Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανολογίας

Transcript

1 Εργασία II Χειμερινό Εξάμηνο 7 Τεχνολογικό Εκαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανολογίας Πρόβλημα Μετρήσεις Τεχνικών Μεγεθών Χειμερινό Εξάμηνο 7 Παραδοτέα 7 Πρόοδος Ι & 7 ΕΡΓΑΣΙΑ ΙΙ Αιτιολογείστε οια αό τα αρακάτ σήματα είναι εριοδικά ή μη εριοδικά. Για τα εριοδικά σήματα υολογίστε τη θεμελιώδη ερίοδο και βρείτε τις αρμονικές ου εριέχονται. Είσης, υολογίστε τη μέση τιμή, την ισχύ και την ενεργό τιμή: a cos 8cos 8 [ ] cos b cos 8cos 8 c 7 5cos si 8cos 5 8 d 8 5 cos 7 si cos cos cos a Χρησιμοοιώντας την τριγνομετρική ταυτότητα: cos [ cos ] ροκύτει: 8 cos 8cos 8 cos cos cos cos [ ] Hz και 8 Hz 8 ρητός αριθμός, άρα η είναι εριοδική Η θεμελιώδης συχνότητα είναι Μ.Κ.Δ., και, άρα η θεμελιώδης ερίοδος είναι sc οότε cos cos cos cos 8 -Μέση τιμή: - Ισχύς: P C C -Ενεργός τιμή: P ενεργος

2 Εργασία II Χειμερινό Εξάμηνο 7 b Χρησιμοοιώντας τις τριγνομετρικές ταυτότητες: cos [ cos ] και cos α cos β [ cos α β cos α β ] ροκύτει: [ cos 8cos 8 ] cos cos cos 8 cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos Hz, Hz, 5 Hz, 8 Hz και 5 Hz, 5 8,, 5 ρητοί αριθμοί, άρα η είναι εριοδική [ ] Η θεμελιώδης συχνότητα είναι Μ.Κ.Δ.,,,, 5 και, άρα η θεμελιώδης ερίοδος είναι sc οότε cos cos 5 cos 8 cos cos -Μέση τιμή: - Ισχύς: P C C -Ενεργός τιμή: P ενεργος c 7 5cos si 8cos 5 8 Hz, Hz και Hz 5 8 5, 5 ρητοί αριθμοί, άρα η είναι εριοδική 8 Η θεμελιώδης συχνότητα είναι Μ.Κ.Δ.,, και, άρα η θεμελιώδης ερίοδος είναι sc οότε 7 5cos 5 7 5cos si 8 8cos 88 si 55 8cos -Μέση τιμή: Ισχύς: P A [ A B ] Ενεργός τιμή: P ενεργος d 8 Για να είναι μία συνάρτηση εριοδική ρέει 8 8 8

3 Εργασία II Χειμερινό Εξάμηνο 7 k k -Μέση τιμή: a - Ισχύς: 8 P d d D εειδή -Ενεργός τιμή: P a ενεργος 5 cos Το σήμα ροκύτει αό το γινόμενο δύο ημιτονοειδών σημάτν Το ρώτο σήμα έχει ερίοδο Τ Το δεύτερο σήμα έχει ερίοδο Τ Η θεμελιώδης ερίοδος του σήματος είναι Τ Ε Κ. Π. Τ, Τ 5 sc -Μέση τιμή: a 7. - Ισχύς: θ P 5 d d D εειδή -Ενεργός τιμή: P a 5 ενεργος 5 si cos cos cos Χρησιμοοιώντας τις τριγνομετρικές ταυτότητες: cos α cos β [ cos α β cos α β ] και si α cos β si α β si α β ροκύτει: si cos cos cos [ si si ] [ cos cos ] [ cos si ] [ cos si ] cos cos Hz και Hz 7 ρητός αριθμός, άρα η είναι εριοδική Η θεμελιώδης συχνότητα είναι Μ.Κ.Δ., και [ ], άρα η θεμελιώδης ερίοδος είναι sc οότε cos cos 7 -Μέση τιμή: - Ισχύς: P C C

4 Εργασία II Χειμερινό Εξάμηνο 7 -Ενεργός τιμή: P ενεργος Πρόβλημα Η τριγνομετρική σειρά Fourir ενός εριοδικού σήματος δίνεται αό την αρακάτ σχέση: cos5 si si cos a Παρουσιάστε γραφικά το μονόλευρο φάσμα της σειράς Fourir b Μετά αό αρατήρηση του μονόλευρου φάσματος, σχεδιάστε το δίλευρο φάσμα της εκθετικής έκφρασης της σειράς Fourir. c Αό την αρατήρηση του γραφήματος του δίλευρου φάσματος, γράψτε την εκθετική μορφή της σειράς Fourir a cos5 cos cos cos5 cos cos cos5 si si cos Το μονόλευρο φάσμα της σειράς Fourir είναι: b Το δίλευρο φάσμα της σειράς Fourir της εκθετικής μορφής είναι: γ Η εκθετική μορφή της σειράς Fourir είναι: 5 5 cos5 cos cos

5 Εργασία II Χειμερινό Εξάμηνο 7 5 Πρόβλημα Η εκθετική μορφή ενός εριοδικού σήματος δίνεται αό την αρακάτ σχέση: a Παρουσιάστε γραφικά το δίλευρο φάσμα της σειράς Fourir b Μετά αό αρατήρηση του δίλευρου φάσματος, σχεδιάστε το μονόλευρο φάσμα της σειράς Fourir. c Αό την αρατήρηση του γραφήματος του μονόλευρου φάσματος, γράψτε τη σειρά Fourir σε συν-ημιτονοειδή μορφή και υολογίστε τους συντελεστές και. A B α Το δίλευρο φάσμα της σειράς Fourir της εκθετικής μορφής είναι: β Το μονόλευρο φάσμα της σειράς Fourir είναι: Η εκθετική μορφή της σειράς Fourir είναι: cos cos

6 Εργασία II Χειμερινό Εξάμηνο 7 Πρόβλημα Θερούμε ένα μετρητικό σύστημα, G ου εριγράφεται με το αρακάτ διάγραμμα Bod, και με είσοδο i και έξοδο. Θερούμε ότι η είσοδος του συστήματος i είναι σειρά αθροίσματος ημιτόνν με θεμελιώδη συχνότητα.9 radsc και με το ακόλουθο φάσμα λάτους και φάσης ημιτόνου. a Γράψτε τη συνάρτηση εισόδου i b Υολογίστε τη συνάρτηση εξόδου του συστήματος, χρησιμοοιώντας την είσοδο i αό το ροηγούμενο ερώτημα και το διάγραμμα Bod. c Παραστήστε γραφικά το φάσμα λάτους και φάσης του.

7 Εργασία II Χειμερινό Εξάμηνο 7 7 a Συνάρτηση εισόδου i i si si si si 8.5si5 με.9 radsc έχουμε Κ rad [ ] G διάγραμμα G db Διαφορά φάσης sc [rad] dg b.5 si.75 si..7 si. 8.5si..5. si5. 9si.5 si.5.si.5.5si..si5. c Πρόβλημα 5 Προσδιορίστε για καθεμιά αό τις αρακάτ εριοδικές κυματομορφές αν είναι άρτια ή εριττή ή ούτε άρτια ούτε εριττή, τη μέση και ενεργό τιμή της καθώς και την ερίοδό της.

8 Εργασία II Χειμερινό Εξάμηνο 7 8 α β γ δ ε

9 Εργασία II Χειμερινό Εξάμηνο 7 9 α sc, rad sc Εφόσον η συνάρτηση είναι εριττή, οι σειρές Fourir θα εριέχουν μόνο ημιτονοειδής όρους. Α B si B si d si d β, sc sc... rad Εφόσον η συνάρτηση είναι άρτια, οι σειρές Fourir θα εριέχουν μόνο συνημιτονοειδής όρους. Τ Α... Τ d d A cos d cos... d c, sc sc Α.5 rad Ούτε άρτια, ούτε εριττή A cos d... B cos d... d sc, rad sc Ούτε άρτια, ούτε εριττή Α Τ Τ d Τ Τ d A cos d... B cos d... sc, rad sc

10 Εργασία II Χειμερινό Εξάμηνο 7 Άρτια Α A cos d... Πρόβλημα Δίδεται η αρακάτ κυματομορφή. a Υολογίστε το φάσμα λάτους και φάσης συχνότητας για ές 5 και αρουσιάστε το γραφικά. b Παρουσιάστε γραφικά το μερικό άθροισμα του ανατύγματος της σειράς Fourir στο ίδιο γράφημα με τη δοθείσα συνάρτηση. c Βρείτε τη μέση και ενεργό τιμή του σήματος < < < < < Εφόσον η συνάρτηση είναι εριττή, οι σειρές Fourir θα εριέχουν μόνο ημιτονοειδής όρους. B si A

11 Εργασία II Χειμερινό Εξάμηνο 7 cos si cos cos cos si cos cos cos si cos cos si si si si si si si d d d d d d B Πρόβλημα 7 Υολογίστε τους συντελεστές της σειράς Fourir σε εκθετική μορφή του αρακάτ σήματος, χρησιμοοιώντας τους ορισμούς τν συντελεστών, και σχεδιάστε τα δίλευρα και μονόλευρα φάσματα λάτους και φάσης του σήματος. Βρείτε τη μέση και ενεργό τιμή του σήματος. Αό τους συντελεστές της τριγνομετρικής σειράς του ροηγουμένου ροβλήματος να υολογιστούν οι συντελεστές της εκθετικής σειράς και να συγκριθούν με τους συντελεστές της εκθετικής σειράς ου βρέθηκε εδώ. < < < < <... d D