ΣΧΟΛΗ ΕΜΦΕ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 8-9 Ηιαγωγοί και Ηιαγώγιες οές (7 ο Εξάηνο) Απαντήσεις στην η Σειρά ασκήσεων 1. α) Αν υποθέσουε ότι δύο ηιαγώγια υλικά, όπως τα S και G, έχουν περίπου ίδιες τιές πλεγατικής σταθεράς και περίπου ίδιες τιές για την ενεργό άζα των ηλεκτρονίων, αλλά διαφορετικές τιές σχετικής διηλεκτρικής σταθεράς, (ε r (S)1, ε r (G)16), για τις προσείξεις τίνος υλικού περιένετε να ισχύει καλύτερα το απλό οντέλο ενός υδρογονειδούς ατόου του Bor. β) νας στοιχειακός ηιαγωγός, όπως οι παραπάνω, έχει πυκνότητα ενδογενών ηλεκτρονίων, σε θεροκρασία δωατίου, 11 c -. Στον ηιαγωγό αυτόν προσθέτουε οοιόορφα κατανεηένες προσείξεις, τύπου «δότες», ε συγκέντρωση, N D 16 c -, και τύπου «αποδέκτες», ε συγκέντρωση N Α 8 16 c -. Να υπολογισθούν, σε θεροκρασία δωατίου, οι συγκεντρώσεις ηλεκτρονίων () και οπών (), καθώς και η διαφορά -, του επιπέδου r από την κορυφή της ζώνης σθένους, αν το ενεργειακό χάσα του υλικού είναι.8, και οι ενεργές άζες πυκνότητας καταστάσεων είναι και.5. (α) Το οντέλο του υδρογονοειδούς οντέλου του Bor υποθέτει κίνηση σε δυναικό oulob, το οποίο είναι θωρακισένο ε την σχετική διηλεκτρική σταθερά του υλικού, δηλ. προϋποθέτει ότι το ηλεκτρόνιο αντιετωπίζει το υλικό ως ένα συνεχές διηλεκτρικό έσο. Εποένως ισχύει τόσο καλύτερα όσο πιο αντιπροσωπευτικό έσο όρο του υλικού αντιλαβάνεται το ηλεκτρόνιο, εποένως όσο εγαλύτερη είναι η ακτίνα του Bor, δηλ. η τυπική έκταση της θεελιώδους κατάστασής του. 4πε ħ Η ακτίνα του Bor δίνεται από τη σχέση r εr ε r a εr (.5 ), και αφού οι ενεργές άζες των δύο υλικών είναι (κατά την εκφώνηση) ίσες, την εγαλύτερη ακτίνα έχει το G ε τη εγαλύτερη σχετική διηλεκτρική σταθερά. (β) Οι ενδογενείς φορείς είναι 11 c -. Όσον αφορά τις εξωγενείς προσείξεις, υποθέτοντας κατάσταση ολικού ιονισού, από τον συνδυασό των προσείξεων, N D 16 c -, και N Α 8 16 c -, φαίνεται ότι κυριαρχούν οι προσείξεις τύπου αποδέκτες, άρα το υλικό, τελικά, έχει φορείς πλειονότητας τύπου 16 5 c. Τα ηλεκτρόνια είναι φορείς ειονότητας και η συγκέντρωσή D 6 5 τους προκύπτει από το νόο δράσης των αζών c 5 Η διαφορά -, του επιπέδου r από την κορυφή της ζώνης σθένους υπολογίζεται από τη σχέση, υπό την προϋπόθεση ότι θα υπολογιστεί η ενεργός πυκνότητα καταστάσεων της ζώνης σθένους δεδοένων (1), η οποία υπολογίζεται από τον συνδυασό των και Πολλαπλασιάζοντας τις σχέσεις (1) και () παίρνουε l l D g (). g g και, τελικά,
. Θεωρήστε γνωστό ότι η συγκέντρωση ατόων πυριτίου, σε έναν καθαρό κρύσταλλο πυριτίου είναι 5 c -, η πυκνότητα ενδογενών φορέων σε θεροκρασία δωατίου 1.45 c -, ενώ οι κινητικότητες ηλεκτρονίων και οπών είναι 15 c -1 s -1 και 45 c -1 s -1, αντίστοιχα. α) είξτε ότι, τόσο στην περίπτωση προσίξεων τύπου, (ε συγκέντρωση N D ), όσο και (ανεξάρτητα) στην περίπτωση προσίξεων τύπου, (ε συγκέντρωση N ), πορεί να προσδιορισθεί κατάλληλη συγκέντρωση προσείξεων, (Ν D,κρίσιη ;, ή N,κρίσιη ;, αντίστοιχα), για την οποία το υλικό παρουσιάζει ελάχιστη αγωγιότητα. Ποια είναι η τιή της ελάχιστης αγωγιότητας στις δύο περιπτώσεις; β) Να υπολογιστεί η αντίσταση ενός κύβου 1 1 1 c πυριτίου σε θεροκρασία δωατίου όταν είναι: β 1 ) απολύτως καθαρός, β ) όταν έχει προσίξεις αρσενικού (s: της στήλης του περιοδικού συστήατος) σε αναλογία ατόων 1/ 9, β ) όταν έχει προσίξεις βορίου (B: της στήλης III του περιοδικού συστήατος) στην ίδια αναλογία ατόων 1/ 9, ως προς το πυρίτιο. [Σε όλους τους υπολογισούς να θεωρηθεί ότι έχουε ολικό ιονισό προσείξεων] (α) Υπολογισός ελάχιστης αγωγιότητας : σ ( ) Προσείξεις τύπου ε D και, οπότε σ D D D dσ Για το ακρότατο: D, crtcal. dd D Όοια, για προσείξεις τύπου, ε, προκύπτει crtcal, Και στις δύο περιπτώσεις, η ελάχιστη αγωγιότητα προκύπτει σ, σ,. (β) για τον υπολογισό της αντίστασης, έχουε: L R ρ, L 1 c, S 1 c, ρ 1, εποένως: S σ 1c R σ 1 (β1) στο καθαρό πυρίτιο έχουε, και αντικαθιστώντας τις τιές της ενδογενούς 5 συγκέντρωσης και των ευκινησιών, παίρνουε: R.4 Ω. 9 9 17 (β) [ s] [ S] 5 c [ s] 5 c και 4 σ, παίρνουε R 9.6 Ω Αντικαθιστώντας στη σχέση ( ) 17 (β) [ B] 5 c και 4 Αντικαθιστώντας στη σχέση σ ( ), παίρνουε R 8 Ω
. α) Υποθέστε ότι οι ενεργές άζες πυκνότητας καταστάσεων ηλεκτρονίων και οπών του πυριτίου (S) και του γερανίου (G) είναι της ίδιας τάξης εγέθους, τα ενεργειακά τους χάσατα είναι 1.17 και.66, αντίστοιχα, και η ενδογενής συγκέντρωση φορέων του πυριτίου σε θεροκρασία δωατίου είναι 1.5x c -. Εξηγείστε γιατί προσείξεις Sb, σε συγκέντρωση 1 c -, καθιστούν, σε θεροκρασία Κ, ηιαγωγό τύπου το πυρίτιο αλλά όχι το γεράνιο. β) Υποθέστε ότι έχετε επαφή - πυριτίου ε συγκεντρώσεις ολικά ιονισένων προσείξεων Ν Α και N D, αντίστοιχα σε κάθε πλευρά. Εκφράστε την τάση επαφής συναρτήσει του ενεργειακού χάσατος Ε g, των συγκεντρώσεων N και N D, των ενεργών αζών και, των παγκοσίων σταθερών (φορτίο ηλεκτρονίου), k(σταθερά του Bolza) και (σταθερά του Plack), και της θεροκρασίας Τ. (α) Επίσης: ( S) ( G), ( S) 1.17, ( G).66 DoS DoS g g g ( S) ( S, K) ( S) ( S) 1.5 c g ( G) g ( S) ( G) 14 DoS ( ) DoS ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ).7 ( S) S G S G G c Εποένως: 14 ( S) 1.5 c << Sb / c << ( G).7 c Άρα, οι προσείξεις αντιονίου (Sb) είναι περίπου φορές περισσότερες από τις ενδογενείς προσείξεις του S, το οποίο καθιστούν εξωγενή ηιαγωγό τύπου-, αλλά είναι φορές λιγότερες από τις ενδογενείς προσείξεις του G, ο ο ποίος, εποένως, παραένει κατά βάση ενδογενείς σε αυτή τη θεροκρασία. (β) g g D D l, l D g g D l o l Όπου τα, είναι συναρτήσεις των ενεργών αζών και, των παγκοσίων σταθερών (φορτίο ηλεκτρονίου), k(σταθερά του Bolza) και (σταθερά του Plack), και της θεροκρασίας Τ.
4. Ο λεγόενος νόος δράσης των αζών, N N x(-g/), ισχύει ανεξάρτητα από την προέλευση (ενδογενή ή εξωγενή) των ηλεκτρονίων και των οπών, ε συγκεντρώσεις και, αντίστοιχα. α) Να υπολογίσετε τις ενδογενείς συγκεντρώσεις ηλεκτρονίων και οπών στο οογενές πυρίτιο, σε θεροκρασία 6Κ, οπότε το ενεργειακό του χάσα έχει ειωθεί στο 1. β) Να υπολογίσετε τις συγκεντρώσεις φορέων, για πυρίτιο ε οογενείς προσείξεις δοτών και αποδεκτών, σχεδόν ολικά ιονισένων, (Ν D N D, και Ν Α N - Α, αντίστοιχα) όπου Ν D -N (5 16-1 16 ) c -. γ) Να υπολογίσετε την τιή της στάθης r, σε θεροκρασία 6Κ, ως προς το έγιστο της ζώνης αγωγιότητας, για τις περιπτώσεις (α) και (β), αντίστοιχα. ίδονται, για το πυρίτιο σε θεροκρασία δωατίου ( 6): Ενεργειακό χάσα 1.1, Ενεργές πυκνότητες κβαντικών ενεργειακών καταστάσεων: (Ζώνη Σθένους) 1. 19 c -, (Ζώνη Αγωγιότητας).4 19 c -, g (α) 1.5 c, 19 και ( K).4 c, ( K) 1. c Αλλά, Εποένως, ( )(6 K ) 6 ( ).8 ( k) (6 K) 6.8 c 19 και Και οι ενδογενείς συγκεντρώσεις υπολογίζονται 19 (6 K).8 c 19 ( 6) 15 (6) (6).8 6.8 c.9 c 19 (β) 16 D 4 c,.5 c ν (γ) l, 6 (γ1) 19 6 l 6.8 15 5..9 (γ) 19 6 l 6.8 16 86.8 4 Με την αύξηση των προσείξεων τύπου «ότες», η την πλησιάζει, απο χαηλότερες τιές,
5. Ηιαγωγός τύπου I έχει, σε TK, ενεργειακό χάσα Ε g 1., και ενεργές 19 19 πυκνότητες καταστάσεων: 1 c, 4 c. Η ενδοχασατική κατάσταση προσείξεων τύπου αποδέκτη απέχει 7.5 από το έγιστο της ζώνης 16 σθένους, και η συγκέντρωση προσείξεων-αποδεκτών είναι c. (α) είξτε ότι σε χαηλές θεροκρασίες, όπου <<, η συγκέντρωση φορέων τύπου δίνεται, ε καλή προσέγγιση, από τη σχέση x. (β) Συνδυάζοντας το προσεγγιστικό αποτέλεσα του ερωτήατος (α) ε την γενική ορφή της πυκνότητας φορέων τύπου, εκφράστε, για το παραπάνω σύστηα, την τιή του επιπέδου r, σε χαηλές θεροκρασίες, συναρτήσει των T,,,,. (γ) Προσδιορίστε, για το ίδιο σύστηα, την οριακή τιή του επιπέδου r, όταν η θεροκρασία τείνει στους ο Κ. (δ) είξτε ότι, απουσία προσείξεων, η οριακή τιή του επιπέδου r, σε χαηλές θεροκρασίες, τείνει στο έσον του ενεργειακού χάσατος. (ε) Σχολιάστε τα αποτελέσατα των ερωτηάτων (γ) και (δ). (α) Σε χαηλές θεροκρασίες, <<, κατά είζονα λόγο, << <<, οπότε, επικρατεί η διέγερση οπών από τη στάθη των αποδεκτών άλλον παρά από τη ζώνη αγωγιότητας, (δηλ., ισοδύναα, επικρατεί η διέγερση ηλεκτρονίων από τη ζώνη σθένους προς τη στάθη αποδεκτών άλλον παρά προς την ζώνη αγωγιότητας). Εποένως, η συγκέντρωση οπών προσδιορίζεται από τους ιονισένους αποδέκτες (εξωγενώς), παρά από τις ενδογενείς διεγέρσεις. (1) [ Το προηγούενο επιχείρηα πορεί να διατυπωθεί και ποσοτικά, υπολογίζοντας τις ενδογενείς προσείξεις σε θεροκρασία δωατίου (Κ) αλλά και σε χαηλές θεροκρασίες, π.χ. () g 19 5 8 c () 7.6 c ενώ, σε χαηλές θεροκρασίες (4Κ), ( 4K) 4 (4) () 1.5 (K) 19. εποένως, ( 4K) 1.5 c (4K ). ηλαδή, οι ενδογενείς συγκεντρώσεις σε Κ και (πολύ περισσότερο), σε 4Κ είναι πολλές 16 τάξεις εγέθους χαηλότερες από την συγκέντρωση αποδεκτών c. ] Όσον αφορά, τώρα, τους ιονισένους αποδέκτες, έχουε, 1 x και ε βάση την προσέγγιση >> >> 1 x >> 1
Οπότε, x () ενώ, γενικά () Επειδή αναζητούε έκφραση του ανεξάρτητη του, απαλείφουε την από τις () και () πολλαπλασιάζοντάς τις και λαβάνοντας υπόψη την (1), οπότε (β) Για τον υπολογισό της στάθης r, απαλείφουε την συγκέντρωση, ανάεσα στο αποτέλεσα του προηγουένου ερωτήατος και στη σχέση (): οπότε, οπότε, λογαριθίζοντας, παίρνουε l (γ) Όταν T (δ) Απουσία προσείξεων, ισχύει, ενώ,, οπότε l 4, και στο όριο T (ε) Στο όριο των χαηλών θεροκρασιών, η στάθη r τείνει στο έσο όρο των ενεργειακών σταθών εταξύ των οποίων γίνονται, κατά κύριο λόγο, οι διεγέρσεις αποδιεγέρσεις, που φέρνουν το σύστηα σε κατάσταση θεροδυναικής ισορροπίας.
6. Επαφή - ε διατοή.1, κατασκευάζεται από ηιαγώγιο υλικό ε σχετική διηλεκτρική σταθερά ε r, ενεργειακό χάσα Ε g 1.17, ενδογενή συγκέντρωση φορέων.x 9 c -, σε θεροκρασία δωατίου, ευκινησίες φορέων 5 c /s, 15 c /s, ίδιο έσο ελεύθερο χρόνο εταξύ κρούσεων, (της τάξης του -1 s), καθώς και ίδιο χρόνο ζωής, τ τ.5 s, (από την διέγερση-δηιουργία, έχρι της επανασύνδεση) των φορέων ειονότητας. Θεωρείστε ότι το πηλίκο των ενεργών αζών αγωγιότητας είναι όσο και το πηλίκο των ενεργών αζών πυκνότητας καταστάσεων. Η επαφή κατασκευάζεται νοθεύοντας τις περιοχές και, ε προσίξεις συγκεντρώσεων Ν D 5x 15 c -, N 1.5x 16 c - αντίστοιχα, οι οποίες θεωρούνται ολικά ιονισένες. (α) Να υπολογιστεί η ενεργός πυκνότητα καταστάσεων για τις ζώνες σθένους (N ) και αγωγιότητας (Ν ). (β) Να σχεδιαστεί το ενεργειακό διάγραα της επαφής, σε κατάσταση θεροδυναικής ισορροπίας, (υπολογισός και αναγραφή τών Ε () -, - (), δυναικό επαφής). (γ) Να υπολογιστεί το εύρος της περιοχής απογύνωσης (άντλησης), σε κατάσταση θεροδυναικής ισορροπίας. (α) Προσδιορίζουε τις,, υπολογίζοντας το γινόενό τους και το πηλίκο τους: g g 117 18 6 5 9 6 4.84 1. c c (1). Επίσης τ, αλλά, όπου οι έσοι ελεύθεροι χρόνοι εταξύ κρούσεων, τ (της τάξης του -1 s) είναι ίσοι ( τ τ ), σύφωνα ε την εκφώνηση, οπότε και, τελικά, Από τις (1) και () παίρνουε : 7. c 19.19 () 19 1.9 c και 1 D 5 / 7.5 (β) l l 18 759. q / 4.84 l 198. ( ) ( ) l 18.8 ( ) ( ) g o 759. g l.6 ( ) ( ) 4 198. 66.1 Ε () - 86.8, - () 66.1 (γ) Πλάτος της περιοχής απογύνωσης () 564.4 1.17. Επίσης: () () 65.6 () 18.8 86.8 14 8.85 759. ε rε 1 1 1 1 c w c w 1.1 19 16 15 q D 1.6 1.5 5
7. Hιαγώγιο υλικό της οικογένειας I, ε ενεργειακό χάσα Ε g 1., σχετική διηλεκτρική σταθερά ε r 11, και ενδογενή συγκέντρωση φορέων 5 c -, φέρει οοιόορφη συγκέντρωση πρόσειξης Αλουινίου ίση προς 5 17 (άτοα l)/c, σε όλο του τον όγκο. Στην ία επιφάνεια του ανωτέρω υλικού εφυτεύουε, επιπλέον, Αρσενικό, ε οοιόορφη συγκέντρωση ίση προς 5.5 17 (άτοα s)/c, σε ία περιοχή έχρι βάθος.5. (α)να εξηγήσετε ότι το τελικό αποτέλεσα είναι ία επαφή -, και να υπολογίσετε το εσωτερικό δυναικό της επαφής. (β) Να υπολογίσετε το συνολικό πλάτος της περιοχής απογύνωσης καθώς και τα επί έρους πλάτη των περιοχών απογύνωσης εκατέρωθεν της επαφής. (γ) Να σχεδιάσετε ένα ενεργειακό διάγραα, υπό κλίακα, του πρώτου 1 του συστήατος, από την πλευρά του υλικού που βρίσκεται η επαφή -, στο οποίο να φαίνονται όλα τα εγέθη των ερωτηάτων (α) και (β). ΤΚ. (α) Στα πρώτα.5, ( x.5 ) συβαίνει αντιστάθιση των προσείξεων (Αποδέκτες και ότες), οπότε (σε συνδυασό ε την παραδοχή του ολικού ιονισού), έχουε τελικά περιοχή τύπου, ε συγκέντρωση φορέων πλειονότητας 16 D 5 c Στο υπόλοιπο υλικό, (σε βάθος x >.5 ), οι φορείς προσδιορίζονται από τις προσείξεις αλουινίου (Αποδέκτες), οπότε (σε συνδυασό ε την παραδοχή του ολικού ιονισού), έχουε τελικά περιοχή τύπου, ε συγκέντρωση φορέων πλειονότητας 5 c 17. Το δυναικό επαφής υπολογίζεται από τη σχέση 16 5 / 5 5 l l q / 5 17 748. (β) Τα επί έρους πλάτη των περιοχών απογύνωσης εκατέρωθεν της επαφής υπολογίζονται από τη σχέση 14 εrε 1 8.85 x c 19.75 1.8 c.14 19 q 1.6 ( ) Όοια, x.18, και το συνολικό πλάτος απογύνωσης w x x.15 (γ) o 748..5 x w 1 () 1. () x