Θέμα Α. Θέμα Β. ~ 1/9 ~ Πέτρος Μάρκου. % σχεδιάζουμε το πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων τοις

Transcript

1 01 Θέμα Α Α1. Θεωρία (απόδειξη), σελίδα 31 σχολικού βιβλίου Α. Θεωρία (ορισμός), σελίδα σχολικού βιβλίου Α3. Θεωρία, (ορισμός), σελίδα 96 σχολικού βιβλίου Α. α) Λάθος β) Σωστό γ) Λάθος δ) Σωστό ε) Σωστό Θέμα Β Β1. Α τρόπος Η αθροιστική σχετική συχνότητα τοις εκατό που αντιστοιχεί στην κλάση 15,5 είναι F % 50, άρα το 50% των παρατηρήσεων (χρόνων) είναι μικρότερες ή ίσες των 5 λεπτών και το 50% των παρατηρήσεων (χρόνων) είναι μεγαλύτερες ή ίσες των 5 λεπτών. Επομένως η διάμεσος είναι 5 λεπτά. Β τρόπος Στο ιστόγραμμα F % σχεδιάζουμε το πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων τοις εκατό και προκύπτει: Επομένως, 5 λεπτά ~ 1/9 ~ Πέτρος Μάρκου

2 01 Χρόνοι (λεπτά) Β. Επειδή η διάμεσος είναι 5 λεπτά, θα πρέπει οι μισές σε πλήθος παρατηρήσεις να είναι μικρότερες ή ίσες των 5 λεπτών και οι μισές σε πλήθος παρατηρήσεις να είναι μεγαλύτερες ή ίσες των 5 λεπτών. Επομένως, οι μισές σε πλήθος παρατηρήσεις ανήκουν στις πρώτες δύο κλάσεις 5,15 και 15, 5, άρα είναι σε πλήθος v1 v 3 6 και οι μισές σε πλήθος παρατηρήσεις ανήκουν στις τελευταίες δύο κλάσεις πλήθος v3 v Επομένως, Τότε, ο πίνακας κατανομής συχνοτήτων είναι: v % f N % F v 5,35 και 35,5, άρα είναι σε v 5, , , , Σύνολο Β3. Από τον παραπάνω πίνακα, έχουμε: v 1 10 v 60 λεπτά. v s 8, άρα v 60 s 8 9,17 λεπτά Β. Οι ζητούμενες παρατηρήσεις (μαθητές) ανήκουν σε μέρος της ης κλάσης. Θεωρούμε την υποθετική κλάση: ~ /9 ~ Πέτρος Μάρκου

3 01 37,5, με σχετική συχνότητα f % και πλάτος c Η οποία είναι μέρος της 35,5, με σχετική συχνότητα f % 10 και πλάτος c Επειδή δεχόμαστε ότι οι παρατηρήσεις κατανέμονται ομοιόμορφα μέσα στις κλάσεις, θα ισχύει: f % c 8 8 f % c Άρα οι ζητούμενες παρατηρήσεις είναι σε ποσοστό 8%. Θέμα Γ Αναφέρεται η έκφραση «επιλέγουμε τυχαία έναν μαθητή», επομένως ο δειγματικός χώρος αποτελείται από απλά ισοπίθανα ενδεχόμενα. Θεωρούμε τα ενδεχόμενα: Α: «ο μαθητής που επιλέγεται μαθαίνει Γαλλικά» Β: «ο μαθητής που επιλέγεται μαθαίνει Ιταλικά» Τότε: P 3v v 1 v P v 1 και Το ενδεχόμενο «ο μαθητής που επιλέγεται μαθαίνει και τις δύο γλώσσες» είναι το. v 1 P v 1. Άρα Το ενδεχόμενο «ο μαθητής που επιλέγεται μαθαίνει μια τουλάχιστον από τις δύο γλώσσες» είναι το. Άρα P Γ1. Έχουμε: m P m m 1 1 ~ 3/9 ~ Πέτρος Μάρκου

4 m m m m m Άρα P 1 και επειδή ο δειγματικός χώρος αποτελείται από απλά ισοπίθανα ενδεχόμενα θα είναι, δηλαδή το είναι βέβαιο ενδεχόμενο. Γ. Από τον προσθετικό νόμο παίρνουμε: P P P P v v 3v v v 1 1 v 1 v 1 v 1 3v v v 1 1 v 1 3v 1 1 v 1 1 3v 1 3v 0 v v3 0 v 0 ή v 3 Επειδή v 3, θα είναι v 3 (η λύση v 0 απορρίπτεται) ~ /9 ~ Πέτρος Μάρκου

5 01 Γ3. Για v 3, έχουμε: P P , 31 P και Το ενδεχόμενο «ο μαθητής που επιλέγεται μαθαίνει μόνο μια από τις δύο γλώσσες» είναι το. Επειδή (δηλαδή τα δύο ενδεχόμενα και είναι ξένα), θα ισχύει ο απλός προσθετικός νόμος: P P P P P P P P P P Γ. Επειδή ο δειγματικός χώρος αποτελείται από απλά ισοπίθανα ενδεχόμενα θα χρησιμοποιήσουμε τον κλασικό ορισμό της πιθανότητας: 3 10 N N P N 30 N 80 N μαθητές. Θέμα Δ Δ1. Η συνάρτηση f 1 n, 0 είναι παραγωγίσιμη με: 1 1 n 1 n n 1 n 1 n n 1 f n 1 0 για κάθε 0. n 1 f 0 0 n 1 0 n 1 e Άρα, ο πίνακας μονοτονίας της f είναι: ~ 5/9 ~ Πέτρος Μάρκου

6 01 0 e f f Επομένως, η f είναι γνησίως φθίνουσα στο 0,. Δ. Κάνουμε το σχήμα: Επειδή 0, θα είναι f 0 f f Επειδή f 1 n 0 για κάθε 0, θα είναι f. Το εμβαδόν του ορθογωνίου θα δίνεται από τη συνάρτηση: 1 n ά ύ f 1 n, 0 Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη με : 1 n 1 n n, 0 ~ 6/9 ~ Πέτρος Μάρκου

7 01 n 0 0 n 0 n n1 1 n 0 0 n 0 n n1 1 n 0 0 n 0 n n1 1 Άρα, ο πίνακας μονοτονίας της είναι: Επομένως, η είναι γνησίως φθίνουσα στο 0,1, ενώ είναι γνησίως αύξουσα στο 1, Ακόμα η συνάρτηση παρουσιάζει (ολικό) ελάχιστο στο 1, το ελάχιστο τετραγωνική μονάδα. 1 1 Άρα, το εμβαδόν γίνεται ελάχιστο όταν: ά 1 και 1,0 ύ 1 n 1, ενώ f 1 1 και 1,0 Τότε όμως το ορθογώνιο είναι τετράγωνο. 1 ~ 7/9 ~ Πέτρος Μάρκου

8 01 Δ3. η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης C f της συνάρτησης Έστω : f στο σημείο της 1, f 1. Έχουμε: f 1 n άρα f 1 n και 1 n 1, άρα n1 1 f f Είναι f 1 1, άρα : 1 Έχουμε / / 1. Άρα : Τα σημεία 1 1, :, άρα:, 1,,...,10 Σύμφωνα με την εφαρμογή 3, σελίδα 99 του σχολικού βιβλίου, οι τεταγμένες σημείων θα έχουν: των Μέση τιμή: Τυπική απόκλιση: s 1 s 1 Συντελεστή μεταβλητότητας: CV s 10 Για να είναι το δείγμα των παρατηρήσεων ομοιογενές, θα πρέπει: CV 1 10% ή ή 10 ~ 8/9 ~ Πέτρος Μάρκου

9 01 Δ. Επειδή και και επειδή ο δειγματικός χώρος αποτελείται από απλά ισοπίθανα ενδεχόμενα θα είναι P και P 0 1 Έχουμε: 0 1 f 0, P P f P f P 1 f 0, P P f P f P Προσθέτοντας τις ανισότητες 1 και κατά μέλη προκύπτει: f P f P f P ~ 9/9 ~ Πέτρος Μάρκου