;. Γράψτε εδώ το συμπέρασμα :... www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 3
Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί μιας γωνίας εξαρτώνται από το μήκος των πλευρών της ; Στο ΑΒΓ αρχικά και ύστερα στο ΑΔΕ τρίγωνο να συμπληρώσετε τις ισότητες : ημα = συνα = εφα = ημα = συνα = εφα = Όπως παρατηρούμε οι τριγωνομετρικοί αριθμοί είναι ισοδύναμοι λόγοι (κλάσματα) πλευρών όμοιων ορθογωνίων τριγώνων γι αυτό και είναι ανεξάρτητοι από το μήκος των πλευρών. www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 4
Πάμε όμως να δούμε μια απλή άσκηση: ΑΣΚΗΣΗ 1 η Δίνεται ΑΒΓ τρίγωνο με Α = 90 0, ΑΒ=3μ, ΑΓ=4μ και ΒΓ=5μ. Να βρεθούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της Β. Γ Σε αυτήν την άσκηση έχουμε πλεονασμό δεδομένων αφού δίνονται και οι τρεις πλευρές του ορθ. τριγ. Επειδή μπορούμε να εφαρμόσουμε το Πυθαγόρειο Θεώρημα (Π.Θ.) θα δίνονται οι δύο πλευρές και θα βρίσκουμε την τρίτη. 4μ 5μ ημβ = συνβ = εφβ = Α 3μ Β απεν. καθ. προσ. καθ. = 4 5 = 3 5 απεν. καθ. προσ. καθ. = 4 3 www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 5
Κανονικά λοιπόν πρέπει να δωθεί η άσκηση κάπως έτσι: ΑΣΚΗΣΗ η Δίνεται ΑΒΓ τρίγωνο με Α = 90 0, ΑΒ=3μ και ΒΓ=5μ.Να βρεθούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της Β. Γ Χ 5μ Α 3μ Β Εφαρμόζουμε το Πυθαγόρειο θεώρημα για να βρούμε την ΑΓ: 3 + χ = 5 9 + χ = 5 χ = 5 9 χ = 16 χ = ± 16 χ = 4 ημβ = συνβ = εφβ = απεν. καθ. προσ. καθ. = 4 5 = 3 5 απεν. καθ. προσ. καθ. = 4 3 Βάλαμε 4 και όχι -4 διότι το χ εκφράζει μήκος πλευράς. www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 6
Και λίγες ασκήσεις για να τις προσπαθήσετε μόνοι σας : ΑΣΚΗΣΗ 3 η Δίνεται ΑΒΓΔ ορθογώνιο με ΑΒ=1μ και ΒΓ=5μ.Φέρνουμε τη διαγώνιο ΒΔ. Να υπολογισθούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της ΑΒ Δ. ΑΣΚΗΣΗ 4 η Δίνεται ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με Α = 90 0 και ΑΒ = 1. Να υπολογισθούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των οξειών γωνιών. ΑΣΚΗΣΗ 5 η Δίνεται το ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = και φέρνουμε το ύψος ΑΔ. Να υπολογισθούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των οξειών γωνιών του σχήματος. www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 7
Λαμβάνοντας υπόψη τις ασκήσεις 6 και 7 να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα. ημ συν εφ 30 ο 45 ο 60 ο ΑΣΚΗΣΗ 6 η Δίνεται ΑΒΓ ορθογώνιο τρίγωνο με Α = 90 0, Β = 30 0 και ΒΓ=10μ. Να υπολογισθεί το εμβαδό του τριγώνου. Για να βρούμε το εμβαδό του ορθ. τρ. αρκεί να βρούμε τις κάθετες πλευρές. Έχω όμως γνωστή μόνο την υποτείνουσα και μία γωνία την Β, άρα θα τις βρω με τα ημβ, συνβ. χ Γ 10μ Α y Β ημβ = απεν. καθ. 10 = χ χ = 5 συνβ = προσ. καθ. 10 3 = y 10 3 E τρ. = βάση χ ύψος Ε ορθ.τρ. = 5.5 3 Β =30 0 ημ30 0 = χ ημ30 0 = 1 1 10 = χ 10 = χ 10 Β =30 0 συν30 0 = y 10 = y y = 5 3 συν30 0 = 3 Ε ορθ.τρ. = κάθ. 1 χ κάθ. Ε ορθ.τρ. = 5 3 3 = y 10 www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 8
ΑΣΚΗΣΗ 7 η Δίνεται ΑΒΓ τρίγωνο με ΑΒ=1μ, Β = 30 0 και Γ = 45 0. Να υπολογισθεί το εμβαδό του τριγώνου. (Υπόδειξη: Φέρνουμε το ύψος ΑΔ της πλευράς ΒΓ) Πάμε όμως να δούμε και μερικές δύσκολες ασκήσεις ΑΣΚΗΣΗ 8 η (από Γ. Λαγό Α Ευκλείδης τεύχος 5 ) Δίνεται ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ στο οποίο ΑΒ=15cm και ΑΔ=0cm. Φέρνουμε από τις κορυφές Α, Γ τα κάθετα ευθύγραμμα τμήματα ΑΕ, ΓΖ προς την ΒΔ αντίστοιχα. Να βρεθεί το μήκος των ΒΔ, ΑΕ, ΓΖ, ΒΕ, ΕΖ και ΖΔ. ΑΣΚΗΣΗ 9 η (από Γ. Ωραιόπουλο Α Ευκλείδης τεύχος 54 ) Δίνεται κύκλος ( Ο, 10cm) και Α ένα σημείο εκτός αυτού, τέτοιο ώστε τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ, ΑΓ προς τον κύκλο να σχηματίζουν μεταξύ τους γωνία ΒΑ Γ=10 ο. Να υπολογιστεί η ΑΟ. ΑΣΚΗΣΗ 10 η (από Γ. Ωραιόπουλο Α Ευκλείδης τεύχος 54 ) Σε ένα κύκλο θεωρούμε τόξο 80 ο, του οποίου η χορδή έχει μήκος 5cm. Να υπολογισθεί η ακτίνα του κύκλου. www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 9
ΑΣΚΗΣΗ 11 η (από Σ. Τσικοπούλου Α Ευκλείδης τεύχος 48 ) Σε ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ με ΑΔ=ΒΓ έχουμε ΑΔ=10 εκ., ΑΒ=3 εκ. και Δ = 30 ο. Να υπολογίσετε το εμβαδό του τραπεζίου. ΑΣΚΗΣΗ 1 η Σε ορθογώνιο τρίγωνο έχουμε συνω = 3, όπου ω μία από τις δύο 5 οξείες γωνίες. Μπορείτε να βρείτε τους υπόλοιπους τριγωνομετρικούς αριθμούς της ω. ΑΣΚΗΣΗ 13 η (από Γ. Λυμπερόπουλος, Τ.Μπακάλης, Μ.Σίσκου Α Ευκλείδης τεύχος 59) Να βρείτε το εμβαδό παρ/μου ΑΒΓΔ που έχει ΑΒ=0 εκ., ΒΓ=30 εκ. και Β =30 Ο. ΑΣΚΗΣΗ 14 η (από Γ.Λυμπερόπουλος, Τ.Μπακάλης, Μ.Σίσκου Α Ευκλείδης τεύχος 59) Ένας δρόμος έχει κλίση 13%. Αν δύο αυτοκίνητα έχουν υψομετρική διαφορά 100 μ. να βρείτε την απόστασή τους. ΑΣΚΗΣΗ 15 η (από Γ.Λαγός, Α.Μπακάλης, Ν. Τζίφας Α Ευκλείδης τεύχος 44) Δίνεται ορθογώνιο παρ/μο ΑΒΓΔ με ΑΒ=8 και ΑΔ=4. Θεωρούμε το σημείο Ε της ΑΒ τέτοιο ώστε ΑΕ=3. Αν ΑΔ Ε = α, ΒΔ Ε = β, ΒΔ Γ = γ να βρεθεί η τιμή της παράστασης : Α = 8εφα εφβ 5 ημβ συνγ + 1 ΑΣΚΗΣΗ 16 η (από Γ.Λαγός, Α.Μπακάλης, Ν. Τζίφας Α Ευκλείδης τεύχος 44) Να βρεθεί η τιμή της παράστασης : 1 6συν30 ημ45 1 3συν30 συν60 Α = : 4 6ημ60 συν45 + 1 3ημ30 ημ60 + 1 4 www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 10