Seirèc Fourier A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA

Transcript

1 Seirèc Fourier A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA 1 Eisagwg Οι σειρές Fourier είναι ένα ιδιαίτερα χρήσιμο εργαλείο του Λογισμού ου βρίσκει ολλές εφαρμογές σε διάφορα εδία της ειστήμης, χ στις χρονολογικές σειρές στην στατιστική, στην ανάλυση σήματος και εικόνας, στην οικονομετρία, την μηχανική κλ. Οι σειρές Fourier εινοήθηκαν αο τον Γάλλο μαθηματικό και φυσικό Jean Baptiste Joseph Fourier στην ροσάθεια του να μελετήσει την μετάδοση της θερμότητας στα στερεά και διατυώθηκαν για ρώτη φορά στην μελέτη του στο θέμα αυτό η οοία και αρουσιάστηκε το 187 στο Ινστιτούτο του Παρισιού. Αο τότε μέχρι σήμερα οι σειρές Fourier και οι γενικεύσεις τους έχουν αοτελέσει αντικείμενο εντατικής μελέτης θεωρητικής αλλά και ολύ εφαρμοσμένης. Για να ειστείτε ε αυτού καντε μια σύντομη αναζήτηση με τον ορο Fourier series στο Google Scholar. Την στιγμή ου γράφω αυτές τις σημειώσεις μου έδωσε.8. αοτελέσματα. Periodikèc sunart seic Ορισμός.1 Μια συνάρτηση f : I R, ονομάζεται εριοδική με ερίοδο T αν fx+t = fx για κάθε x I. Πολλά φυσικά, βιολογικά, κοινωνικά και οικονομικά φαινόμενα.χ. οι εοχές και η θερμόκρασία ή οι οικονομικές υφέσεις έχουν εαναλαμβανόμενη εριοδική φύση. Τα αρχέτυα των εριοδικών συναρτήσεων είναι οι συναρτήσεις sin και cos. Παράδειγμα.1 Η συνάρτηση fx = sinnx, n N είναι εριοδική με ερίοδο T =. Πράγματι, fx+t = sinnx + n = sinnx = fx. Ομως το T = δεν είναι ο μικρότερος ραγματικός αριθμός για τον οοίο ισχύει fx + T = fx για κάθε x I. Πραγματι έστω οτι ροσαθούμε να ροσδιορίσουμε το T έτσι ώστε να ισχύει fx + T = fx για κάθε x I. Αυτό μας δίνει την εξίσωση sinnx + nt = sinnx δηλαδή nt = και T = n. Μορούμε λοιον να θεωρήσουμε ως ερίοδο της f τον αριθμό T = n. Πρόταση.1 Αν T είναι ερίοδος της συνάρτησης f τότε και nt είναι ερίοδος για κάθε n N. Σαν ερίοδο μιας συνάρτησης λοιόν θα θεωρούμε τον μικρότερο αριθμό T με την ιδιότητα fx + T = fx για κάθε x Αόδειξη: Εστω T ερίοδος της f. Τότε για κάθε x ισχύει fx + T = fx. Ας άρουμε οοιοδηοτε x και ας θεωρήσουμε το x + T. Τότε fx + T = fx + T + T = fx + T = fx Άρα T ερίοδος της f. Με εαγωγή δείχνουμε ότι αυτό ισχύει για nt όου n N. Πρόταση. Το άθροισμα εερασμένων το λήθος εριοδικών συναρτήσεων με ερίοδο T είναι εριοδική συνάρτηση με την ίδια ερίοδο. Το ίδιο ισχύει και για τον γραμμικό συνδυασμό εερασμένων το λήθος εριοδικών συναρτήσεων. 1

2 Αόδειξη: Θα δείξουμε οτι ο ισχυρισμός ισχύει για άθροισμα συναρτήσεων και αφήνουμε τα υόλοια για άσκηση. Εστω f 1, f δύο εριοδικές συναρτήσεις με ερίοδο T. Συνεώς ισχύει f 1 x + T = f 1 x, x I f x + T = f x, x I Τότε f 1 + f x + T = f 1 x + T + f x + T = f 1 x + f x = f 1 + f x, x I. άρα η συνάρτηση f 1 + f είναι εριοδική με ερίοδο T. Πολύ χρήσιμη είναι και η ακόλουθη αρατήρηση. Πρόταση.3 Αν f εριοδική συνάρτηση με ερίοδο T, τότε η συνάρτηση g ου ορίζεται ως gx = fax είναι εριοδική με ερίοδο T 1 = Αόδειξη: Εστω ότι T 1 έχει την ιδιότητα gx + T 1 = gx για κάθε x. Τότε gx + T 1 = fax + T 1 = fax + at 1 Αν ειλέξουμε at 1 = T δηλαδή T 1 = T a τότε gx + T 1 = fax + at 1 = fax + T = fax = gx, και ο ισχυρισμός αοδείχθηκε. 3 Oi oikogèneiec sunart sewn sinnx kai cosnx Θα θεωρήσουμε την ειδική ερίτωση I = [, ] και θα μελετήσουμε τις οικογένειες συναρτήσεων {sinnx, cosnx}, n N. Αρχικά βλέουμε ότι όλα τα μέλη της οικογένειας αυτης είναι εριοδικές συναρτήσεις με ερίοδο T =. Ομως, οι συναρτήσεις αυτές έχουν και άλλες ιο ενδιαφέρουσες ιδιότητες. Πρόταση 3.1 Οι συναρτήσεις {sinnx, cosnx}, n N ικανοοιούν τις ιδιότητες: i sinnx sinmx = δ nm, ii cosnx cosmx = δ nm, iii sinnx cosmx =, όου δ nm είναι το ειλεγόμενο δελτα του Kronecker ου ορίζεται ως {, n m δ nm = 1, n = m. Αόδειξη: Θα δείξουμε την i αφήνοντας τις άλλες σαν ασκηση. Θυμηθείτε την τριγωνομετρική ταυτότητα sina sinb = 1 cosa b 1 cosa + b η οοία ισχύει για κάθε a, b. Ας άρουμε ρώτα την ερίτωση n m και ας θέσουμε a = nx και b = mx. Αυτο μας δίνει sinnx sinmx = 1 cosn mx 1 cosn + mx Κατά συνέεια sinnx sinmxdx = 1 = 1 cosn mxdx 1 1 sinn mx n m cosn + mxdx = sinn + mx n + m

3 Η ερίτωση n = m ααιτεί λίγο αραάνω ροσοχή. Αν a = b = nx η τριγωνομετρική ταυτότητα μας δίνει άρα sinnx = 1 1 cosn sinnx dx = 1 1dx 1 = 1 sinnx n cosnxdx Για τα υόλοια αλά χρησιμοοιείστε τις τριγωνομετρικές ταυτότητες για το γινόμενο συνημιτόνων ή γινόμενο συνημιτόνων και ημιτόνων. 4 Seirèc Fourier Ας υοθέσουμε οτι μια συνάρτηση f μορεί να γραφεί σαν γραμμικός συνδυασμός ημιτόνων και συνημιτόνων ου είναι μέλη της αραάνω οικογένειας, υό την έννοια ότι για κάθε x [, ] ισχύει fx = 1 a + n =. a n cosnx + n b n sinnx 1 Αν υοθέσουμε και αυτή είναι μια ολύ σημαντική υόθεση, γιατί δεν μορούμε να το κάνουμε άντοτε για όλες τις σειρές οτι μας ειτρέεται να ολοκληρώσουμε την αραάνω σχέση όρο ρος όρο τότε μορούμε να καθορίσουμε με μοναδικό τρόο τους συντελεστές a a n, b n, n N, αο τα ολοκληρώματα της συνάρτησης f. Πρόταση 4.1 Ας υοθέσουμε ότι ισχύει η 1. Τότε θα ρέει a = 1 fxdx, a n = 1 fx cosnxdx, b n = 1 fx sinnxdx, n N, n Αόδειξη: Ας ολοκληρώσουμε αυτή την συνάρτηση εάνω στο διάστημα [, ]. Παρατηρώντας ότι cosnxdx =, sinnxdx =, n N, n έχουμε ότι fxdx = a dx + a n cosnxdx + b n sinnxdx n n = a + + = a. Ας ολλαλασιάσουμε αυτή την συνάρτηση με την συνάρτηση cosmx, m, και ας ολοκληρώσουμε εάνω στο διάστημα [, ]. Εχουμε ότι fx cosmx = a cosmx + n a n cosnx cosmx + n b n sinnx cosmx οότε fx cosmxdx = a cosmxdx + a n cosnx cosmxdx + b n sinnx cosmxdx n n = n a n δ nm + = a m Ομοια για τα b m. 3

4 Ας γυρίσουμε τώρα ανάοδα την ροσέγγιση μας. Ας υοθέσουμε ότι έχουμε μια δεδομένη συνάρτηση f : [, ] R η οοία είναι ολοκληρώσιμη και ας ορίσουμε τους συντελεστές a = 1 fxdx, a n = 1 fx cosnxdx, b n = 1 Κατόιν κατασκευάζουμε την συνάρτηση ˆf έτσι ώστε ˆfx = 1 a + n fx sinnxdx, n N, n a n cosnx + n b n sinnx Ορισμός 4.1 Η συνάρτηση ˆf : [, ] R η οοία ορίζεται αο την ονομάζεται σειρά Fourier της συνάρτησης f. Το ακόλουθο θεώρημα το οοίο αρατίθεται χωρίς αόδειξη μας εξασφαλίζει την σύγκλιση των σειρών Fourier. Θεώρημα 4.1 Εστω η συνάρτηση f : [, ] R και ˆf η σειρά Fourier ου αράγεται αο αυτή. Ας υοθέσουμε είσης ότι η συνάρτηση f ορίζεται σε κάθε σημείο του [, ] εκτός ίσως αο εερασμένα το λήθος σημεία, είναι εριοδική αν εεκταθεί έκτος του [, ] και οι συναρτήσεις f και f είναι κατά τμήματα συνεχείς στο [, ]. Τότε, i Αν x είναι σημείο συνέχειας της f τότε η σειρά Fourier της f στο σημείο αυτό συγκλίνει στο fx, δηλαδή ˆfx = fx. ii Αν x είναι σημείο ασυνέχειας της f τότε η σειρά Fourier της f στο σημείο αυτό συγκλίνει στο fx +fx +, δηλαδή ˆfx = fx +fx +. Παράδειγμα 4.1 Υολογίστε την 5 Seirèc Fourier se genikˆ diast mata Ας υοθέσουμε οτι η συνάρτηση f είναι ορισμένη στο διάστημα [, ] αντί για το [, ]. Ο μετασχηματισμός x y, y = ax + b για a =, b = μετασχηματίζει το διάστημα [, ] στο διάστημα [, ]. Ως ρος την καινούργια μεταβλητή y μορούμε να άρουμε την σειρά Fourier με βάση τα ροηγούμενα fx = 1 a + a n cos n + b n sin n, 3 a = 1 fxdx, a n = 1 fx cos 6 'Artiec kai perittèc sunart seic Ορισμός 6.1 Άρτιες και εριττές συναρτήσεις dx, b n = 1 fx sin dx, n N, n i Μια συνάρτηση f : [, ] R ονομάζεται άρτια αν f x = fx, για κάθε x [, ]. ii Μια συνάρτηση f : [, ] R ονομάζεται εριττή αν f x = fx, για κάθε x [, ]. Παράδειγμα 6.1 Οι συναρτήσεις cos είναι άρτιες ενώ οι συναρτήσεις sin n x είναι εριττές. Πρόταση 6.1 Σειρές Fourier για άρτιες και εριττές συναρτήσεις 4

5 i Μια άρτια συνάρτηση f : [, ] R έχει σειρά Fourier της μορφής fx = a + a n cos n όου a = fxdx, a n = fx cos dx ii Μια εριττή συνάρτηση f : [, ] R έχει σειρά Fourier της μορφής fx = b n sin, n όου b n = fx sin dx, n N, n Αόδειξη: Ας θεωρήσουμε ότι η f είναι άρτια. Τότε b n = 1 = 1 fx sin fx sin dx = 1 dx + 1 fx sin fx sin dx + 1 dx = fx sin όου στο ρώτο ολοκλήρωμα κάναμε την αλλαγή μεταβλητών y = x. Ομοια αίρνουμε την σχέση ου δίνουμε για τους συντελεστές a n. Ομοια για τις εριττές συναρτήσεις. 7 'Artiec kai perittèc epektˆseic Πολλές φορές μια συνάρτηση f ορίζεται μόνο στο διάστημα [, ]. Μορούμε να την ορίσουμε σε όλο το [, ] εεκτείνοντας την συνάρτηση f κατάλληλα. Η εέκταση μορεί να γίνει με δύο τουλάχιστον τρόους, ου οδηγούν σε εύκολα ανατύγματα για την σειρά Fourier. Ορισμός 7.1 Αρτια εέκταση Εστω f : [, ] R μία δεδομένη συνάρτηση. Η άρτια εέκταση f e της συναρτησης f είναι η συνάρτηση f e : [, ] R η οοία ορίζεται ως { fx, x [, ]. f e x = f x, x [, ]. Η f e είναι μια άρτια συνάρτηση. Ορισμός 7. Περιττή εέκταση Εστω f : [, ] R μία δεδομένη συνάρτηση. Η εριττή εέκταση f o της συναρτησης f είναι η συνάρτηση f o : [, ] R η οοία ορίζεται ως { fx, x [, ], f o x = f x, x [, ]. Η f o είναι μια εριττή συνάρτηση. Τόσο η f e όσο και η f o ταυτίζονται με την f στο διάστημα [, ], αλλά είναι διαφορετικές μεταξύ τους σ- το διάστημα [, ]. Οταν θελήσουμε να βρούμε την σειρά Fourier για την f, μορούμε να βρούμε είτε την σειρά Fourier της άρτιας εέκτασης f e, είτε την σειρά Fourier της εριττής εέκτασης f o, οι οοίες θα ρέει να ταυτίζονται με την σειρά Fourier της f στο διάστημα [, ]. Οι δυο αυτές σειρές όμως θα είναι διαφορετικές. Πρόταση 7.1 Σειρές Fourier για την άρτια και εριττή εέκταση Εστω f : [, ] R. dx 5

6 i Η σειρά συνημιτόνων της f δηλαδή η σειρά της άρτιας εέκτασης είναι η fx = a + a n cos n όου a = fxdx, a n = fx cos ii Η σειρά ημιτόνων της f δηλαδή η σειρά της εριττής εέκτασης είναι η fx = b n sin, n όου b n = fx sin dx, n N, n Αόδειξη: Προκύτει αο άμεση εφαρμογή της Πρότασης 6.1, βάσει του οοίου η σειρά για την άρτια εέκταση θα είναι μια σειρά συνημιτόνων ενώ η σειρά για την εριττή εέκταση θα ειναι μια σειρά ημιτόνων. Σχόλιο 7.1 Είσης, σύμφωνα με το θεώρημα σύγκλισης, η σειρά για την άρτια εέκταση θα συγκλίνει στο x = στο f, ενώ η σειρά για την εριττή εέκταση θα συγκλίνει στο x = στο. Ομοια, στο x = οι σειρές της άρτιας και εριττής εέκτασης θα συγκλίνουν στα f και αντίστοιχα. Παράδειγμα 7.1 Υολογίστε την σειρά συνημιτόνων της συνάρτησης f : [, ] R, fx = sinx. Πρόκειται για την σειρά Fourier της άρτιας εέκτασης της συνάρτησης f, δηλαδή της συνάρτησης { sinx x [, f e x = sinx x [, Για την συνάρτηση αυτή έχουμε ότι όου a = fx = a + a n cos n fxdx, a n = όου =. Μορούμε να υολογίσουμε τους συντελεστές, Είσης, a = a n = sinx cosnxdx = 1 = 1 { 1 + cosn n + 1 Η ερίτωση n = 1 ρέει να αντιμετωιστεί χωριστά, a 1 = fx cos sinxdx = cosx = 4 { cosn + 1x n cosn } = n 1 sinx cosxdx =. Η σειρά συνημιτόνων για το fx = sinx είναι λοιόν η 1 + cosn 1 n 1 n= Η σειρά αυτή συγκλίνει στο sinx για κάθε x [, ]. cosnx + dx, dx } cosn 1x n cosn n, n