ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ"

Ευφημία Ουζουνίδης
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Mαίου 8 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας από τον Φοιτητή: Μαίου 8 χωρίς παράταση! Η πρώτη άσκηση της 6 ης Εργασίας αναφέρεται στις σειρές Fourier. Με το κεφάλαιο αυτό έχει καλυφθεί η ύλη της ΠΛΗ. Οι υπόλοιπες ασκήσεις είναι επαναληπτικές στην ύλη της Γραµµικής Αλγεβρας και του Λογισµού µιάς µεταβλητής. Στην εργασία αυτή δεν έχουν περιληφθεί επαναληπτικές ασκήσεις στην ύλη των Πιθανοτήτων (επαναλάβετε τις αντίστοιχες ασκήσεις της 4 ης και 5 ης εργασίας) καθώς η ηµεροµηνία παράδοσης της 6 ης εργασίας έχει µετατεθεί πιο νωρίς λόγω της ηµεροµηνίας της τελικής εξέτασης που είναι η 7 η Ιουνίου. Ασκηση ( µονάδες) (Ενότητα και ΣΕΥ, σειρές Fourier) (α) (8 µον.) Να βρεθεί η σειρά Fourier της π-περιοδικής συνάρτησης f η οποία στο διάστηµα για -π < [-π,π) ορίζεται ως εξής : f( ). π για < π (β) ( µον.) να εξεταστεί πού συγκλίνει η σειρά Fourier της f για τις τιµές του στο διάστηµα [-π,π]. (α) Σύµφωνα µε τη θεωρία (ΣΕΥ, σειρές Fourier, σελ. ) το ανάπτυγµα Fourier της f δίδεται από την τριγωνοµετρική σειρά: ( cos( ) si( )) a b όπου: a ( ), ( )cos( ), ( )si( ),. f d a f d b f d Υπολογίζουµε τους συντελεσυστές: π π π a ( ) ( ( ) ( ) ) ( ( ) ) f d f d f d d π d π π π π π π π ( ) π d π π π π 4

2 Για,, π π π a f( )cos( ) d ( f( )cos( ) d f( )cos( ) d) ( π )cos( ) d π π Υπολογίζουµε το αόριστο ολοκλήρωµα: si( ) si( ) si( ) ( )cos( ) ( ) ( ) ( ) π d π d π π d si( ) si( ) si( ) cos( ) ( π ) d ( π ) si( ) cos( ) cos( π ) ( ) Οπότε a ( π ) ( ) π π π π π π π b f( )si( ) d ( f( )si( ) d f( )si( ) d) ( π )si( ) d π π π ( ) si( ) Η σειρά Fourier της f είναι: cos( ). 4 π (β) ( µον.) Η σειρά Fourier της f συγκλίνει στην τιµή f() για τις τιµές του στο διάστηµα [-π,π] εκτός από την περίπτωση όπου η σειρά συγκλίνει στην τιµή π/(ηµιάθροισµα πλευρικών ορίων της f. Ασκηση (5 µονάδες) - ( Γραµµικοί χώροι-υπόχωροι, Γραµµικές Απεικονίσεις ) α) ( 5 µονάδες) a b είξτε ότι το υποσύνολο Μ, b a d, a, b, d του διανυσµατικού χώρου d των πινάκων µε πραγµατικούς συντελεστές είναι διανυσµατικός υπόχωρος και βρείτε µία βάση και τη διάσταση αυτού. β) ( µονάδες) Θεωρούµε τη γραµµική απεικόνιση g g y z z y z :, (,, ) (,, ) Να δοθεί ο πίνακας αναπαράστασης της g ως προς την συνήθη βάση του Να βρεθούν βάσεις για τον πυρήνα και την εικόνα της g. Είναι η g επί; Είναι η g ένα προς ένα;. Λυση: α) Ενα τυχόν στοιχείο του Μ γράφεται ως a a d a d, άρα d

3 Μ spa, και συνεπώς υπόχωρος του διανυσµατικού χώρου των πινάκων µε πραγµατικούς συντελεστές. Επιπλέον µία βαση του είναι το συνολο, καθώς είναι γραµµικά ανεξάρτητο. dim Μ. β) Ο πίνακας της g ως προς την συνήθη βάση του Βρισκουµε την ανηγµένη κλιµακωτή µορφή του είναι ο από την οποία έχουµε ότι ο Από την ανηγµένη κλιµακωτή µορφή του πίνακα της g έχουµε ότι (, yz, ) Kergαν και µόνο αν z και y zδηλαδή Kerg { z(,,), z } spa {(,,)} µε βάση το µονοσύνολο {(,,)}. ο Η εικόνα της g παράγεται από τα διανύσµατα που αντιστοιχούν στις δύο πρώτες στήλες του πίνακα της g τα οποία είναι και γραµµικά ανεξάρτητα οπότε αποτελούν και βάση της. ηλαδή Im g spa {(,,),(,,)}. Η g δεν είναι επί καθώς Im g είναι γνήσιος υπόχωρος του Η g δεν είναι - καθώς { } Kerg... Ασκηση. ( 7 µον.) (Γραµµικά Συστήµατα, ιαγωνοποίηση) ίνεται το σύστηµα γραµµικών εξισώσεων : y z - - αy z α y αz (α) (5 µον.) Λύστε το σύστηµα για όλες τις τιµές της πραγµατικής παραµέτρου α. (β) ( µον.) Για την τιµή α : (i) Βρείτε τις ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα του πίνακα συντελεστών Α του συστήµατος και διαγωνοποιήστε τον. (ii) Χρησιµοποιώντας την προηγούµενη διαγωνοποίηση υπολογίστε τη -οστή δύναµη Α για κάθε φυσικό αριθµό. (α) Ο ευκολότερος τρόπος είναι να κάνουµε γραµµοπράξεις στο σύστηµά µας, οπότε αφαιρώντας την πρώτη εξίσωση από την τρίτη βρίσκουµε: z, εποµένως, για να υπάρχει α λύση αποκλείουµε την τιµή α. ηλαδή για α το συστηµα είναι αδύνατο. Ακολούθως α αφαιρούµε την πρώτη εξίσωση του συστήµατος από την δεύτερη και παίρνουµε y. α Έτσι, διαχωρίζουµε περιπτώσεις: () α -: y

4 Θεωρώντας και α, αντικαθιστούµε τις ως άνω τιµές των z και y στην πρώτη εξίσωση και βρίσκουµε την µοναδική λύση µε. α () α -: το y είναι αυθαίρετο, το z - και - y, δηλαδή η γενική λύση γράφεται y(-,,)(,,-). (β) (i) Για α ο πίνακας του συστήµατος γίνεται A και οι ιδιοτιµές του βρίσκονται λύνοντας την χαρακτηριστική εξίσωση: ( λ)( λ ) ( λ ). Μία ιδιοτιµή εποµένως είναι η λ -, οι δε άλλες είναι λύσεις της ( λ ), δηλ. λ, λ. Λύνοντας τώρα το σύστηµα: λ u ( A λi) u λ u λ u για λλ, λ, λ, εύκολα βρίσκουµε τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσµατα: () () () u (,, ), u (,,), u (,,) (ii) Άρα ο πίνακας Ρ που διαγωνιοποιεί τον Α µπορεί να γραφεί στην µορφή P, ο δε αντίστροφός του είναι: P Εποµένως, η - οστή δύναµη του Α µπορεί να γραφεί ως εξής: ( ) A P ( ) P ( ) Άσκηση 4 ( µον.) (α) (8 µον.) ίνεται η συνάρτηση f( ),. Προσδιορίστε : (i) Τα τοπικά ακρότατά της και τα διαστήµατα στα οποία είναι αύξουσα ή φθίνουσα. (ii) Τα σηµεία καµπής και τα διαστήµατα στα οποία στρέφει τα κοίλα προς τα πάνω ή προς τα κάτω. (iii) Τα σηµεία τοµής µε τους άξονες. (β) (5 µον.) ίδεται το τρίγωνο το οποίο σχηµατίζεται από την τοµή της ευθείας γραµµής y - /, του άξονα των και του άξονα των y, µαζί µε ένα εγγεγραµµένο ορθογώνιο. 4

5 4 Βρείτε το εµβαδόν του µεγαλύτερου ορθογωνίου το οποίο δύναται να εγγραφεί εντός του δοθέντος τριγώνου. (α) (i) Υπολογίζουµε καταρχάς την παράγωγο της συνάρτησης βρίσκοντας: f ( ), οπότε τα τοπικά ακρότατα δίνονται από τον µηδενισµό της και 5 είναι: ή 5 4/, 4/. Παίρνοντας και την δεύτερη παράγωγο βρίσκουµε f ( ) και συµπεραίνουµε ότι το είναι τοπικό µέγιστο αφού f () < ενώ / 5 ( ) 9 από το ότι f ( ± 4/) >, προκύπτει ότι τα άλλα δύο ακρότατα είναι τοπικά ελάχιστα. Aπό τα αποτελέσµατα αυτά προκύπτει ότι η συνάρτηση είναι αύξουσα στα διαστήµατα >, < < και φθίνουσα στα διαστήµατα <, < <. (ii) Τα σηµεία καµπής προκύπτουν από τον µηδενισµό της δεύτερης παραγώγου / 5 f ( ), / 5 ( ) 9 αφού εύκολα αποδεικνύεται ότι στα σηµεία αυτά δεν µηδενίζεται η τρίτη παράγωγος της f(). H f() στρέφει τα κοίλα προς τα πάνω για <, <, ενώ τα στρέφει προς τα κάτω για < < (iii) Τέλος τα σηµεία τοµής της συνάρτησης µε τους άξονες είναι: Για µεν τον άξονα των y το f() -, για δε τον άξονα των οι πραγµατικές ρίζες της f(), δηλ. 9 4, οπότε βρίσκουµε ± ( 5 4 ) / /. (β) Αν ονοµάσουµε (,y) τις συντεταγµένες της κορυφής του σκιασµένου παραλληλόγραµµου που βρίσκεται πάνω στην υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου τότε 4 και είναι φανερό ότι το εµβαδόν του παραλληλογράµµου µπορεί να γραφεί Ε y. Xρησιµοποιώντας κατόπιν την σχέση y -/ γράφουµε το εµβαδόν αυτό ως µια συνάρτηση µόνο του ως εξής: E ( ) ( ), 4. Ακολούθως υπολογίζουµε την παράγωγο της συνάρτησης αυτής και αναζητούµε τα ακρότατά της: 5

6 E ( ) το οποίο είναι µέγιστο αφού E () <. Άρα το παραλληλόγραµµο µε το µέγιστο εµβαδόν είναι αυτό που έχει πλευρές µήκους και y, δηλ. Ε. Άσκηση 5 (5 µον.) Ορια ακολουθιών - όρια συναρτήσεων (α) (µον.) Να υπολογίσετε τα όρια (i) lim ta u ta( u) (υπόδειξη: µε κατάλληλο µετασχηµατισµό µπορεί να αναχθεί στο lim u u µπορείτε να χρησιµοποιήσετε αναπτύγµατα Taylor). (ii) ( l(l( ) ) lim l lim ( ) (iii) ( / ) για το οποίο (β) (5 µον.) Για την συνάρτηση f() (l ()) si να βρείτε το πεδίο ορισµού και κατόπιν το όριο lim (l ()) si. (α ) (i) Έστω a ta. Θεωρούµε τη συνάρτηση ( ) ta( f ), >. η οποία αποτελεί επέκταση της ακολουθίας {a } στο πεδίο των θετικών πραγµατικών αριθµών. Άρα lim f ( ) lim a. Θέτοντας τώρα u/, στην έκφραση αυτή, οπότε το όριο ανάγεται σε u, παίρνουµε για το ζητούµενο όριο 5 u u u ta (...) ( u) u u 5 lim a lim f(/ u) lim lim u u u u u Αρα επειδή η ακολουθία a αποτελεί περιορισµό της f(/u) στο έχουµε τελικά lim ta. (α) ii) l(l() ( ) ( l()' ) ( l(l( ) ) ( l(l( ) )( l(l( ) )' l( ) lim lim lim l ( l(l( ) ) ( l( ) )' l( ) l(l() ( ) l( ) l( ) lim lim lim lim l( ) 6

7 lim l( ) (α) (iii) Παρατηρούµε καταρχάς ότι θέτοντας στον γενικό όρο της ακολουθιας / β ( ), παίρνουµε - που είναι απροσδιόριστο. Για τον λόγο αυτό, γράφουµε τον γενικό όρο ως ακολούθως, πολλαπλασιάζοντάς τον επί την συζυγή του παράσταση: / / ( ) ( ) β / ( ) ( ) / / / ( ) ( ) ( ) καθώς. (β) Πρέπει l () > δηλαδή >. Άρα το πεδίο ορισµού της f είναι το [, ). si si l l ( ) ( ( )) lim l lim e. Οπότε υπολογίζουµε πρώτα το ( ( )) ( l ( ) )' l l l ( ) lim si l ( l ( ) ) lim lim ( si ) ' si si l ( ) ( si ) lim lim cos ( ) l( ) cos ( si ) si cos lim. l cos l si ( ( )) ( ) ( ) si si l( l( )) e e lim l lim Αρα ( ) lim ( ) (l ()) si. Ασκηση 6 ( 5 µον.) Να µελετήσετε ως προς τη σύγκλιση τις σειρές: (i) (για ποιά συγκλίνει;)! (ii) S (iii), Μπορείτε να δείξετε ότι < S < ; (i) Χρησιµοποιώντας το κριτήριο του λόγου έχουµε την ακόλουθη συνθήκη για τον γενικό όρο της σειράς: 7

8 a lim lim lim < a!( ) ( )! a ( )! ώστε η σειρά να συγκλίνει απολύτως. Από την σχέση αυτή, εποµένως παίρνουµε τις αντίστοιχες τιµές του που εξασφαλίζουν την εν λόγω σύγκλιση: < < lim( ) e όπου χρησιµοποιήσαµε το γνωστό αποτέλεσµα lim( / ) e. (ii) Παρατηρούµε ότι < <. Οπότε χρησιµοποιώντας το γνωστό άθροισµα γεωµετρικής σειράς, το ζητούµενο αποτέλεσµα / < S < αποδεικνύεται άµεσα, επιβεβαιώνοντας ότι η σειρά συγκλίνει. (iii) Για να απαντήσουµε χρησιµοποιούµε την µέθοδο της σύγκρισης > >. / Επειδή η σειρά / / η δοσµένη σειρά αποκλίνει. αποκλίνει (p-σειρά µε p <) συµπεραίνουµε ότι και Ασκηση 7 ( 5 µον.) Υπολογίστε τα ολοκληρώµατα : (α) d (Υπόδειξη: Χρησιµοποιήστε ανάλυση σε απλά κλάσµατα). 4 (β) e si d (Υπόδειξη: Χρησιµοποιήστε ολοκλήρωση κατά παράγοντες) (γ) e d (Υπόδειξη: Χρησιµοποιήστε ολοκλήρωση µε αντικατάσταση) α) Η ολοκληρωτέα διασπάται σε απλά κλάσµατα ως εξής A B A B AB 4 ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) A B AB A /4 A B ( B) B B /4 Αρα 4 4. Οπότε 4 8

9 d d d l l C β) e si d e si e cos d e si ( e cos e si d) αρα 5 e si d e si e cos e συνεπώς e si d (si cos ) C 5 (γ) ' e d e d e 9

Σχετικά έγγραφα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ (ΘΕ ΠΛΗ ) ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ TEΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ 7 Ιουνίου 8 Θέµα ο ( µονάδες) α) ( µονάδες) yz yz του διανυσµατικού