Άσκηση 1 (α) ============================================================== Έχουµε L = π, εποµένως η σειρά Fourier είναι: 1 2 a. cos. a n. b n.

Transcript

1 Τηλ: Ενδεικτικές απαντήσεις 6ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 7-8: Οι φοιτητές θα κάνουν την δική τους εργασία σκεπτόµενοι πάνω στις ενδεικτικές απαντήσεις. Σε περίπτωση αντιγραφής ή ύπαρξης παροραµάτων δεν φέρουµε καµία ευθύνη. Άσκηση (α) Έχουµε L π, εποµένως η σειρά Fourier είναι: f( ) + a a cos π + L b si π L f( ) + a ( a cos( ) + b si( )) ( ) Επίσης είναι: a L L L f( ) d a π π ( π ) d

2 π a π π a π ( ) Οι συντελεστές a είναι: a L L L f( ) cos π d L a π π ( π ) cos( ) d ( ) Το αόριστο ολοκλήρωµα είναι: ( π ) cos( ) d π cos( ) d+ cos( ) d π cos( ) d( ) d(si( )) π si( ) si( ) si( ) d

3 π si( ) si( ) + cos( ) π si( ) si( ) cos( ) a π si( ) si( ) π cos( ) π cos( π) π si( ) + a π cos( ) a cos( π) π Όµως ισχύει: cos( π ) (- ) a (- ) π ( 4 )

4 Οι συντελεστές β είναι: b L L L f( ) si π d L b π π ( π ) si( ) d ( 5 ) Το αόριστο ολοκλήρωµα είναι: ( π ) si( ) d π si( ) d+ si( ) d π si( ) d( ) + d(cos( )) π cos( ) + cos( ) cos( ) d π cos( ) + cos( ) si( ) π cos( ) cos( ) + si( )

5 π cos( ) cos( ) + b π si( ) π si( π) π cos( ) + + b π si( ) si( π) + π b π Όµως ισχύει: si( π) b ( 6 ) Τώρα η σειρά Fourier () λόγω των (),(4) και (6) γίνεται: π f( ) + 4 (( -) ) cos( ) si( ) + π ( 7 ) Οι πρώτοι όροι είναι για,,,4,5 :

6 f( ) π cos( ) cos( ) + + si( ) + si( ) + + si( ) + si( 4 ) + 4 π 9 π si( 5 ) 5 cos( 5 ) π Η προσέγγιση αυτή είναι η "κυµατιστή" γραµµή στο γράφηµα: Άσκηση (β)

7 Η συνάρτηση f είναι ασυνεχής στο, άρα εκεί η σειρά Fourier θα συγκλίνει στο ηµιάθροισµα των τιµών "αριστερά" και "δεξιά" του, δηλ. στο: f - ( ) + f + ( ) + π π Επίσης η σύγκλιση γίνεται µε έντονη ταλάντωση γύρω από το (φαινόµενο Gibbs) Στα υπόλοιπα σηµεία του διαστήµατος (- π, π ) όπου και είναι συνεχής θα συγκλίνει στην f(). Στα άκρα -π και π του διαστήµατος [ - π, π ] η σειρά συγκλίνει στο παρουσιάζοντας όµως πάλι έντονα ταλαντωτική συµπεριφορά (φαινόµενο Gibbs) maths@maths.gr, Τηλ: Ενδεικτικές απαντήσεις 6ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 7-8: Οι φοιτητές θα κάνουν την δική τους εργασία σκεπτόµενοι πάνω στις ενδεικτικές απαντήσεις. Σε περίπτωση αντιγραφής ή ύπαρξης παροραµάτων δεν φέρουµε καµία ευθύνη. Άσκηση (α) Έστω δύο στοιχεία του χώρου Μ : A a a + d d A a a + d d Έστω επίσης και πραγµατικοί αριθµοί, λ, λ a λ A + λ A λ a + d a + λ a + d d d

8 λ a + λ a λ a + λ d + λ a + λ d λ d + λ d A A+ D D ( λ A + λ A ) M όπου θέσαµε: λ a + λ a A λ d + λ d D Επίσης το µηδενικό στοιχείο: M άρα το Μ είναι υπόχωρος του δ.χ. των πινάκων. Το τυχόν στοιχείο γράφεται: a a+ d a m + + d ( a+ d) m d m όπου : m m m οι τρεις πίνακες είναι γραµµικά ανεξάρτητοι, άρα και βάση. Η διάσταση λοιπόν είναι.

9 Άσκηση (β) Τα στοιχεία του πίνακα ως προς τις κανονικές βάσεις βρίσκονται παίρνοντας τις εικόνες των διανυσµάτων της κανονικής βάσης του R και εκφράζοντάς τις ως γραµµικό συνδυασµό των διανυσµάτων της κανονικής βάσης του R e [,, ], g( e ) [,, ], g( e ) () e + () e + () e e [,, ], g( e ) [,, ], g( e ) () e + () e + () e e [,, ], g( e ) [,, ], g( e ) () e + () e + () e ( ) Ο πίνακας θα έχει σαν η στήλη τις συντεταγµένες του g e ως προς τα e, e, e, του R, κ.ο.κ. για τις επόµενες στήλες, δηλ: A Για τον πυρήνα έχουµε: g y z < + z + y + z < + z + y

10 + z Γ Γ ---> { } < + z + y + z Γ ---> Γ + { Γ } Γ ---> Γ + { Γ } < + z y z < z y z z z R < y z z z z

11 { } z - Άρα µία βάση του kerf είναι: kerf - dimkerf άρα η απεικόνιση δεν είναι ένα προς ένα. Για την εικόνα έχουµε: f y z + z + y + z + + y z z + + { } { } y { } z Τα διανύσµατα,,, παράγουν τον χώρο της εικόνας του f. Όµως ο πίνακας µε στήλες αυτά γράφεται ισοδύναµα:

12 Γ Γ ---> { } ~ Γ ---> Γ + { Γ } Γ ---> Γ + { Γ } ~ - Βλέπουµε ότι τα δύο πρώτα διανύσµατα στήλες αποτελούν µία βάση του χώρου εκόνας του f, δηλ.: Imf, dimimf Άρα η απεικόνιση δεν είναι ούτε επί του R

13 Τηλ: Ενδεικτικές απαντήσεις 6ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 7-8: Οι φοιτητές θα κάνουν την δική τους εργασία σκεπτόµενοι πάνω στις ενδεικτικές απαντήσεις. Σε περίπτωση αντιγραφής ή ύπαρξης παροραµάτων δεν φέρουµε καµία ευθύνη. Άσκηση (α) + y+ z - a y+ z a + y+ a z Λύση µε την µέθοδο της απαλοιφής Gauss: + y+ z - a y+ z a + y+ a z Γ --> Γ - Γ Γ --> Γ - Γ < + y+ z - ( a ) y a+ ( a ) z ιακρίνουµε τις εξής περιπτώσεις: ( I ) α, και α -

14 Τότε συνεχίζουµε την απαλοιφή: Γ --> Γ : ( - - a ) Γ --> Γ : ( a - ) < + y+ z - y - z a Γ --> Γ - Γ < + z y - z a Γ --> Γ - Γ < y - z a a ( II ) α -

15 Το σύστηµα γίνεται: + y+ z - z Γ --> Γ : ( - ) < + y+ z - z - Γ --> Γ - Γ < + y z - < y y y z - R ( III ) α Το σύστηµα γίνεται:

16 + y+ z - y ηλ. το σύστηµα δεν έχει λύση. Άσκηση (β) Για α ο πίνακας του συστήµατος είναι: A Ιδιοτιµές: λ det ( A λι) det λ λ ( λ ) det + λ det λ det λ λ { ( λ ) ( λ )} + { + λ } ( λ ) ( λ ) + + λ ( + λ ) ( λ λ ) Tο τριώνυµο γίνεται:

17 a, β -, γ -, 8 -β +- λ, α Άρα οι ιδιοτιµές είναι: λ + λ λ - Για την ιδιοτιµή λ + ( A λι) X O < + y+ z + ( ) y+ z + y + ( ) z < + y+ z + ( ) y+ z + y + ( ) z Γ <--> Γ < + y + ( ) z + ( ) y+ z

18 + y+ z Γ --> Γ - Γ Γ --> Γ + Γ < + y + ( ) z ( ) y + ( + ) z ( + ) y + ( ) z Γ --> Γ : ( ) < + y + ( ) z y z ( + ) y + ( ) z Γ --> Γ - Γ Γ --> Γ - ( + ) Γ < z y z < z y z z z

19 < y z z z z u Για την ιδιοτιµή λ ( A λι) X O < + y+ z + ( + ) y+ z + y + ( + ) z < + y+ z + ( + ) y+ z + y + ( + ) z Γ <--> Γ < + y + ( + ) z + ( + ) y+ z + y+ z

20 Γ --> Γ - Γ Γ --> Γ + ( - ) Γ < + y + ( + ) z ( + ) y + ( ) z ( ) y + ( + ) z Γ --> Γ : ( + ) < + y + ( + ) z y z ( ) y + ( + ) z Γ --> Γ - Γ Γ --> Γ - ( ) Γ < + z y z < z y z z z <

21 y z z z z u Για την ιδιοτιµή λ - ( A λι) X O < + y+ z + y+ z + y+ z < + y+ z + y+ z + y+ z Γ <--> Γ < + y+ z + y+ z + y+ z Γ --> Γ - Γ

22 Γ --> Γ - Γ < + y+ z y z Γ --> Γ + Γ < y z < y z z z < y z z z u - Ο διαγωνοποιών πίνακας είναι λοιπόν:

23 P - Βρίσκουµε τον αντίστροφο πίνακα του Ρ: ( P, I) - Γ --> Γ : ~ - - Γ --> Γ - Γ Γ --> Γ - Γ ~ - - Γ --> Γ : ~

24 - - 4 Γ --> Γ + Γ Γ --> Γ - Γ ~ Γ --> Γ : ~ Γ --> Γ +/ Γ Γ --> Γ +/ Γ ~

25 άρα οι τελευταίες στήλες είναι ο αντίστροφος, δηλ.: P Εποµένως έχουµε ότι: P - A P + - λ λ λ P - A P D Kι επίσης έπεται ότι: A P D P -

26 A P D P - P D P -... P D P - A P D P - A λ P λ λ P - A λ P, λ, λ P - A λ λ 4 4 P, λ λ 4 4 λ λ 4 λ 4 λ A λ λ 4 λ 4 + λ λ 4 λ 4 λ λ 4 4 λ λ λ λ λ λ λ λ 4 4 λ λ λ λ λ λ

27 λ + λ λ λ λ λ 4 A λ λ λ + λ + λ λ + λ λ λ λ λ + λ λ λ + λ + λ 4 A [ ( + ) + ( ), ( + ) ( ), ( + ) ( ) ] [ ( + ) ( ), ( + ) + ( ) + ( -), ( + ) + ( ) ( -) ] [ ( + ) ( ), ( + ) + ( ) ( -), ( + ) + ( ) + ( -) ] A 4 [ ( + ) + ( ), ( + ) ( ), ( + ) ( ) ] [ ( + ) ( ), ( + ) + ( ) + ( -), ( + ) + ( ) ( -) ] [ ( + ) ( ), ( + ) + ( ) ( -), ( + ) + ( ) + ( -) ] maths@maths.gr, Τηλ: Ενδεικτικές απαντήσεις 6ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 7-8: Οι φοιτητές θα κάνουν την δική τους εργασία σκεπτόµενοι πάνω στις ενδεικτικές απαντήσεις. Σε περίπτωση αντιγραφής ή ύπαρξης παροραµάτων δεν φέρουµε καµία ευθύνη. Άσκηση 4 (α) (i)

28 f( ) + Υπολογίζουµε την πρώτη παράγωγο: f ' () 5 ( ' + ) 5 ( + ) ' f ' () ( + 5) 5 + () Τοπικά ακρότατα έχουµε όταν: f ' () ( + 5 ) 5 + ( + 5)

29 ή , ηλαδή στα σηµεία: 4-4

30 Bρίσκουµε την δεύτερη παράγωγο παραγωγίζοντας την σχέση: f ' () 5 + f '' () 5 + ' Όµως έχουµε ότι: + ' [ ' + ( + ) ] [ + ] ' + [ + ] + + [ + ] ( + ) ( / ) άρα η δεύτερη παράγωγος είναι: f '' () 5 ( + ) ( / ) () Για

31 f '' - () 5 f '' () < τοπικό µέγιστο Για 4 f f 4 > 4, τοπικό ελάχιστο Για -4 f f -4 >

32 -4, τοπικό ελάχιστο Το πρόσηµο της παραγώγου καθορίζεται από τον αριθµητή της: f ' () ( + 5) 5 + Εποµένως είναι αρνητικό και η συνάρτηση φθίνουσα όταν: ( + 5) < < < < + 5 ή < + < 5 Στην η περίπτωση όπου < έχουµε: < + 5 5< + 5 < +

33 < < 9 6 < 9 4 < < -4 < η f είναι φθίνουσα Στην η περίπτωση όπου > έχουµε: + < 5

34 5 + < 6 < 9 6 < 9 6 < 9 4 < <, 4 η f είναι φθίνουσα Το πρόσηµο της f είναι θετικό και η συνάρτηση αύξουσα όταν: < ( + 5) < <

35 + < 5 ή < < + 5 Στην η περίπτωση όπου < έχουµε: + < 5 4 < < -4, η f είναι αύξουσα Στην η περίπτωση όπου > έχουµε: < + 5 5< + 4 <

36 < 4 < η f είναι αύξουσα Άσκηση 4 (α) (ii) Από την () βρίσκουµε τα σηµεία µηδενισµού της f που είναι και τα σηµεία καµπής της f: 5 ( + ) ( / ) 5 ( + ) ( / ) ( + ) ( / ) 5 ( + ) ( / ) 5

37 ( + ) σηµεία καµπής Επίσης η f είναι αρνητική και η f στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω όταν: < 5 ( + ) ( / )

38 < ( ) + ( ) / 5 < ( ) < < 5 9 < 5 9 < 5 9 < 5 9

39 5 < < < η f στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω Τέλος η f είναι θετική και η f στρέφει τα κοίλα προς τα άνω όταν: < 5 ( + ) ( / ) < ( + ) ( / ) 5 5 < ( + ) ( / ) 5 < 9 ( + ) 5 9 <

40 < < η f στρέφει τα κοίλα προς τα άνω Άσκηση 4 (α) (iii) Για έχουµε: f( ) - άρα τέµνει τον άξονα των y στο (, -) Οι ρίζες είναι:

41 9 4 θέτουµε z 9 z z Tο τριώνυµο γίνεται: a 9, β -, γ -, 6 -β +- z, α 5 z z z.4999 z η η απορρίπτεται ως αρνητική, άρα έχουµε:

42 οι ρίζες της συνάρτησης

43 Άσκηση 4 (β) Έστω (, y) το σηµείο που "ακουµπά" στην ευθεία το εγγεγραµµένο ορθογώνιο Το εµαβδόν του ορθογωνίου είναι Ε y, αλλά επίσης ισχύει: y +

44 E + E( ) + ( ) Ψάχνουµε το µέγιστο της Ε(), άρα πρέπει η η παράγωγος να είναι µηδέν: E ( ) + ( ) Επίσης πρέπει η η παράγωγος να είναι αρνητική για : E ( ) - πράγµα που όντως συµβαίνει, άρα για έχουµε µέγιστο εµβαδόν ίσο µε: E( ) maths@maths.gr, Τηλ: Ενδεικτικές απαντήσεις 6ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 7-8: Οι φοιτητές θα κάνουν την δική τους εργασία σκεπτόµενοι πάνω στις ενδεικτικές απαντήσεις. Σε περίπτωση αντιγραφής ή ύπαρξης παροραµάτων δεν φέρουµε καµία ευθύνη.

45 Άσκηση 5 (α) (i) ta Κάνουµε την αντικατάσταση: u ta ta( u ) u u ta u ta( u ) u και τότε πράγµατι u --> κι έχουµε το όριο: ta u u ta( u) u Θα υπολογίσουµε την σειρά Taylor της συνάρτησης: f( u ) ta( u) f( ) ta( u ) ' cos( u)

46 f ( ) ( cos( u ) - ) ' cos( u ) -- cos( u ) ' cos( u) - si( u) si( u ) cos( u ) f ( ) si( u) cos( u) ' [ ( si( u ) ) ' cos( u ) si( u ) ( cos( u) ) ' ] [ cos( u) 6 ] [ cos( u) si( u ) cos( u) ] [ cos( u ) 6 ] cos( u ) ( cos( u) ) [ cos( u) 6 ] ( cos( u) ) cos( u ) 4 f ( ) Άρα έχουµε την σειρά: f( u) f () () u! f( ) + f ( ) u+ f ( ) u + f ( ) u

47 u+ + u... όπου παραλείψαµε όρους τάξης µεγαλύτερης του ta( u ) u+ + u... ta( u) u u... u ta( u) u... u ta( u ) +... όροι τάξης u και µεγαλύτερης u u u ta( u) + u u u ta( u) - u

48 ta - Άσκηση 5 (α) (ii) l ( l( ) ) l( ) Υπολογίζουµε το όριο: ( l ( l ( ) ) ) l( ) Με εφαρµογή του κανόνα L' Hospital έχουµε: ( l ( l ( ) ) ) l( ) ' ( l ( l( ) ) ) l( ) ' [ l ( l( )) (l(l())) ' ] l ( l( )) (l()) ' l() l ( l( )) l( )

49 l ( l( )) l( ) l ( l( ) ) l( ) ( l ( l( ))) l( ) ' ' (l()) ' l( ) l( ) l( ) ( l ( l ( ) ) ) l( ) l ( l( ) ) l( ) Άσκηση 5 (α) (iii)

50 Έστω: / a ( + ) ( ) Πολλαπλασιάζουµε και διαιρούµε µε την ποσότητα: / ( + ) ( ) + (( + ) ( / ) ) ( ( + ) ( / ) + ) a [ ( + ) ( / ) + ] / (( + ) ( ) ) / ( + ) ( ) + ( ) ( + ) 6 / ( + ) ( ) / ( + ) ( ) ( / ) ( / ) ( / ) +

51 + + ( / ) + + κι επειδή ισχύουν: θα έχουµε: ( / ) ( / ) + / ( ( + ) ( ) ) Άσκηση 5 (β)

52 Η συνάρτηση γράφεται: l ( + ) si( ) e l ( l ( + ) ) si( ) ( ) e ( si( ) l ( l ( + )) ) Πρέπει να ορίζεται ο λογάριθµος, άρα πρέπει: < l ( + ) l ( ) < l ( + ) < + < Για να βρούµε το όριο αρκεί να βρούµε το: + si( ) l ( l ( + )) το οποίο γράφεται: + si( ) l ( l ( + )) + l ( l ( + ) ) si( ) το οποίο είναι απροσδιόριστη µορφή άπειρο δια άπειρο και µε τον κανόνα του L Hospital γίνεται:

53 + l ( l ( + ) ) si( ) + [ l ( l ( + )) ] si( ) ' ' + [ l ( + )] l ( + ) [ [ si( )] ] ' - ' + + l ( + ) - - [ [ si( ) ] si( ) ' ] + ( + ) l ( + ) cos( ) si( ) + si( ) ( + ) l ( + ) cos( ) + ( + ) cos( ) + si( ) l ( + ) το πρώτο όριο παραπάνω είναι: + ( + ) cos( ) ενώ το δεύτερο όριο είναι απροσδιόριστη µορφή / και µε τον κανόνα του L Hospital γίνεται: + si( ) l ( + ) + [ si( ) ] ' [ l ( + )] '

54 + - [ [ si( ) ] ' [ si( ) ] ] ( + ) + ' + [ si( ) cos( )] + + si( ) cos( ) ( + ) εποµένως το όριο που ψάχνουµε είναι: + ( + ) cos( ) + si( ) l ( + ) ( ) ( ) + si( ) l ( l ( + )) + e ( si( ) l ( l ( + )) ) e + e ( si( ) l ( l ( + )) ) + l ( + ) si( )

55 Τηλ: Ενδεικτικές απαντήσεις 6ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 7-8: Οι φοιτητές θα κάνουν την δική τους εργασία σκεπτόµενοι πάνω στις ενδεικτικές απαντήσεις. Σε περίπτωση αντιγραφής ή ύπαρξης παροραµάτων δεν φέρουµε καµία ευθύνη. Άσκηση 6 (i)! Έστω η ακολουθία: a ( )! Χρησιµοποιούµε το κριτήριο του λόγου: a + ( ) a ( ) ( + ) ( + ) ( + )! ( + )! ( + ) ( + )! ( + )! ( + ) + a + ( ) a ( ) + a + ( ) a ( ) e

56 Απαιτούµε να είναι το όριο < για να συγκλίνει η σειρά και έχουµε: a + ( ) a ( ) < e < < e ηλ. η σειρά συγκλίνει για κάθε e, e Άσκηση 6 (ii) + Παρατηρούµε ότι:

57 όµως γνωρίζουµε ότι η σειρά: a συγκλίνει αν και µόνον αν η σειρά: a + a συγκλίνει, εποµένως για a η γεωµετρική σειρά: συγκλίνει, άρα θα συγκλίνει και η σειρά: + Παρατηρούµε ότι: < + < + < +

58 < + < + Επίσης έχουµε ότι: < + + < + < + < + < +

59 < + Άσκηση 6 (iii) > + + Παρατηρούµε ότι: + + ( + ) + ( + ) + ( + ) +

60 ( + ) άρα η σειρά µας έχει την ίδια συµπεριφορά µε την σειρά: η οποία αποκλίνει ως σειρά p µε p συνεπώς και η υπό εξέταση σειρά αποκλίνει. maths@maths.gr, Τηλ: Ενδεικτικές απαντήσεις 6ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 7-8: Οι φοιτητές θα κάνουν την δική τους εργασία σκεπτόµενοι πάνω στις ενδεικτικές απαντήσεις. Σε περίπτωση αντιγραφής ή ύπαρξης παροραµάτων δεν φέρουµε καµία ευθύνη. Άσκηση 7 (α)

61 d 4 Κάνουµε ανάλυση σε απλά κλάσµατα: 4 A + B + A ( + ) + B ( ) ( ) Θέτουµε στην (): 4 A A 4 Θέτουµε - στην (): 4 B B - 4 ηλαδή: 4 4 ( ) 4 ( + )

62 d 4 d 4 d 4 + l ( ) l ( + ) + c 4 4 Άσκηση 7 (β) e si( ) d Κάνουµε ολοκλήρωση κατά παράγοντες: e si( ) d d si( ) ( e ) ' e si( ) e (si( )) ' d e si( ) e cos( ) ( ) ' d e si( ) e cos( ) d e si( ) d cos( ) ( e ) ' e si( ) + cos e (cos( )) ' d e ( ) +

63 e si( ) e cos( ) + e si( ) d e si( ) e cos( ) 4 e si( ) d e si( ) d e si( ) e cos( ) 4 e si( ) d 5 e si( ) d e si( ) e cos( ) si d + 5 e cos( ) e ( ) 5 e si( ) Άσκηση 7 (γ) e ( ) d Υπολογίζουµε πρώτα το αόριστο ολοκλήρωµα: ) e( d It ( e ( ), ( )) It ( e ( ), ( - )) ) e(

64 Άρα το γενικευµένο ολοκλήρωµα γίνεται: e ( ) d ) e( ) e( e ( ) d ) e( e ( ) d