ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ & ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ & ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΑΣΚΗΣΗ 5 έκδοση DΥΝI-EXC05-016b
Coyright Ε.Μ.Π. - 016 Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών Εργαστήριο Δυναμικής και Κατασκευών κτ. Μ αιθ. Μ00 Με ειφύλαξη αντός δικαιώματος. Ααγορεύεται η χρήση, αντιγραφή, αοθήκευση και διανομή της αρούσας αρουσίασης, εξ ολοκλήρου ή τμήματος αυτής, για άσης φύσεως εμορικό ή εαγγελματικό σκοό. Ειτρέεται η ανατύωση, αοθήκευση και διανομή για σκοό μη κερδοσκοικό, εκαιδευτικής ή ερευνητικής φύσεως, υό την ροϋόθεση να αναφέρεται η ηγή ροέλευσης και να διατηρείται το αρόν μήνυμα. Πληροφορίες Δρ. Ι. Αντωνιάδης, Καθηγητής, antogian@central.ntua.gr, 10-77154 Δρ. Χ. Γιακόουλος, ΕΔΙΠ, chryiako@central.ntua.gr, 10-7733
Άσκηση 5: Εκφώνηση F(t) η διέγερση συστήματος F(t) ( ) F t ( ) Fosin Ωt 0 t T / = 0 T /< t T F o t T / T / 8 ω = 3T το σύστημα έχει φυσική συχνότητα και c = 0? μόνιμη αόκριση του συστήματος σε ανάτυγμα κατά Fourier και με εαρκές, για τεχνολογικούς σκοούς, λήθος όρων
A ανάτυξη της εξωτερικής διέγερσης F(t) του συστήματος κατά Fourier ( ) = + cos( Ω ) + sin ( Ω ) F t a a n t b n t o n n n= 1 n= 1 υολογισμός για διάφορες τιμές του n υολογισμός a ο T t T T T / T 1 F 1 1 o ao = Fosin ( Ω t) dt = sin ( Ω t) dt = Fosin ( Ω t) dt + Fosin ( Ωt) dt T T 0 T 0 T 0 T /, T F(t)=0 ❶
αό ❶ θέτουμε dt τ =Ωt dτ =Ωdt dt = Ω t = 0 τ = 0 τ =Ω t = t T T T t = τ = = T...... a o F o dτ F o = sinτ = T Ω ΩT 0 0 sinτdτ sin 1 ax dx = ax + C a ( ) ( cos )... Ω T = T Ω T = T a o F o dτ F o F o = sinτ = sinτdτ = [ cosτ] = 0 T Ω ΩT ΩT 0 0 F o F o F o Ω T = Fo = [ cos cos 0] = [ 1 1] = a T T T o Ω Ω Ω F o =
υολογισμός a n T T an = F ( t) cos( nω t) dt = Fosin ( Ωt) cos( nω t) dt = T T 0 0 T T / = Fosin ( Ωt) cos( nω t) dt + Fosin ( Ωt) cos( nωt ) dt T T 0 T / dt θέτουμε τ =Ωt dτ =Ωdt dt = Ω t = 0 τ = 0 τ =Ω t = t T T T t = τ = = T t, T F(t)=0
... Fo dt Fo a n = sin ( τ) cos( nτ) = sin ( τ) cos( nτ) dτ T Ω ΩT 0 0 ισχύει ( ) ( ) ( ) ( ) cos a b x cos a+ b x sin ( bx) cos ( ax) dx = + C, a b a b a+ b b = 1 a = n τ = x...
...
... για n εριττός... για n άρτιος...
άρα... n εριττός n άρτιος
υολογισμός b n T T bn = F ( t) sin ( nω t) dt = Fosin ( Ωt) sin ( nω t) dt = T T 0 0 T T / = Fosin ( Ωt) sin ( nω t) dt + Fosin ( Ωt) sin ( nωt ) dt T T 0 T / dt θέτουμε τ =Ωt dτ =Ωdt dt = Ω t = 0 τ = 0 τ =Ω t = t T T T t = τ = = T t, T F(t)=0 Fo dt Fo b n = sin ( τ) sin ( nτ) = sin ( τ) sin ( nτ) dτ T Ω ΩT 0 0
για n=1 o bn sin ( τ) sin ( nτ) sin ( τ) sin ( nτ) dτ T Ω ΩT 0 0 Fo dt F n= 1 = = F o F o bn = sin ( τ) sin ( τ) dτ = sin ( τ) dτ ΩT ΩT 0 0 ισχύει ( ax) x sin sin ( ax) dx = + C 4a
b Fo n = sin ( τ) dτ T 1 sin ( ) 0 a F o τ τ Ω = bn = x sin ( ax) T Ω 4 0 sin ( ) ax dx = + C 4a F sin ( ) o 0 sin ( 0) bn = F o Ω T = ΩT = 4 4 T Ω F o Fo bn = bn =
για n>1 ισχύει ( τ) sin ( nτ) sin sin ( τ) sin ( nτ) = = sin ( τ) sin ( nτ) + cos( τ) cos( nτ) + sin ( τ) sin ( nτ) cos( τ) cos( nτ) = = sin ( τ) sin ( nτ) + cos( τ) cos( nτ) cos( τ) cos( nτ) sin ( τ) sin ( nτ) = = cos( nτ τ) cos( nτ + τ) cos ( n 1) τ cos ( n+ 1) τ = =
άρα...
υολογισμός των α ο, α n και b n για διάφορες τιμές του n οι όροι για n>6 έχουν αμελητέα συνεισφορά το ανάτυγμα της F(t) κατά Fourier ροκύτει μέχρι και τον όρο για n=6
άρα F F F F F F t t t t t 3 15 35 3 o o o o o ( ) = + sin ( Ω ) cos( Ω ) cos( 4Ω ) cos( 6Ω ) 1 1 F t Fo t t t t 3 15 35 3 o o o ( ) = + sin ( Ω ) cos( Ω ) cos( 4Ω ) cos( 6Ω ) α ο b 1 α α 4 α 6 ανάτυγμα μίας σειράς Fourier, στην οοία συμμετέχει μικρό λήθος όρων (όχι άειρο) ο ρώτος όρος της σειράς είναι μία σταθερή οσότητα οι υόλοιοι τέσσερεις όροι είναι αρμονικές οσότητες
Προσέγγιση της διέγερσης χρησιμοοιώντας εερασμένο λήθος όρων 1, 1,0 n= όροι 1, 1,0 n=3 όροι 0,8 0,8 0,6 0,6 0,4 0,4 0, 0, 0,0 0,0-0, 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11-0, 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1, 1, 1,0 n=4 όροι 1,0 n=5 όροι 0,8 0,8 0,6 0,6 0,4 0,4 0, 0, 0,0 0,0-0, 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11-0, 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11
B για κάθε έναν όρο του ανατύγματος (συνιστώσα διέγερσης F(t)) υολογίζεται η αντίστοιχη συνιστώσα της μόνιμης αόκρισης του συστήματος (συνιστώσα αόκρισης)... υό την ειβολή αρμονικής διέγερσης χρονικά σταθερής δύναμης μόνιμη αόκριση συστήματος αρμονική αόκριση x = X cos( Ω t ϑ ) n n n n... όου...?...? Ωn 1 ζω q n = Ω n ω 1 ζ qn ϑ tan n ω Ωn 1 qn ϑn = tan = ❷ στατική αόκριση X ST F ST = k
υολογισμό του λάτους ταλάντωσης... ισχύει (συντελεστής δυναμικής ενίσχυσης) H X = X = X st H X st όταν στο σύστημα ειβληθεί 1 εξωτερική αρμονική διέγερση όταν ειβάλονται n εξωτερικές αρμονικές διεγέρσεις, τότε για κάθε μία αό τις διεγέρσεις αυτές ισχύει: X = H X n n ST, n ❸ οφείλεται στην ειβολή της στατικής δύναμης της εξωτερικής διέγερσης F(t) και ισχύει: F ST, n F = ST, n F λόγω της n αρμονικής συνιστώσας n
οότε αό... 1 1 F t Fo t t t t 3 15 35 3 o o o ( ) = + sin ( Ω ) cos( Ω ) cos( 4Ω ) cos( 6Ω ) ( ) α ο b 1 α α 4 α 6 b 1 = α = (1/) ( ) F = 1 Fo F = b 1 F o 1 1 1 1 α1 0 ( ) ( ) α = 3 = = α 0 F 3 Fo F F ( ) ( ) α4 = 15 4 = 4 = α4 0 F 15 Fo F F ( ) ( ) α6 = 35 6 = 6 = α6 0 F 35 Fo F F οότε η στατική δύναμη είναι..., F = F = α F ST n n n o
X ST, n F ST, n έτσι, το στατικό λάτος ου οφείλεται στην ειβολή στατικής δύναμης είναι: F α F ( ) X X X k k ST, n n o XST = Fo k ST, n = = ST, n = αn ST ❹ υολογισμό του συντελεστή δυναμικής ενίσχυσης... H n =... είναι: 1 ( 1 q ) n + ( ζ qn) ζ=0 H n = 1 ( 1 q ) n ❺ για κάθε n συνιστώσα ισχύει: και 8 ω = 3T και n q n Ω = nω Ω ω n = και Ω= T...
... q n Ω nω ω ω n = = = n T 6 = n qn = 0.75n 8 8 3T ❻ αό ❸... ❻ X n F 1 = αn o k ( 1 q ) n + ( ζ qn) λάτος της ταλάντωσης
για τον 1 ο όρο του ανατύγματος (σταθερός όρος): F ST = ( F ) o μέτρο της στατικής δύναμης αντίστοιχη συνιστώσα μόνιμης αόκρισης X για τον ο όρο του ανατύγματος: 0 F o = XST = k ( ) F F F ST, n = ST,1 = o για n=1 Ω 1 = 1Ω=Ω q = n q = n n= 1 0.75 1 0.75 1 ζ q 1 ζ = 0 ϑ1 = tan ϑ1 = 0 q1 = 0.75< 1 1 q1
οότε, το λάτος της αντίστοιχης συνιστώσας αόκρισης Χ 1 X Fo Fo F 1 1 1 k k k ( 1 q ) ( ) ( 1 0.565) 1 1 0.75 ST,1 1 = = = = Fo Fo 1 1 Fo 1 = = X 1 1.143 k 0.4375 k 0.4375 k (8/7) ομοίως για τα λάτη των υολοίων συνιστωσών αόκρισης...
έτσι, αό ❷... ❻ Πίνακας 1 ( 8 ) 7
ο λόγος των λατών Χ n= και Χ n=4 ( ) ( ) ( ) ( ) 8 8 15 = 15 = 1 1 60 60 3 η συμβολή του όρου n=4 είναι 3 φορές μικρότερη αό τη συμβολή του όρου n= η συμβολή των όρων n 4 είναι αμελητέα
συνολική μόνιμη αόκριση xt = X + X cos nω t ϑ ( ) ( ) ST n n n= 1 οφείλεται στο σταθερό όρο της F(t) οφείλεται στη n αρμονική συνιστώσα της F(t) αμελώντας όρους μικρής συμμετοχής ( ) + sin ( Ω ϑ ) + cos( 4Ω ϑ ) xt X X t X t ST 1 1 4 4... Πίνακας 1
... F 8 F 8 F xt t t k 7 k 15 k o o o ( ) = + sin ( Ω 0) cos( Ω ) ισχύει cos ( a ) = cos( a)...... F ( ) o 1 8 8 xt = sin ( t) cos( t) k + Ω + Ω 7 15... αόκριση συστήματος σε μόνιμη κατάσταση σύνθεση αρμονικών ταλαντώσεων γύρω αό...
Αρμονικές συνιστώσες του ανατύγματος της διέγερσης κατά Fourier 1, 1,0 0,8 0,6 Fo 1, 1,0 0,8 0,6 F o sin ( Ωt) 0,4 0,4 0, 0, 0,0 0,0-0, -0, -0,4-0,4-0,6 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11-0,6 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1, 1,0 0,8 0,6 0,4 F o cos 3 ( Ωt) 1, 1,0 0,8 0,6 0,4 F o cos 4 15 ( Ωt) 1, 1,0 0,8 0,6 0,4 F o cos 6 35 ( Ωt) 0, 0, 0, 0,0 0,0 0,0-0, -0, -0, -0,4-0,4-0,4-0,6 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11-0,6 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11-0,6 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Ευχαριστώ για την ροσοχή σας! Εργαστήριο Δυναμικής & Κατασκευών Δρ. Αντωνιάδης Ι..... antogian@central.ntua.gr Δρ. Γιακόουλος Χ.... chryiako@central.ntua.gr