ΕΦΑΡΜΟΖΟΝΤΑΣ ΤΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

ΕΦΑΡΜΟΖΟΝΤΑΣ ΤΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ Γιώργου Τσαπακίδη Εκείνο που σου προσράπτουν τα Χελιδόνια είναι η άνοιξη που δεν έφερες. Οδυσσέας Ελύτης Για ένα περίεργο λόγο τα Μαθηματικά που διδάσκονται στη δευτεροβάθμια Ελληνική εκπαίδευση και ιδίως στο Λύκειο, είναι τόσο αυτοαναφερόμενα, ώστε να βγάζει κανείς το συμπέρασμα ότι δεν έχουν καμία σχέση με την πραγματικότητα, ότι αρχίζουν από το τίποτε, ακροβατούν στο κενό και καταλήγουν στο πουθενά, πράγμα που γίνεται φανερό όχι μόνο από τα θέματα των Πανελλαδικών Απολυτήριων Εξετάσεων της Γ Λυκείου, αλλά και από τα πολλά <<βοηθητικά>> βιβλία Μαθηματικών που κυκλοφορούν στην αγορά. Αλλά η ισχύς των Μαθηματικών έγκειται στο ότι : << όποιος τα αγνοεί δεν μπορεί να γνωρίσει τις άλλες επιστήμες,ούτε τα αντικείμενα του κόσμου μας και το χειρότερο είναι ότι αυτοί οι που τα αγνοούν δε συνειδητοποιούν την ίδια την άγνοιά τους και επομένως δεν μπορούν να τη θεραπεύσουν >> Roger Bacon (1220-1292) Μελετώντας βιβλία και άρθρα διδακτικής των Μαθηματικών ή παρακολουθώντας σεμινάρια, ημερίδες, συνέδρια ή διαλέξεις ανάλογου περιεχομένου, είναι εύκολο να διακρίνει κανείς τη μόνιμη επωδό τους : διδάξετε τα Μαθηματικά με τις εφαρμογές τους στις επιστήμες, την τεχνολογία και την πραγματική ζωή. <<Λόγια για λόγια κι άλλα λόγια ;>> (Γιώργος Σεφέρης). ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 1. Έχει παρατηρηθεί ότι η ένταση του φωτός x μέτρα

κάτω από την επιφάνεια της θάλασσας μειώνεται με ρυθμό ανάλογο της έντασης του σ αυτό το σημείο. Δύτες και υποβρύχιοι ψαροντουφεκάδες παρατήρησαν ότι σε βάθος 10 μέτρων από την επιφάνεια του Αιγαίου το φως χάνει περίπου το μισό της έντασης του. Με δεδομένο ότι είναι αδύνατο ένας ψαροντουφεκάς να ξεχωρίσει τα ψάρια όταν η ένταση του φωτός στο βάθος που βρίσκεται είναι το ένα δέκατο της έντασης του επιφανειακού φωτός, μέχρι πιο βάθος θα μπορεί να ψαρέψει ; Λύση Έστω ότι η ένταση του φωτός σε x μέτρα κάτω από την επιφάνεια του Αιγαίου είναι (x) μονάδες και στην επιφάνεια 0 μονάδες. Σύμφωνα με το πρόβλημα θα είναι : Επειδή (x)>0 η (1) γράφεται : (1), όπου κ θετική σταθερά αναλογίας. ( ) (2) Είναι,άρα (3). Από τα δεδομένα του προβλήματος έχουμε : κ, άρα (4) Θέλουμε να υπολογίσουμε το x, όταν Έτσι ένα ψαροτουφεκάς μπορεί να ψαρέψει το πολύ σε βάθος 33 μέτρων κάτω από την επιφάνεια του Αιγαίου..

2. Δίνονται : η συνάρτηση ζήτησης : Q-90+2P=0 η συνάρτηση μέσου κόστους (κόστος ανά μονάδα προϊόντος) Ενός προϊόντος, όπου : Q η ποσότητα ζήτησης του προϊόντος P η τιμή μονάδας του προϊόντος. Να βρείτε το επίπεδο Q ζήτησης του προϊόντος, που α. μεγιστοποιεί τα έσοδα β. ελαχιστοποιεί το οριακό κόστος γ. μεγιστοποιεί τα καθαρά κέρδη του προϊόντος. Λύση Επειδή το μέσο κόστος ανά μονάδα προϊόντος είναι, το κόστος για Q προϊόντα θα είναι : α. Έσοδα =ποσότητα x τιμή (αφού Q-90+2P=0) Q 0 45 90 E (Q) + 0 - E(Q) max Άρα τα έσοδα μεγιστοποιούνται, όταν η ζήτηση ανέρχεται σε 45 μονάδες προϊόντος.

β. Οριακό Κόστος = παράγωγος της συνάρτησης κόστους Q 0 79/6 90 c (Q) - 0 + c (Q) min Άρα το οριακό κόστος ελαχιστοποιείται όταν η ζήτηση είναι μονάδες προϊόντος. γ. Κέρδος = Έσοδα-Κόστος { Q 0 K (Q) - 0 + 0 K(Q) min max Άρα τα κέρδη μεγιστοποιούνται όταν η ζήτηση είναι 25 μονάδες προϊόντος. Σημείωση: Η μονάδα προϊόντος μπορεί να είναι : κιλό, τόνος, τεμάχιο κ.τ.λ. 3. Ο διευθυντής ενός πολυκαταστήματος ηλεκτρικών ειδών εκτιμά ότι στο επόμενο χρόνο θα πουλήσει 2000 τηλεοράσεις πλάσματος. Η τιμή αγοράς μιας τηλεόρασης κοστίζει στο πολυκατάστημα 360 και το κόστος αποθήκευσης της είναι 4. Για κάθε παραγγελία τηλεοράσεων το πολυκατάστημα χρεώνεται με 40

. Υποθέτουμε ότι σε κάθε παραγγελία το πολυκατάστημα παραλαμβάνει το ίδιο πλήθος τηλεοράσεων και ότι οι μισές από αυτές αποθηκεύονται.ποιο πρέπει να είναι το πλήθος το παραγγελιών που πρέπει να κάνει το πολυκατάστημα, ώστε το κόστος των τηλεοράσεων να είναι ελάχιστο; Λύση. Αν x είναι το πλήθος των τηλεοράσεων που παραλαμβάνει το πολυκατάστημα σε μια παραγγελία, τότε το πλήθος των παραγγελιών θα είναι. Τιμή αγοράς τηλεοράσεων : 2000χ360=720.000 Κόστος παραγγελιών : Κόστος αποθήκευσης : Ολικό κόστος των 2000 τηλεοράσεων : x K (x) - 0 + K(x) 0 200 2000 min Επομένως για να έχει ελάχιστο κόστος το πολυκατάστημα, πρέπει να κάνει παραγγελίες των 200 τηλεοράσεων η κάθε μια. 4. Όταν η φωτεινότητα x μιας πηγής φωτός αυξάνεται το μάτι μας αντιδρά μειώνοντας το εμβαδόν Ε της κόρης του, συμφώνα με τον πειραματικό τύπο:

όπου το Ε το μετράμε σε mm 2 και το x σε ανάλογες μονάδεςφωτεινότητας. α. Μπορούμε από τον τύπο να βγάλουμε το συμπέρασμα ότι το Ε μειώνεται καθώς το x αυξάνεται; β. Παρ όλη τη συνεχή μείωση του Ε, καθώς το x αυξάνεται, δείξτε ότι το Ε δεν μπορεί να γίνει μικρότερο από κάποια σταθερή τιμή. γ. Καθώς το x αυξάνεται ο ρυθμός μεταβολής του Ε αυξάνεται ή μειώνεται ; δ. Έχει μέγιστη ή ελάχιστη τιμή το Ε; ε. Ποια είναι η γραφική παράσταση του Ε ως συνάρτηση του x; Λύση α. Για κάθε x>0 είναι : < 0, επομένως το Ε μειώνεται καθώς το x αυξάνεται. β. Είναι Έτσι καθώς το x αυξάνεται το Ε δεν πρόκειται να γίνει μικρότερο από 6mm 2. γ. ( ) άρα καθώς το x αυξάνεται ο ρυθμός μεταβολής του Ε αυξάνεται. δ. Επειδή E(0)=40, και η Ε(x) είναι γνησίως φθίνουσα στο [0, ), το σύνολο τιμών της Ε(x) είναι το (6,40], επομένως το Ε έχει μέγιστη τιμή 40 για x=0 και δεν έχει ελάχιστη τιμή. ε. Από τα προηγούμενα έχουμε τον πινάκα μεταβολής: x 0 + E (x) - E (x) + E(x) 40 6

Από τον πινάκα μεταβολής, έχουμε τη γραφική παράσταση : E(x) 40 6 0 x 5. Στο διπλανό σχήμα φαίνεται μια πιθανή y τροχιά της προσγείωσης ενός αεροπλάνου, για την οποία ισχύουν οι συνθήκες : h Όταν αρχίζει η προσγείωση το αεροπλάνο βρίσκεται σε ύψος h και η οριζόντια απόσταση του από το σημείο 0 x l προσγείωσης είναι l. Υποθέτουμε ότι η τροχιά προσγείωσης του αεροπλάνου περιγράφεται από τη συνάρτηση της μορφής : +β. α. y(0)=; y(l)=; β. y (0)=; y (l)=; γ. Δείξτε ότι : [ ]. δ. Ποιος ο ρυθμός μεταβολής του ύψους του αεροπλάνου, όταν η οριζόντια απόσταση του από το σημείο προσγείωσης είναι x 1, με 0<x 1 <l ;

ε. Σε ποιο σημείο αλλάζει η καμπυλότητα της τροχιάς του αεροπλάνου ; Λύση α. y(0)=0 y(l)=h β. y (0)=0 (αφού η ταχύτητα του αεροπλάνου στο 0 είναι 0) y (l)=0 (γιατί η εφαπτομένη της y στο x 0 =l είναι παράλληλη στον x x) γ. y(0)=0 δ=0 y (0)=0 γ=0 άρα y(x)=αx 3 +βx 2 Άρα. δ. Είναι [ ] [ ] Άρα ο ρυθμός μεταβολής του y για x=x 1 είναι [ ] ε. Είναι [ ] Ο πινάκας προσήμου της y (x) είναι ο : x 0 l y (x) + 0 - y(x) Σ.Κ

Επομένως η καμπυλότητα της τροχιάς αλλάζει στο σημείο της με τετμημένη x=l /2 6. Ποιο είναι το μήκος της ακτίνας του ατόμου του υδρογόνου ; Λύση Θα στηριχτούμε σε δυο βασικές αρχές της ατομικής Φυσικής : 1 η ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΑΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΙΑΣ Werner Heisenberg Το γινόμενο των αβεβαιοτήτων της (1901-1976) θέσης και της ορμής ενός σωματιδίου δεν μπορεί να γίνει μικρότερο από το Γερμανός Φυσικός Βραβείο μισό της σταθερής του Planck, έτσι : Nobel 1932. ή προσεγγιστικά: ( =1,0055x J.s) 2 η ΑΡΧΗ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ Τα ηλεκτρόνια ενός ατόμου οφείλουν να κινούνται σε τροχιακά με την ελάχιστη ενέργεια, ώστε να αποκτήσουν τη μέγιστη σταθερότητα στη θεμελιώδη κατάσταση. Υποθέτουμε ότι r είναι η ακτίνα του ατόμου του υδρογόνου, το οποίο αποτελείται από ένα πρωτόνιο και ένα ηλεκτρόνιο. υ Το ηλεκτρόνιο περιφερόμενο γύρω από το πρωτόνιο έχει κινητική και δυναμική ενέργεια. Η μέση κινητική ενέργεια του ηλεκτρονίου είναι : ( ) (αφού p=m.υ) (γιατί από την αρχή της απροσδιοριστίας έχουμε r.p ). Η μέση δυναμική ενέργεια του ηλεκτρονίου είναι :

(αφού είναι το δυναμικό του ηλεκτρικού πεδίου που δημιουργεί το πρωτόνιο που έχει ηλεκτρικό φορτίο e και κ είναι η σταθερή της δύναμης Coulomb). Επομένως η μέση ολική ενέργεια του ηλεκτρονίου στο τυχαίο σημείο της τροχιάς του είναι : r E (r) E(r) 0 - + min Άρα το ηλεκτρόνιο του ατόμου του υδρογόνου έχει ελάχιστη ενέργεια όταν : η ακτίνα του είναι : (1) Για: =1,0055x J.s (Σταθερά Planck διαιρεμένη με το 2π) (Σταθερός συντελεστής του νόμου Coulomb) kg (Μάζα ηλεκτρονίου) C (φορτίο ηλεκτρονίου)

(διηλεκτρική σταθερά) η (1) δινει r 0,5 Å ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 1. T.M. Apostol, Calculus I, John Wiley & Sons, Inc., U.S.A, 1967. 2. F. Ayres E. Mentelson,Calculus, Schaum s outline, The Mc Graw-Hill, U.S.A, 2009 3. Π.Μ. Βλάμος, Παράγωγος Συνάρτησης, Εκδόσεις V, Αθήνα, 1998. 4. Π.Μ. Βλάμος-Γ.Μ. Κοντογεώργης, Μαθηματικά Μοντέλα στη Δευτεροβάθμια Εκπαίσευση, Εκδόσεις V, Αθήνα 5. G.W. Bluman, Problem Book for First Year Calculus, Springer-Verlag, New York, 1984. 6. B. Crowell, Calculus, Light Matter, California, 2005. 7. P.A. Foerster, Calculus, Second Edition, Key Curriculum Press, U.S.A, 2005. 8. R. Larson-B.H. Edwards, Calculus, Ninth Edition, Brooks/Coll, U.S.A, 2010. 9. M. Spivak, Διαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισμός, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο, 1991. 10. J. Stewart, Calculus, Concepts & Contexts, Thomson Brooks/Coll, U.S.A, 2005. 11. G. B. Thomas, Απειροστικός Λογισμός, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο, 2005. 12. Μ. Τουμάσης-Γ. Τσαπακίδης, Θέματα Μαθηματικών Γ Λυκείου, Γενικής Παιδείας, Σαββάλας, Αθήνα, 2007.