για κάθε x 0. , τότε f x στο Απάντηση είναι εσωτερικό σημείο του Δ και η f παρουσιάζει σ αυτό τοπικό μέγιστο, υπάρχει 0 τέτοιο, ώστε (x , ισχύει

Transcript

1 ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΕΜΠΤΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 6 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) & ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) ΘΕΜΑ Α Α Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο ότι ένα εσωτερικό σημείο του Δ Αν η και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, τότε να αποδείξετε Μονάδες 7 Α Να διατυπώσετε το κριτήριο παρεμβολής Α Πότε λέμε ότι η ευθεία y είναι οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης στο Α4 Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη α) lim β) Αν ln για κάθε, τότε για κάθε γ) Αν μια συνάρτηση δεν είναι συνεχής στο, τότε η δεν είναι παραγωγίσιμη στο δ) Υπάρχει πολυωνυμική συνάρτηση βαθμού, η οποία έχει ασύμπτωτη,, ισχύει: ε) Για κάθε συνάρτηση, συνεχή στο αν d Α Ας υποθέσουμε ότι η παρουσιάζει στο, τότε στο, Απάντηση τοπικό μέγιστο Επειδή το Μονάδες είναι εσωτερικό σημείο του Δ και η παρουσιάζει σ αυτό τοπικό μέγιστο, υπάρχει τέτοιο, ώστε (, ) και () ( ), για κάθε A (, ) () Επειδή, επιπλέον, η είναι παραγωγίσιμη στο, ισχύει () ( ) () ( ) ( ) lim lim Επομένως, αν (, ), τότε, λόγω της (), θα είναι () ( ) ( ) lim () αν (, ), τότε, λόγω της (), θα είναι () ( ) ( ) lim () () ( ), οπότε θα έχουμε () ( ), οπότε θα έχουμε

2 Έτσι, από τις () και () έχουμε Η απόδειξη για τοπικό ελάχιστο είναι ανάλογη Α Έστω οι συναρτήσεις Αν h() () g() κοντά στο lim h() lim g(),τότε και lim (),g,h και Α Αν lim (), τότε η ευθεία y λέγεται οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της στο Α4 α) Λ β) Λ γ) Σ δ) Λ ε) Λ ΘΕΜΑ Β Δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης Β Να βρείτε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της Β Να βρείτε, αν υπάρχουν, τα παρακάτω όρια lim lim lim α) β) γ) 5 Για τα όρια που δεν υπάρχουν να αιτιολογήσετε την απάντησή σας B Να βρείτε, αν υπάρχουν, τα παρακάτω όρια α) lim β) lim 6 B4 Να βρείτε τα σημεία στα οποία η δεν είναι συνεχής Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας B5 Να βρείτε τα σημεία Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας δ) lim 7 γ) lim 8 του πεδίου ορισμού της για τα οποία ισχύει ε) lim 9 Μονάδες 7 Μονάδες 9 Μονάδες Λύση Β Α,5 5,, A,5

3 lim lim B α) β) Είναι lim, lim γ) lim lim άρα 5 5 Επειδή lim lim δεν υπάρχει το lim 5 lim δ) Είναι lim, lim 4 Επειδή lim lim δεν υπάρχει το 7 ε) lim lim Β α)είναι Επειδή β) Επειδή u lim lim, u u u lim lim γ) Θέτουμε u 7 7 u lim lim u u u, δεν υπάρχει το για κάθε 5,6 6,7, lim 5 8 lim lim u 8 u5 lim B4 Επειδή δεν υπάρχει το Επειδή δεν υπάρχει το 7 lim lim u, είναι: lim lim 6 u u u, η δεν είναι συνεχής στο, η δεν είναι συνεχής στο 7 lim Β5 Τα σημεία με τετμημένες 4, 6 και 8 δεν είναι γωνιακά και η γραφική παράσταση της δέχεται οριζόντια εφαπτομένη, άρα ΘΕΜΑ Γ Δίνεται η συνάρτηση : με Γ Να αποδείξετε ότι η είναι - (μονάδες ) και να βρείτε την αντίστροφή της (μονάδες 4) Μονάδες 6 Γ Να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει: ημ 6 Μονάδες 9 Γ Ένα σημείο Μ κινείται κατά μήκος της καμπύλης y, t y y t Να βρείτε σε ποιο σημείο της καμπύλης ο ρυθμός μεταβολής της τεταγμένης μεταβολής της τετμημένης t, αν υποτεθεί ότι y t 7 με και t για κάθε t του Μ είναι ίσος με το ρυθμό Γ4 Αν g: είναι συνεχής και άρτια συνάρτηση, να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα g d Λύση Γ Η είναι παραγωγίσιμη στο με Είναι συνεχής, είναι γνησίως αύξουσα στο, οπότε είναι και - lim lim και lim lim Είναι Επειδή η είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο για κάθε και επειδή η είναι έχει σύνολο τιμών το Μονάδες 6

4 lim, lim Επειδή η είναι - ορίζεται η αντίστροφή της και για το πεδίο ορισμού της ισχύει ότι: A y y Αν Γ τότε y,, ενώ αν τότε ημ ημ 6 6 g ημ, 6 Έστω y, άρα y y, y, οπότε y, y Η g είναι φορές παραγωγίσιμη στο με g συν και Επειδή για κάθε είναι ημ, είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα αυτό g Για κάθε g g, ισχύει ότι διάστημα αυτό Για κάθε Γ Είναι yt t και g και επειδή η g και επειδή η g είναι συνεχής στο, g ημ είναι συνεχής στο, είναι γνησίως αύξουσα στο g g g 6 6 ytt :t t yt tt t tt t t t Τότε y t 7 9 και, 9 Γ4 Έστω h g g, Είναι h g g h, δηλαδή η h είναι περιττή g d h d h d h d Είναι Ι h d h d h d Θέτουμε u, τότε d du Για είναι u και για είναι u Τότε hudu hd Άρα Β τρόπος h d h d h d uddu g d u g u du u g u du g d g d u u g d g d ΘΕΜΑ Δ 4

5 Δίνεται η συνάρτηση ln,, ln, Δ Να δείξετε ότι η είναι συνεχής στο, ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της (μονάδες ) Δ Να αποδείξετε ότι το Δ i) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (μονάδες ) και να βρείτε, αν υπάρχουν, τις κατακόρυφες είναι το μοναδικό κρίσιμο σημείο της έχει μοναδική ρίζα στο, Μονάδες 5 Μονάδες 8 (μονάδες ) ii) Αν Ε είναι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της, τον άξονα των και τις ευθείες και, όπου, να αποδείξετε ότι Ε Δ4 Αν F είναι μια παράγουσα της στο, η μοναδική ρίζα της εξίσωσης στο, (μονάδες 4) Μονάδες 7 F F F για κάθε, να αποδείξετε ότι Λύση Δ Για κάθε, η είναι συνεχής ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων Για κάθε, συνεχής ως πηλίκο συνεχών συναρτήσεων Στο έχουμε: ln ln lim lim και lim lim lim DLH Επειδή lim lim, η είναι συνεχής στο, οπότε είναι συνεχής στο Μονάδες 5 η είναι, ln Είναι lim lim lim ln, άρα η ευθεία δηλαδή ο άξονας, είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της ln η είναι παραγωγίσιμη με ln Για κάθε, είναι ln ln ln και επειδή η είναι συνεχής, είναι γνησίως αύξουσα στο, Δ Για κάθε, C Για κάθε η είναι παραγωγίσιμη με Έστω h ln, Είναι ln ln h ln h ln για κάθε, άρα η h είναι, Για κάθε h h, γνησίως φθίνουσα στο ln ln Είναι lim lim lim lim και DLH 5

6 ln DLH ln lim lim lim lim lim lim Επειδή lim lim, η δεν είναι παραγωγίσιμη στο Επειδή κρίσιμα σημεία της είναι οι ρίζες της δεν είναι παραγωγίσιμη, το 6 καθώς και τα εσωτερικά σημεία του είναι το μοναδικό κρίσιμο σημείο της, στα οποία Δ i Επειδή η είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο,, έχει αντίστοιχο σύνολο τιμών το lim,, Επειδή, υπάρχει μοναδικό τέτοιο, ώστε Είναι DLH ln lim lim lim, Επειδή η είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο, lim,, Επειδή η εξίσωση Άρα η εξίσωση έχει μοναδική ρίζα στο, ii Το ζητούμενο εμβαδόν είναι: d Για κάθε,,, έχει αντίστοιχο σύνολο τιμών το είναι αδύνατη στο, ln ln ln, οπότε d ln ln, οπότε Είναι Δ4 ος τρόπος: Για κάθε είναι, γιατί είναι παραγωγίσιμη στο,, και παραγωγίσιμη στα Η F είναι συνεχής στα,,,, και, με F, οπότε σύμφωνα με το ΘΜΤ υπάρχουν, F F F F τέτοια, ώστε F και F F F F F Είναι F F F F και, F F F F F F F F F F F ος τρόπος: F F F F F F F F F F F t dt t dt Για κάθε t t t και επειδή η ισότητα δεν ισχύει για κάθε έχουμε: t,, dt t dt dt t dt

7 () t dt Για κάθε t t t κάθε έχουμε: t,, και επειδή η ισότητα δεν ισχύει για dt t dt dt t dt () Για κάθε είναι και επειδή, είναι Από τις (), () έχουμε t dt t dt () 7