ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΚΥΜΑΤΑ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΚΥΜΑΤΑ 010-11 ΘΕΜΑ 1 ο : 1) Κατά τη διάδοση ενός κύματος σ ένα ελαστικό μέσον i) μεταφέρεται ύλη. ii) μεταφέρεται ενέργεια και ύλη. iii) όλα τα σημεία του ελαστικού μέσου έχουν την ίδια φάση την ίδια χρονική στιγμή. iv) μεταφέρεται ενέργεια και ορμή με ορισμένη ταχύτητα. ) Το μήκος κύματος ενός αρμονικού κύματος το οοίο διαδίδεται κατά μήκος γραμμικού ομογενούς ελαστικού μέσου. i) είναι η αόσταση μεταξύ δύο σημείων του ελαστικού μέσου τα οοία έχουν διαφορά φάσης ακέραιο ολλαλάσιο του (rad). ii) είναι η αόσταση μεταξύ δύο σημείων του ελαστικού μέσου τα οοία έχουν διαφορά φάσης ακέραιο ολλαλάσιο του (rad). iii) είναι η αόσταση ου διανύει το κύμα σε χρόνο μιας εριόδου, iv) είναι η αόσταση ου διανύει ένα μόριο του μέσου σε χρόνο μιας εριόδου. 3) Δύο όμοιες ηγές κυμάτων Α και Β στην ειφάνεια μιας ήρεμης λίμνης βρίσκονται σε φάση και αράγουν υδάτινα αρμονικά κύματα. Η καθεμιά αράγει κύμα (ρακτικά) αμείωτου λάτους 10cm και μήκους κύματος m. Ένα σημείο Γ στην ειφάνεια της λίμνης αέχει αό την ηγή Α αόσταση 6m και αό την ηγή Β αόσταση m. Το λάτος της ταλάντωσης του σημείου Γ είναι : α. 0cm β. 10cm γ. 0cm δ. 40cm. 4) Χαρακτηρίστε τις αρακάτω ροτάσεις σαν σωστές ή λαθεμένες: α) Όλα τα σημεία ενός ελαστικού μέσου, στο οοίο δημιουργείται στάσιμο κύμα, ταλαντώνονται με το ίδιο λάτος. Λ. β) Σε στάσιμο κύμα, η διαφορά φάσης μεταξύ δύο σημείων του ελαστικού μέσου τα οοία βρίσκονται το ένα αριστερά και το άλλο δεξιά ενός δεσμού, σε αόσταση λ/3 μεταξύ τους είναι (rαd). Σ. γ) Στο στάσιμο κύμα όλα τα σημεία του μέσου έχουν την ίδια συχνότητα ταλάντωσης. Σ. δ) Το κύμα είναι μια διαταραχή ου διαδίδεται μεταφέροντας ενέργεια και ορμή. Σ. ε) Τα υλικά σημεία του μέσου μέσα στο οοίο διαδίδεται το κύμα μεταφέρονται με την ταχύτητα του κύματος. Λ. www.ylikonet.gr 1

στ) Υάρχουν κύματα ου διαδίδονται μόνο σε ελαστικά μέσα αλλά και κύματα ου διαδίδονται και στον κενό χώρο. Σ. ζ) Η δημιουργία ενός κύματος είναι ανεξάρτητη της δόνησης της ηγής. Λ. η) Το όζον της τροόσφαιρας αορροφά κατά κύριο λόγο την υεριώδη ακτινοβολία. Λ. θ) Τα μικροκύματα και τα υέρυθρα κύματα αράγονται αό κατάλληλα ηλεκτρονικά κυκλώματα. Λ. ι) Οι ακτίνες γ είναι υεύθυνες για το «μαύρισμα» όταν κάνουμε ηλιοθεραεία. Λ. 5) Δίνεται το στιγμιότυο (α) του διλανού σχήματος κάοια χρονική στιγμή t 0, για ένα κύμα ου διαδίδεται ρος τα δεξιά, χωρίς αρχική φάση. i) Ποια η φάση του σημείου Δ; φ Δ =0 ii) Για όσο χρόνο ταλαντώνεται το σημείο Β; Τ/ iii) Πόσες ταλαντώσεις έχει εκτελέσει η ηγή του κύματος στην θέση x=0; 1,5 ταλαντώσεις. iv) Αναφερόμενοι στο (β) σχήμα ου το κύμα διαδίδεται είσης ρος τα δεξιά ξεκινώντας αό τη θέση x=0: ΘΕΜΑ ο : a) Ποιες οι φάσεις των σημείων Γ και Ε; φ Ε = rad φ Γ = rad b) Ποια η αρχική φάση της ηγής; rad. 1) Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου διαδίδονται A Β με ταχύτητα υ=1m/s δύο κύματα ίδιου λάτους και ίδιου 0 1 3 4 5 6 7 μήκους κύματος και στο σχήμα φαίνεται η μορφή του μέσου τη χρονική στιγμή t 0. y y Α (α) Γ Β (β) Μονάδες 3+3+5+5+(1+1++3+)=5 i) Πόση είναι η φάση του σημείου Α και όση του σημείου Β τη στιγμή αυτή; φ Α =0 rad φ Β = rad ii) Να σχεδιάστε τη μορφή του μέσου τις χρονικές στιγμές: α) t 1 =t 0 +1,5s, β) t = t 0 +3s γ) t 3 = t 0 +4s α) Μετά αό χρονικό διάστημα 1,5s, το κάθε κύμα έχει διαδοθεί κατά d=υ Δt=1,5m, οότε το κύμα ου διαδίδεται ρος τα δεξιά έχει φτάσει στη θέση 3,5m, ενώ το κύμα ρος τα αριστερά στη θέση,5m και η εικόνα θα είναι, όου με ράσινο χρώμα η εριοχή συμβολής: Δ Ε x x 0 1 3 4 5 6 0 1 3 4 5 6 www.ylikonet.gr

β) Μετά αό χρονικό διάστημα 3s, το κάθε κύμα έχει διαδοθεί κατά d=υ Δt=3m, οότε το κύμα ου διαδίδεται ρος τα δεξιά έχει φτάσει στη θέση 5m, ενώ το κύμα ρος τα αριστερά στη θέση 1m και η εικόνα θα είναι: 0 1 3 4 5 6 0 1 3 4 5 6 γ) Μετά αό χρονικό διάστημα 4s, το κάθε κύμα έχει διαδοθεί κατά d=υ Δt=4m, οότε το κύμα ου διαδίδεται ρος τα δεξιά έχει φτάσει στη θέση 6m, ενώ το κύμα ρος τα αριστερά στη θέση 0m και η εικόνα θα είναι: 0 1 3 4 5 6 ) Στο σχήμα φαίνονται δύο διαφανείς λάκες Α και Β. Μια ακτίνα φωτός εισέρχεται αό την λάκα Α στη Β, όως στο σχήμα. Χαρακτηρίστε σαν σωστές ή λαθεμένες τις αρακάτω ροτάσεις δικαιολογώντας αόλυτα την αάντησή σας. i) Για τους δείκτες διάθλασης των δύο υλικών ισχύει n Α < n Β. Για τις γωνίες θ και φ του σχήματος, έχουμε αό το νόμο του Snell: n Α ημθ=n Β ημφ. Αλλά με βάση το σχήμα θ>φ, συνεώς και ημθ > ημφ, οότε n Α < n Β και η ρόταση είναι σωστή. A ϑ B ϕ ii) Για να συμβεί ολική ανάκλαση σε μια ακτίνα φωτός, αυτή θα ρέει να μεταβαίνει αό την λάκα Β στην λάκα Α. Η ρόταση είναι σωστή. Για να έχουμε ολική ανάκλαση, θα ρέει η ακτίνα να διαδίδεται αό το οτικά υκνότερο, ρος το οτικά αραιότερο μέσον. Εδώ αό το Β ρος το Α. 3) Μια ακτίνα μονοχρωματικού φωτός έφτει κάθετα στη μια λευρά ρίσματος, η τομή του οοίου είναι ισόλευρο τρίγωνο, όως στο σχήμα. i) Αν ο δείκτης διάθλασης του ρίσματος για την αραάνω α- A κτίνα είναι n= 3, να χαράξετε την ορεία της μέχρι και την έξοδό της αό το ρίσμα. ii) Ποιος ο ελάχιστος δείκτης διάθλασης του ρίσματος, ώστε η ακτίνα να υοστεί ολική εσωτερική ανάκλαση στην λευρά ΑΓ του ρίσματος. Β Γ www.ylikonet.gr 3

i) Η ακτίνα έφτει κάθετα στην λευρά ΑΒ και συνεχίζει χωρίς ε- κτροές, φτάνοντας στο σημείο Δ της λευράς ΑΓ, όως στο σχήμα. Αλλά τότε η ακτίνα σχηματίζει με την λευρά ΑΓ γωνία συμληρωματική της Α, δηλαδή γωνία 30. Συνεώς η γωνία ρόστωσης θα είναι θ=60. Αλλά για την κρίσιμη ή οριακή γωνία έχουμε στο Δ έχουμε: 1 1 3 3 ηµϑ crit = = = < =ηµ 60 n 3 3 o Μονάδες (+6)+(3+3)+(6+5)=5 Δηλαδή η γωνία ρόστωσης είναι μεγαλύτερη αό την κρίσιμη, με αοτέλεσμα η ακτίνα να υοστεί ολική ανάκλαση με γωνία φ=30, οότε θα έσει κάθετα στη βάση ΒΓ και θα εξέλθει αό το ρίσμα στο σημείο Ε. ii) Για να συμβεί ολική ανάκλαση στο Δ, θα ρέει η γωνία ρόστωσης θ να είναι μεγαλύτερη της κρίσιμης. Συνεώς: B A ϑ ϕ E Δ Γ ϑ crit <ϑ ηµϑ crit < ηµϑ 1 ηµ60 n < o o 1 1 n> n > ήn ηµ 60 3 3 > 3 Συνεώς ο ελάχιστος δείκτης διάθλασης θα είναι οριακά ίσος με 3. 3 ΘΕΜΑ 3 ο : Κατά μήκος του άξονα x x και αό τη θέση x=0 ξεκινά ένα κύμα για t=0 με εξίσωση : y=0,1 ημ(5t-x). (x,y σε m, t σε sec) α) Να βρείτε την ερίοδο, το μήκος κύματος και την ταχύτητα διάδοσης του κύματος. β) Ένα σημείο Β, βρίσκεται στη θέση x=3m. Ποια η ταχύτητά του τις χρονικές στιγμές t 1 =0,4s και t =0,85s; γ) Να σχεδιάστε το στιγμιότυο του κύματος τη χρονική στιγμή t 3 =0,7s. α) y=0,1 ημ(5t-x)=0,1 ημ(,5t-x/) Μονάδες 9+8+8=5 1 T 1 =,5 T = = 0,4s ενώ λ=m και υ = λ =5m/ s.,5 T www.ylikonet.gr 4

β) Για το σημείο Β έχουμε: Αλλά το νήμα θα φτάσει στο Β τη στιγμή t =x/υ=3/5s=0,6s, συνεώς τη στιγμή t 1 δεν έχει φτάσει ακόμη και υ=0. y=0,1 ημ(5t-x) y=0,1 ημ(5t-3)= ) y=0,1 ημ(5t-) Αλλά τότε υ=ωα συν(5t-)=0,5 συν(5t-)=-0,5 συν(5t) και για t =0,85s έχουμε: υ=- 0,5 συν(5t)= - 0,5 συν(5 0,85)==- 0,5 συν(3+/4)= 0,5 m / s= 1,1m / s γ) y=0,1 ημ(5t-x)= y=0,1 ημ(5 0,7-x)= y=0,1 ημ(3,5-x)=-0,1 συν(x) όου το κύμα έχει διαδοθεί κατά d=υ t=5 0,7m=3,5m με στιγμιότυο το αρακάτω: y (m) 0,1 3,5 x(m) ΘΕΜΑ 4 ο : Πάνω σε μια χορδή μήκους 10m έχει δημιουργηθεί ένα στάσιμο κύμα. Για να το μελετήσουμε μαθηματικά, αίρνουμε ένα σύστημα αξόνων x-y, όου σε ένα σημείο Ο, ου αέχει 3m αό το αριστερό άκρο του θέτουμε x=0, ενώ θεωρούμε t=0 τη στιγμή ου το σημείο Ο βρίσκεται στην μέγιστη θετική αομάκρυνσή του. Το σημείο Ο φτάνει για ρώτη φορά στη μέγιστη αρνητική αομάκρυνσή του τη στιγμή t=0,5s, αφού διανύσει αόσταση 0,8m, ενώ αέχει οριζόντια αόσταση 1m αό τον κοντινότερο δεσμό του στάσιμου. Δίνεται ακόμη ότι το σημείο Ο είναι κοιλία του στάσιμου κύματος. i) Η εξίσωση του στάσιμου κύματος είναι της μορφής: α) y= Α συν(x/λ) ημ(t/τ+/) β) y= Α ημ(x/λ) ημ(t/τ+/) γ) y= Α συν(x/λ+/) ημ(t/τ+/) Ειλέξτε τη σωστή μορφή δικαιολογώντας την ειλογή σας. ii) Να γράψετε την εξίσωση του στάσιμου κύματος. iii) Να βρείτε τις θέσεις των δεσμών του στάσιμου κύματος. iv) Να σχεδιάστε στο ίδιο σύστημα αξόνων στιγμιότυα του στάσιμου τις χρονικές στιγμές: α) t 1 =0 και β) t =0,75s Σημειώστε άνω στο διάγραμμα την ταχύτητα του σημείου Ο, τις αραάνω χρονικές στιγμές. www.ylikonet.gr 5

v) α) Να βρεθεί η εξίσωση της ταχύτητας ταλάντωσης του σημείου Β στη θέση x 1 =4/3m. β) Σε μια στιγμή η ταχύτητα του Β έχει τιμή υ Β =0, m/s. Να βρεθεί η αντίστοιχη ταχύτητα, την αραάνω χρονική στιγμή, ενός σημείου Γ στη θέση x Γ =m. Μονάδες 4+5+4+6+(+4)=5 Αάντηση: i) Ας εστιάσουμε στο σημείο Ο, όου έχουμε μια κοιλία. Στο διλανό σχήμα εμφανίζεται η εικόνα στη θέση x=0, όου το σημείο Ο βρίσκεται στην ακραία θετική αομάκρυνσή του. Αλλά αφού θα διανύσει αό- y (m) 0,4 O σταση 0,8m για να φτάσει σε ακραία αρνητική αομάκρυνση το λάτος ταλάντωσής του είναι Α =0,4m. Αλλά για x=0 το λάτος είναι μέ- 0,0 1 x(m) γιστο συνεώς η εξίσωση ου μορεί να ισχύει είναι η ρώτη: y= Α συν(x/λ) ημ(t+/) Αφού οι άλλες δύο δίνουν για x=0, λάτος μηδενικό. ii) Η αόσταση μιας κοιλίας με τον διλανό της δεσμό είναι ίση με λ/4, οότε λ=4m. Εξάλλου το χρονικό διάστημα για να μεταβεί το Ο αό την ακραία θετική θέση του στην ακραία αρνητική t=0,5s, είναι ίσο με μισή ερίοδο, οότε Τ=1s. Με βάση αυτά η εξίσωση αίρνει τη μορφή: x y = 04, συν ημ t+ ή 4 y = 04, συν ημ t+ με t 0, -3m x 7m και μονάδες στο S.Ι. iii) Δεσμοί του στάσιμου, έχουμε στις θέσεις ου το λάτος μηδενίζεται, συνεώς: 0, 4 συν 0 ή συν 0 x = (k+ 1) x = ( k+ 1) Ενώ ταυτόχρονα θα ρέει και -3m x 7m οότε: -3 k+1 7 - k 3 Έτσι οι ακέραιες τιμές του k είναι: -, -1, 0, 1,, και 3 και οι αντίστοιχες θέσεις των δεσμών είναι: - 3m, -1m, 1m, 3m, 5m, και 7m. iv) α) Θέτοντας στην αραάνω εξίσωση του στάσιμου t=0 αίρνουμε: y = 04, συν ημ 0+ 04, συν Με γραφική αράσταση την ρώτη μορφή του αρακάτω σχήματος. www.ylikonet.gr 6

y (m) 0,4 t=0 3 1 1 3 5 7 y (m) r υ t=0, 75s 3 1 O 1 3 5 7 x(m) x(m) β) Με αντικατάσταση t =0,75s αίρνουμε: 3 y= 0, 4 συν ημ 0,75+ 04, συν ημ + 0 Με γραφική αράσταση τη δεύτερη μορφή του σχήματος, όου το σημείο Ο έχει ταχύτητα ρος τα άνω (0,75s= ¾ Τ). v) α) Η εξίσωση της αομάκρυνσης του σημείου Β είναι: y B 4 = 0,4 συν ημ t+ 3 0,4 συν 3 ημ t+ 1 0,4 ημ t+ y B 3 = 0, ημ t+ Αλλά τότε η εξίσωση της ταχύτητας ταλάντωσης του σημείου Β είναι: υ B 3 = 0, συν t+ 0,4 ηµ ( t) με t 0. (1) β) Για το σημείο Γ έχουμε αντίστοιχα: y Γ = 0,4 συν ημ t+ 0,4 ημ t+ Αλλά τότε η εξίσωση της ταχύτητας ταλάντωσης του σημείου Γ είναι: υ Γ Αό (1) και () ροκύτει ότι: 3 0,4 ημ t+ 3 = 0,4 συν t+ 0,8 ηµ ( t) με t 0. () υ Γ = υ Β =0,4 m/s dmargaris@gmail.com www.ylikonet.gr 7