ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ

Transcript

1 ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Α. Θεωρία (Θεώρημα σελίδα 5 σχολικού βιβλίου) Α. Α) ΨΕΥΔΗΣ Β) Θα δώσουμε ένα αντιπαράδειγμα Έστω η συνάρτηση f (), που είναι συνεχής στο αφού είναι παραγωγίσιμη στο ως απόλυτο συνεχούς στο συνάρτησης. Όμως δεν είναι παραγωγίσιμη στο αφού Για, Για, f () f () lim lim f () f () lim lim Επειδή. f () f () f () f () lim lim η συνάρτηση f δεν είναι παραγωγίσιμη στο A. Ορισμός (Σελίδα 7 σχολικού βιβλίου) Α. α) ΛΑΘΟΣ β) ΣΩΣΤΟ, σχολικό βιβλίο σελ. 5 γ) ΛΑΘΟΣ, σχολικό βιβλίο σελ. 6 δ) ΣΩΣΤΟ, σχολικό βιβλίο σελ. 67 ε) ΣΩΣΤΟ, σχολικό βιβλίο σελ. 76

2 ΘΕΜΑ Β Β. Αν f, και και f, g f gτο πεδίο ορισμού των συναρτήσεων f, g και f g έχουμε: A / g() A / g. Οπότε: f g g f h() f g () f g() ln /,. Επίσης B. h () ln ( ) συνάρτηση h είναι γνησίως αύξουσα άρα και «-» στο,. Άρα η h αντιστρέφεται. Έστω y h(). Έχουμε: στο,. Άρα η y y y y y y y y ln ( ) για κάθε y y. Άρα η αντίστροφη συνάρτηση της h είναι η: h () (), B. (),. Άρα η συνάρτηση φ είναι γνησίως αύξουσα και δεν παρουσιάζει ακρότατα στο. () (),. Άρα η συνάρτηση φ είναι κυρτή στο, (). Άρα η συνάρτηση φ είναι κoίλη στο,, () Αφού η φ είναι παραγωγίσιμη στο ορίζεται η εφαπτόμενη στο. Άρα το σημείο, είναι σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης φ. Β. lim () lim. Άρα η ευθεία y είναι οριζόντια ασύμπτωτη στη γραφική παράσταση της φ στο, lim () lim lim lim. Άρα η ευθεία y είναι οριζόντια ασύμπτωτη στη γραφική παράσταση της φ στο. Από όλα τα προηγούμενα συμπεράσματα προκύπτει η παρακάτω γραφική παράσταση της συνάρτησης φ: () + + () + φ Η φ αύξουσα και κυρτή Η φ φθίνουσα και κοίλη

3 ΘΕΜΑ Γ Γ. Έστω,f το (ή τα) σημείο επαφής. Η εξίσωση της εφαπτόμενης ε στο Μ είναι: y (). Όμως A ( ) () Αρκεί να δείξουμε ότι η εξίσωση () έχει ακριβώς δύο λύσεις στο,. Θεωρούμε τη συνάρτηση: g(),,. H g είναι συνεχής στο, (ως άθροισμα συνεχών) και παραγωγίσιμη στο, με g () g () g () g () π g () + g() Η g γνησίως φθίνουσα Η g γνησίως αύξουσα Άρα η συνάρτηση g παρουσιάζει ελάχιστο στο το g και μέγιστο στα και π το g() g( ). Η συνάρτηση g στα διαστήματα και είναι γνησίως μονότονη άρα και «-». Άρα οι ρίζες και π είναι μοναδικές. Έτσι οι εξισώσεις των εφαπτόμενων στα σημεία O,f () και B,f ( ) είναι: δηλαδή : y : y : y δηλαδή : y. και

4 Αν, τότε g, Γ. H συνάρτηση f είναι κυρτή στο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ και αν, τότε g,.,, αφού f () και f () στο,. Άρα η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται πάνω από την εφαπτομένη και στο σημείο,f (),f δηλαδή πάνω από τις ευθείες: : y και : y. και στο Άρα: E d d E OAB d. Άρα: και lim f () lim Γ. lim f () lim, E E 8 Όπως είπαμε στο ερώτημα Γ. η συνάρτηση f είναι κυρτή στο,. Άρα η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται πάνω από την εφαπτομένη στο σημείο y, στο, δηλαδή f () Άρα: lim lim f () f () Οπότε:,. lim lim f () f () f () M,f δηλαδή από την ευθεία:

5 f () Γ. Στο Γ. αποδείξαμε ότι: f () για κάθε,,. Άρα: f () f () f () d d d ln d ΘΕΜΑ Δ Δ. ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο, ως η ρίζα συνεχούς συνάρτησης και Στο, ως γινόμενο συνεχών συναρτήσεων. Ελέγχουμε την συνέχεια στο : Για, Για f () lim f () lim, lim f () lim Άρα η συνάρτηση f είναι συνεχής στο, ως η ρίζα συνεχούς συνάρτησης και στο, ως γινόμενο συνεχών συναρτήσεων, η συνάρτηση f είναι συνεχής. ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΟΤΗΤΑ:. Επειδή η συνάρτηση f είναι συνεχής στο Για,, f () Για,, f () Ελέγχουμε την παραγωγισιμότητα στο Για, Για, f () f () f () f () lim lim lim lim lim lim lim Άρα η συνάρτηση f δεν είναι παραγωγίσιμη στο. Άρα το είναι κρίσιμο σημείο της f.. Ελέγχουμε αν έχουμε άλλα κρίσιμα σημεία ελέγχοντας αν υπάρχουν εσωτερικά σημείο του πεδίου ορισμού στα οποία μηδενίζεται η παράγωγος: f (), όμως η λύση αυτή απορρίπτεται., f (),. Άρα το είναι σημείο επίσης κρίσιμο σημείο της συνάρτησης f. Για,, Για, 5

6 Δ. Για,,,, f (). Άρα η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο 5 5 f 6 και f 6 έχουμε f () στο, και f () στο,. Άρα η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο, και γνησίως φθίνουσα στο,. f () στο, Για,, επειδή Από τα παραπάνω και από το ότι το πεδίο ορισμού είναι το κλειστό διάστημα, προκύπτει ότι η συνάρτηση f παρουσιάζει: Τοπικά μέγιστα στα σημεία: και τα f και f Τοπικά ελάχιστα στα σημεία: και π τα f () και f ( ) Σημείωση: Στα παραπάνω συμπεράσματα έχουμε λάβει υπ όψιν ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής στο,. Έτσι το σύνολο τιμών f A της f είναι το διάστημα: m,m όπου m και Μ η ελάχιστη και μέγιστη τιμή της συνάρτησης στο διάστημα: Δ. Το ζητούμενο εμβαδόν είναι:,. Άρα f A, 5 f () g() d d 5 Μελετάμε το πρόσημο της διαφοράς: και και, στο, και,. Έχουμε: 5 5 Άρα: f () g() d g() f () d d d d () 5 d d d d d d d 6

7 Έτσι η () γίνεται: τ.μ f () 8 6 f () 6 h() h, Δ. όπου h() 6 f (),, Όμως f () f 6f () 6f και 6 f () 6 f h() h, με την ισότητα να ισχύει μόνο για. Άρα μοναδική λύση της αρχικής εξίσωσης η τιμή 7