ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 3 ΜΑΪΟΥ 01 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ Α Α1. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι ( f () + g() ) = f ( ) + g ( ), Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραμα με ισοπίθανα αποτελέσματα να δώσετε τον κλασικό ορισμό της πιθανότητας ενός ενδεχομένου Α Μονάδες 4 Α3. Πώς ορίζεται ο συντελεστής μεταβολής ή συντελεστής μεταβλητότητας μιας μεταβλητής X, αν _ >0 και πώς, αν _ <0; Μονάδες 4 Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Το κυκλικό διάγραμμα χρησιμοποιείται μόνο για τη γραφική παράσταση ποσοτικών δεδομένων (μονάδες ). ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ
ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ β) Η παράγωγος της f στο 0 εκφράζει το ρυθμό μεταβολής του y = f () ως προς, όταν = 0 (μονάδες ). γ) Αν Α, Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Α Β, τότε ισχύει ότι Ρ ( Α) > Ρ( Β) (μονάδες ). δ) Το εύρος, η διακύμανση και η τυπική απόκλιση των τιμών μιας μεταβλητής είναι μέτρα διασποράς (μονάδες ). ε) lim ημ = ημ0 0, 0 (μονάδες ). Μονάδες 10 ΘΕΜΑ Β Οι χρόνοι (σε λεπτά) που χρειάστηκαν οι μαθητές μιας τάξης για να λύσουν ένα μαθηματικό πρόβλημα ανήκουν στο διάστημα [5,45) και έχουν ομαδοποιηθεί σε τέσσερις κλάσεις ίσου πλάτους. Τα δεδομένα των χρόνων εμφανίζονται στο παρακάτω ιστόγραμμα αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων επί τοις εκατό. Β1. Με βάση το παραπάνω ιστόγραμμα αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων επί τοις εκατό, να υπολογίσετε τη διάμεσο των χρόνων που χρειάστηκαν οι μαθητές. Μονάδες 4 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ
ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ Β. Στον επόμενο πίνακα συχνοτήτων της κατανομής των χρόνων, να αποδείξετε ότι α=8 (μονάδες 3) και να μεταφέρετε τον πίνακα κατάλληλα συμπληρωμένο στο τετράδιό σας (μονάδες 5). Χρόνοι (λεπτά) i v i f i % N i F i % [5,. ) α+4 [.,. ) 3α-6 [.,. ) α+8 [., 45) α- Σύνολο ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ Μονάδες 8 Β3. Να βρεθεί η μέση τιμή _ και η τυπική απόκλιση s των χρόνων που χρειάστηκαν οι μαθητές. ( ίνεται ότι: 84 9,17) Μονάδες 8 Β4. Να βρεθεί το ποσοστό των μαθητών που χρειάστηκαν τουλάχιστον 37 λεπτά να λύσουν το μαθηματικό πρόβλημα. Μονάδες 5 ΘΕΜΑ Γ Από τους μαθητές μιας τάξης ενός σχολείου επιλέγουμε τυχαία έναν μαθητή. Αν ν φυσικός αριθμός με ν 3, τότε η πιθανότητα του ενδεχομένου ο μαθητής να μαθαίνει 3ν Γαλλικά είναι ν + 1 Ισπανικά είναι ν + ν + 1 και τις δύο παραπάνω γλώσσες είναι ν + 1 ν + 1
ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ μία τουλάχιστον από τις παραπάνω γλώσσες είναι ίση με το όριο ( + 3 ) lim 1 + Γ1. Να αποδείξετε ότι το ενδεχόμενο ο μαθητής να μαθαίνει μία τουλάχιστον από τις παραπάνω δύο γλώσσες είναι βέβαιο. Μονάδες 7 Γ. Να αποδείξετε ότι ν = 3 Μονάδες 6 Γ3. Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου ο μαθητής να μαθαίνει μόνο μία από τις δύο γλώσσες. Μονάδες 6 Γ4. Αν ο αριθμός των μαθητών που μαθαίνουν και τις δύο παραπάνω γλώσσες είναι 3, να βρείτε τον αριθμό των μαθητών της τάξης. Μονάδες 6 ΘΕΜΑ 1+ ln ίνεται η συνάρτηση f () =, >0 1. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα. Μονάδες 5. Έστω Μ (,f ()), 0 > σημείο της γραφικής παράστασης της f. Η παράλληλη ευθεία από το Μ προς τον άξονα y y τέμνει τον ημιάξονα O στο σημείο Κ (,0) και η παράλληλη ευθεία από το Μ προς τον άξονα τέμνει τον ημιάξονα Oy στο σημείο Λ ( 0,f ()). Αν O είναι η αρχή των αξόνων, να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του ορθογωνίου παραλληλόγραμμου ΟΚΜΛ γίνεται ελάχιστο, όταν αυτό γίνει τετράγωνο. Μονάδες 7 ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ
ΑΡΧΗ 5ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ 3. Έστω η ευθεία ε : y = λ + β, β 10, η οποία είναι παράλληλη προς την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Σ ( 1,f (1) ). Θεωρούμε δέκα σημεία ( i,y i ), i=1,,,10 της ευθείας ε, τέτοια ώστε οι τετμημένες τους i να έχουν μέση τιμή _ = 10 και τυπική απόκλιση s =. Να βρείτε για ποιες τιμές του β το δείγμα των τεταγμένων yi των δέκα σημείων είναι ομοιογενές. Μονάδες 8 4. Αν Α και Β είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα, τέτοια ώστε Α και Α Β, τότε να αποδείξετε ότι f ( Ρ ( Α) ) + f ( Ρ( Α Β) ) f ( Ρ( Α Β) ) Ο ΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζομένους) Μονάδες 5 1. Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, εξεταζόμενο μάθημα). Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. εν επιτρέπεται να γράψετε καμιά άλλη σημείωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα. 4. Να γράψετε τις απαντήσεις σας μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μολύβι μόνο για σχέδια, διαγράμματα και πίνακες. 5. Να μη χρησιμοποιήσετε χαρτί μιλιμετρέ. 6. Κάθε απάντηση τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 7. ιάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 8. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: 10.30 π.μ. KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 5ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 01 ΘΕΜΑ Α Α1. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 31 (Απόδειξη) Α. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 148 (Ορισμός) Α3. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 96 (Ορισμός) Α4. α) Λ β) Σ γ) Λ δ) Σ ε) Σ ΘΕΜΑ Β Β1. Κατασκευάζοντας το πολύγωνο αθρ. σχετ. συχνοτήτων βρίσκουμε δ=5 λεπτά. Β. Από το ιστόγραμμα αθρ. σχετ. συχνοτήτων έχουμε c=10 και F % 50 = α + 4+ 3α 6 4α 1 100 = 50 = 8α 4 = 7α + 4 α = 8 7α + 4 7α + 4 Επομένως v 1 =1, v =18, v 3 =4, v 4 =6 και v=v 1 +v +v 3 +v 4 =60 και με χρήση γνωστών τύπων έχουμε τελικά:
Χρόνοι i ν fi% Ni fi% i [5.15) 10 1 0 1 0 [15.5) 0 18 30 30 50 [5.35) 30 4 40 54 90 [35.45) 40 6 10 60 100 ΣΥΝΟΛΟ 60 100 Β3. 4 Σ v i ι I = 1 10 1 + 0 18 + 30 4 + 40 6 1440 = = = = 4' v 60 60 s 4 1 (10 4) 1 + (0 4) 18 + (30 4) + (40 4) 6 Σ = ( i ) vi = 60 60 1 = 196 1 + 16 18 + 36 4 + 56 6 5040 = = = 84 60 60 s = 84 9.17 ' 8 Β4. Το διάστημα [37,45) είναι το της κλάσης [35,45) και επειδή οι 10 παρατηρήσεις σε κάθε κλάση θεωρούνται ομοιόμορφα κατανεμημένες το ζητούμενο ποσοστό είναι ίσο με 8 f 4% = 8 10% = 8% 10 10 YΓ: Θα μπορούσε να υπολογιστεί και από το πολύγωνο με χρήση όμοιων τριγώνων.
ΘΕΜΑ Γ Έστω τα ενδεχόμενα Γ: ο μαθητής μαθαίνει Γαλλικά Ι : ο μαθητής μαθαίνει Ισπανικά 3v v+ Είναι: P( Γ ) = P( Ι ) = v + 1 v + 1 Το ενδεχόμενο μαθαίνει και τις δύο γλώσσες είναι το Γ Ι v + 1 Άρα P( Γ Ι ) = v + 1 Το ενδεχόμενο μαθαίνει μια τουλάχιστον από τις δυο γλώσσες είναι το Γ Ι. Άρα P( Γ Ι ) = lim 1 ( + 3 + Γ1. ( + 3 ( + 3 )( + 3 + ) lim = lim =... = 1 + ( + 1)( + 3+ ) 1 1 Είναι P( Γ Ι ) = 1και ο δ.χ. αποτελείται από ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα είναι Γ Ι=Ω, Επομένως το Γ Ι είναι το βέβαιο ενδεχόμενο. Γ. v 3 3v + 1 PI ( Γ ) = PI ( ) + P( Γ) PI ( Γ) = 1 v 3v= 0 v= 3, αφού v + 1 Γ3. Για v=3 PI ( Γ) ( Γ Ι ) = PI ( Γ) PI ( Γ) 4 6 3 = 1 = = 10 10 5
Γ4. ΝΓ Ι ( ) = 3 και P( Γ Ι ) = 5 Απ όκλασικόορισμόπιθαν ότητ aς P( Γ Ι ) = 5 ΝΓ Ι ( ) = ΝΩ ( ) 5 ΝΩ ( ) = 80, αφού ΝΓ Ι ( ) = 3 ΘΕΜΑ Δ 1+ ln f( ) =, > 0 Δ1. f 1 ln 1 ln (ln ln 1) (ln 1) '( ) + = = = Είναι >0 και (ln-1) 0. To = ισχύει μόνο για =e. Άρα f ()<0 για κάθε e επομένως f γνησίως φθίνουσα. Δ. Λ ( 0, f ( ) ) Μ (, f ( ) ) 0 Κ (,0)
1+ ln E = ( OK)( OΛ ) = f( ) = = 1+ ln Άρα Ε = + με > ( ) 1 ln 0 ln E'( ) = ln E'( ) = 0 = 0 ln = 0 = ln1 = 1 ln > 0 E'( ) > 0 > 0 ln > 0 ln ln ln1 > 1 0 1 + Ε - + Ε ] κ [ ) E (0.1 Ε 1, + άρα ελάχιστο για = 1 Τότε (ΟΚ)=1, (ΟΛ)=f(1)=1 επομένως ΟΚΜΛ τετράγωνο
Δ3. ε: y=λ+β, β 10 Έστω (n) η εφαπτομένη της cf στο Σ(1,f(1). Τότε λ η =f (1)=-1 ε//n λε=-1. Άρα ε:y=-+β, β 10 Είναι y i =- i +β Από εφαρμογή του σχολικού είναι: y = + β y = 10 + β και5 y = 1 5= Το δείγμα των τεταγμένων είναι ομοιογενές όταν 5y 1 1 CVy 10% y 10 β 10 10 0 β 10 β 10 0 ήβ 10 0 β 30 ήβ 10 Δ4. Επειδή Α 0, Α Β 0, PA ( ) 0, PA ( B) 0 και ο δ. χ. αποτελείται απ όισοπιθανα απλ άενδεχ όμενα είναι PA ( ) > 0 και PA ( B) > 0 Όμως Α Α Β άρα 0 < PA ( ) PA ( B) A B A Bάρα 0 < P( Α Β) P( A B) Όμως f (0, + ) άρα f( P( A)) f( P( A B)) f( P( A B)) f( P( A B)) Μ επρόσθεσηκατάμέληπροκύπτει f( P( A)) + f( P( A( A B)) f( P( A B)) Επιμέλεια Καθηγητών Φροντιστηρίων Βακάλη