Μερικές ιαφορικές Εξισώσεις

Μερικές ιαφορικές Εξισώσεις Ζούπας Ανδρέας, Τµήµα Μηχανολόγων Μηχανικών, Πολυτεχνική Σχολή, Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας, Λεωφόρος Αθηνών, Πεδίο Άρεως, Βόλος 38334 18 Ιουνίου 16

Περιεχόµενα 1 Εισαγωγή. 1.1 Γενικές Παρατηρήσεις.................................... 1. Βασικοί Ορισµοί....................................... Εξισώσεις της Μαθηµατικής Φυσικής. 3.1 Μαθηµατική Μοντελοποίηση................................ 3 3 ιαφορικές Εξισώσεις Πρώτης Τάξεως. 4 3.1 Εισαγωγή.......................................... 4 4 Ταξινόµηση ιαφορικών Εξισώσεων εύτερης Τάξεως. 6 4.1 Εισαγωγή.......................................... 6 4. Η κυµατική Εξίσωση και η Εξίσωση ιάχυσης....................... 6 4..1 Η κυµατική Εξίσωση................................. 6 4.. Η Εξισωση ιάχυσης................................. 7 5 Προβλήµατα Αρχικών Τιµών. 9 5.1 Εισαγωγή.......................................... 9 5. Το ΠΑΤ της Κυµατικής Εξίσωσης.............................. 9 5..1 Η Οµογενής Κυµατική Εξίσωση........................... 1 5..1.i Ερµηνεία Λύσης, Χωρίο Εξάρτησης, Πεδίο Επιρροής.......... 1 5..1.ii Ενέργεια.................................. 17 5.. Η Μη-Οµογενής Κυµατική Εξίσωση......................... 19 5.3 Το ΠΑΤ της Εξίσωσης ιάχυσης............................... 3 5.3.1 Η Οµογενής Εξίσωση ιάχυσης........................... 3 5.3.1.i Ενέργεια................................... 37 5.3. Η Μη-Οµογενής Εξίσωση ιάχυσης......................... 37 5.3..i Η αρχή του Duhamel............................ 38 6 Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών και Προβλήµατα Συνοριακών Τιµών, Μεθοδος Χωρισµού Μεταβλητών. 47 6.1 Εισαγωγή.......................................... 47 6. Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών.......................... 49 6..1 Η Εξίσωση ιάδοσης Θερµότητας.......................... 49 6..1.i Dirichlet ΣΣ................................ 49 6..1.ii Neumann ΣΣ............................... 58 6..1.iii Περιοδικές ΣΣ.............................. 64 6..1.iv Η Αρχή του Μεγίστου............................ 7 6.. Κυµατική Εξίσωση.................................. 7 6...i Dirichlet ΣΣ................................ 7 6...ii Neumann ΣΣ................................ 74 ii

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ iii 6...iii Περιοδικές ΣΣ............................... 76 6.3 Προβλήµατα Συνοριακών Τιµών............................... 76 6.3.1 Εξίσωση Laplace................................... 76 6.3.1.i Το Πρόβληµα Dirichlet........................... 77 6.4 Μέθοδος Χωρισµού Μεταβλητών-Προβλήµατα Ιδιοτιµών-Γενική Συµπεριφορά...... 89 7 Σειρές Fourier 91 7.1 Σειρές Fourier........................................ 9 7.1.1 Ηµιτονικές, Συνηµιτονικές, και Πλήρεις Σειρές Fourier.............. 9 7. Η Σειρά Fourier µιας Περιοδικής Συνάρτησης....................... 94 7..1 Περιοδικές Συναρτήσεις............................... 94 7.. Άρτιες και Περιττές Συναρτήσεις.......................... 95 7..3 Πλήρεις Σειρές, Περιττότητα και Αρτιότητα..................... 96 7..3.i Η Σειρά Fourier Μίας Περιττής Συνάρτησης................ 96 7..3.ii Η Σειρά Fourier Μίας Άρτιας Συνάρτησης................. 97 7.3 Θεωρήµατα Σύγκλισης................................... 1 7.3.1 Είδη Σύγκλισης Σειρών............................... 1 7.3. Το Θεώρηµα Σύγκλισης............................... 14 7.3.3 Παράγωγοι και Ολοκληρώµατα Σειρών Fourier................... 17 7.3.3.i Παράγωγος Σειράς Fourier......................... 17 7.3.3.ii Ολοκλήρωµα Σειράς Fourier........................ 11 7.4 Σειρές Fourier σε ιαστήµατα................................ 111 7.4.1 Περιοδικές Επεκτάσεις Συναρτήσεων........................ 111 7.4. Οι Σειρές Fourier των Περιοδικών Επεκτάσεων................... 113 7.4..i Η σειρά Fourier της Περιοδικής Επέκτασης................ 113 7.4..ii Η Σειρά Fourier της Άρτιας Περιοδικής Επέκτασης............ 113 7.4..iii Η Σειρά Fourier της Περιττής Περιοδικής Επέκτασης........... 113 7.4..iv Συνηµιτονικές και Ηµιτονικές Σειρές Fourier............... 113 7.4..v Το Θεώρηµα Σύγκλισης........................... 114 7.4..vi Σχεδίαση Σειρών Fourier.......................... 115 7.4.3 Η Συνέχεια της Σειράς Fourier............................ 119 7.4.4 Παραγώγιση Σειρών Fourier σε ιαστήµατα..................... 1 7.4.5 Ολοκλήρωση Σειράς Fourier............................. 1 7.4.6 Το ϕαινόµενο Gibbs................................. 1 7.5 Μέθοδος Χωρισµού Μεταβλητών και Γενικευµένες Σειρές Fourier............. 1 7.5.1 Ορθογωνιότητα και ΣΣ............................... 14 7.5. Σύγκλιση Γενικευµένων Σειρών Fourier....................... 13 8 Μη-Οµογενή Προβλήµατα, Μέθοδος Αναπτύγµατος Σε Ιδιοσυναρτήσεις. 131 8.1 Εισαγωγή.......................................... 131 8. Μη-Οµογενείς ΣΣ...................................... 13 8.3 Μη-Οµογενείς Μ Ε-Οµογενοποίηση ΣΣ.......................... 134 8.4 Μέθοδος Αναπτύγµατος σε Ιδιοσυναρτήσεις........................ 137 8.4.1 Γενίκευση Μεθόδου Αναπτύγµατος Σε Ιδιοσυναρτήσεις............... 143 9 Θεωρία Sturm-Liouville. 153 9.1 Εισαγωγή.......................................... 153 9. Μη-Οµογενείς ΣΣ...................................... 153 9.3 Μη-Οµογενείς Μ Ε.................................... 153 9.4 Τι να δω Γενικά....................................... 153 1 Παράρτηµα 154 1.1Πίνακες Τριγωνοµετρικών Συναρτήσεων.......................... 154

iv ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Προβλήµατα Αρχικών Τιµών. ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 5.1 Εισαγωγή......................................... 9 5. Το ΠΑΤ της Κυµατικής Εξίσωσης............................. 9 5..1 Η Οµογενής Κυµατική Εξίσωση.......................... 1 5..1.i Ερµηνεία Λύσης, Χωρίο Εξάρτησης, Πεδίο Επιρροής......... 1 5..1.ii Ενέργεια................................. 17 5.. Η Μη-Οµογενής Κυµατική Εξίσωση........................ 19 5.3 Το ΠΑΤ της Εξίσωσης ιάχυσης.............................. 3 5.3.1 Η Οµογενής Εξίσωση ιάχυσης.......................... 3 5.3.1.i Ενέργεια.................................. 37 5.3. Η Μη-Οµογενής Εξίσωση ιάχυσης........................ 37 5.3..i Η αρχή του Duhamel........................... 38 5.1 Εισαγωγή. Σε αυτήν εδώ την ενότητα ϑα ασχοληθούµε µε το ΠΑΤ τόσο για την κυµατική όσο και για την εξίσωση διάδοσης ϑερµότητας. Αυτό σηµαίνει πως ϑα ϑεωρήσουµε ότι δεν υπάρχει περιορισµός όσον αφορά τη χωρική συντεταγµένη, η οποία ϑα ϑεωρούµε ότι εκτείνεται από το ως το +. Ετσι οι µόνες ϐοηθητικές συνθήκες ϑα είναι οι αρχικές συνθήκες (εκτός ίσως από κάποιες παραδοχές που µπορεί να κάνουµε για την ασυµπτωτική συµπεριφορά των λύσεων όταν ϑα µελετήσουµε την ενέργεια του κύµατος.) Για κάθε µία από τις δύο εξισώσεις, στην αρχή ϑα µελετήσουµε την επίλυση του ΠΑΤ για την οµογενή εξίσωση και µετά ϑα επεκταθούµε στην επίλυση της µη-οµογενούς. 5. Το ΠΑΤ της Κυµατικής Εξίσωσης. Ξεκινούµε µε το ΠΑΤ για την οµογενή κυµατική εξίσωση. Το ΠΑΤ της κυµατικής εξίσωσης περιγράφει ένα κύµα το οποίο διαδίδεται σε οµογενές µέσο (αυτή την υπόθεση κάναµε κατά την παραγωγή της κυµατικής εξίσωσης) µε τον εξής τρόπο : έχουµε προκαθορίσει την αρχική µετατόπιση κάθε σηµείου του µέσου (π.χ. χορδής) κατά τη χρονική στιγµή που ϑεωρούµε αρχική και επίσης έχουµε προκα- ϑορίσει την αρχική ταχύτητα κάθε σηµείου του µέσου την αρχική αυτή χρονική στιγµή. Αυτοί οι 9

1 Κεφάλαιο 5. Προβλήµατα Αρχικών Τιµών. προκαθορισµοί εκφράζονται µέσω των αρχικών συνθηκών που επιβάλλουµε στην κυµατική εξίσωση. Τέλος, ϑεωρούµε ότι το κύµα µπορεί να διαδίδεται χωρικά χωρίς να συναντήσει ποτέ κάποιο σύνορο. ηλ., ϑεωρούµε πως η χορδή έχει άπειρο µήκος. Με αυτό τον τρόπο δεν είναι αναγκαίο να απαιτήσουµε συνοριακές συνθήκες. Τέτοιου είδους προβλήµατα καταλαβαίνουµε ότι είναι εξιδανικεύσεις της πραγµατικότητα δεδοµένου ότι η καθηµερινή εµπειρία µας, µας µας έχει δείξει πως κάθε µέσο έχει πεπερασµένες διαστάσεις. Οταν όµως µελετούµε κύµατα κατά τις πρώτες χρονικές στιγµές τις διάδοσης τους και σε µία σχετικά µικρή περιοχή της χορδής έτσι ώστε να µην έχει προλάβει να ε- πηρεάσει τη χορδή οτιδήποτε συµβαίνει στο σύνορο τότε τα ΠΑΤ της κυµατικής εξίσωσης µπορεί να αποτελούν µία καλή προσέγγιση. Ετσι, για παράδειγµα, αν ϑεωρούµε µία χορδή πακτωµένη στα δύο άκρα της, αρκετά µεγάλου µήκους και µελετούµε τη διάδοση ενός κύµατος µε σχετικά µικρή ταχύτητα σε αυτή, τότε σε µία µικρή περιοχή γύρω από το σηµείο που µελετούµε και για ένα κατάλληλο χρονικό διάστηµα µετά την αρχική στιγµή, δεν ϑα έχουν προλάβει να συνεισφέρουν στο κύµα οι επιδράσεις εξαιτίας του συνόρου. π.χ. οι ανακλάσεις. 5..1 Η Οµογενής Κυµατική Εξίσωση. Η διατύπωση του ΠΑΤ για την οµογενή κυµατική εξίσωση µε ταχύτητα διάδοσης κύµατος, c, είναι η εξής : u c u =, x < x < +, t > (5..1) u(x, ) = h(x), < x < + (ΑΣ 1) (5..) u(x, ) = g(x), < x < + (ΑΣ ) (5..3) ενώ αρκετές ϕορές, για οικονοµία χώρου, ϑα χρησιµοποιούµε και το συµβολισµό u(x,t) = u t (x, t). Για την επίλυση του παραπάνω ΠΑΤ µας συµφέρει να προχωρήσουµε αλλαγή µεταβλητών, ξ = η = x + ct x ct, (5..4) τη σηµασία της οποίας είδαµε όταν, κατά τη µελέτη της ταξινόµησης των δευτέρας τάξεως Μ Ε και στο παράδειγµα (4.1), διαπιστώσαµε πως µε το µετασχηµατισµό (5..4) η κυµατική εξίσωση παίρνει την κανονική µορφή, (4..1), δηλαδή την u ξη = (5..5) Το πλεονέκτηµα της κανονικής µορφής είναι ότι επιδέχεται γενική λύση την οποία εύκολα µπο- ϱούµε να υπολογίσουµε : w ξη = (w ξ ) η = w ξ = f(ξ) w(ξ, η) = f(ξ)dξ + G(η) (5..6) παρατηρούµε ότι ο πρώτος όρος είναι συνάρτηση µόνο του ξ ενώ ο δεύτερος όρος είναι συνάρτηση µόνο του η, άρα µπορούµε να πούµε ότι η γενική λύση είναι της µορφής µε F (ξ) = f(ξ)dξ. Μεταφράζοντας στις παλιές µεταβλητές : η οποία επιδέχεται την εξής ϕυσική ερµηνεία : w(ξ, η) = F (ξ) + G(η) (5..7) u(x, t) = F (x + ct) + G(x ct) (5..8)

5.. Το ΠΑΤ της Κυµατικής Εξίσωσης. 11 Είναι το άθροισµα, υπέρθεση όπως λέµε, δύο κυµάτων : ενός το οποίο κινείται προς τα δεξιά το οποίο είναι το G(x ct) και ενός το οποίο κινείται προς τα αριστερά το οποίο είναι το F (x + ct) και τα δύο κύµατα κινούνται µε την ίδια ταχύτητα c. Αυτή είναι εποµένως, η γενική µορφή που πρέπει να έχει κάθε λύση της κυµατικής εξίσωσης. Οµως, εµάς µας ενδιαφέρει η γενική αυτή µορφή να ικανοποιεί και συγκεκριµένες αρχικές συνθήκες, άρα δε µένει παρά να το απαιτήσουµε αυτό. Ετσι ϑέλουµε 1. u(x, ) = h(x) F (x) + G(x) = h(x) (5..9). u t (x, ) = g(x) c ( F (x) G (x) ) = g(x) F (x) G(x) = 1 c x g(s)ds + σταθ. (5..1) όπου, σταθ. = F () G(). Στην πρώτη γραµµή µε ( ) εννοούµε την παραγώγιση ως προς x,, και αυτό προκύπτει µε εφαρµογή του κανόνα της αλυσίδας στις F και G. Για παράδειγµα, d dx F (x + ct) df (x + ct) (x + ct) = d(x + ct) F (x + ct) = c t= df (x) = c = cf (x) dx df (x + ct) = c d(x + ct) df (x + ct) d(x + ct) = t= µε εντελώς αντίστοιχο τρόπο χειριζόµαστε τη G(x ct). Τώρα οι εξισώσεις (5..9) και (5..1) αποτελούν ένα γραµµικό ως προς τις άγνωστες F και G, η λύση του οποίου δίνει F (x) = 1 h(x) + 1 c G(x) = 1 h(x) 1 c x x g(s)ds + σταθ. g(s)ds σταθ. (5..11) Άρα, για να ικανοποιούνται οι ΑΣ ϑα πρέπει αυτή να είναι η µορφή των F και G για κάθε x. Εποµένως, u(x, t) = F (x + ct) + G(x ct) = = 1 [h(x + ct) + h(x ct)] + 1 x+ct g(s)ds (5..1) c x ct

1 Κεφάλαιο 5. Προβλήµατα Αρχικών Τιµών. που είναι γνωστός και ως τύπος του d Alembert και αποτελεί τη µοναδική λύση του ΠΑΤ για την κυµατική εξίσωση. Ο τύπος αυτός προκύπτει αν παρατηρήσουµε ότι F (x + ct) = 1 h(x + ct) + 1 c G(x ct) = 1 h(x ct) 1 c = 1 h(x ct) + 1 c x+ct x ct x ct g(s)ds + σταθ. g(s)ds σταθ. g(s)ds σταθ. (5..13) (5..14) 5..1.i Ερµηνεία Λύσης, Χωρίο Εξάρτησης, Πεδίο Επιρροής Το πιο ενδιαφέρον µε τη µορφή της λύσης έχει να κάνει µε το πεπερασµένο της ταχύτητας διάδοσης του κύµατος το οποίο σχετίζεται µε τη ϕυσική ερµηνεία την οποία µπορούµε να δώσουµε στον τύπο του d Alembert. Θέλουµε να µελετήσουµε µία σειρά από Ϲητήµατα που σχετίζονται µε την κυµατική διάδοση. Για αρχή, ϑέλουµε να απαντήσουµε στο εξής ερώτηµα : ποια είναι η ϕύση της πληροφορίας η οποία επηρεάζει τη λύση σε ένα τυχαίο σηµείο x p ; ή αλλιώς πως επηρεάζεται η λύση σε ένα τυχαίο σηµείο x p από τις αρχικές συνθήκες ; (προσέξτε ότι το σηµείο x p είναι ένα τυχαίο σηµείο στο χώρο και το χρόνο, δηλαδή µας λέει ότι είµαστε στη ϑέση x p τη χρονική στιγµή t p. Άρα δεν αναφέρεται µόνο στο χώρο όπως είναι εύκολο να πιστέψει κανείς δεδοµένης της χρήσης του όρου σηµείο. Με άλλα λόγια το x p είναι ένα χωροχρονικό σηµείο. ) Η απάντηση σε αυτό το ερώτηµα µπορεί να δωθεί γραφικά για τη µονοδιάστατη κυµατική εξίσωση και έτσι στο επίπεδο (x, t) ϑεωρούµε το σηµείο (x p ) και ϕέρνουµε τις χαρακτηριστικές ευθείες, x ct = x p ct p, x + ct = x p + ct p που περνούν από αυτό. Θυµηθείτε ότι η κυµατική εξίσωση, όπως και όλες οι υπερβολικές εξισώσεις, δηλ οι Μ Ε που ανήκουν στην ίδια οικογένεια µε αυτήν έχουν δύο χαρακτηριστικές. Τώρα, από τη µορφή τους είναι προφανές πως οι κλίσεις των χαρακτηριστικών είναι 1 c και 1 c αντίστοιχα και µη ξεχνάµε ότι η σταθερά c είναι ϑετική. Επιστρέφουµε πάλι στη µελέτη µας για να παρατηρήσουµε ότι οι δύο χαρακτηριστικές τέµνουν τον x άξονα στα σηµεία (x p ct p, ) και (x p +ct p, ) αντίστοιχα. Το τρίγωνο µε κορυφές τα σηµεία (x p ), (x p ct p, ), και (x p + ct p, ) και ϐάση το διάστηµα [ x p ct p, x p + ct p ] όπως ϕαίνεται και στο σχήµα (5.1), το ονοµάζουµε Χαρακτηριστικό Τρίγωνο. Παρατηρείστε ότι η ϐάση του χαρακτηριστικού τριγώνου ϐρίσκεται πάνω στον άξονα x, ο οποίος αντιστοιχεί στην τιµή t =. Εποµένως, οποιαδήποτε τιµή παίρνει η u πάνω στον άξονα των x αντιστοιχεί σε κάποια από τις αρχικές τιµές.

5.. Το ΠΑΤ της Κυµατικής Εξίσωσης. 13 Σχήµα 5.1: Το Χαρακτηριστικό Τρίγωνο και το Χωρίο Εξάρτησης Για να καταλάβουµε τη σηµασία του χαρακτηριστικού τριγώνου ας γράψουµε τον τύπο του d Alembert για τη λύση στο σηµείο (x p ), ο οποίος δίνει x p +ct p u(x p ) = 1 [ h(xp + ct p ) + h(x p ct p ) ] + 1 g(s)ds (5..15) c x p ct p και που µας λέει ότι η λύση, u, στο σηµείο (x p ) εξαρτάται από Α) τις τιµές της αρχικής µετατόπισης, h, στις δύο κορυφές του χαρακτηριστικού τριγώνου που ϐρίσκονται πάνω στον άξονα x (δηλαδή στα άκρα του διαστήµατος της ϐάσης) και Β) από τις τιµές της αρχικής ταχύτητας, g, πάνω στη ϐάση [ x p ct p, x p + ct p ] του χαρακτηριστικού τριγώνου. Παράδειγµα 5.1: Να δώσω παράδειγµα µε αριθµητικές τιµές. Άρα, συνολικά η u(x p ) εξαρτάται µόνο από το τµήµα αυτό των αρχικών συνθηκών που ορίζονται στο διάστηµα [ xp ct p, x p + ct p ] και από κανένα άλλο τµήµα των αρχικών συνθηκών!! Για αυτό το λόγο το διάστηµα αυτό ονο- µάζεται Χωρίο Εξάρτησης (Domain of Dependence) της u στο σηµείο (χώρου και χρόνου) (x d, t d ). Οποιαδήποτε αρχική τιµή και να δώσουµε έξω από το χωρίο εξάρτησης, ϑα αφήσει την u(x d, t d ) ανεπηρέαστη! Βλέπουµε εποµένωνς, ότι ο τύπος του d Alembert µας λέει το εξής : Η επίδραση της αρχικής ϑέσης h είναι να µας δώσει δύο κύµατα που ταξιδεύουν σε αντίθετες κατευθύνσεις µε ταχύτητα c το κάθε ένα και πλάτος ίσο µε το µισό του αρχικού πλάτους. Η επίδρση της αρχικής ταχύτητας g είναι να µας δώσει ένα κύµα το οποίο απλώνεται µε ταχύτητα c και στις δύο κατευθύνσεις. Ετσι, µέρος του κύµατος µπορεί να καθυστερεί, αν υπάρχει αρχική ταχύτητα, αλλά κανένα µέρος του κύµατος δεν µπορεί να ταξιδέψει µε ταχύτητα µεγαλύτερη της c. Ο παραπάνω ισχυρισµός, είναι γνωστός και ως αρχή της αιτιότητας.

14 Κεφάλαιο 5. Προβλήµατα Αρχικών Τιµών. Προσοχή. Στο επίπεδο (x, t) δεν µπορούµε να απεικονίσουµε την u. Τα συµπεράσµατα τα ϐγάζουµε µελετώντας το χαρακτηριστικό τρίγωνο σε συνδυασµό µε τον τύπο του d Alembert. Επίσης δεν πρέπει να ξεχνάµε ότι το σηµείο (x, t) δεν είναι ένα χωρικό αλλά ένα χωροχρονικό σηµείο : δίνει τη ϑέση x σε µία συγκεκριµένη χρονική στιγµή t. Ετσι, στο διάγραµµα κάθε οριζόντια ευθεία αντιστοιχεί στην ίδια χρονική στιγµή για όλες τις ϑέσεις (είναι ένα στιγµιότυπο) ενώ κάθε κατακόρυφη ευθεία αντιστοιχεί σε µία συγκεκριµένη ϑέση για κάθε χρονική στιγµή. Εχοντας καταλάβει πως επηρεάζεται ένα σηµείο (x p ) από τις αρχικές συνθήκες, µπορούµε τώρα να ϑέσουµε ένα νεό ερώτηµα : Αν δώσουµε αρχικές συνθήκες εκτός του χωρίου εξάρτησης, σε ποια χρονική στιγµή ϑα επηρεαστεί η λύση στο χωρικό σηµείο x p από αυτές τις αρχικές συνθήκες ; ή ακόµη πιο γενικά ποια σηµεία (x, t) µπορούν να επηρεαστούν αν δώσουµε αρχικά δεδοµένα σε κάποιο τυχαίο σηµείο (ξ, ) πάνω στον άξονα των x; Είναι προφανές ότι η απάντηση στο δεύτερο ερώτηµα δίνει την απάντηση και στο πρώτο. Η απάντηση στο δεύτερο ερώτηµα δίνεται αν ϑεωρήσουµε τις χαρακτηριστικές ευθείες που περνούν από το σηµείο (ξ, ) και όλα τα σηµεία στο χωρίο που αυτές σχηµατίζουν και που το ονοµάζουµε χωρίο I, όπως ϕαίνεται και στο σχήµα (5.). Οι εξισώσεις των χαρακτηριστικών ευθειών είναι προφανώς οι : x ct = ξ, x + ct = ξ Τώρα, για κάθε σηµείο (x i, t i ) που ϐρίσκεται στην περιοχή I του σχήµατος (5.) αλλά και πάνω στις χαρακτηριστικές, το σηµείο (ξ, ) ϐρίσκεται στο χωρίο εξάρτησης του. Ετσι, σύµφωνα µε την παραπάνω συζήτηση οποιαδήποτε αρχική συνθήκη στο σηµείο (ξ, ) ϑα επηρεάζει τη λύση στο (x i, t i ). Επίσης είναι εύκολο να δει κανείς ότι το (ξ, ) δεν ϐρίσκεται στο χωρίο εξάρτησης κανενός άλλου σηµείου στο (x, t) επίπεδο, πέραν αυτών που ϐρίσκονται στην περιοχή I και τις χαρακτηριστικές ευθείες. Σχήµα 5.: Σηµεία που επηρεάζονται από τις αρχικές συνθήκες πάνω στο σηµείο (ξ, ) Εχοντας απαντήσει στο δεύτερο ερώτηµα η απάντηση στο πρώτο είναι τώρα εύκολη και γραφικά δίνεται ως εξής από το σχήµα (5.3):

5.. Το ΠΑΤ της Κυµατικής Εξίσωσης. 15 Σχήµα 5.3: Σηµεία που επηρεάζονται από τις αρχικές συνθήκες πάνω στο σηµείο (ξ, ) Φέρνουµε από το σηµείο, ας το ονοµάσουµε x 1, το οποίο ϐρίσκεται εκτός του χωρίου εξαρτήσεως του σηµείου (x p ) τη χαρακτηριστική ευθεία και ϐλέπουµε που αυτή τέµνει την κατακόρυφη ευθεία (x, t) = (x p, t). Από το σχήµα ϕαίνεται ότι το σηµείο τοµής είναι το (x p, t i ). Άρα, τη χρονική στιγµή t i που είναι µεγαλύτερη της t p ϑα έχει ϕτάσει η πληροφορία στο σηµείο x p από το σηµείο x 1. Σχήµα 5.4: Εξάπλωση ενός κύµατος από το ϱίξιµο πέτρας σε λίµνη Πριν προχωρήσουµε παρακάτω αξίζει να κάνουµε την εξής παρατήρηση : η όλη µελέτη µας έχει στεφθεί µε επιτυχία επειδή οι χαρακτηριστικές είναι αφενός ευθείες και αφετέρου οι κλίσεις είναι µόνο δύο είτε 1 c είτε 1 c. Εξαιτίας αυτού, όταν µελετάµε τα σηµεία τα οποία επηρεάζονται από το (ξ, ) σχηµατίζεται ένας κώνος (εδώ έχουµε µία µόνο χωρική διάσταση και έτσι το σχήµα είναι τρίγωνο και όχι κώνος, αλλά συνηθίζεται κατά τη µελέτη εξάπλωσης κυµατικών ϕαινοµένων να χρησιµοποιείται η ορολογία κώνος) από τις δύο χαρακτηριστικές που ξεκινούν από το (ξ, ). Ο κώνος αυτός εκφράζει το γεγονός ότι η ταχύτητα διάδοσης του κύµατος είναι πεπερασµένη, σταθερή, ίση µε c, και διαδίδεται δεξιά και αριστερά του σηµείου x p (το ότι οι κλίσεις είναι ± 1 c και όχι ±c οφείλεται καθαρά και µόνο

16 Κεφάλαιο 5. Προβλήµατα Αρχικών Τιµών. στην επιλογή των αξόνων και στο ότι ο άξονας των χρόνων είναι ο άξονας των y ). Για να καταλάβουµε καλύτερα την ορολογία κώνος δίνουµε το σχήµα (5.4) στο οποίο ϕαίνεται η διάδοση ενός κύµατος που δηµιουργείται από το ϱίξιµο µία πέτρας σε µία λίµνη. Στο (a) του σχήµατος ϕαίνεται η επιφάνεια της λίµνης στο (b) του σχήµατος ϕαίνεται που έχει ϕτάσει η διαταραχή κάθε χρονική στιγµή, δηλαδή έχουµε µία διαδοχή στιγµιοτύπων, ενώ στο (c) του σχήµατος ϕαίνεται πως τελικά στο χωροχρονικό διάγραµµα προκύπτει ο κώνος διάδοσης αν τοποθετήσουµε τα στιγµιότυπα το ένα πάνω στο άλλο µε διάταξη που καθορίζεται από την αύξηση του χρόνου. Το ότι το παράδειγµα δεν αντιστοιχεί σε µονοδιάστατη αλλά δισδιάστατη διάδοση κύµατος δεν αλλάζει σε τίποτα την όλη συζήτηση ίσα ίσα την κάνει πιο ϱεαλιστική Μετά την παραπάνω παρένθεση ϑέλουµε να απαντήσουµε στο εξής ερώτηµα που κατά κάποιο τρόπο αποτελεί τη γενίκευση των δύο προηγουµένων : ποια σηµεία του (x, t) επιπέδου επηρεάζονται αν δώσουµε αρχικές συνθήκες σε ένα διάστηµα [a, b] του x άξονα ; Το σύνολο όλων αυτών των σηµείων που επηρεάζονται ϑα το ονοµάσουµε Πεδίο Επιρροής (Region og Influence) του διαστήµατος [a, b]. Σύµφωνα µε ότι έχουµε πει µέχρι τώρα ένα τυχαίο σηµείο (x i, t i ) ανήκει στο πεδίο επιρροής του [a, b] αν ισχύει ότι [x i ct i, x i + ct i ] [a, b] (δηλαδή, αν υπάρχουν σηµεία του [a, b] τα οποία ανήκουν στο χωρίο εξάρτησης της u στο σηµείο (x i, t i )). Θα πρέπει εποµένως να ισχύει ότι x ct b, και x + ct a Στο σχήµα (5.5) ϕαίνεται το πεδίο επιρροής του διαστήµατος [a, b] το οποίο αποτελείται από τις πε- ϱιοχές I, II, III και IV. Ειναι δηλαδή η περιοχή που καθορίζεται από τη ϐάση [a, b] και τα άκρα x + ct = a, x ct = b. Σχήµα 5.5: ΠΕδίο Επιρροής του διαστήµατος [a, b] Γενικά, σύµφωνα µε ότι έχουµε συζητήσει ως τώρα, µπορούµε να πούµε ότι αν τα αρχικά δεδοµένα h και g εξαφανίζονται για x > R, τότε, u(x, t) = για x > R +ct. Με άλλα λόγια το πεδίο επιρροής ενός διαστήµατος x R είναι το χωρίο x R + ct. Για να κατανοήσουµε τη σηµασία του πεδίου επιρροής αρκεί να καταλάβουµε ότι αν για κάποιο λόγο οι αρχικές τιµές h και g µηδενίζονται εκτός ενός κλειστού διαστήµατος [a, b], τότε η διαταραχή της χορδής ϑα είναι µηδέν σε κάθε σηµείο εκτός του πεδίου επιρροής του διαστήµατος [a, b] (Ας µη ξεχνούµε ότι ϑεωρούµε άπειρη χορδή) Τέλος, ας ϑεωρήσουµε τα σηµεία αυτά τα οποία ανήκουν στην περιοχή IV και ας ονοµάσουµε ένα τέτοιο σηµείο (x j, t j ). Το χαρακτηριστικό τρίγωνο κάθε τέτοιου σηµείου ϑα έχει προφανώς x j +ct j a και x j ct j b. Εάν εµείς δώσουµε αρχικά δεδοµένα h, g τα οποία µηδενίζονται εκτός του διαστήµατος

5.. Το ΠΑΤ της Κυµατικής Εξίσωσης. 17 [a, b], τότε προφανώς x j +ct j u(x j, t j ) = 1 [ h(xj + ct j ) + h(x j ct j ) ] + 1 g(s)ds (5..16) c x j ct j όπου λόγω της υπόθεσης µηδενισµού της h εκτός του διαστήµατος [a, b] ϑα ισχύει ότι h(x j + ct j ) = h(x j ct j ) = ενώ για αντίστοιχους λόγους (µηδενισµός της g εκτός του [a, b]) ϑα ισχύει ότι τα όρια του ολοκληρώµατος ϑα είναι από a ως b. ηλαδή, για όλα τα σηµεία στο εσωτερικό της περιοχής IV η λύση ϑα είναι της µορφής b u(x j, t j ) = 1 g(s)ds, x c j IV (5..17) a που σηµαίνει ότι η λύση για αυτά τα σηµεία δεν εξαρτάται από το χρόνο! 5..1.ii Ενέργεια Θεωρούµε µία χορδή απείρου µήκους µε σταθερή πυκνότητα ρ και τάση T. Τότε όπως γνωρίζουµε από την παραγωγή της κυµατικής εξίσωσης ισχύει, ρ u = T u, < x < (5..18) x Σκοπός µας είναι να υπολογίσουµε την ενέργεια της χορδής κατά τη διάρκεια µετάδοσης του κύµατος. Η κινητική ενέργεια δίνεται από τον τύπο : E K = 1 ρ ( ) u dx (5..19) που αποτελεί, την κατάλληλη για την περίπτωση, γενίκευση του τύπου E k = 1 mv της δυναµικής του υλικού σηµείου. Επειδή το ολοκλήρωµα είναι γενικευµένο µε όρια το ± είναι γεγονός πως ϑα πρέπει να είµαστε προσεκτικοί στον ορισµό των αρχικών συνθηκών h και g και έτσι απαιτούµε αυτές να µηδενίζονται εκτός ενός πεπερασµένου διαστήµατος [a, b] ώστε το γενικευµένο ολοκλήρωµα να συγκλίνει. Άρα, σύµφωνα µε την µελέτη της προηγούµενης παραγράφου, ϑα ισχύει ότι η u(x, t), άρα και η u (x, t), ϑα µηδενίζονται για x ct > b, και x + ct < a Η περιοχή αυτή ϕαίνεται στο σχήµα (5.6)

18 Κεφάλαιο 5. Προβλήµατα Αρχικών Τιµών. Σχήµα 5.6 Συµβολικά γράφουµε u = u = u = u = Μας ενδιαφέρει τώρα η χρονική παράγωγος της E k η οποία δίνει d dt (E ) = ρ k = T u ( u u x ) ( ) u dx = T T ( u x ( u ) ( u x ) ( ) u x dx = ) dx (5..) όπου η δεύτερη ισότητα στην πρώτη γραµµή προέκυψε λόγω του ότι ρ u = T u x από την κυµατική εξίσωση, ενώ η ισότητα της δεύτερης γραµµής προέκυψε λόγω παραγωντικής ολοκλήρωσης. Αν ϑυµηθούµε την απαίτηση για την ασυµπτωτική συµπεριφορά της u και της χρονικής της παραγώγου στο άπειρο, τότε ο πρώτος όρος της δεύτερης γραµµής µηδενίζεται. Εδώ, πρέπει να προσεχτεί ότι δεν µπορούµε να απαιτήσουµε u x = u x = διότι κάποια στιγµή η διαταραχή ϑα ϕτάσει και το άπειρο. Τελικά, µένουµε µε την εξής σχέση για τη χρονική παράγωγο της E k d dt (E k ) = T στην οποία µπορούµε να παρατηρήσουµε ότι ( ) ( ) u u dx (5..1) x x ( ) ( ) [ ( u u u = 1 ) ] x x x

5.. Το ΠΑΤ της Κυµατικής Εξίσωσης. 19 εποµένως Ονοµάζουµε την ποσότητα d dt (E ) = d k dt 1 T 1 T υναµική Ενέργεια και τη συµβολίζουµε µε E Δ και έτσι ϐλέπουµε πως Την ποσότητα ( ) u dx (5..) x ( ) u dx (5..3) x d dt (E k ) + d dt (E Δ ) = d dt (E k + E Δ ) = (5..4) E k + E Δ = 1 [ ρ ( ) u + T ( ) ] u dx > (5..5) x η οποία είναι σταθερή και ανεξάρτητη του χρόνου την ονοµάζουµε Ενέργεια της Χορδής και αν τη συµβολίσουµε µε E, δείξαµε ότι δηλαδή το νόµο διατήρησης της ενέργειας. de dt = (5..6) 5.. Η Μη-Οµογενής Κυµατική Εξίσωση. Αν ϑεωρήσουµε πάλι την κυµατική διάδοση σε ένα οµογενές ελαστικό µέσο, αλλά δεν αφήσουµε πλέον τη διαταραχή να διαδίδεται µόνη της και επηρεάζουµε το σύστηµα µε ένα εξωτερικό αίτιο τότε προκύπτει η µη οµογενής κυµατική εξίσωση και το αντίστοιχο µη-οµογενές ΠΑΤ είναι το u c u = F (x, t), x < x < +, t > (5..7) u(x, ) = h(x), < x < + (ΑΣ 1) (5..8) u(x, ) = g(x), < x < + (ΑΣ ) (5..9) όπου F (x, t) είναι το εξωτερικό αίτιο το οποίο επηρεάζει το σύστηµα και το οποίο µπορεί να είναι συνάρτηση τόσο της χωρικής µεταβλητής x, όσο και της χρονικής µεταβλητής t.

Κεφάλαιο 5. Προβλήµατα Αρχικών Τιµών. Μοναδικότητα Λύσης. Το πρώτο που ϑα δείξουµε είναι ότι αν το παραπάνω ΠΑΤ έχει λύση, τότε η λύση αυτή είναι µοναδική. Πράγµατι, έστω ότι υπάρχουν δύο λύσεις αυτού του ΠΑΤ η u 1 και η u. Εξαιτίας της γραµµικότητας της διαφορικής εξίσωσης γνωρίζουµε ότι η διαφορά τους, u = u 1 u ικανοποιεί την οµογενή κυµατική εξίσωση. Για την ακρίβεια είναι εύκολο να δειχθεί ότι η u ικανοποιεί το παρακάτω ΠΑΤ u c u =, x < x < +, t > (5..3) u(x, ) =, < x < + (ΑΣ 1) (5..31) u(x, ) =, < x < + (ΑΣ ) (5..3) (π.χ. u(x, ) = u 1 (x, ) u (x, ) = h(x) h(x) = ) Από τον τύπο του d Alembert τώρα είναι εύκολο να δειχθεί ότι η µοναδική λύση του συγκεκριµένου ΠΑΤ είναι η Άρα, u(x, t) = u(x, t) = u 1 (x, t) u (x, t) = u 1 (x, t) = u (x, t) (5..33) Η απόδειξη αυτή εύκολα γενικεύεται για παραπάνω από δύο διαφορετικές λύσεις, ϑεωρώντας τη διαφορα δύο από αυτές κάθε ϕορά. Κατασκευή Λύσης. Για την κατασκευή της λύσης του µη οµογενούς ΠΑΤ της κυµατικής εξίσωσης ϑα ακολουθήσουµε τη µέθοδο µε τη χρήση του ϑεωρήµατος Green στο επίπεδο. Θα ϑεωρήσουµε ένα τυχαίο σηµείο (x p ) στο (x, t) επίπεδο και ϑα υπολογίσουµε το εξής ολοκλήρωµα Δ F (x, t)dxdt = Δ ( ) c u x u όπου είναι το χαρακτηριστικό τρίγωνο του σηµείου (x p ) όπως ϕαίνεται και στο σχήµα (5.7) (5..34) Σχήµα 5.7: Το χαρακτηριστικό τρίγωνο του σηµείου (x p )

5.. Το ΠΑΤ της Κυµατικής Εξίσωσης. 1 Το ϑεώρηµα Green για ένα χωρίο Ω του επιπέδου δίνει ( Q x P ) dxdt = (P dx + Qdt) Ω Ω όπου Q = Q(x, t), P = P (x, t) και µε το συµβολισµό Ω εννοούµε το σύνορο του χωρίου Ω. Στην περίπτωση µας το χωρίο Ω είναι το χαρακτηριστικό τρίγωνο του σχήµατος (5.7) (αντίστοιχα του σχήµατος (5.8) ) και τότε όπως ϕαίνεται στο σχήµα (5.8) = B + R + L. Για να εφαρµόσουµε το ϑεώρηµα Green στην περίπτωση µας, ϑεωρούµε ότι Q x P = u. Ετσι, που δίνει Q = c u x, u P = = c u x και ότι Σχήµα 5.8: Το χαρακτηριστικό τρίγωνο του σηµείου (x p ) Δ F (x, t)dxdt = Δ = B [ ] u u dx + c x dt = + R + Υπολογίζουµε τώρα το κάθε επικαµπύλιο ολοκλήρωµα ξεχωριστά Βάση B: B L [ ] u u dx + c x dt Στη ϐάση B ισχύει πως dt =, άρα, το ολοκλήρωµα γίνεται B [ ] u u dx + c x dt = B [ ] u u dx + c x dt u (x, )dx = x p +ct p (5..35) x p ct p g(x)dx (5..36)

Κεφάλαιο 5. Προβλήµατα Αρχικών Τιµών. διότι όπως ϕαίνεται και από το σχήµα (5.8), ϐάση B έχει όρια τα σηµεία x p ct p και x p + ct p ενώ η δεύτερη ισότητα οφείλεται στην αρχική συνθήκη για την ταχύτητα. εξιά Πλευρά R: R [ ] u u dx + c x dt Η δεξιά πλευρά R, περιγράφεται από την εξίσωση x + ct = x p + ct p, άρα dx + cdt = dx = cdt. Ετσι, [ ] [ u u dx + c x dt = u ] [ u cdt + c x dt = u ] cdt + cu x cdt = R R R [ ] u u = c dt + x dx = c du = Αριστερή Πλευρά L: R = c [ u(x p ) u(x p + ct p, ) ] = R = c [ h(x p + ct p ) u(x p ) ] (5..37) L [ ] u u dx + c x dt Η αριστερή πλευρά L, περιγράφεται από την εξίσωση x ct = x p ct p, άρα dx cdt = dx = cdt. Ετσι, [ ] [ ] [ ] u u u dx + c x dt u u = cdt + c x dt = cdt + cu x cdt = L L L [ ] u u = c dt + x dx = c du = L = c [ u(x p ct p, ) u(x p ) ] = L = c [ h(x p ct p ) u(x p ) ] (5..38) Μαζεύοντας τις συνεισφορές από κάθε πλευρά του χαρακτηριστικού τριγώνου προκύπτει τελικά Δ F (x, t)dxdt = x p +ct p x p ct p u(x p ) = h(x p + ct p ) + h(x p ct p ) [ g(x)dx + c h(xp + ct p ) + h(x p ct p ) u(x p ) ] x p +ct p + 1 g(x)dx + c x p ct p 1 c Δ F (x, t)dxdt (5..39) και αυτός ο τύπος ονοµάζεται τύπος του d Alembert. Παρατηρούµε ότι αποτελείται από δύο µέρη το πρώτο το οποίο είναι η λύση του οµογενούς ΠΑΤ και το δεύτερο, που περιλαµβάνει το εξωτερικό αίτιο F (x, t), το οποίο είναι η συνεισφορά του µη οµογενούς όρου.

5.. Το ΠΑΤ της Κυµατικής Εξίσωσης. 3 Παρατηρήσεις Παρατήρηση-1: Τονίζουµε ότι το σηµείο (x p ) είναι ένα τυχαίο σηµείο στο (x, t) επίπεδο και όχι κάποιο ϊδιάιτερο σηµείο. Παρατήρηση-: Προφανώς για F (x, t) = ο παραπάνω τύπος δίνει τη λύση για το οµογενές ΠΑΤ της κυµατικής εξίσωσης. Παρατήρηση-3: Η u στο σηµείο (x p ) εξαρτάται πλέον από τα δεδοµένα σε όλο το χαρακτηριστικό τρίγωνο λόγω της ύπαρξης του όρου F (x, t)dxdt. Η αναλυτική έκφραση του διπλού ολοκληρώµατος F (x, t)dxdt είναι η Δ Δ Δ x p +c(t p t) t p F (x, t)dtdx = F (x, t)dxdt (5..4) x p c(t p t) και προκύπτει αν ολοκληρώσουµε πρώτα ως προς τα οριζόντια ευθύγραµµα τµήµατα στο χαρακτη- ϱιστικό τρίγωνο, όπως ϕαίνεται στο σχήµα (5.7) και κατόπιν κατακόρυφα. Ετσι, δεδοµένου ότι η πλευρά R έχει αναλυτική εξίσωση x = x p + c(t p t) και η πλευρά L έχει αναλυτική εξίσωση x = x p c(t p t) το οριζόντιο ευθύγραµµο τµήµα σε µία τυχαία στιγµή t 1 ϑα ξεκινά από το σηµείο x p c(t p t 1 ) και ϑα καταλήγει στο σηµείο x p + c(t p t 1 ). Αυτός είναι ο τρόπος µε τον οποίο προκύπτουν τα όρια ολοκλήρωσης. Επαλήθευση Λύσης. Η παραπάνω αναλυτική έκφραση δεν εξυπηρετεί απλώς ακαδηµαϊκούς σκοπούς αλλά είναι αναγκαία αν ϑέλουµε να δείξουµε ότι η λύση που κατασκευάσαµε όντως ικανοποιεί το ΠΑΤ της µη οµογενούς κυµατικής εξίσωσης. Εξαιτίας της γραµµικότητας του διαφορικού τελεστή της κυµατικής εξίσωσης είναι αρκετό να δείξουµε ότι η συνάρτηση v(x, t) = 1 c Δ F (ξ, r)dξdr = 1 t x+c(t r) F (ξ, r)dξdr (5..41) c x c(t r) είναι λύση του ΠΑΤ v c v = F (x, t), x < x < +, t > (5..4) v(x, ) =, < x < + (ΑΣ 1) (5..43) v(x, ) =, < x < + (ΑΣ ) (5..44) Πράγµατι, αυτό συµβαίνει διότι η u(x, t) µπορεί να γραφτεί ως το άθροισµα τριών όρων u = u h +u g +u F

4 Κεφάλαιο 5. Προβλήµατα Αρχικών Τιµών. όπου h(x + ct) h(x ct) u h = (5..45) u g = 1 x+ct g(s)ds (5..46) c u F = 1 c x ct Δ F (ξ, r)dξdr (5..47) Οι δύο πρώτοι όροι, όχι µόνο λύνουν το οµογενές ΠΑΤ για την κυµατική εξίσωση, αλλά ο καθένας από αυτούς λύνει και ένα υποπρόβληµα : Ο u h το ΠΑΤ για την h, δηλαδή το ΠΑΤ Ο u g το ΠΑΤ για την g, δηλαδή το ΠΑΤ u c u =, x < x < +, t > (5..48) u(x, ) = h(x), < x < + (ΑΣ 1) (5..49) u(x, ) =, < x < + (ΑΣ ) (5..5) u c u =, x < x < +, t > (5..51) u(x, ) =, < x < + (ΑΣ 1) (5..5) u(x, ) = g(x), < x < + (ΑΣ ) (5..53) όπως πολύ εύκολα µπορείτε να επαληθεύσετε. Ετσι για να είναι η u(x, t) λύση του µη οµογενούς ΠΑΤ αρκεί να δείξουµε ότι η u F = v(x, t) ικανοποιεί το ΠΑΤ (5..4-5..44), εφόσον u = u h + u g + u F. Προχωρούµε πλέον στην απόδειξη του ότι όντως η v(x, t) λύνει το ΠΑΤ (5..4-5..44). Καταρχάς, για t = v(x, ) = όπως πολύ εύκολα ϕαίνεται από τον τύπο (5..41), άρα ικανοποιείται η µία από τις δύο αρχικές συνθήκες. Θέλουµε τώρα να υπολογίσουµε την έκφραση v(x, t) = 1 c Δ F (ξ, r)dξdr = 1 c x+c(t r) t x c(t r) F (ξ, r)dξdr (5..54) (Παρατηρείστε ότι αλλάξαµε τη σειρά ολοκλήρωσης για να διευκολυνθούµε στους υπολογισµούς. Γνωρίζουµε ότι για ολοκληρώµατα που συµπεριφέρονται καλά η σειρά ολοκλήρωσης δεν παίζει ϱόλο!) Για να υπολογιστούν οι παραπάνω παραγωγίσεις, επειδή και τα όρια των ολοκληρωµάτων εξαρτώνται από τη µεταβλητή παραγώγισης, πρέπει να ϑυµηθούµε τον τύπο b(t) a(t) G(ξ, t)dξ = G(b(t), t)b (t) G(a(t), t)a (t) + b(t) a(t) G(ξ, t)dξ (5..55)

5.. Το ΠΑΤ της Κυµατικής Εξίσωσης. 5 όπου, χρησιµοποιήσαµε το συµβολισµό a (t) = da(t) dt δική µας περίπτωση δίνει και αντίστοιχα για την b (t). Η αντιστοιχία µε τη και t G(ξ, t) = 1 F (ξ, r)dr (5..56) c a(t) = x c(t r) a (t) = c (5..57) b(t) = x + c(t r) b (t) = c (5..58) οπότε, G(b(t), t) = G [x + c(t r), t] = 1 c G(a(t), t) = G [x c(t r), t] = 1 c Ετσι, οι δύο πρώτοι όροι της εφαρµογής του τύπου (5..55) δίνουν ενώ για τον τρίτο όρο, δηλαδή τον ισχύει πως G(ξ, t) = 1 c t t F [x + c(t r), r] dr (5..59) F [x c(t r), r] dr (5..6) 1 t [F [x + c(t r), r] + F [x c(t r), r]] dr (5..61) t b(t) a(t) F (ξ, r)dr = 1 c Οµως, αν η µεταβλητή r πάρει την τιµή t, τότε δηλαδή, b(t) a(t) G(ξ, t)dξ [ F (ξ, t)t F (, t) ] = 1 F (ξ, t) (5..6) c a(t) r=t = x c(t t) = x (5..63) b(t) r=t = x + c(t t) = x (5..64) G(ξ, t)dξ = 1 c x x F (ξ, t)dξ = (5..65)

6 Κεφάλαιο 5. Προβλήµατα Αρχικών Τιµών. Τελικά, v(x, t) t = 1 [F [x + c(t r), r] + F [x c(t r), r]] dr (5..66) Προφανώς, v(x,) = και εποµένως ικανοποιείται και η δεύτερη αρχική συνθήκη. Μένει πλέον να δείξουµε ότι ικανοποιείται και η κυµατική εξίσωση. Χρειάζεται έτσι, καταρχάς, να υπολογίσουµε την v = ( v ), η οποία δίνει v = 1 t [F [x + c(t r), r] + F [x c(t r), r]] dr = 1 [F (x, t) + F (x, t)] + 1 = F (x, t) + 1 = F (x, t) + c t t t [F [x + c(t r), r] + F [x c(t r), r]] dr = { (x + c(t r)) F [x + c(t r), r] + (x + c(t r)) + (x c(t r)) { F [x + c(t r), r] + (x + c(t r)) F [x c(t r), r] (x c(t r)) } dr = } + F [x c(t r), r] dr (5..67) (x c(t r)) όµως, F [x + c(t r), r] = F [x + c(t r), r] (x + c(t r)) x F [x + c(t r), r] = F [x c(t r), r] (x c(t r)) x και έτσι, v == F (x, t) + c t { } F [x + c(t r), r] + + F [x c(t r), r] dr (5..68) x x Μένει τώρα να υπολογίσουµε την v x v(x, t) x και για αυτό ξεκινάµε µε την v x. = 1 x+c(t r) t F (ξ, r)drdξ (5..69) c x x c(t r)

5.. Το ΠΑΤ της Κυµατικής Εξίσωσης. 7 όπου αλλάξαµε τη σειρά ολοκλήρωσης για να διευκολυνθούµε στον υπολογισµό της παραγώγου. Θα εφαρµόσουµε πάλι τον τύπο (5..55) όπου η µεταβλητή παραγώγισης είναι πλέον η x. Επειδή το t F (ξ, r)dr δεν εξαρτάται καθόλου από το x και εφόσον προκύπτει ότι Τέλος, v(x, t) x v(x, t) x = 1 c = 1 c t a(x) = x c(t r) a x = 1 b(x) = x + c(t r) b x = 1 t {F [x + c(t r), r] F [x c(t r), r]} dr (5..7) { } F [x + c(t r), r] F [x c(t r), r] dr (5..71) x x Μαζεύοντας όλα τα προηγούµενα αποτελέσµατα είναι προφανές ότι v c v = F (x, t) x και δεδοµένου πως η v ικανοποιεί και τις αρχικές συνθήκες (5..43,5..44 ) µόλις δείξαµε ότι η v είναι όντως η λύση του ΠΑΤ (5..4-5..44 ) Ασκηση 5.1. Η εξίσωση που ικανοποιεί ένα σφαιρικό κύµα (µία λύση της τρισδιάστατης κυµατικής εξίσωσης της µορφής u(t, r) όπου r είναι η απόσταση από την αρχή) είναι η ( u = u c r + ) u (5..7) r r Να λυθεί το ΠΑΤ αυτής της εξίσωσης µε αρχικές συνθήκες } u(r, ) = Φ(r) u(r,) < r < = Ψ(r) όπου Φ(r), Ψ(r) άρτιες συναρτήσεις. (Υπόδειξη : Να αλλάξετε άγνωστη συνάρτηση ϑεωρώντας το µετασχηµατισµό v(r, t) = ru(r, t) και να δείξετε ότι v = c v r ) [ Απάντηση : ] u(r, t) = 1 1 [(r + ct)φ(r + ct) + (r ct)φ(r ct)] + r cr r+ct r ct sψ(s)ds

8 Κεφάλαιο 5. Προβλήµατα Αρχικών Τιµών. Ασκηση 5.. Να λυθεί το ΠΑΤ και να υπολογιστεί η [ u(, 1 6 ). Απάντηση : u(, 1 6 ) = 7 ] 6 Ασκηση 5.3. Να λυθεί το ΠΑΤ [ Απάντηση : u u 9 =, < x <, t > x { (5..73) 1 x u(x, ) = h(x) = x > { (5..74) u(x, ) 1 x = g(x) = x > (5..75) v c v x = ex e x, < x < +, t > (5..76) v(x, ) = x, < x < + (ΑΣ 1) (5..77) v(x, ) = sin x, < x < + (ΑΣ ) (5..78) ] u(x, t) = x + 1 3 sin x sin(3t) 9 sinh x + sinh x cosh(3t) 9 Ασκηση 5.4. Να λυθεί το ΠΑΤ ως εξής v v x = t7, < x < +, t > (5..79) v(x, ) = x + sin x, < x < + (ΑΣ 1) (5..8) v(x, ) =, < x < + (ΑΣ ) (5..81) 1. Πρώτα να λυθεί το µη οµογενές υποθέτοντας µία µερική λύση του µη οµογενούς της µορφής v(x, t) = v(t) = At n.. Μετά, να υποθέσετε ότι για τη λύση ισχύει u(x, t) = w(x, t) + v(t) όπου w(x, t) είναι λύση της οµογενούς και µε κατάλληλη προσαρµογή των ΑΣ να λυθεί το οµογενές ΠΑΤ που προκύπτει για την w.

5.. Το ΠΑΤ της Κυµατικής Εξίσωσης. 9 [ Απάντηση : ] u(x, t) = x + sin x cos t + t9 7 Ασκηση 5.5 (Σηµαντική!). Θεωρείστε το µη οµογενές ΠΑΤ για την κυµατική εξίσωση. είξτε ότι αν οι αρχικές συνθήκες h, g είναι άρτιες συναρτήσεις και ότι αν επίσης t η F (x, t) είναι άρτια, τότε και η λύση u(x, t) του ΠΑΤ ϑα είναι επίσης άρτια. Το αντίστοιχο να δειχθεί για την περίπτωση περιττών και την περίπτωση περιοδικών (µε περίοδο L) h, [ g και L. Υπόδειξη : ] Αν f(x) = ±f( x) df(x) dx Αν f(x) = f(x + L) df(x) dx = df( x) dx df(x + L) = dx Ασκηση 5.6 (Σηµαντική!). Αν η οµογενής κυµατική εξίσωση έχει λύση την u(x, t) να δειχθεί ότι ισχύουν τα εξής : 1. Τότε και η µετατοπισµένη u(x y, t), όπου y σταθερά και όχι µεταβλητή είναι επίσης λύση.. Οποιαδήποτε παράγωγος της u (π.χ. u t, u x, u xx,... ) είναι επίσης λύση. 3. Η u(ax, at) είναι επίσης λύση, για οποιαδήποτε σταθερά a,