ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΩΝ. ii) Στις τρεις διαστάσεις, η ισχύς κατανέµεται σε σφαιρικές επιφάνειες, οπότε θα ισχύει: απ όπου προκύπτει για την ένταση Ι: 1

Transcript

1 η Ερώτηση ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΩΝ Όταν ρίξουµε µια έτρα στην ειφάνεια µιας ήρεµης λίµνης, τότε στο σηµείο της ειφάνειας ου έεσε η έτρα ροκαλείται µια διατάραξη της ειφανειακής µάζας του νερού στην ειφάνεια του νερού σχηµατίζονται οµόκεντρα υψώµατα κοιλώµατα ου διαδίδονται ρος όλες τις διευθύνσεις. Με άλλα λόγια δηµιουργούνται κύµατα ου µε µορφή συγκεντρικών κύκλν διαδίδονται στην ειφάνεια του νερού µε ορισµένη ταχύτητα. Γνρίζουµε ότι η φυσική αντίληψη της κυµατικής διάδοσης οφείλεται στη κίνηση τν ισοφασικών ειφανειών, δηλαδή τν µετών του κύµατος. Στις δύο διαστάσεις η αεικόνισης τν ισοφασικών ειφανειών (οι οοίες r εκφυλίζονται σε ισοφασικές γραµµές) είναι µια ευθεία κάθετη στη διεύθυνση. διάδοσης, ενώ στις τρεις διαστάσεις είναι ένα είεδο κάθετο στη διεύθυνση r διάδοσης. Τα κύµατα ου δηµιουργούνται όταν ρίχνουµε την έτρα στην ήρεµη ειφάνεις του νερού της λίµνης, ροέρχονται αό µία σηµειακή ηγή κυµάτν, η οοία εκέµει ισοτροικά (µε τον ίδιο τρόο) στις δύο διαστάσεις ρος όλες τις διευθύνσεις σε ένα ισοτροικό µέσο. Έτσι η συµµετρία σ αυτή την ερίτση δεν είναι είεδη αλλά κυκλική (στις δύο διαστάσεις). Χρησιµοοιώντας κυκλικές ολικές συντεταγµένες r φ στη θέση τν καρτεσιανών συντεταγµένν x y για να εκµεταλλευτούµε την κυκλική συµµετρία του ροβλήµατος έχουµε τα ακόλουθα: ) Ενώ έχουµε συµµετρία οι συντεταγµένες x y δεν είναι ανεξάρτητες x +y =r. ) Το κέντρο συµµετρίας ορίζεται εάν εεκταθούµε νοερά στις τρεις διαστάσεις, οότε υάρχει άξονας συµµετρίας ή άξονας εριστροφής, ο οοίος διέρχεται αό το κέντρο είναι κάθετος στο είεδο xy 3) Οι ολικές συντεταγµένες ορίζονται αό τις σχέσεις: x= rcosφ y = rsiφ Έτσι µε τις νέες συντεταγµένες r φ η µαθηµατική έκφραση της ισοφασικής ειφάνειας τν αραάν κυµάτν είναι: r = σταθερό, φ = οτιδήοτε ανεξαρτησία τν µεταβλητών r φ Αό την εκφώνηση της ερώτησης δίνεται ότι το λάτος τν κυµάτν ελαττώνεται καθώς αοµακρυνόµαστε αό την ηγή. Αυτό συµβαίνει γιατί: α) Κατά τη διάδοση του κύµατος, µέρος της µηχανικής ενέργειας υοβαθµίζεται λόγ δυνάµεν αόσβεσης ου συµµετέχουν στο σύστηµα β) Λόγ κατανοµής της ίδιας ενέργειας (ανά µονάδα χρόνου) σε όλο µεγαλύτερες εριφέρειες κύκλν µε όλο µεγαλύτερες ακτίνες (σε τρεις διαστάσεις σε όλο µεγαλύτερες σφαιρικές ειφάνειες). Εάν χρησιµοοιήσουµε τον όρο της υκνότητας ενέργειας έχουµε: i) ς υκνότητα ενέργειας ορίζεται η ενέργεια ανά µονάδα µήκους (όταν η ισοφασική ειφάνεια είναι γραµµή) έτσι θα ισχύει: E u = όου u = υκνότητα ενέργειας E = η ενέργεια r Εφαρµόζοντας την αρχή διατήρησης της ενέργειας θα ισχύει: u r E = E ur = ur ur = ur = α όου ροκύτει Ι ή u () u r r ii) Στις τρεις διαστάσεις, η ισχύς κατανέµεται σε σφαιρικές ειφάνειες, οότε θα ισχύει: u r E = E u = r α όου ροκύτει για την ένταση Ι: I () r Αό την () βλέουµε ότι στην ερίτση (είεδν) τν κυκλικών κυµάτν της λίµνης, το λάτος A του κύµατος θα µεταβάλλεται σαν I A A οότε όσο µεγαλώνει το r r r (αοµακρυνόµαστε αό την ηγή) τόσο µικραίνει το λάτος A (αντιστρόφς ανάλογα ρος την αόσταση). η Ερώτηση

2 Ορίζουµε ς ένταση ενός κύµατος (συµβολιζόµενη µε I ) το µέσο χρονικό ρυθµό µε τον οοίο µεταφέρεται ενέργεια αό το κύµα ανά µονάδα εµβαδού δια µέσου µιας ειφάνειας κάθετης ρος την κατεύθυνση της διάδοσης. ηλαδή, η ένταση I είναι η µέση µεταφερόµενη ισχύς ανά µονάδα εµβαδού. Αν η ηγή του κύµατος θερηθεί σηµειακή, τότε η ένταση σε αόσταση R αό την ηγή είναι αντιστρόφς ανάλογη ρος το R, στις τρεις διαστάσεις. Για τα κυκλικά κύµατα στην ειφάνεια της λίµνης (δύο διαστάσεις), ός είδαµε ριν, θα έχουµε: 7 I R W / m 3( Km) 7 = = I =.333 W / m I R I ( Km) 3 η Ερώτηση Ακολουθώντας αντίστοιχο τρόο σκέψης ός στην () στην ερώτηση, καταλήγουµε στη µαθηµατική σχέση: 7 I R IR W / m ( Km) 8 4RI = 4RI = I = I = I =, W / m I R R 3Km 4 η Ερώτηση ( xt, ) Ψ( xt, ) ( ) Εξίσση (.7): Ψ u = Αρκεί να υολογίσουµε τις αραγώγους: Ψ( x, t) Ψ( x, t) () () να αντικαταστήσουµε στη σχέση (.7) Η εξίσση (.7) είναι µία γραµµική διαφορική εξίσση µία ειδική κατηγορία λύσεν αυτής της κυµατικής εξίσσης αοτελούν τα αρµονικά κύµατα. Η κυµατοσυνάρτηση Ψ για ένα αρµονικό κύµα ου διαδίδεται (σε µία διάσταση) αό αριστερά ρος τα δεξιά x t Ψ xt, = Asi λ Τ (3) Αό την (3) υολογίζουµε µε αντικατάσταση την () έτσι: Ψ A x t = cos λ λ Τ [ λόγ της ( si u) = cos u u ] Ψ 4 A x t = si λ λ Τ [ λόγ της ( cos u) = si u u ] οµοίς Ψ A x t = cos 4 A x t = si Τ λ Τ Τ λ Τ Με αντικατάσταση τν µερικών αραγώγν στην (.7) έχουµε: 4 A x t 4 A x t si si = λ λ Τ u Τ λ Τ 4 A x t 4 A x t si si λ u = = = Τ λ λ Τ u Τ λ Τ λ u Τ (4) όµς λ = Τ= άρα η (4) γράφεται: 4 u 4 u = = = = u u Άρα η χαρακτηριστική κυµατική εξίσση (.7) εριγράφει αρµονικά κύµατα µε κυκλική συχνότητα λ κυµαταριθµό, µε την ροϋόθεση ότι η ταχύτητα u ικανοοιεί τη σχέση: u = =. Τ έχει τη µορφή: ( )

3 3 Ψ = οι µερικές αράγγοι θα δώσουν: Ψ Ψ = Acos( x t ) = Asi ( x t) Ψ Ψ = Acos( x t) = Asi ( x t) άρα µε αντικατάσταση στην (.7) έχουµε: Asi ( xt) Asi ( x t) u = = = = u u u Άρα µε τις ίδιες ροϋοθέσεις η χαρακτηριστική κυµατική εξίσση δέχεται αρµονικές λύσεις µε συχνότητα κυµαταριθµό, όου ακέραιος αριθµός. Με την ίδια λογική εάν αντί της (3) εργαστούµε µε την ( x, t) Asi( x t) Οι ράξεις γίνονται ιο εύκολες στην µιγαδική µορφή: Έστ αρµονικό κύµα της (εκθετικής) µορφής: Παραγγίζοντας βρίσκουµε: F( x, t) =if( x, t) t = if( x, t) x i( x t+ ϕ ) = Ae. Παραγγίζοντας αυτές τις δύο σχέσεις µία ακόµη φορά ς ρος t x αντίστοιχα βρίσκουµε: = i F x t = F x t t =Fxt (, ) x ( ) (, ) (, ), Αντικαθιστώντας αυτές τις εκφράσεις στην χαρακτηριστική κυµατική εξίσση.7, βρίσκουµε : (), υ ( ) F(x, t) = α όου = υ ή υ =±. Εάν λοιόν το ηλίκο υ =± αραµένει σταθερό (ός έχουµε ήδη υοθέσει) η χαρακτηριστική εξίσση εριγράφει κύµα το οοίο διαδίδεται µε αυτή την ταχύτητα. Το ρόσηµο + ή εξαρτάται αό την φορά διαδόσες. Για F ( x, t) i( xt ) = e, αντί της (), βρίσκουµε υ =± =±, ός ριν. 5 η Ερώτηση ( ) =, α όου: υ [( ) ]

4 4 ίνεται η σειρά = Ce ( t) i x iθ Αό τη θερία τν µαθηµατικών ισχύει η σχέση e = cos( θ ) + isi ( θ ) οότε ισοδύναµα γράφουµε: C si ( xt) Έτσι λαµβάνοντας σαν Ψ ( x, t) = C si( xt) Ψ Ψ ηλαδή: Ψ = C cos ( x t) = Ψ si = = = = για το φανταστικό µέρος της σειράς. = αρκεί να υολογίσουµε τις µερικές αραγώγους = ( ) si ( ) C x t C x t Ψ = C cos ( x t) = Ψ si = = = = ( ) si ( ) C x t C x t Με αντικατάσταση τν µερικών αραγώγν στη (.7) έχουµε: Ψ( xt, ) Ψ( xt, ) = C si( x t) + si C ( x t) = u = u = + = = = u = u u u οότε εκφράζει µια γενική λύση της (.7). Λόγ της αρχής της γραµµικής εαλληλίας, η οοία οφείλεται στη γραµµικότητα της (.7), εάν έχουµε (ειδικές) λύσεις ψ, ψ3, ψ3,..., ψ οι οοίες ικανοοιούν την κυµατική εξίσση, η γενική λύση, Ψ, της διαφορικής εξίσσης γράφεται σαν γραµµικός συνδυασµός (εαλληλία) αυτών τν λύσεν, ός το εριµέναµε. Ψ ( x, t) = CΨ( x, t). i= 6 η Ερώτηση ίνεται η συνάρτηση f ( x) = 8,5 + cos ( x) si ( x) Η εριγραφή της αρµονικής κίνησης µε ανάλύση Fourier αοδίδεται αό τη µαθηµατική σχέση: A F x A x B x ( ) () ( ) = + cos( ) + si ( ) = όου A B τα λάτη της σειράς Fourier. Η σχέση για τα λάτη Fourier µορεί να γραφτεί εναλλακτικά µε τη µορφή: B = f x si x dx () ( ) ( ) Οότε για τα δεδοµένα της ερώτησης έχουµε: B = 8,5si ( x) si ( x) dx + cos( x) si ( x) si ( x) dx (3)

5 5 x dx µορεί να γραφτεί Το ολοκλήρµα si ( x) si ( ) ( x) si ( ) si x dx οότε εάν ενώ εάν = µας δίνει si ( x) si ( x) dx = µας δίνει si ( x) si ( x) dx = (4) si ( 3x) si ( x) Η σχέση cos( x) si ( x ) γράφεται cos( x) si ( x) λόγ της ταυτότητας si ( a) cos( b) = si ( a+ b) + si ( a b) = (5) Με αντικατάσταση τν (4) (5) στην (3) έχουµε: B = 8,5si ( x) si ( x) dx si ( 3x) si ( x) si ( x) dx + = 8,5 + si 3xdx si xdx ( ) ( ) Κατά συνέεια διασώζονται οι συντελεστές B = 8,5 = 7,5 B 3 = = + (6) η οοία γραφικά αοδίδεται αό το αρακάτ σχήµα: Οότε η συνάρτηση f ( x ) γράφεται f ( x) 7,5si ( x) si ( 3x) si ( x ) si ( 3x ) Για x = έχουµε το ρώτο µέγιστο οότε µε αντικατάσταση είλυσης της f ( x ) έχουµε: 6 i) Αό τη σχέση (6): f ( x) = 7,5si ( x) + si ( 3x) f ( 6) = 7,5si si 3 f ( 6) 3,75 f + = + ( 6) = 4, ii) Αό την αρχική σχέση: f ( x) = 8,5 + cos ( x) si ( x) f ( 6) = 8,5 cos si f ( 6) ( 8,5 ),5 f + = + ( 6) = 4, η Ερώτηση

6 6 ίνεται f ( x) = 8,5 + cos ( x) si ( x) Το φάσµα Fourier της f ( x ) αοδίδεται αό το ακόλουθο σχήµα: Β 7,5 (Οι τιµές λαµβάνονται ς δεδοµένα αό την ροηγούµενη ερώτηση (Νο 6)) 3 Η συνάρτηση f ( x ) δεν µορεί να γραφτεί σαν ένα άθροισµα συνηµίτονν αφού το ανάτυγµα Fourier είναι µοναδικό. 8 η Ερώτηση Στην ερίτση του αρµονικού κύµατος, γνρίζουµε ς η διαταραχή έχει ηµιτονοειδή µορφή: () f ( x) = Asi x όου λ Οότε ροσαρµόζοντας την () για τα δεδοµένα της αρούσας ερώτησης µορούµε να γράψουµε: λ = ισοδύναµα x= () όου = κυµαταριθµός x = εύρος κυµατοαλµού Εάν εριορίσουµε τους κυµαταριθµούς τν αρµονικών κυµάτν, τα οοία συνθέτουν τον κυµατοαλµό στην εριοχή µεταξύ + η σχέση () θα γράφεται: 4 x = όου = άρα x = x = ενώ αό τη σχέση () έχουµε x = x = x Άρα θα διλασιαστεί το εύρος στο χώρο του κυµατοακέτου. 9 η Ερώτηση Γνρίζουµε ς εάν µια ηγή κυµάτν στη θέση x = εκέµει έναν συρµό κυµάτν εριορισµένης διάρκειας t σε ένα µέσο, ο συρµός αυτός θα έχει εριορισµένο µήκος x θα εριέχει µια εριορισµένη ζώνη συχνοτήτν µια εριορισµένη ζώνη κυµαταριθµών ( αντίστοιχν µηκών κύµατος). Μεταξύ τν οσοτήτν x,, t ισχύουν γενικά για όλες τις χρονικές στιγµές θέσεις, οι t x οι σχέσεις αβεβαιότητας: σχέσεις: ( )( ) ( )( ) ( x)( ) ή ( x)( ) ( t)( ) ή ( t)( ) οι οοίες είναι ιο γενικές αό τις αντίστοιχες σχέσεις εύρους ζώνης. Παρατηρούµε αό τις αραάν σχέσεις ότι τα µεγέθη x είναι αντιστρόφς ανάλογα, δηλαδή όσο ερισσότερο εντοισµένο στο χώρο είναι το κυµατοακέτο, τόσο µεγαλύτερο θα είναι το εύρος τν κυµατανυσµάτν. Κατά συνέεια η αντιστοιχία τν κατανοµών λάτους (δεξιά) µε τα κυµατοακέτα (αριστερά) θα είναι:

7 7 Ψ ( x,) F( ) x µε (a) Ψ ( x,) F( ) x µε (b) η Ερώτηση Η ενέργεια (ροφανώς) διατηρείται. Αλά, γίνεται ανακατανοµή της στον χώρο. Γνρίζουµε ότι κάθε κυµατική κίνηση συνοδεύεται αό ενέργεια, δηλαδή κάθε κύµα µεταφέρει ενέργεια αό µια εριοχή του χώρου σε άλλη. Ο γενικός όρος «συµβολή» χρησιµοοιείται για να εριγράφει το αοτέλεσµα δύο ή ερισσότερν κυµάτν ου διέρχεται αό την ίδια εριοχή, την ίδια χρονική στιγµή. Κατά τη συµβολή δύο κυµάτν, σε άλλα σηµεία έχουµε ενέργεια µεγαλύτερη σε άλλα σηµεία έχουµε ενέργεια µικρότερη αό το άθροισµα τν δύο κυµάτν. Αυτό δεν σηµαίνει ς δεν ισχύει η αρχή διατήρησης της ενέργειας, σηµαίνει ότι η ενέργεια τν δύο κυµάτν δεν µεταφέρεται άντα στην ίδια διεύθυνση. ηλαδή στα διάφορα σηµεία µε τις διαφορετικές ενέργειες υάρχει µια τοική ροή ενέργειας όου ο µέσος ρυθµός µεταφοράς ενέργειας είναι άλλες φορές µικρότερος άλλες φορές µεγαλύτερος αό το άθροισµα τν δύο κυµάτν.