N B P Y T ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΕΡΕΟ ΣΩΜΑ 9 5 Ταυτόχρονη διατήρηση της ορμής και της στροφορμής σε κρούση - y y h + O x Ω + O V x υ a Σχήμα : Το σύστημα με τους δύο παρατηρητές του φαινομένου O και O Το φαινόμενο εξελίσσεται πάνω σ ένα οριζόντιο τραπέζι, από αυτά που έχουν πολλές τρυπίτσες, από όπου βγαίνει αέρας για να ελαττώνονται οι τριβές. Εδώ θα θεωρήσουμε ότι κατά την κίνηση των σωμάτων δεν υπάρχουν τριβές. Έχουμε μια λεπτή ορθογώνια ομογενή πλάκα διαστάσεων a με κέντρο το Ο, από την οποία λείπει ένα ημικυκλικό κομμάτι, από το κάτω μέρος της, όπως φαίνεται στο σχήμα. Η πλάκα αυτή αρχικά ακινητεί πάνω στο τραπέζι. Σκοπός του παιχνιδιού είναι να στείλουμε το ημικυκλικό κομμάτι με ταχύτητα έτσι ώστε να εφαρμόσει ακριβώς στην κοιλότητα της πλάκας. Στην περίπτωση που το πετυχαίνουμε, θέλουμε να ξέρουμε την κίνηση της πλήρους πλάκας, καθώς το ποσό της μηχανικής ενέργειας που μετατράπηκε σε θερμότητα από τη συνένωση των δύο κομματιών. Η άσκηση αυτή προτάθηκε από τον καθηγητή κ. Γεώργιο Ντούβαλη Στέλιος Χατζηθεοδωρίδης, Ιανουάριος
Ο αδρανειακός παρατηρητής Ο Έστω ότι το φαινόμενο το παρακολουθεί ένας αδρανειακός παρατηρητής O που βρίσκεται στο κέντρο της ακίνητης πλάκας. Αυτός ο παρατηρητής, ό,τι και αν γίνει θα παραμένει ακίνητος ως προς το τραπέζι. Το καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων που χρησιμοποιεί και η θετική φορά στροφών φαίνονται στο σχήμα. Πριν από την εφαρμογή του ημικυκλικού κομματιού στην κοιλότητα της πλάκας, ο παρατηρητής O μετράει για το σύστημα: ορμή: P x, P, στροφορμή: L z h και μηχανική ενέργεια: K. Το σύστημα είναι απομονωμένο. Άρα, μετά την κρούση θα μετράει τις ίδιες ποσότητες για την ορμή και τη στροφορμή του συστήματος. Αναμένει από την εμπειρία του ότι μέρος της μηχανικής ενέργειας θα έχει μετατραπεί σε θερμότητα. Επομένως, μετά την κρούση, το κέντρο μάζας της πλήρους πλάκας θα κινείται με σταθερή ταχύτητα κατά μήκος του άξονα x. V Επειδή το κέντρο μάζας της πλάκας κινείται πάνω στον άξονά του, x, η (τροχιακή) στροφορμή του κέντρου μάζας της πλάκας θα είναι μηδέν, οπότε η πλάκα θα έχει ιδιοστροφορμή (spin) ίση με h. L z y Ο αδρανειακός παρατηρητής Ο Έστω τώρα ότι το φαινόμενο το παρακολουθεί και ένας άλλος αδρανειακός παρατηρητής Ο, ο οποίος κινείται με σταθερή ταχύτητα V κατά μήκος του άξονα x του παρατηρητή Ο. Τη χρονική στιγμή t που γίνεται η συγκόλληση, οι δύο παρατηρητές βρίσκονται στο ίδιο σημείο και τα δύο συστήματα συντεταγμένων ταυτίζονται. Πριν από την κρούση, η ορμή που μετράει ο παρατηρητής Ο για το σύστημα είναι: V V V P x P, P x Ο παρατηρητής Ο ονομάζεται παρατηρητής του κέντρου μάζας της πλήρους πλάκας, γιατί μετά την κρούση φαίνεται σαν να κάθεται πάνω στο κέντρο μάζας της πλήρους πλάκας. y Για τη μηχανική ενέργεια του συστήματος, μετράει: V V K K K K K Για να προχωρήσουμε στον υπολογισμό της στροφορμής που μετράει ο παρατηρητής Ο, θα πρέπει πρώτα να υπολογίσουμε τη θέση του κέντρου μάζας της πλάκας με την κοιλότητα. Μας ενδιαφέρει μόνο η y -συνιστώσα, h. Ξέρουμε ότι το κέντρο μάζας της πλήρους πλάκας είναι στο σημείο,, οπότε: h h h h Στέλιος Χατζηθεοδωρίδης, Ιανουάριος
Οπότε η στροφορμή που μετράει ο παρατηρητής Ο είναι: L z h V h V h h L z L z h L z Σημείωση Είναι ενδιαφέρον ότι και οι δύο αυτοί παρατηρητές, που δεν είναι καθόλου τυχαία επιλεγμένοι, συμφωνούν ως προς την στροφορμή του συστήματος αλλά διαφωνούν ως προς την ορμή και τη μηχανική του ενέργεια. Αυτό δεν πρέπει να είναι τυχαίο, αλλά όπως και να έχει το πράγμα είναι πολύ χρήσιμο, γιατί οι δύο παρατηρητές μπορούν να ανταλλάσσουν δεδομένα για τη στροφορμή του συστήματος χωρίς την απαίτηση μετασχηματισμών. Το σύστημα είναι απομονωμένο και για τον παρατηρητή Ο. Άρα, μετά την κρούση θα μετράει τις ίδιες ποσότητες για την ορμή και τη στροφορμή του συστήματος. Αναμένει από την εμπειρία του ότι μέρος της μηχανικής ενέργειας θα έχει μετατραπεί σε θερμότητα. Επομένως, μετά την κρούση, το κέντρο μάζας της πλήρους πλάκας θα παραμείνει ακίνητο V, στην αρχή των αξόνων του. Η ράβδος θα περιστρέφεται αριστερόστροφα γύρω από κέντρο της, με γωνιακή ταχύτητα, που από τη διατήρηση της στροφορμής θα ισούται με: L z h h, όπου είναι η ροπή αδράνειας της πλήρους πλάκας ως προς τον άξονα z. Η μηχανική ενέργεια του συστήματος θα είναι πλέον: K Και θα έχει αναπτυχθεί θερμότητα: h h h K h Q K K K K K h Στέλιος Χατζηθεοδωρίδης, Ιανουάριος 3
Επιστροφή στον αδρανειακό παρατηρητή Ο Ο παρατηρητής Ο έχει μία εκκρεμότητα. Θέλει να υπολογίσει τη μηχανική ενέργεια του συστήματος μετά την κρούση, αλλά του είναι δύσκολο, γιατί η πλήρης πλάκα κάνει σύνθετη κίνηση και κάθε σημείο της πλάκας κινείται πολύπλοκα, διαγράφοντας κυκλοειδείς τροχιές. Την κατάσταση πρόκειται να σώσει ένα θεώρημα για την κινητική ενέργεια του συστήματος που σύμφωνα με το οποίο: K V K K K K K K K K Η θερμότητα που αναπτύσσεται από τη συγκόλληση των δύο κομματιών είναι: Q K K h K K K K h Q Σημειώστε ότι οι δύο παρατηρητές συμφωνούν ως προς το ποσό της θερμότητας που αναπτύχθηκε, αν και διαφωνούν ως προς τα ποσά της μηχανικής ενέργειας πριν και μετά την κρούση. h Προφανώς η ποσότητα πρέπει να είναι θετική σε κάθε περίπτωση, έτσι ώστε η αναπτυσσόμενη θερμότητα να είναι θετική. Μπορείτε να βρείτε την απόδειξη αυτής της ιδιότητας, σε υπόμνημα στο τέλος. Η ταχύτητα του μέσου Α της πάνω πλευράς της πλάκας Το σημείο Α ως προς τον παρατηρητή Ο κινείται ομαλά κυκλικά, αριστερόστροφα, με γωνιακή ταχύτητα. Ακριβώς μετά την κρούση, η ταχύτητα του Α θα είναι:. Η ταχύτητα του σημείου Α ως προς τον παρατηρητή Ο, αμέσως μετά την κρούση μπορεί να υπολογιστεί από τους μετασχηματισμούς της σχετικότητας του Γαλιλαίου: V. Σκεφτόμαστε: τι θα συνέβαινε άραγε αν το σημείο Α της πλάκας ήταν καρφωμένο στο τραπέζι; Αν, τότε είναι αναμενόμενο ότι από το καρφί θα αναπτυσσόταν μια πολύ μεγάλη δύναμη για να κρατήσει το σημείο Α ακίνητο. Η ώθηση της δύναμης αυτής θα ήταν σημαντική και δεν θα μπορούσε να αγνοηθεί, ακόμη και στην περίπτωση που η κρούση διαρκεί απειροστό χρονικό διάστημα. Συνεπώς, δεν θα μπορούσαμε να εφαρμόσουμε την αρχή της διατήρησης της ορμής. Την περίπτωση αυτή θα τη μελετήσουμε σε επόμενη παράγραφο. Στέλιος Χατζηθεοδωρίδης, Ιανουάριος 4
Αν όμως τότε δεν υπάρχει κανένας λόγος να ασκηθεί δύναμη από το καρφί στο σημείο Α. Αν η κρούση είναι ακαριαία τότε το σύστημα είναι απομονωμένο κατά τη διάρκεια της κρούσης και ισχύει η αρχή της διατήρησης της ορμής. Ενδιαφέρον! Θα θέλαμε λοιπόν, να γνωρίζουμε τις απαραίτητες συνθήκες που θα επιτυγχάνουν : V V h h Δεδομένου ότι η ροπή αδράνειας της ομογενούς ορθογώνιας πλάκας είναι: a τότε: h a 6 Αν η πλάκα ήταν πολύ στενή, a, δηλαδή ήταν ράβδος, τότε: h 6 ή ισοδύναμα η κρούση θα έπρεπε να γίνει σε απόστα ση 3 από το κάτω άκρο της ράβδου. Αν το σημείο Α ήταν καρφωμένο στο τραπέζι Έστω ότι το σημείο Α της πλάκας είναι καρφωμένο στο τραπέζι ώστε να παραμένει συνεχώς ακίνητο. Τότε, στη γενικότητα του προβλήματος δεν ισχύει η αρχή της διατήρησης της ορμής. Μεταφέρουμε τον παρατηρητή Ο στη θέση Α και καταργούμε τον παρατηρητή Ο. Τον παρατηρητή στη θέση Α θα τον λέμε παρατηρητή Α. Ο παρατηρητής Α μετά την κρούση βλέπει την πλήρη πλάκα να κάνει αριστερόστροφη στροφική κίνηση γύρω από το σημείο Α με σταθερή γ ωνιακή ταχύτητα. Ως προς τον Α λοιπόν, ισχύει η αρχή της διατήρησης της στροφορμής, γιατί η ροπή της δύναμης που ασκεί το καρφί στη ράβδο είναι μηδέν, και το σύστημα είναι στροφικά απομονωμένο. L z, h Όπου 4 είναι η ροπή αδράνειας της πλήρους πλάκας ως προς τον άξονα που είναι κάθετος στο τραπέζι και περνάει από το Α και όπου έχουμε χρησιμοποιήσει το θεώρημα του Steiner για να μεταφερθούμε από το κέντρο μάζας Ο στο σημείο Α. Η θερμότητα που αναπτύσσεται κατά την κρούση είναι: Q h K h 4 Στέλιος Χατζηθεοδωρίδης, Ιανουάριος 5
Η αναπτυσσόμενη θερμότητα Ως τελικό σημείο θα θέλαμε να γνωρίζουμε το ρόλο που έπαιξε το κάρφωμα του σημείου Α στην αναπτυσσόμενη θερμότητα. Υποψιαζόμαστε ότι θα υπάρχει περίπτωση: Q Q. Θα προχωρήσουμε με ισοδυναμίες: Q Q K h K 4 h h 4 h 4 h 4 h h h h 4 h h 4 a h 3h a 3 a h a h Το αριστερό σκέλος της ανίσωσης είναι πολυώνυμο δευτέρου βαθμού ως προς h. Η 3 a διακρίνουσα είναι: 4, οπότε το πολυώνυμο έχει διπλή ρίζα, την: a a h και για όλα τα άλλα h είναι θετικό. 6 Συνοψίζοντ ας, η θερμότητα που αναπτύσσεται με καρφωμένο το σημείο Α είναι περισσότερη από τη θερμότητα που αναπτύσσεται με ελεύθερο το σημείο Α, εκτός από την περίπτωση a h, οπότε οι δύο περιπτώσεις ταυτίζονται στο σημείο αυτό. 6 Η παρατήρηση αυτή για τις θερμότητες, θυμίζει την ακόλουθη κλασική άσκηση στην πλαστική κρούση δύο σωμάτων. Ένα σώμα μάζας κρατείται ακλόνητο όταν το πυροβολούμε με σφαίρα μάζας και ταχύτητα. Τότε όλη η κινητική ενέργεια της σφαίρας K μετατρέπεται σε θερμότητα (ή έστω σε εσωτερική ενέργεια του συστήματος σώμα-σφαίρα). Αν το σώμα ήταν ελεύθερο να κινηθεί, τότε από τη διατήρηση της ορμής το συσσωμάτωμα θα αποκτούσε ταχύτητα V και θα είχε κινητική ενέργεια: K V K. Το ποσό της μηχανικής ενέργειας που θα γινόταν θερμότητα (ή έστω εσωτερική ενέργεια του συστήματος) θα ήταν: Q K K K K Στέλιος Χατζηθεοδωρίδης, Ιανουάριος 6
ΥΠΟΜΝΗΜΑ h Για να μην αφήσουμε καμία εκκρεμότητα, θα αποδείξουμε ότι η σχέση ισχύει όχι μόνο για τη συγκεκριμένη άσκηση αλλά και γενικότερα. Πριν όμως θα τη φέρουμε στη μορφή: h. - d d O O Στο διπλανό σχήμα βλέπετε ένα σώμα με μάζα και με κέντρο μάζας στο σημείο O. Έχουμε απομονώσει με πιο σκούρο χρώμα ένα κομμάτι του, με μάζα και με κέντρο μάζας στο σημείο O. Τα κέντρα μάζας O και O απέχουν μεταξύ τους απόσταση d. Αν αφαιρέσουμε το κομμάτι αυτό, το υπόλοιπο από το αρχικό σώμα θα έχει μάζα και κέντρο μάζας στο σημείο O. Το O απέχει από το απόσταση d. O O Επιπλέον το κέντρο μάζας O βρίσκεται πάνω στην ευθεία που ενώνει τα κέντρα μάζας των δύο μερών και O, και ισχύει ότι:, O d d Εξ.(). Έστω ένας άξονας περιστροφής,, που διέρχεται από το κέντρο μάζας του συνολικού σώματος ως προς τον άξονα αυτό είναι:. O. Η ροπή αδράνειας Έστω άλλος άξονας περιστροφής, ο, που είναι παράλληλος στον προηγούμενο και διέρχεται από το κέντρο μάζας O του κομματιού με μάζα. Η ροπή αδράνειας του κομματιού αυτού ως προς τον άξονα είναι. Οπότε, σύμφωνα με το θεώρημα του Steiner, η ροπή αδράνειας του κομματιού αυτού ως προς τον άξονα θα είναι: d Τέλος, έστω και άλλος άξονας περιστροφής, ο, που είναι παράλληλος στους δύο προηγούμενους και διέρχεται από το κέντρο μάζας O του κομματιού με μάζα. Η ροπή αδράνειας του κομματιού αυτού ως προς τον άξονα είναι. Οπότε, σύμφωνα με το θεώρημα του Steiner, η ροπή αδράνειας του κομματιού αυτού ως προς τον άξονα θα είναι:. d Στέλιος Χατζηθεοδωρίδης, Ιανουάριος 7
Ως προς τον άξονα μπορούμε να αναλύσουμε τη ροπή αδράνειας του συνολικού σώματος στις ροπές αδράνειας των μερών του: d d. Χρησιμοποιώντας την Εξ.() μπορούμε να αντικαταστήσουμε το. Τότε: d d d d Από τη σχέση αυτή είναι προφανές ότι d Εξ.() Για το δικό μας πρόβλημα, επειδή d h x h, ισχύει η σχέση που θέλαμε να αποδείξουμε. Η Εξ.() ίσως να αποκτά ιδιαίτερο ενδιαφέρον αν τη φέρουμε στη μορφ ή: d και αναγνωρίσουμε ότι: Ο όρος d είναι η ροπή αδράνειας του κομματιού με μάζα ως προς τον άξονα αν συρρικνώσουμε το κομμάτι αυτό σε ένα σημείο στο κέντρο μάζας του. Ο όρος είναι η ροπή αδράνειας του κομματιού με μάζα ως προς τον άξονα, αν το απλώσουμε σε όλα τα σημεία του αρχικού σώματος γεμίζοντας και την οπή από το κομμάτι που αφαιρέσαμε, και κρατώντας την ίδια κατανομή πυκνότητας με αυτήν στο αρχικό σώμα. Έτσι, ως προς άξονα περιστροφής που διέρχεται από το κέντρο μάζας ενός σώματος, η ροπή αδράνειας ενός κομματιού του, που το συρρικνώνουμε στο κέντρο μάζας του, είναι μικρότερη από τη ροπή αδράνειας του υπόλοιπου κομματιού αφού όμως πρώτα το απλώσουμε ανάλογα σε όλο το χώρο που καταλάμβανε το αρχικό σώμα. Σε σύγκριση με τα προηγούμενα, είναι κατά πολύ απλούστερο να αποδειχθεί η ισχύς της αντίστοιχης ανισότητας για τη θερμότητα Q, στην περίπτωση που το σημείο είναι καρφωμένο. Η απόδειξη στην περίπτωση αυτή, ουσιαστικά, βασίζεται στο γεγονός ότι η ροπή αδράνειας ενός σώματος ως προς κάποιο άξονα περιστροφής είναι μεγαλύτερη από τη ροπή αδράνειας ενός μέρους του ως προς τον ίδιο άξονα. Στέλιος Χατζηθεοδωρίδης, Ιανουάριος 8