Παιδαγωγικό Τµήµα Νηπιαγωγών αριθμητικές πράξεις 1
Παιδαγωγικό Τµήµα Νηπιαγωγών ανάλυση & σύνθεση αριθμού Ενότητα: Πράξεις με αριθμούς Κωνσταντίνος Π. Χρήστου Παιδαγωγικό Τμήμα Νηπιαγωγών
πόσα αποτελέσματα πράξεων να γνωρίζει κανείς; Υπάρχουν περίπου 400 συνδυασμοί πράξεων για αριθμούς 0-10 100 για πρόσθεση: από 0+0 μέχρι 9+9 100 για αφαίρεση 100 για πολ/σμό 90 για διαίρεση (δεν γίνεται με το 0) για ένα παιδί που γνωρίζει 8000-16000 λέξεις μέχρι την ηλικία των 6. Υπάρχει τρόπος να μειωθεί ο αριθμός αυτών των γνωστών αποτελεσμάτων; με στρατηγικές υπολογισμού με πράξεις 3
τι είναι πρόσθεση; η πρόσθεση (κι η αφαίρεση) είναι διαδικασίας που αλλάζουν την πληθικότητα ενός συνόλου, άρα και την αριθμητική αξία η πρόσθεση αναπαριστά τη διαδικασία ένωσης δύο ποσοτήτων για τη δημιουργία μιας νέας μεγαλύτερης ποσότητας αφαίρεση η διαδικασία διαχωρισμού μιας μικρότερης ποσότητας από μια μεγαλύτερη, με αποτέλεσμα να προκύψει μια νέα ποσότητα μικρότερη από την αρχική (προσοχή: μιλάμε για αριθμούς/ποσότητες κι άρα για θετικούς αριθμούς) 4
σχήματα/μοντέλα για την πρόσθεση δύο βασικό μοντέλα για τη πρόσθεση μικρών ποσοτήτων σύμφωνα με τη Resnick (1983): το σχήμα διαδοχής (successor schema) το σχήμα του μέρος- μέρος- όλον (part hole schema) 5
το σχήμα διαδοχής (successor schema) βασίζεται στη διατακτικότητα του αριθμού δηλαδή στο γεγονός ότι οι αριθμοί μπορούν να διαταχθούν από το μικρότερο στον μεγαλύτερο σαν θέσεις στην νοητή ευθεία των αριθμών κάθε αριθμός μπορεί να κατασκευαστεί με τη σχέση του ν+1 κάθε αριθμός δημιουργείται από τον προηγούμενο με την πρόσθεση μιας μονάδας έτσι μάλιστα μπορείς να κατασκευάσεις την απειρία των φυσικών αριθμών 6
πρόσθεση/αφαίρεση στο σχήμα διαδοχής η πρόσθεση είναι κίνηση δεξιά στην νοητή (οριζόντια) αριθμογραμμή η αναλογία της απόστασης των αριθμών 5+2= 2 βήματα δεξιά 8-3= 3 θέσεις αριστερά του 8 11-3= 8 γιατί το 8 απέχει 3 θέσεις από το 11 (πρόσθεση ως αντίστροφη πράξη της αφαίρεσης) υπάρχει και η κάθετη αριθμογραμμή όπου οι πράξεις είναι κινήσεις πάνω/κάτω 7
σχήμα του μέρος- μέρος- όλον είναι η ιδιότητα της προσθετικής ανάλυσης και σύνθεσης του αριθμού κάθε αριθμός (όλον) αποτελείται από μέρη 8=5+3 το μέρος 5 και το μέρος 3 κάνουν το όλο 8 (σύνθεση) το όλον 8 αποτελείται από το μέρος 3 και το άλλος μέρος 5 (ανάλυση) Ίσως το βασικότερο χαρακτηριστικά του αριθμού είναι ότι μπορεί να σπάσει σε κομμάτια χωρίς να αλλάξει το συνολικό του μέγεθος, και να ανασυνταχθεί (Resnick, 1983) αυτό γίνεται φανερό στα λεκτικά προβλήματα, όπου οι μαθητές βλέπουν τη σύνδεση των σχέσεων ποσοτήτων με τις αριθμητικές τους αξίες σε αυτό βασίζονται τα συστήματα μέτρησης: βάση του δέκα, κτλ και δομούνται οι αλγόριθμοι των πράξεων (δανείζομαι δεκάδα, κτλ.) 8
ανάλυση/σύνθεση και πράξεις Αν τα παιδιά γνωρίζουν όλους τους συνδυασμούς των αριθμών μέχρι το 10 μπορούν εύκολα να δουλέψουν με τους αριθμούς μέχρι το 20 (π.χ., 10+4, 11+6, 15 5, 16 3). μετά μπορούν να δουλέψουν με συνδυασμούς αριθμούς που χρειάζονται νέα ομαδοποίηση (π.χ., 13+8, 17 9), Έχοντας δουλέψει κι αυτούς τους συνδυασμούς στους αριθμούς 1-20 εύκολα θα μπορέσουν να τους επεκτείνουν στους αριθμούς 20-100 π.χ., γνωρίζοντας 13+8 κάνει 21 (δηλαδή τι γίνεται όταν συμπληρώνεται δεκάδα) είναι το ίδιοι που θα ισχύσει στους μεγαλύτερους αριθμούς 33+8=41 9
ανάλυση/σύνθεση & αντίστροφες πράξεις η ανάλυση και σύνθεση του αριθμού είναι αντίστροφες πράξεις, κι έτσι: η πρόσθεση και η αφαίρεση είναι αντίστροφες πράξεις: 2+3=3+2 5-3=2 γιατί 2+3=5 και άρα 5-2=3 Ο πολ/σμός και η διαίρεση είναι αντίστροφες πράξεις 3*4=4*3 15:3=5 γιατί 3*5=15 κι άρα 15:5=3 10
μοναδιαία/δυαδική πρόσθεση Σχέση του σχήματος διαδοχής με το σχήμα του μέρος- μέρος- όλον στον τρόπο κατανόησης η πρόσθεση αναπαριστά τη διαδικασία ένωσης δύο ποσοτήτων για τη δημιουργία μιας νέας μεγαλύτερης ποσότητας η παραπάνω είναι η δυαδική πρόσθεση: η πρόσθεση που προϋποθέτει δύο ποσότητες που ενώνονται τα παιδιά όμως μικρών ηλικιών φαίνεται να κατανοούν την πρόσθεση ως μοναδιαία πρόσθεση, δηλαδή διαδοχική πρόσθεση +1, που γίνεται σαν κίνηση στην νοητή ευθεία στη μοναδιαία πρόσθεση μια ποσότητα μεγαλώνει ως αποτέλεσμα της δράσης που συμβαίνει σε αυτή προσθέτοντας διαδοχικά +1, άρα 2+3= βάζουμε 3 φορές +1 στο 2 έτσι η πρόσθεση γίνεται κατανοητή ως μετακίνηση στον επόμενο αριθμό κι όχι ως συνένωση δύο ανεξάρτητων ποσοτήτων. βλ. Vergnaud, 1982; Weaver, 1982; Barrody, 1987,1989 αυτό φαίνεται από το γεγονός ότι για τους μαθητές είναι πολύ πιο εύκολο να προσθέσουν 1 σε κάποιον αριθμό, από το να προσθέσουν τον αριθμό στο 1 βλ. Groan & Parkman, 1972; Siegler & Shrager, 1984 11
μοναδιαία/δυαδική πρόσθεση η μοναδιαία πρόσθεση δεν μπορεί να υποστηρίξει την αντιμεταθετικότητα της πρόσθεσης, που βασίζεται στη δυνατότητα να αλλάξει η σειρά των δύο ποσοτήτων που ενώνονται η αντιμεταθετικότητα της πρόσθεσης υποστηρίζεται καλύτερα από το μοντέλο της δυαδικής πρόσθεσης είναι πιο δύσκολο με τη μοναδιαία πρόσθεση να γίνεται κατανοητό γιατί 4+2 θα πρέπει να δώσει το ίδιο αποτέλεσμα με το 2+4 12
πόσο νωρίς γίνεται κατανοητή η αντιμεταθετικότα στην πρόσθεση; πειράματα με παιδιά 3 και 4 ετών έδειξαν ότι κατανοούν την αντιμεταθετικότητα στην πρόσθεση, όταν οι ποσότητες που προστίθενται είναι αντικείμενα κι όχι αριθμητικά σύμβολα (βλ. Sophian, Harley, Manos, 1996) 13
το πείραμα της αντιμεταθετικότητας (βλ. Sophian, Harley, Manos, 1996) τα παιδιά έπρεπε να πουν αν δύο χαρακτήρες είχαν τον ίδιο αριθμό από ζωάκια, τα οποία ήταν δύο ειδών (ψάρια και πουλιά) για να μην απαριθμούν τα παιδιά, ένα μέρος του συνόλου ήταν καλυμμένο με ένα κουτί κάθε χαρακτήρας είχε ένα σύνολο και από τα δύο είδη ζώων, ένα μικρότερο (2 ή 3 ψάρια) και ένα πιο μεγάλο (4 ή7 πουλιά) το μεγαλύτερο σύνολο (π.χ., τα 6 πουλιά) πάντα καλύπτονταν γρήγορα με ένα κάλυμμα που είχε διαφορετικό χρώμα ανάλογα το είδος (κόκκινο για τα ψάρια, κίτρινο για τα πουλιά) και έχει μέγεθος ανάλογο του πλήθους που έκρυβε για να δηλώνει κάτι από το μέγεθός του όταν ο ένας χαρακτήρας είχα λίγα ψάρια και πολλά πουλιά, ο άλλος είχε πολλά ψάρια και λίγα πουλιά έτσι ο ένας χαρακτήρας θα μπορούσε να έχει 2 φανερά ψάρια και κάποια πουλιά καλυμμένα με ένα κόκκινο κουτί και ό άλλος κάποια ψάρια καλυμμένα με ένα κίτρινο κουτί ίδιου μεγέθους και 3 φανερά πουλιά στα μισά έργα οι δύο χαρακτήρες είχαν ίσα ζωάκια, τόσο κρυμμένα όσο και φανερά και μόνο το είδος άλλαζε, οπότε η σωστή απάντηση ήταν είναι ίσα (αντιμεταθετική ιδιότητα σε ισχύ), ενώ στα άλλα μισά τα ζωάκια κάθε χαρακτήρα ήταν διαφορετικά σε πλήθος, είτε γιατί υπήρχαν 2 φανερά ζωάκια στον ένα χαρακτήρα ενώ 4 στον άλλο, είτε γιατί υπήρχαν 4 κρυμμένα στον ένα χαρακτήρα και 7 στον άλλο, καλυμμένα με μεγαλύτερο κουτί 14
πρόσθεση και πραγματικές καταστάσεις Τα παιδιά συχνά φαίνεται να έχουν δυσκολίες να δώσουν τη σωστή απάντηση σε ένα λεκτικό πρόβλημα. παρόλα αυτά θα περιμέναμε το αντίστροφο γιατί η σύνδεση με πραγματικές καταστάσεις και πραγματικά αντικείμενα θα έπρεπε να βοηθάει βλ. εμπλαισιωμένη μάθηση μαθηματικά μέσα κι έξω από το σχολείο - παιδιά/πωλητές στη Βραζιλία (Carahher, 1987) τι συμβαίνει; 15
-πόσο κάνει ένα κι ένα; -εγώ δεν πάω ακόµα σχολείο Hughes, 1981
ένας χαρακτηριστικός διάλογος - Πόσα είναι δύο κι ακόμα ένα; - Τέσσερα - Λοιπόν, πόσα είναι δύο γλειφιτζούρια κι ακόμα ένα; Τρία - Πόσοι είναι δύο ελέφαντες κι ένας ακόμα; - Τρεις Πόσες είναι δύο καμηλοπαρδάλεις κι ακόμα μία; Τρεις Λοιπόν, πόσα είναι δύο κι ακόμα ένα; (κοιτάζοντας τον ενήλικο στα μάτια). Έξι Hughe, 1981
η συµβολική γλώσσα των µαθηµατικών γιατί οι μαθητές δυσκολεύονται τόσο με την αριθμητική ενώ η γνωστική ανάπτυξη του αριθμού ξεκινάει από τόσο νωρίς; οι μαθητές μπορούν να απαντούν σωστά σε ερωτήσεις τύπου «2 ποδήλατα κι άλλα τρία ποδήλατα πόσα ποδήλατα είναι συνολικά?» αλλά όχι στην ερώτηση 2+3 Η γνώση στην καθημερινή ζωή είναι για μικρά παιδιά διαφορετική από τη συμβολική, αφηρημένη, σχολική γνώση
σύµβολα και αριθµοί οι αριθμολέξεις συμβολίζουν αφηρημένα πράγματα π.χ., δύο δεν υπάρχει ισομορφισμός ανάμεσα στη λέξη και σε αυτό που συμβολίζει το «δύο», ή το 2, καμία σχέση δεν έχουν με δύο πράγματα
πείραμα του Hughes έβαλε σε κουτί έναν άγνωστο στα παιδιά αριθμό από τουβλάκια και μετά έβαζε ή έβγαζε μπροστά τους κάποια τουβλάκια και τους ζητούσε να πουν πόσα ήταν πριν τα παιδιά από 2,5 μέχρι 4,5 ετών απαντούσαν σε πολύ μεγάλο ποσοστό σωστά, ενώ απαντούσαν λάθος στην ερώτηση πόσο κάνουν 2+3? Τα παιδιά δυσκολεύονται με την τυπική γλώσσα του σχολείου, ενώ είναι ικανά να κατανοήσουν το μαθηματικό νόημα των πράξεων και των αριθμών 20
πίσω στα λεκτικά προβλήματα ίσως τελικά τα λεκτικά προβλήματα δεν πείθουν αρκετά τους μαθητές ότι είναι πραγματικά κι όχι μαθηματικά επίσης, τα λεκτικά προβλήματα δεν είναι και τόσο εύκολα όσο φαίνονται κι έχουν κυμαινόμενη δυσκολία ανάλογα με τη σημασιολογική τους δομή βλ. Cummins, 1991; De Corte, Verscaffel & De Win, 1985, Riley & Greeno, 1988 21
δυσκολίες στα λεκτικά προβλήματα τα πιο εύκολα λεκτικά προβλήματα πρόσθεσης είναι αυτά στα οποία ο άγνωστος βρίσκεται στο τέλος π.χ., Ο Νίκος είχε 8 σπίρτα και έδωσε τα 3 στον Μάνο, πόσα σπίρτα έχει τώρα ο Νίκος; ενώ τα προβλήματα που ο άγνωστoς βρίσκεται στην αρχή είναι πιο δύσκολα. Στα προβλήματα αυτά αναζητούνται σχέσεις μέρους/όλου π.χ., ο Νίκος είχε κάποια σπίρτα και του έδωσε ο Μάνος 5 σπίρτα και τώρα ο Νίκος έχει 8 σπίρτα. Πόσα σπίρτα είχε ο Νίκος στην αρχή; Πιο εύκολα λοιπόν είναι τα προβλήματα στα οποία η πράξεις για τη λύση ακολουθεί τη σειρά των γεγονότων (βλ. άγνωστος στο τέλος) 22
δυσκολίες στα λεκτικά προβλήματα Ένα ακόμα πείραμα σε 4-5 ετών παιδιά ένα αρκουδάκι μαζεύει μανιτάρια στο δάσος, τα βάζει σε ένα καλάθι και τα βγάζει μια φωτογραφία, κλείνει το καλαθάκι (για να μη βλέπει πόσα έχει μέσα) και παίρνει το δρόμο για το σπίτι, αλλά συναντά ή έναν φίλο που του δίνει λίγα μανιτάρια ακόμα ή ένα τέρας που του παίρνει κάποια. Φτάνοντας σπίτι ανοίγει το καλάθι. Στη συνθήκη άγνωστος στην αρχή, ο ερευνητής του δείχνει πόσα μανιτάρια είχε στο σπίτι και ρωτάει πόσα είχε στο δάσος (στη φωτογραφία) Στη συνθήκη άγνωστος στο τέλος, ο ερευνητής δείχνει την φωτογραφία και ρωτάει πόσα έχει στο τέλος, στο σπίτι σημασία δεν είχε η ακριβής απάντηση όσο το αν κατανοεί τη σχέση μέρους όλου κι άρα αν απαντάει ότι στο τέλος θα έχει περισσότερα απ ότι στην αρχή αν συνάντησε φίλο, κι ότι στο τέλος θα έχει λιγότερα απ ότι στην αρχή, αν συνάντησε τέρας. Τα παιδιά 5 ετών απαντούσαν σωστά ενώ τα 4 ετών απαντούσαν συνήθως περισσότερα, ανεξάρτητα από το αν συνάντησαν φίλο ή τέρας Στη συνθήκη άγνωστος στο τέλος, τα κατάφερναν όλοι καλύτερα Sophian & Vong, 1993 23
Στρατηγικές επίλυσης για απλά προβλήματα αφαίρεσης Υλικές (Material): χρήση φυσικών αντικειμένων Λεκτικές (Verbal): διαδοχικό μέτρημα Υποκατηγορίες counpng Ξεκινάει με τον μεγαλύτερο αριθμό Ξεκινάει με τον πρώτο αριθμό Νοητικές (Mental): ανάκληση αριθμητικών αποτελεσμάτων 24
στρατηγικές μέτρησης Μοντέλο Ολικής Μέτρησης (απαρίθμησης) όταν θέλουν να προσθέσουν 8+3 ξεκινούν από την αρχή, μετρούν μέχρι το πρώτο (8) και άλλα 3 1,2,3,4,5,6,7,8...,9,10,11 Μοντέλο Μερικής Μέτρησης όταν θέλουν να προσθέσουν 8+3 ξεκινούν από το 8 και μετρούν 3: 9, 10, 11 Μοντέλο Ελάχιστης Μέτρησης όταν θέλουν να προσθέσουν 3+5 ξεκινούν από το 5και μετρούν άλλα 3, κι όχι από το πρώτο (το 3) γιατί είναι πιο οικονομικό 4, 5, 6, 7, 8, οι στρατηγικές αυτές παίρνουν διαφορετικό χρόνο κι έτσι μπορούμε να τις υποθέσουμε μεθοδολογικά 25
στρατηγικές μέτρησης Οι διαφορετικές στρατηγικές μέτρησης μπορούν να υποστηριχθούν από το εργαλείο της απαρίθμησης παράδειγμα, όταν θέλουν να προσθέσουν 8+3: Μοντέλο Ολικής Μέτρησης (με απαρίθμηση) 1,2,3,4,5,6,7,8...,9,10,11 Μοντέλο Μερικής Μέτρησης (με απαρίθμηση) ξεκινούν από το 8 και μετρούν 3:...9, 10, 11 Μοντέλο Ελάχιστης Μέτρησης (με απαρίθμηση) όταν θέλουν να προσθέσουν 3+5 ξεκινούν από το 5 και μετρούν άλλα 3:...6, 7, 8, 26
Στρατηγικές επίλυσης για απλά προβλήματα αφαίρεσης Υλικές (Material): χρήση φυσικών αντικειμένων Λεκτικές (Verbal): διαδοχικό μέτρημα Υποκατηγορίες coun ng Ξεκινάει από τον μεγαλύτερο αριθμό και κατεβαίνει όσο ο αφαιρετέος. π.χ 8-5: 7, 6, 5, άρα 3 Ξεκινάει με τον μικρότερο και ανεβαίνει μέχρι να βρει τον άλλο αριθμό, π.χ., 6, 7, 8, άρα 3 φυσικά αυτές οι στρατηγικές δύσκολα εφαρμόζονται όταν οι διαφορές είναι μεγάλες και πρέπει να μετρήσεις πολλούς αριθμούς Νοητικές (Mental): ανάκληση αριθμητικών αποτελεσμάτων 27
συμπεράσματα για την πρόσθεση και την αφαίρεση ακόμα και τα νεογέννητα έχουν μια αντίληψη της πρόσθεσης και αφαίρεσης ποσοτήτων ως διαδικασίες που αλλάζουν το πλήθος ενός συνόλου κοντά στα νήπια τα παιδιά κατανοούν τις αντιμεταθετικές ιδιότητες της πρόσθεσης παρόλα αυτά στην προσχολική και πρώιμη σχολική ηλικία μένουν να συμβούν μεγάλες αναπτυξιακές αλλαγές στην κατανόηση των πράξεων τα παιδιά περνούν από μία μοναδιαία αντίληψη της πρόσθεσης σε μια δυαδική που υποστηρίζει την ανάπτυξη της κατανόησης σχέσεων μέρους/όλου, που θα επιτρέψει να λύσουν λεκτικά προβλήματα όπου ο άγνωστος εμφανίζεται στην αρχή και άλλα προβλήματα που δεν λύνονται αν οι απαραίτητες πράξεις ακολουθούν την αφήγηση του προβλήματος. οι στρατηγικές μέτρησης γίνονται όλο και πιο εκλεπτυσμένες, από ολική σε μερική και ελάχιστη μέτρηση από τις πιο απαιτητικές είναι η κατανόηση της αξίας θέσης των συστημάτων αρίθμηση και οι κάθετες πράξεις με κρατούμενα. 28
µέθοδος: 'µετασχηµατισµού' ή 'αριθµητικής πρόβλεψης' παράδειγμα Wynn, 1992
Αριθµητική Ικανότητα Πείραμα: Simon, T.J., Hespos, S.J., & Rochat, P., (1995). μέθοδος: 'µετασχηµατισµού' ή 'αριθµητικής πρόβλεψης' ερέθισμα: Ο Elmo και ο Ernie, κούκλες από την εκπομπή 'Sesame Street' της εκπαιδευτικής τηλεόρασης. Διάψευση της πρόβλεψης, τόσο σε χαρακτηριστικά του αντικειμένου - ο Elmo με αόρατες διαδικασίες γινόταν Ernie - όσο και στο πλήθος των αντικειμένων. + = +
Αριθµητική Ικανότητα Πείραμα: Simon, T.J., Hespos, S.J., & Rochat, P., (1995). μέθοδος: 'µετασχηµατισµού' ή 'αριθµητικής πρόβλεψης' ερέθισμα: Ο Elmo και ο Ernie, κούκλες από την εκπομπή 'Sesame Street' της εκπαιδευτικής τηλεόρασης. Ανατροπή της πρόβλεψης, τόσο σε χαρακτηριστικά του αντικειμένου (ο Elmo με αόρατες διαδικασίες γινόταν Ernie) όσο και στο πλήθος των αντικειμένων.
δραστηριότητες με πρόσθεση παιχνίδια με ζάρια με χαρτιά π.χ., πετάει ένας κι ο άλλος πρέπει να φτιάξει 5, ή 10 ή 8,... χάρτης ανάλυσης/σύνθεσης του 8, του 12,... με πόσους τρόπους μπορούμε να βάλουμε ανθρώπους σε αυτοκίνητα πόσες διαφορετικές πίτσες μπορεί να φτιάξει μια πιτσαρία με τα ακόλουθα υλικά: μανιτάρια, πιπεριά, ντομάτα κουτιά που έχουν μέσα αντικείμενα, και βάζουμε (ή βγάζουμε) κάποια και ρωτάμε πόσα έμειναν επέκταση: να βρεθούν τρόποι να συμβολίσουν τα παιδιά το περιεχόμενο των κουτιών ώστε να το θυμούνται ή και να συμβολίσουν την πράξη που έκαναν, (βλ. Hughes, Τα παιδιά και η έννοια του αριθμού) 32
δραστηριότητες με πρόσθεση Βήματα σε αριθμημένα τετράγωνα σε ευθεία διάταξη, με οδηγίες για πρόσθεση αφαίρεση για καλύτερη κατανόηση της διατακτικότητας του αριθμού 33
σχέση ανάμεσα στις πράξεις Οι μαθητές χρησιμοποιούν τις σχέσεις ανάμεσα σε πράξεις για να ενισχύσουν την δυνατότητά τους για υπολογισμούς Η πρόσθεση και η αφαίρεση είναι άμεσα συνδεδεμένες ως αντίστροφες πράξεις και αυτή τη σχέση την χρησιμοποιούν οι μαθητές όταν μαθαίνουν αφαίρεση. π.χ., να λύσεις το 9-4 σε βοηθάει αν ξέρεις ότι 5+4=9 Ο πολλαπλασιασμός συχνά διδάσκεται ως επαναλαμβανόμενη πρόσθεση: π.χ., 3*5 = 5+5+5 και η στρατηγική πρόσθεσης όμοιων που εισάγει στο διπλασιασμό: 2+2 κάνει 4, 2*2= 4 κάτι που γενικεύεται εύκολα στους διψήφιους π.χ., 2*10=20 Η διαίρεση μπορεί να ιδωθεί ως επαναλαμβανόμενη αφαίρεση ή σαν ίσος διαμοιρασμός η σχέση της διαίρεσης με το κλάσμα θα βοηθήσει στην κατανόηση των κλασμάτων αργότερα π.χ., ότι το μισό του 4 είναι το 2, δηλαδή 4:2=2 ή 4/2=2 Ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση είναι επίσης αντίστροφες πράξεις κι αυτή η σχέση υποστηρίζει την κατανόηση της διαίρεσης 34
Παιδαγωγικό Τµήµα Νηπιαγωγών πολλαπλασιασμός και διαίρεση 35
Μοντέλα πολλαπλασιασμού Μοντέλο Επαναληπτικής Πρόσθεσης το πιο κυρίαρχο το πιο πρωτόγονο Μοντέλο Αναλογίας Μοντέλο εμβαδού επιφάνειας 36
Μοντέλα πολλαπλασιασµού -επαναληπτική πρόσθεση επαναληπτική πρόσθεση π.χ., 3 * 5 = 5+5+5 ή 3+3+3+3+3 3: τελεστής, 5: τελεστέος προϋπόθεση: ο τελεστής πρέπει να είναι ακέραιος Προβλήματα: Ενισχύει την παρανόηση ότι ο πολλαπλασιασμός μεγαλώνει πάντα τον τελεστέο μπορεί να υποστηρίξει την πράξη 3*0.5, αλλά όχι την 0.5*3 άλλα μοντέλα: το εμβαδόν ορθ. παρ/μου
Μοντέλα πολλαπλασιασμού - Μοντέλο Αναλογίας παράδειγμα: Τρία παιδιά έχουν από δύο καραμέλες. Πόσες καραμέλες έχουν όλοι μαζί; το 1 παιδί 2 καραμέλες τα 2 παιδιά 4 καραμέλες τα 3 παιδιά... 6 καραμέλες μελέτη των σχέσεων και της ανάπτυξης των σχέσεων ανάμεσα στις ποσότητες έστω κι αν μπορεί κι αυτά να αντιμετωπίζονται με επαναλαμβανόμενη πρόσθεση, παρόλα αυτά ή γνωστική δομή είναι διαφορετική 2+2=...+2=? επαν. πρόσθεση? : 3 = 2 38
Μοντέλα πολλαπλασιασµού -εμβαδό επιφάνειας εικονική αναπαράσταση του αναλογικού μοντέλου μοντέλο για τον πολ/σμό κλάσματος: h p:// www.learner.org/resources/series171.html
Παιδαγωγικό Τµήµα Νηπιαγωγών μοντέλα για τη διαίρεση 40
Μοντέλα διαίρεσης - Διαίρεση µερισµού Αν 6 σοκολάτες μοιραστούν σε 2 παιδιά, πόσες σοκολάτες θα πάρει κάθε παιδί; 6 : 2 =... ο διαιρετέος και το πηλίκο είναι ίδιας ποιότητας (σοκολάτες), ενώ ο διαιρέτης είναι άλλης ποιότητας (παιδιά) Διαίρεση µερισµού: ένα αντικείµενο διαιρείται σε έναν αριθµό από ίσα τµήµατα, γίνεται διανοµή, µοιρασιά ο άγνωστος είναι της ίδιας ποιότητας µε τον διαιρετέο (σοκολάτες, κι όχι παιδιά) ο διαιρετέος (Δ) µέγεθος- χωρίζεται σε τόσα μέρη όσα καθορίζει ο διαιρέτης(δ)- αριθµός. Προϋποθέσεις: ο διαιρετέος πρέπει να είναι μεγαλύτερος από τον διαιρέτη ο διαιρέτης πρέπει να είναι ακέραιος το πηλίκο πρέπει να είναι μικρότερο από τον διαιρετέο
Μοντέλα διαίρεσης - Διαίρεση µέτρησης Έχεις 6 σοκολάτες. Σε πόσα παιδιά µπορείς να δώσεις από δύο σοκολάτες; 6 :...=2 ο διαιρετέος και ο διαιρέτης είναι ίδιας ποιότητας (σοκολάτες), ενώ το πηλίκο είναι άλλης ποιότητας (παιδιά) Διαίρεση µέτρησης: πόσες φορές περιέχεται µια δοσµένη ποσότητα (µέγεθος) σε µια µεγαλύτερη ποσότητα (µέγεθος), πόσες οµάδες ο άγνωστος είναι διαφορετικής ποιότητας µε τον διαιρετέο (παιδιά, όχι σοκολάτες) Προϋπόθεση: ο διαιρετέος πρέπει να είναι µεγαλύτερος από τον διαιρέτη (µόνος περιορισµός) αν το πηλίκο είναι ακέραιος, το µοντέλο µπορεί να θεωρηθεί ότι αποτελεί επαναλαµβανόµενη αφαίρεση καθώς το πηλίκο καθορίζει τον αριθµό των επαναλαµβανόµενων διαιρέσεων λέγεται και µοντέλο οµαδοποίησης ή επαναλαµβανόµενης αφαίρεσης
Μοντέλα διαίρεσης
Μοντέλα διαίρεσης - αντιμετώπιση τα παιδιά εμφανίζουν ίσες δυσκολίες στα δύο μοντέλα με μία ελαφριά προτίμηση στη διαίρεση μέτρησης ίσως γιατί το μοντέλο της επαναλαμβανόμενης αφαίρεσης είναι πιο διαισθητικό καλύτερη αντιμετώπιση είναι με Υλικές Στρατηγικές η αναπαράσταση του προβλήματος με χρήση φυσικών αντικειμένων για να γίνουν κατανοητές οι σχέσεις. 44
Παιδαγωγικό Τµήµα Νηπιαγωγών η έννοια της μοιρασιάς 45
μοιρασιά sharing, dealing (η διανομή) η διαδικασία της κυκλικής διανομής διακριτών και όμοιων μεταξύ τους αντικειμένων με τρόπο ώστε να επιμερίζεται ο ίδιος αριθμός αντικειμένων σε προσδιορισμένες θέσεις στη διάρκεια κάθε κύκλου (Davis & Hun ng, 1990) δηλαδή να δίνεται ένα αντικείμενο σε κάθε θέση η μοιρασιά είναι σχήμα δράσης και προηγείται της έννοιας του αριθμού όπως η ένα προς ένα αντιστοιχία στην οποία μάλιστα βασίζεται τα παιδιά τα καταφέρνουν στη μοιρασιά ακόμα κι όταν δεν μπορούν ακόμα να απαριθμήσουν είναι προ- αριθμητική δεξιότητα 46
ο αλγόριθμος της μοιρασιάς η μοιρασιά αποτελείται από δύο δράσεις που ο συντονισμός τους θα επιφέρει τα σωστά αποτελέσματα την αρχική δράση όπου κάθε θέση παίρνει από ένα αντικείμενο την επανάληψη του κύκλου διανομής μέχρι να εξαντληθούν τα αντικείμενα ο αλγόριθμός ακολουθείται σωστά ακόμα κι αν στο τέλος τα παιδιά δεν ξέρουν με πόσα αντικείμενα βρέθηκαν 47
η σημασία του πλαισίου τα παιδιά πριν το Νηπιαγωγείο τα καταφέρνουν με τη μοιρασιά όταν τους ζητιέται να το κάνουν σε μια τυπική διαδικασία και ειδικά όταν τα αντικείμενα δεν έχουν άμεση χρηστική αξία (π.χ., μπισκότα) συχνά όταν τα παιδιά είναι εκτός πλαισίου, και ειδικά αν τα αντικείμενα έχουν χρηστική αξία, θα προβούν σε μία αρπαγή και αν είναι κατάφωρα άδικο το αποτέλεσμα τα αρχίσουν διαπραγματεύσεις με άτυπους τρόπους (φέρε λίγα, δώσε πίσω, κτλ) και δεν θα κάνουν κυκλική διανομή, έστω κι αν μπορούν να την κάνουν σε άλλα πλαίσια άρα είναι κάτι που μάλλον δεν γίνεται αυθόρμητα και σίγουρα διδάσκεται και καλλιεργείται ίσως καλλιεργείται ως τρόπος μέσα στην οικογένεια και στην παρέα, βλ. στο οικογενειακό τραπέζι, στο παιχνίδι 48
εννοιολογική επέκταση της μοιρασιάς η μοιρασιά σε ίσα μέρη συνεχών ποσοτήτων μπορεί να εισάγει στα μοναδιαία κλάσματα 1/4, 1/7 να μοιράσουμε ένα κομμάτι σκοινί στα δύο, στα τρία, κτλ αυτό μπορεί να εισάγει στα κλάσματα νωρίτερα απ ότι γίνεται 49
κλάσµατα: το µοντέλο της πίτσας Η αναλογία με την πίτσα εφαρμόζει το μοντέλο του μέρους/όλου στη διδασκαλία του κλάσματος Ορίζοντας το κλάσμα ως μέρος του όλου π.χ., με κομμάτια μιας πίτσας, οι μαθητές δυσκολεύονται να αντιληφθούν ότι ένα κλάσμα μπορεί να είναι μεγαλύτερο από τη μονάδα. με ποιον τρόπο ένα κλάσμα θα μπορούσε να είναι το ίδιο με δεκαδικό αριθμό. με τον τρόπο που χωρίζεται το όλον Με την αδυναμία αναγνώρισης του κλάσματος ως αριθμό : έχουν την τάση να αντιμετωπίζουν το κλάσμα ως κάποιο μέρος (αριθμός κομματιών) από ένα όλο και στη συνέχεια όταν προσθέτουν κλάσματα κάνουν λάθη της μορφής 2/3 + 4/5 =6/8. το κλάσμα ως πηλίκο που υποστηρίζεται από το μοντέλο της διαίρεσης μερισμού
Παιδαγωγικό Τµήµα Νηπιαγωγών αριθμός και πράξεις Η Fuson (1982) παρατήρησε ότι ένα στα τρία εξάχρονα που έκαναν την πράξη 8+5 με τα δάχτυλα έδιναν 12 ως αποτέλεσμα γιατί έλεγαν 8, 9, 10, 11, 12 καθώς άνοιγαν τα δάχτυλά τους για να μετρήσουν. Δεν δίνανε κάποια εξήγηση με βάση τη λογική αλλά βασιζόντουσαν στην κακή εφαρμογή του αλγορίθμου (Kamii, 1985, p. 68) 51
κάποιες επισημάνσεις από τη βιβλιογραφία Η έρευνα έχει δείξει ότι τα περισσότερα παιδιά έχουν διδαχθεί μόνο τα επιφανειακά χαρακτηριστικά των διαδικασιών που εμπλέκονται στις πράξεις ανάμεσα στους αριθμούς και πολύ λίγη προσοχή δίνεται στις έννοιες στις οποίες βασίζεται, όπως ότι ο αριθμός αποτελείται από σύνολο μονάδων, ή την αντιστρεψιμότητα των πράξεων (πρόσθεση- αφαίρεση) (Ma, 1999) Όταν οι δάσκαλοι/νηπιαγωγοί δίνουν προσοχή σε σημαντικά στοιχεία της γνώσης των πράξεων ανάμεσα σε αριθμούς καταφέρνουν να βοηθήσουν τους μαθητές να αναπτύξουν μια καλή αίσθηση του τρόπου με τον οποίο οι αριθμοί και οι πράξεις λειτουργούν μαζί (π.χ., οι ιδιότητες των αριθμών επηρεάζουν τις πράξεις και οι πράξεις φτιάχνουν αριθμούς) Οι μαθητές που έχουν αυτή την αίσθηση καταφέρνουν να κατανοήσουν τον αριθμό και τα συστήματα σε μεγαλύτερο βάθος, και αυτό γίνεται πιο εμφανές όταν ο αριθμός επεκτείνεται για να συμπεριλάβει τους μη- φυσικούς αριθμούς. Οι μαθητές που έχουν καλή αίσθηση του αριθμού αποκτούν καλή στάση απέναντι στα μαθηματικά και αυτό τους βοηθά σε όλη τους την πορεία στην εκπαίδευση 52
πως αποκτάται η αίσθηση του αριθμού; Για να αποκτήσουν οι μαθητές αυτές τις γνώσεις και την αίσθηση του αριθμού σε βάθος τα παιδιά θα πρέπει να έχουν πολλαπλές εμπειρίες με μοντελοποίηση αριθμητικών καταστάσεων με χρήση αντικειμένων, εικόνων, συμβόλων, ώστε να αναπτύξουν τις δικές τους στρατηγικές για τις πράξεις με αριθμούς, και την προσέγγιση του αποτελέσματος της κάθε πράξης, πριν μάθουν να χρησιμοποιούν έναν και μόνο τυπικό αλγόριθμο. Ακόμα κι αν οι μαθητές διδαχθούν συγκεκριμένες στρατηγικές, η εμπειρία που αποκτούν από την ενασχόληση με τους αριθμούς τους δημιουργεί την προϋπόθεση να αναπτύξουν δικές τους στρατηγικές που δεν έχουν διδαχθεί. βλ. Groen & Resnick (1977) για στρατηγικές ολικής (3+4: 123...4567) και μερικής απαρίθμησης (δηλ. 3+4: 4567) όπου τα παιδιά διδάσκονταν την πρώτη αλλά ανάπτυξαν και τη δεύτερη μετά από κάποιες μέρες 53
πως αποκτάται η αίσθηση του αριθμού; 2 Η ικανότητα των παιδιών να εκτελούν πράξεις με αριθμούς είναι άμεσα εξαρτημένη με τις στρατηγικές απαρίθμησης που έχουν διαθέσιμες, με την ικανότητά τους να συνθέτουν να να αναλύουν τους αριθμούς (το 5 έχει μέσα 2 και 3) με την κατανόηση της αξίας θέσης (στο σύστημα αρίθμησης που έρχεται αργότερα). Τα παιδιά μαθαίνουν τα μοτίβα των αριθμητικών πράξεων μαθαίνοντας αποτελεσματικές στρατηγικές απαρίθμησης, δουλεύοντας με μοτίβα πάνω στην αριθμογραμμή και σε πίνακες αριθμών, φτιάχνοντας εικονικές αναπαραστάσεις αριθμητικών καταστάσεων και χρησιμοποιώντας χειροπιαστά αντικείμενα. Οι πράξεις συσχετίζονται μεταξύ τους με διάφορους τρόπους, π.χ., η πρόσθεση και η αφαίρεση είναι αντιθετικές πράξεις. Οι μαθητές πρέπει να εξερευνήσουν αυτές τις σχέσεις ανάμεσα στις πράξεις. 54
η στρατηγική των γνωστών αποτελεσμάτων Τα παιδιά που έχουν καλοσχηματισμένες τις δεξιότητες ανάλυσης και σύνθεσης του αριθμού μπορούν να προχωρήσουν σε άλλες στρατηγικές που εμπεριέχουν γνωστά αποτελέσματα, που είναι στρατηγικές βασισμένες σε αποτελέσματα που είναι ήδη γνωστά π.χ., τη στρατηγική του ένα παραπάνω, όπου η πρόσθεση 6+5, γίνεται βάζοντας ένα παραπάνω στο 5+5, γιατί ξέρω ήδη ότι 5+5=10: γνωστό αποτέλεσμα κι ότι 6=5+1: λόγω της κατανόησης της σύνθεσης του αριθμού 55
στρατηγικές στη λύση αριθμητικών προβλημάτων Η έρευνα έχει δείξει ότι τα παιδιά αναπτύσσουν μια καλή αίσθηση των αριθμητικών πράξεων και της αξίας θέσης των αριθμών αν τους δίνεται η δυνατότητα (και η κατάλληλη) υποστήριξη να αναπτύξουν τις δικές τους στρατηγικές για τη λύση αριθμητικών προβλημάτων Όταν οι μαθητές συνδυάσουν τις αρχικές στρατηγικές τους για την πρόσθεση με την κατανόηση του δεκαδικού συστήματος και την έννοια της δεκάδας ως ομαδοποίηση, καταφέρνουν να αναπτύξουν πολύ αποτελεσματικούς τρόπους να χρησιμοποιούν τη γνώση τους για την αξία θέσης, σε συνδυασμό με την ανάλυση/σύνθεση των αριθμών, για να κάνουν ακόμα πιο πολύπλοκους υπολογισμούς Αρχικά οι στρατηγικές ενέχουν μία κίνηση από αριστερά- προς- δεξιά, δηλαδή ασχολούνται με τις δεκάδες κι αφού τελειώσουν ασχολούνται με τις μονάδες (Carpenter et al., 1998; Fuson et al., 1997; Kamii & Dominick, 1998) 56
στρατηγικές για νοητούς υπολογισμούς Όταν τα παιδιά αναπτύσσουν τέτοιες μεθόδους, κάνουν πιο εύκολα τους νοητούς υπολογισμούς, προσεγγίζουν πιο καλά το αποτέλεσμα μιας πράξης, κάνουν λιγότερα λάθη και μπορούν να καταλάβουν και να διορθώσουν τα λάθη τους. Για παράδειγμα το παιδί που μπορεί να κάνει 23+38 λέγοντας 20+30=50, 8+2=10 άρα 60, και άλλο 1 κάνει 61 μπορεί επίσης να ακολουθήσει τον τυπικό αλγόριθμό σωστά Αν δεν έχει τέτοια αίσθηση των αριθμών και των πράξεων μπορεί να καταλήξει στο αποτέλεσμα 511, γιατί θα είπε: 2+3=5 και 3+8=11 2 3 +3 8 5 1 1 και το χειρότερο είναι ότι δεν εκπλήσσονται από το αποτέλεσμα κι άρα δεν μπαίνει στη διαδικασία να διορθώσει το λάθος 57
κανονικότητες στις αριθμητικές πράξεις η κατανόηση και εξοικείωση με τα μοτίβα (κανονικότητες) των αριθμών βοηθά στην ανάπτυξη κατανόησης των αριθμητικών πράξεων στρατηγικές όπως της ολικής/μερικής/ελάχιστης μέτρησης βοηθούν στην κατανόηση της ανάλυσης/σύνθεσης των αριθμών πρέπει επίσης να καταλάβουν ότι οι πράξεις είναι κινήσεις στην αριθμογραμμή ή στον πίνακα των αριθμών οι μαθητές επίσης χρησιμοποιούν ορόσημα όπως το 5 και το 10 που βοηθούν στη ομαδοποίηση των αριθμών και στην παραγωγή δεδομένων αποτελεσμάτων έτσι είναι σημαντικό να καταλάβουν τη σχέση των μικρών αριθμών με το 5 και με το 10 (ότι το 7 είναι 5+2 και 10-3) γιατί θα βοηθήσει στους υπολογισμούς 58
κανονικότητες στις αριθμητικές πράξεις 2 Η ανάλυση/σύνθεση σε συνδυασμό με τη σχέση των αριθμών με το 5 και 10 θα τους βοηθήσει στην παραγωγή στρατηγικών αντιστάθμισης όπως ότι το 9+6 είναι το ίδιο με 10+5 άρα =15 ή τη στρατηγική να φτιάχνουμε δεκάδες στην πρόσθεση π.χ., 7+8= 7+3+5=10+5=15 ή στην αφαίρεση 16-7=16-6- 1=10-1=9 Αυτή η κατανόηση της αλλαγής δεκάδας βοηθά στην επέκταση σε μεγαλύτερους αριθμούς το 10-2=8 είναι το ίδιο σαν 30-2- 28 Οπτική αναπαράσταση και χειροπιαστά αντικείμενα όπως τουβλάκια με χρώματα ανά δεκάδα, η αριθμογραμμή, ο πίνακας των αριθμών 1-100, παρέχουν σημαντική υποστήριξη στην κατανόηση των μαθητών της σχέσης των αριθμών και τα αποτελέσματα των πράξεων 59
γενικεύσεις στον πίνακα των αριθμών } ποιο µοτίβο ακολουθούν οι αριθµοί στον πίνακα των αριθµών; } } } π.χ., στη διαγώνιο ή στην τρίτη κάθετη γραµµή γιατί συµβαίνει αυτό πως µπορεί να εκφραστεί αυτό το µοτίβο; 60
Παιδαγωγικό Τµήµα Νηπιαγωγών γενικεύσεις και μοτίβα των αριθμών εισαγωγή στην αλγεβρική και γεωμετρική σκέψη 61
δουλεύοντας με προβλήματα Οι μαθητές χρειάζονται εμπειρίες με τη χρήση των τεσσάρων πράξεων και τα προβλήματα μπορούν να προσφέρουν ένα αυθεντικό πλαίσιο όπου οι πράξεις να έχουν νόημα και να βοηθούν στη μαθηματική μοντελοποίηση της γνώσης που παράχθηκε κατά την προσπάθεια λύσης του προβλήματος. Οι καταστάσεις αυτές μπορούν να εισάγουν τα παιδιά στις πράξεις πριν διδαχθούν τον τυπικό αλγόριθμο, ενώ τον διδάσκονται αλλά και μετά τη διδασκαλία του Ειδικά αν υπάρχει ένα πρακτικό πλαίσιο που ενισχύει μια βιωματική σχέση με τις πράξεις και τα αποτελέσματά τους τότε η γνώση είναι πιο καλά εδραιωμένη παράδειγμα: (ένα πρόβλημα ίσου διαμοιρασμού) π.χ., πόσα θαλάσσια ποδήλατα χρειάζονται για να πάμε βόλτα 23 παιδιά? τα παιδιά θα προτείνουν διάφορες λύσεις με διάφορους τρόπους, σχεδιάζοντας, υπολογίζοντας κοκ θα αναδειχθούν οι διαφορετικές στρατηγικές και θα συζητηθούν στην τάξη 62
ιδιότητες των πράξεων είναι πολύ σημαντικό για την εκπαιδευτικό να γνωρίζει τις βασικές ιδιότητες κάθε πράξης ώστε να επενδύσει χρόνο και ενέργεια σε κάθε μία από αυτές οι μαθητές φυσικά δε χρειάζεται να τις ξέρουν με τα ονόματά τους αλλά ως κατακτημένη γνώση η μάθηση των ιδιοτήτων μπορεί να προκύψει από δραστηριότητες με αντικείμενα, αναπαραστάσεις και σύμβολα, όπως έχουμε αναφέρει και παραπάνω 63
βασικές ιδιότητες πρόσθεσης- αφαίρεσης Οι ιδιότητες της πρόσθεσης: η αντιμεταθετική ιδιότητα π.χ., 1+2=2+1 η προσεταιριστική ιδιότητα π.χ., (8+9)+2 είναι το ίδιο όπως 8+(9+2) ο ταυτοτικός κανόνας (π.χ., 1+0=1) Οι ιδιότητες της αφαίρεσης: ο ταυτοτικός κανόνας (1 0=1) 64
ιδιότητες πολ/σμού - διαίρεσης οι ιδιότητες του πολλαπλασιασμού: η αντιμεταθετική ιδιότητα (π.χ., 2 x 3=3 x 2) η προσεταιριστική ιδιότητα [π.χ., 5 x (2 x 6) είναι το ίδιο όπως (5 x 2) x 6] το ουδέτερο στοιχείο (π.χ., 3 x 1=3) ο ρόλος του μηδέν στον πολ/σμό (π.χ., 2 x 0=0) η επιμεριστική ιδιότητα στην πρόσθεση [π.χ., (2+2) x 3=(2 x 3)+(2 x 3)] η επιμεριστική ιδιότητα στην αφαίρεση π.χ., (5-3) x 4 = (5x4) - (3x4) στις ιδιότητες της διαίρεσης περιλαμβάνεται: το ουδέτερο στοιχείο στην πρόσθεση (π.χ., 5 1=5) 65
ισότητα Η ισότητα είναι μια μαθηματική δήλωση ισοδυναμίας των δύο ποσοτήτων. αφού τα παιδιά από πολύ μικρά μπορούν να εκτιμήσουν άμεσα την ποσότητα που είναι μικρότερη από 4, μπορούν κατανοήσουν να σχέσεις ισότητας 2+1=3=1+2 οι μαθητές μπορούν να χτίσουν τις σχέσεις ανάλυσης/ σύνθεσης του αριθμού στη βάση της ισότητας στο πλήθος συνόλων αντικειμένων π.χ., 3+4=5+2=6+1=7 66
η μάθηση των πράξεων στον Νηπιαγωγείο τα παιδιά: μπορούν να καταμετρούν μια συλλογή από αντικειμένων αλλά αρχικά δεν μπορούν να αποφανθούν για το αποτέλεσμα της άθροισης δύο συνόλων - δηλαδή δεν μπορούν να πουν το σύνολο του συνόλου που προκύπτει από την ένωση 5 και 2 χωρίς να τα ξαναμετρήσουν δεν μπορούν να υπολογίσουν το αποτέλεσμα συνένωσης δύο συνόλων αν υπάρχουν αντικείμενα που είναι κρυμμένα - π.χ., 4 πουλάκια πετάνε γύρω από το σπίτι και υπάρχουν κι άλλα 2 στη φωλιά (δεν φαίνονται) πόσα είναι όλα τα πουλάκια; συνήθως αρχικά χρησιμοποιούν τα δάχτυλα των χεριών για να δηλώσουν τους αριθμούς των δύο προσθετέων (4 ανοιχτά δάχτυλα στο ένα χέρι και 3 στο άλλο) και μετρώντας τα όλα μαζί από το 1 βγάζουν το αποτέλεσμα της πράξης στη συνέχεια μπορεί να μην ξεκινούν την καταμέτρηση ξεκινώντας από το 1 (μοντέλο μερικής/ελάχιστης μέτρησης) π.χ., ειδικά στην πρόσθεση 5+... γνωρίζουν ότι το ένα χέρι είναι 5 και ξεκινούν από το 5 την μέτρηση και περνούν κατευθείαν στον αριθμό που αναπαρίσταται στο άλλο χέρι 67
η μάθηση των πράξεων στον Νηπιαγωγείο θα πρέπει να προσφέρει τη δυνατότητα ενεργούς συμμετοχής σε δράσεις πρόσθεσης (βάζω μαζί) και αφαίρεσης (απομακρύνω) αντικειμένων από σύνολα παρά τη γνώση του αλγόριθμου και την παπαγαλία των αποτελεσμάτων των πράξεων υποστηρίζεται καλύτερα από προβληματικές καταστάσεις κατά το δυνατόν αυθεντικές και με νόημα, που να προκύπτουν από ρεαλιστικές καταστάσεις και να εμπλέκουν τα παιδιά στην διεξαγωγή πολλών και διαφορετικών πράξεων, που γίνονται με χρήση πολλαπλών στρατηγικών 68
συμβουλές για τη διδασκαλία των ιδιοτήτων των πράξεων Κάποιες γενικές στρατηγικές για τη διδασκαλία των πράξεων. Οι δάσκαλοι καλό θα ήταν: να εκθέτουν σε προβληματικές καταστάσεις που δημιουργούν την ανάγκη αριθμητικών πράξεων - ενθάρρυνση της έκθεσης των διαφορετικών στρατηγικών που εμφανίζονται στην τάξη και συζήτηση πάνω σε αυτές δημιουργία καταστάσεων μέσα από τις οποίες προκύπτουν διάφορα προβλήματα προς λύση από τους μαθητές με χρήση των αριθμητικών πράξεων χρήση χειροπιαστών αντικειμένων, εικονικών και συμβολικών αναπαραστάσεων 69
συμβουλές για τη διδασκαλία των ιδιοτήτων των πράξεων 2 Κάποιες γενικές στρατηγικές για τη διδασκαλία των πράξεων. Οι δάσκαλοι καλό θα ήταν: να ενθαρρύνουν τη δημιουργία νέων προσωπικών στρατηγικών για τη λύση προβλημάτων να χρησιμοποιούν και ανοιχτά προβλήματα όπου να συζητιούνται οι διαφορετικές λύσεις που προτείνονται να ενθαρρύνουν την έκφραση εξηγήσεων από τα ίδια τα παιδιά - αυτό αναπτύσσει το μαθηματικό λεξιλόγιο και κάνει ρητές τις στρατηγικές που χρησιμοποιούνται και δημιουργεί τη συνθήκη να αναπτύξουν τα παιδιά πιο εκλεπτυσμένες στρατηγικές όπως της μερικής και ελάχιστης μέτρησης, χρήση γνωστών αποτελεσμάτων, ομαδοποίηση στη δεκάδα, κοκ να χρησιμοποιούν τα λάθη και τις απαντήσεις των μαθητών για να τους δίνουν στοχευμένη ανατροφοδότηση με στόχο τη διόρθωση των παρανοήσεων. 70
συμβουλές για τη διδασκαλία των ιδιοτήτων των πράξεων 3 να παρέχονται δυνατότητες για χειροπιαστά και εικονικά μοντέλα των πράξεων, π.χ., κυβάκια σε διαφορετικές διαστάσεις και χρώματα ανά δεκάδα, πίνακες με βάση το 5 και το 10, αριθμογραμμή και χάρακα, να παρέχονται κατά το δυνατόν ρεαλιστικές καταστάσεις όπου οι μάθηση και η πρακτική των πράξεων να προκύπτει από την ανάγκη συμμετοχής στο σενάριο π.χ., ένα οικογενειακό γεύμα που πρέπει να χωρίσουμε τα φρούτα, τα κομμάτια γλυκού, τις φέτες ψωμί, κτλ... Χρήση προβλημάτων εμπνευσμένων από την καθημερινή εμπειρία των μαθητών π.χ., σήμερα λείπουν 4 παιδιά, άρα πόσα είναι στην τάξη; 71
ο αριθμός κι ο πολλαπλασιασμός μέσα από την ιστορικό- πολιτισμική προσέγγιση μέσα από τη λογική του αναλυτικού προγράμματος που έγραψε ο Davydov για τις τάξεις 1-3, εφαρμόζοντας τη θεωρία του Vygotsky Davydov, V. V., Gorbov, S. F., Mikulina, G. G., Saveleva, O. V. (1999a). Mathemapcs Class 1-3. J. Schmi au (Ed.). Binghamton, NY: State University of New York. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου
Κάποιες βασικές αρχές του Α.Π. του Davydov Οι μαθητές στην 1η τάξη δεν ξεκινούν με αριθμολέξεις κι απαρίθμηση αλλά με σύγκριση (ευθύγραμμων τμημάτων, επιφανειών, όγκου, βάρους) αρχικά άμεσες συγκρίσεις (που βασίζονται μόνο σε αντιληπτικές ικανότητες) μετά περνούν σε καταστάσεις όπου δεν μπορεί να γίνει άμεση συγκριση (η ποσότητα είναι πολύ κοντινή ή/και δεν γίνεται να μεταφερθούν σε θέση ώστε να συγκριθούν άμεσα) και γίνεται χρήση μονάδας μέτρησης Κωνσταντίνος Π. Χρήστου
πρόβλημα: Μέτρηση και έννοια του αριθμού στο Α.Π. του Davydov να συγκρίνουμε δύο μήκη με ένα μικρότερο κομμάτι που θα λειτουργήσει ως μονάδα μέτρησης τα παιδιά της τάξης μετράνε με το μικρό μήκος U το μεγάλο A, και εκφραζουν τη σχέση με μάρκες, π.χ., A= ***U (Α=3U) με τον τρόπο αυτό οι ισότητες κατανοούνται ως σχέσεις ποσοτήτων και οι πράξεις ως αριθμητικές δράσεις πάνω στις μετρημένες ποσότητες π.χ, Α/U=5, B/5=U οι σχέσεις αυτές μπορούν στο μέλλον να εισάγουν πιο ομαλά στα κλάσματα ως σχέσεις ποσοτήτων Κωνσταντίνος Π. Χρήστου
ο πολλαπλασιασμός στο Α.Π. του Davydov Μια δραστηριότητα τα παιδιά κάνουν ότι εργάζονται για το τοπικό καταφύγιο ζώων και πρέπει να δώσουν σε κάθε γατάκι ένα πολύ μικρό χάρτινο ποτήρι νερό που γεμίζει από μια πολύ μεγάλη κανάτα. Πρέπει να βρουν πόσα γατάκια θα πάρουν νερό. Η διαδικασία είναι κουραστική, αλλά υπάρχουν και μεγαλύτερα ποτήρια στο τραπέζι, στα οποία δεν γίνεται καμία αναφορά. Τελικά κάποιο παιδί θα προτείνει να βρουν πόσα μικρά χάρτινα ποτήρια νερό γεμίζουν από ένα από τα μεγαλύτερα ποτήρια και στη συνέχεια να δουν πόσα από τα μεγαλύτερα ποτήρια μπορούμε να γεμίσουν από την κανάτα. Για παράδειγμα, ένα ποτήρι μπορεί να γεμίσει 5 ποτηράκια, και η κανάτα μπορεί να γεμίσει 6 ποτήρια. Τώρα το σχήμα θα πρέπει να αναπαριστά τη μεταβολή της μονάδας μέτρησης από μια μικρότερη μονάδα U (χάρτινο ποτηράκι) σε μια μεγαλύτερη μονάδα G (το ποτήρι), με την οποία μπορούμε στη συνέχεια να μετρήσουμε τον όγκο του νερού της κανάτας Α. (Davydov, 1992 στο Schmimau, 1994) Κωνσταντίνος Π. Χρήστου
ο πολλαπλασιαμός μέσα από την ιστορικό- πολιτισμική προσέγγιση Με τον τρόπο αυτό ο πολλαπλασιασμός ορίζεται ως μια διαδικασία μέτρησης όπου απαιτείται μια αλλαγή στη μονάδα (από μια μικρότερη μονάδα σε μία μεγαλύτερη) (Davydov, 1992). Έτσι ο πραγματικός αριθμός προκύπτει από τη διαδικασία της μέτρησης κι όχι ως πηλίκα των ακεραίων αριθμών Με τον τρόπο αυτό ο πολ/σμός δεν ανάγεται στην πρόσθεση με τα προβλήματα που αυτή ενέχει. Το μοντέλο του πολ/σμού ως εμβαδόν επιφάνειας παρ/μου αποτελεί τη βασική αναπαράσταση Κωνσταντίνος Π. Χρήστου
βιβλιογραφία Μαριάννα Τζεκάκη, «Μικρά παιδιά µεγάλα µαθηµατικά νοήµατα», ψυχολογία Gutenberg Σόνια Καφούση, Χρυσάνθη Σκουρµουδή, «Τα µαθηµατικά των παιδιών 4-6 ετών, εκδόσεις Πατάκη. Ζαχάρος, «οι Προµαθηµατικές έννοιες στην προσχολική εκπαίδευση και η διδασκαλία τους», εκδόσεις Μεταίχµιο Terezinha Nunes & Peter Bryant «Τα παιδιά κάνουν µαθηµατικά», ψυχολογία Gutenberg Στέλλα Βοσνιάδου, «Ψυχολογία µαθηµατικών» Robert S.Siegler, «Πως σκέφτονται τα παιδιά» Claude Botson et Michele Deliege, «Oι προµαθηµατικές διαδικασίες και έννοιες Ευγενία Κολέζα, «Θεωρία και Πράξη στη διδασκαλία των µαθηµατικών», εκδόσεις Tόπος. Martin Hughes, «Τα παιδιά και η έννοια των αριθµών: δυσκολίες στην εκµάθηση των µαθηµατικών», εκδόσεις Gutenberg, 1999, Αθήνα