Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών. Σήματα. και. Συστήματα

Transcript

1 Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

2 Άσκηση η Να υπολογιστεί η έξοδος του συστήματος με κρουστική απόκριση h()=u()-u(-4) και είσοδο x()=u(-) u(-3) με την μέθοδο της συνέλιξης. Λύση Για να υπολογιστεί η έξοδος y() πρέπει να υπολογιστεί η συνέλιξη των σημάτων x() και h(). Τα σήματα x(), h() αλλάζουν τύπο (το καθένα) κατά διαστήματα, δηλαδή είναι μη ενιαίου τύπου. + y () = x () h () = x( τ) h ( τ) dτ

3 Άσκηση η 3 4 x u u h u u x() Διάρκεια σήματος x(): Α=3-= = α =3 α = =3 h() Διάρκεια σήματος h(): B=4-=4 = =4 b =4 b 3

4 Άσκηση η Συμμετρική της h(τ) ως προς τον κατακόρυφο άξονα h(-τ) y x h d -4 τ Χρονική μετατόπιση της h(τ) κατά προς τα θετικά του άξονα τ 4

5 Άσκηση η ) - α < < α = Δεν υπάρχει μερική ή ολική επικάλυψη των γραφημάτων των δύο συναρτήσεων, επομένως το γινόμενο x(τ)h(-τ) μέσα στο ολοκλήρωμα είναι : a y x h d ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ -4+ x(τ) h(-τ) 3 τ τ 5

6 Άσκηση η ) < < 3 x(τ) Α Α=άνω όριο ολοκλήρωσης 3 n a, n n y x h d x h d n -4 h(-τ) d d για y για 3 y > α : Τότε έχουμε μερική επικάλυψη των γραφημάτων των δύο συναρτήσεων, επομένως το γινόμενο x(τ)h(-τ) μέσα στο ολοκλήρωμα είναι 6

7 Άσκηση η 3) < + b 3 < 4 5 > α : Τότε έχουμε ολική επικάλυψη των γραφημάτων των δύο συναρτήσεων, επομένως το γινόμενο x(τ)h(-τ) μέσα στο ολοκλήρωμα είναι και τα όρια ολοκλήρωσης παίρνονται από την συνάρτηση x(τ) x(τ) 3 h(-τ) n a n a 3 n y x h d x h d 3 3 d n

8 Άσκηση η 4) x(τ) +β < + Διάρκεια h(τ) 5 < n 4 n a n y x h d x h d n 4 3 h(-τ) d 4 για 5 y για 7 y

9 Άσκηση η 5) >α x(τ) 3 y h(-τ)

10 Άσκηση Να βρεθεί ο αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier του σήματος: Λύση: X ( ω) cos ω, ω π cos ω, ω π ω = =, αλλιώς, αλλιώς + + π + π jω jω jω jω jω x = X ( ω) e dω cosω e dω ( e e ) e dω π = π = π π + = π + π + π + π j j j j jω( ) + π ω ω ω ω + jω = e e dω e e dω e dω e dω π + π π = π π + = π π π j ( + ) + π jω( + ) j + π jω = e dω+ e dω π j ( + ) π π j = π + π jω( + ) + π jω j ( + ) e dω+ j e dω π j ( + ) π π j π

11 Άσκηση (συνέχεια) + π + π jω + jω = e + e = π j + π π j π ( ) ( ) ( ) ( ) j ( + ) π j ( + ) π j π j π = e e + e e = π j + π j j+ π j+ π j π j π e e e e + = π + j π j sin + π sin π = + π + π σχύει : sin( θ ) e Ι = jθ e j jθ

12 Άσκηση 3 Να ελέγξετε εάν η συνάρτηση 6sin(4)+8cos(3) είναι περιοδική και να υπολογίσετε την περίοδο Τ Ελέγχουμε αν υπάρχει θετική σταθερά Τ, έτσι ώστε να ισχύει: ( + ) = x x 6sin cos3 + = 6sin4+ 8cos3 6sin(4+ 4 ) + 8cos 3+ 3 = 6sin4+ 8cos3 Ένας τρόπος να ισχύει αυτή για κάθε είναι να ισχύουν συγχρόνως οι σχέσεις: mπ { 4 = n π, 3 = m π} Τ= nπ, Τ= 3 όπου n, m είναι θετικοί ακέραιοι. Η ελάχιστη τιμή του Τ προκύπτει για τις μικρότερες τιμές των n, m για τις οποίες οι σχέσεις αυτές ισχύουν συγχρόνως. Αυτό ισχύει για n=4, m=3 οπότε Τ=π. Άρα το σήμα είναι περιοδικό με περίοδο ίση με π.

13 Άσκηση 4 Να υπολογιστεί η τριγωνομετρική σειρά Fourier της περιοδικής συνάρτησης x() που ορίζεται ως x, < < =, < < και x = x( + ). o + a = x d o + an = x cos n d, n,,... Ω = o + bn = x sin nω d, n =,,... π Ω = Τ 3

14 Άσκηση 4 (συνέχεια) π Λύση: Η περίοδος είναι Τ, άρα Ω =. προηγούμενης διαφάνειας έχουμε Από τις εξισώσεις της a = x d x d x d = + = = d d d d + = + = Τ + = [ ] + [ ] Τ = + = + = a o = + x d 4

15 Άσκηση 4 (συνέχεια) Ω = Λύση: Η περίοδος είναι Τ, άρα π. an = x cos nω d = και για n=,, cos cos = nω d + nω d o + a = x d o + an = x cos n d, Ω n =,,... o + bn = x sin n d, Ω n =,,... 5

16 Άσκηση 4 (συνέχεια) a sin n = nω sin n (sin n + Ω = Ω + nω nω nω π π + sin nω = sin n ( ) + sin n = nω nω nω = (sin( nπ )) + sin( nπ ) = διότι sin( nπ ) = sin( nπ ) nω nω 6

17 Άσκηση 4 (συνέχεια) bn = x sin n d sin n d sin n d Ω = Ω + Ω = και ( π ) = cos nω cos nω = cos n = nω nπ =, n : άρτιος 4, n : περιττ ός nπ Άρα 4 x = sin Ω + sin 3Ω + sin5 Ω +... π 3 5 7