ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέµα Α Κυριακή 6 Μαρτίου 016 Α1. β Α. γ Α5. α) Λ β) Σ γ) Σ Α. γ Α4. γ δ) Σ ε) Σ Θέµα Β Β1. Σωστή απάντηση είναι η β. Το έργο της δύναµης για την µετατόπιση χ είναι: W = χ = 0 0,5 µεταφορικής W = τ θ = R θ (1) περιστροφικής µεταφορικής W = 15 J. K N R mg T σ Επειδή ο κύλινδρος κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει ισχύει: χ = S = R θ άρα η σχέση (1) γίνεται: περιστροφικής W = χ περισ W στροφικής = 15 J. W = µεταφορικής W + περιστροφ W Εφαρµόζουµε ΘΜΚΕ για τον κύλινδρο από τη στιγµή που ξεκινάει την κίνηση του (υ 0 = 0) µέχρι να µετατοπιστεί κατά χ: µετ Κ = 4 J. τελ φικής = 0 J. W Τ = 0 σ µετ περ Κ τελ Κ αρχ = ΣW Κ +Κ - 0 = W µετ τελ τελ + W Τσ Κ + 6 J = 0 J τελ
Β. Σωστή απάντηση είναι η γ. Οι θέσεις των δεσµών στον θετικό ηµιάξονα είναι: χ = (κ + 1) λ 4 δεύτερος δεσµός είναι στη θέση που προκύπτει για κ = 1 δηλαδή στη θέση: χ = ( + 1) λ 4 = λ 4 d = λ 4 λ = 4d (1) κ = 0, 1,,,.. Ο Οι θέσεις των κοιλιών στον θετικό ηµιάξονα είναι: χ Κ = κ λ κ = 0, 1,,,... Έτσι η 10η κοιλία σχηµατίζεται στη θέση χ Κ = 9 λ και µε βάση την (1) χ Κ = 9 4d = 1d = 6d. Β. Α. Σωστή απάντηση είναι η α. Από τη συνθήκη ισορροπίας για τη ράβδο παίρνουµε: Στ (Α) = 0 Τ d mg d 1 = 0 Τ Τ L συνφ mg L συνφ = 0 T L = mg L T = mg T = 0 N. Β. Σωστή απάντηση είναι η α. (Α) L/ φ d 1 d mg Εφαρµόζουµε Α ΜΕ για τη ράβδο από την θέση που σπάει νήµα (1) ως την κατακόρυφη θέση (): Κ (1) + (1) U = Κ β () + mg ( L + L 4 ) = 1 m L ω ω = 9g L = rad/s. () U m g ( L β + L ηµφ) = 1 I (Α) ω = 6 g 4 L ω (1) L/ ηµφ φ mg (A) L/ U β = 0 mg το υ Β = ω L = 5 u B = 15 m/s. υ B () Θέµα Γ Γ1. Από την εξίσωση του στάσιµου κύµατος y = 0,4 συν(10πχ) ηµ(40πt) (SI) έχουµε: A = 0, m, 10πχ = πχ λ 40πt = πt Τ λ = 0, m και T = 0,05 s f = 0 Hz.
Άρα οι εξισώσεις των κυµάτων είναι: y 1 = 0, ηµπ(0 t 5 χ) και y = 0, ηµπ(0 t + 5 χ) (S.I.) Γ. Επειδή µεταξύ του σηµείου και της αρχής Ο (χ = 0) υπάρχουν τρεις δεσµοί, το σηµείο θα είναι η 4 η κοιλία του στάσιµου κύµατος (Ν = ), οπότε η θέση χ του σηµείου στον άξονα Οχ υπολογίζεται ως εξής: χ = Ν λ N = χ = 0,1 = 0, m. Η αποµάκρυνση του από τη θέση ισορροπίας του σε συνάρτηση µε το χρόνο δίνεται από την παρακάτω εξίσωση: y = 0,4 συν(10π χ ) ηµ(40πt) = 0,4 συν(π) ηµ(40πt) = 0,4 (- 1) ηµ(40πt) y = - 0,4 ηµ(40πt) (SI) Η ταχύτητα ταλάντωσης του είναι ίση µε: V = ω Α συν(40πt) = 40π (- 0,4) συν(40πt) V = - 16π συν(40πt) (SI) Γ. Την χρονική στιγµή t = 0 s η αποµάκρυνση και η ταχύτητα του σηµείου Ο(χ = 0) του στάσιµου κύµατος είναι: y Ο = 0,4 συν0 0 ηµ0 0 = 0 και V Ο = V max συν0 0 συν0 0 = + V max. άρα όλα τα σηµεία της χορδής βρίσκονται στη θέση ισορροπίας τους, δηλαδή η χορδή είναι οριζόντια και το σηµείο Ο, στο οποίο σχηµατίζεται κοιλία έχει θετική ταχύτητα. Τα ζητούµενο στιγµιότυπο είναι: ψ (m) 0,4 0 0,1 0, 0, χ (m) - 0,4 Γ4. Η αποµάκρυνση του Γ από τη θέση ισορροπίας του σε συνάρτηση µε το χρόνο δίνεται από την παρακάτω εξίσωση: y Γ = 0,4 συν(10π χ Γ ) ηµ(40πt) = 0,4 συν(1,5π) ηµ(40πt) y Γ = 0,4 συν(π + π 4 ) ηµ(40πt) = 0,4 (- y Γ = 0, ηµ(40πt + π) (SI) ) ηµ(40πt) = - 0, ηµ(40πt)
Επειδή y = - 0,4 ηµ(40πt) = 0,4 ηµ(40πt + π) (SI) θα είναι: φ = φ Γ = (40πt + π) rad άρα τα σηµεία Γ, βρίσκονται σε συµφωνία φάσης. Θέµα 1. Επειδή το νήµα είναι αβαρές και µη εκτατό ισχύει: Τ 1 = ' Τ και Τ 1 = Για να είναι το σύστηµα που εικονίζεται στο σχήµα ακίνητο πρέπει κάθε σώµα να ισορροπεί. ' Τ. Για το σώµα Σ, ισχύει: Σ = 0 T = m g (1) Για τον τροχό ισχύουν οι παρακάτω συνθήκες ισορροπίας: Στ (Κ) = 0 Τ 1 R = T στ R Τ 1 = Τ στ () () Σ = 0 = Τ 1 + T στ = Τ 1 Τ 1 = () Για τη τροχαλία, ισχύει: (1) Στ (O) = 0 Τ 1 r = T r T 1 = T () = m g = 40 N.. Επειδή το νήµα είναι αβαρές µη εκτατό και δεν ολισθαίνει στις επιφάνειες της τροχαλίας και του τροχού όλα τα σηµεία του έχουν την ίδια ταχύτητα άρα και την ίδια επιτάχυνση, άρα: Το µέτρο της επιτάχυνσης α του σώµατος Σ είναι ίσο µε το µέτρο της επιτάχυνσης που έχουν τα σηµεία της περιφέρειας της τροχαλίας, α = a γ r (4) (όπου a γ το µέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης της τροχαλίας). Για τους ίδιους λόγους το µέτρο της επιτάχυνσης που έχουν τα σηµεία της περιφέρειας της τροχαλίας είναι ίσο µε το µέτρο της επιτάχυνσης που έχει το ανώτερο σηµείο Α της περιφέρειας του τροχού, άρα: a γ r = a A (5). Η ταχύτητα του υλικού σηµείου Α του τροχού έχει µέτρο: υ A = υ cm και η επιτάχυνση του έχει µέτρο: dυ d( υ ) dυ Α cm cm α Α = = = dt dt dt (4) α Α = α cm = a 1 a (5) = a 1 (6)
Ο τροχός εκτελεί µια σύνθετη κίνηση που µπορεί να µελετηθεί ως επαλληλία µιας µεταφορικής και µιας στροφικής. Εφαρµόζουµε: το θεµελιώδη νόµο της µηχανικής για τη µεταφορική του κίνηση (θετική φορά προς τα r αριστερά): Σ = Μ a r 1 - T 1 - T στ = Μ α 1 (7) και τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης (θετική φορά όπως φαίνεται στο σχήµα): Στ (Κ) = Ι 1 α γ1 Τ στ R Τ 1 R = 1 M R α γ1 Τ στ Τ 1 = 1 M R α γ1 (8) Επειδή ο τροχός κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει ισχύει: α 1 = α γ1 R (9) Η σχέση (7) λόγω της σχέσης (8) γίνεται: Τ στ Τ 1 = 1 M α 1 (10) Προσθέτοντας τις (7) και (10) κατά µέλη παίρνουµε: Τ 1 = Μ α 1 Τ 1 = 4 Μ α 1 (11) Η τροχαλία εκτελεί στροφική κίνηση. Εφαρµόζουµε τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης (θετική φορά όπως φαίνεται στο σχήµα): Στ (Ο) = Ιcm α γ Τ 1 r Τ r = 1 m r α γ Τ 1 Τ = 1 m r α γ Τ 1 Τ = 1 m a (6) Τ 1 Τ = m a 1 (1) Το σώµα Σ εκτελεί µεταφορική κίνηση. Εφαρµόζουµε τον θεµελιώδη νόµο της µηχανικής: r Σ = m a r T - m g = m α T - m g = m α 1 (1) Προσθέτουµε κατά µέλη τις σχέσεις (11), (1) και (1): Τ 1 + Τ 1 Τ + T - m g = 4 Μ α 1 + m a 1 + m α 1 40 0 = ( + + 4) a 1 (6) a 1 = m/s a = 4 m/s.. Το σώµα Σ εκτελεί ευθύγραµµη οµαλά επιταχυνόµενη κίνηση µε επιτάχυνση α = 4 m/s, άρα θα ανέλθει κατά h = m τη χρονική στιγµή: h = 1 α t t = h α = 1 s. Το µέτρο της στροφορµής της τροχαλίας ως προς τον άξονα περιστροφής της την παραπάνω χρονική στιγµή είναι: L = I cm ω = 1 m r α γ t = 1 m α r r t L = 0,6 Kg m /s.
4. Ο τροχός στη µεταφορική του κίνηση εκτελεί ευθύγραµµη οµαλά επιταχυνόµενη κίνηση µε επιτάχυνση a 1 = m/s, άρα η µετατόπισή του δίνεται από τη σχέση: χ 1 = 1 α 1 t χ 1 = 1 m. Το έργο της δύναµης για την µετατόπιση χ 1 είναι: W = χ 1 = 80 J. Η µέση ισχύς της δύναµης r υπολογίζεται από τη σχέση: W P = = 80 J/s. t 5. Η ταχύτητα του τροχού Σ 1 όταν το Σ έχει µετατοπιστεί κατά h είναι: υ 1 = α 1 t = m/s. Το ποσοστό του έργου της δύναµης που µετατράπηκε σε κινητική ενέργεια του τροχού Σ 1 κατά τη µετατόπιση του σώµατος Σ κατά h είναι: 1 1 1 1 1 1 1 Μ υ + Ι ω Μ υ + Μ R ω Μ υ + Μ υ Μ υ = = = = W χ χ χ χ Κ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 4 1 1 1 1 Κ 4 4 1 4 1 = = = 0,15 ή 15% W 80 80