ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Transcript

1 ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο R, να αποδείξετε ότι (f() + g() )=f ()+g (), R Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραμα με ισοπίθανα αποτελέσματα να δώσετε τον κλασικό ορισμό της πιθανότητας ενός ενδεχομένου Α Μονάδες 4 Α3. Πώς ορίζεται ο συντελεστής μεταβολής ή συντελεστής μεταβλητότητας μιας μεταβλητής X, αν > και πώς, αν < ; Μονάδες 4 Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Το κυκλικό διάγραμμα χρησιμοποιείται μόνο για τη γραφική παράσταση ποσοτικών δεδομένων (μονάδες ). β) Η παράγωγος της f στο εκφράζει το ρυθμό μεταβολής του y = f() ως προς, όταν = (μονάδες ). γ) Αν Α,Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Α Β, τότε ισχύει ότι Ρ(Α)>Ρ(Β) (μονάδες ). δ) Το εύρος, η διακύμανση και η τυπική απόκλιση των τιμών μιας μεταβλητής είναι μέτρα διασποράς (μονάδες ). ε) lm ημ = ημ, R (μονάδες ). Μονάδες ΘΕΜΑ Β Οι χρόνοι (σε λεπτά) που χρειάστηκαν οι μαθητές μιας τάξης για να λύσουν ένα μαθηματικό πρόβλημα ανήκουν στο διάστημα [5,45) και έχουν ομαδοποιηθεί σε τέσσερις κλάσεις ίσου πλάτους. Τα δεδομένα των χρόνων εμφανίζονται στο

2 ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ παρακάτω ιστόγραμμα αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων επί τοις εκατό. Β. Με βάση το παραπάνω ιστόγραμμα αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων επί τοις εκατό, να υπολογίσετε τη διάμεσο των χρόνων που χρειάστηκαν οι μαθητές. Μονάδες 4 Β. Στον επόμενο πίνακα συχνοτήτων της κατανομής των χρόνων, να αποδείξετε ότι α=8 (μονάδες 3) και να μεταφέρετε τον πίνακα κατάλληλα συμπληρωμένο στο τετράδιό σας (μονάδες 5). Μονάδες 8 Β3. Να βρεθεί η μέση τιμή X και η τυπική απόκλιση s των χρόνων που χρειάστηκαν οι μαθητές. ( ίνεται ότι: 84 9,7) Μονάδες 8

3 ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Β4. Να βρεθεί το ποσοστό των μαθητών που χρειάστηκαν τουλάχιστον 37 λεπτά να λύσουν το μαθηματικό πρόβλημα. Μονάδες 5 ΘΕΜΑ Γ Από τους μαθητές μιας τάξης ενός σχολείου επιλέγουμε τυχαία έναν μαθητή. Αν ν φυσικός αριθμός με ν 3, τότε η πιθανότητα του ενδεχομένου ο μαθητής να μαθαίνει 3ν Γαλλικά είναι ν + ν+ Ισπανικά είναι ν + και τις δύο παραπάνω γλώσσες είναι ν + ν + μια τουλάχιστον από τις παραπάνω γλώσσες είναι ίση με το όριο ( + 3 ) lm + Γ. Να αποδείξετε ότι το ενδεχόμενο ο μαθητής να μαθαίνει μία τουλάχιστον από τις παραπάνω δύο γλώσσες είναι βέβαιο. Μονάδες 7 Γ. Να αποδείξετε ότι ν = 3 Μονάδες 6 Γ3. Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου ο μαθητής να μαθαίνει μόνο μία από τις δύο γλώσσες. Μονάδες 6 Γ4. Αν ο αριθμός των μαθητών που μαθαίνουν και τις δύο παραπάνω γλώσσες είναι 3, να βρείτε τον αριθμό των μαθητών της τάξης. Μονάδες 6 ΘΕΜΑ + ln Δίνεται η συνάρτησηf() =,> Δ. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα. Μονάδες 5 Δ. Έστω Μ(,f()), > σημείο της γραφικής παράστασης

4 ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ της f. Η παράλληλη ευθεία από το Μ προς τον άξονα y y τέμνει τον ημιάξονα O στο σημείο Κ(,) και η παράλληλη ευθεία από το Μ προς τον άξονα τέμνει τον ημιάξονα Oy στο σημείο Λ(,f()). Αν O είναι η αρχή των αξόνων, να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του ορθογωνίου παραλληλόγραμμου ΟΚΜΛ γίνεται ελάχιστο, όταν αυτό γίνει τετράγωνο. Μονάδες 7 3. Έστω η ευθεία ε:y = λ + β, β, η οποία είναι παράλληλη προς την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Σ(,f()). Θεωρούμε δέκα σημεία (,y), =,,, της ευθείας ε, τέτοια ώστε οι τετμημένες τους να έχουν μέση τιμή = και τυπική απόκλιση s =. Να βρείτε για ποιες τιμές του β το δείγμα των τεταγμένων y των δέκα σημείων είναι ομοιογενές. Μονάδες 8 4. Αν Α και Β είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα, τέτοια ώστε Α και Α Β, τότε να αποδείξετε ότι f(p(a)) + f(p(a B)) f(p(a B) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία σχολικό βιβλίο σελίδα 3 Α. Θεωρία σχολικό βιβλίο σελίδα 48 Α3. Θεωρία σχολικό βιβλίο σελίδα 96 Α4. α) Λ β) Σ γ) Λ δ) Σ ε) Σ Μονάδες 5

5 ΘΕΜΑ Β Β. ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ F% F% 3 5% F% Η διάμεσος έχει αθροιστική σχετική συχνότητα F = 5%, οπότε δ = 5 Β. ν = α+4 + 3α 6 + α α = 7α+4 α+ 4 3α 6 f = και f = 7 α+ 4 7 α+ 4 α+ 4 3α 6 5 f+ f = F + = α= 8 7α+ 4 7α+ 4 Χρόνοι v f% N F% [5,5) [5,5) [5,35) [35,45) Σύνολο 6 Β3. Χρόνοι v v v [5,5) [5,5) [5,35) [35,45) Σύνολο

6 ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ v 44 = = = 4 v 6 v v 396 s = v = () = 4 = 84 v v v 6 Άρα s= s = 84 9,7 B4. Θεωρούμε ότι οι παρατηρήσεις σε κάθε κλάση κατανέμονται ομοιόμορφα. Άρα το ποσοστό των μαθητών που χρειάστηκαν τουλάχιστον 37 λεπτά για 4 4 να λύσουν το μαθηματικό πρόβλημα είναι f% 4 = % = 8% 5 5 ΘΕΜΑ Γ Έστω τα ενδεχόμενα: Γ: Ο μαθητής μαθαίνει Γαλλικά Ι: Ο μαθητής μαθαίνει Ισπανικά 3ν Έχουμε P( Γ ) = ν + ν+ ΡΙ= () ν + ν+ ΡΓ Ι= ν + Γ. Έχουμε ( + ) ( + 3) 4 lm + ( + )( + 3+ ) 3 ΡΓ Ι= lm = = ( )( + ) = lm = 3 ( + )( + + ) ( ) lm =. Οπότε το Γ Ι 3 ( + + ) είναι βέβαιο ενδεχόμενο. Γ. Έχουμε 3ν ν+ v+ ΡΓ Ι=ΡΓ+ΡΙ ΡΓ Ι + = ν + ν + v + ν ν= ν 3 3 ν= 3 Γ3. Τα ενδεχόμενα Γ Ι και Ι Γ είναι ξένα μεταξύ τους, οπότε:

7 ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Ρ Γ Ι Ι Γ =Ρ( Γ Ι ) +Ρ( Ι Γ ) = 4 3 =Ρ( Γ) Ρ( Γ Ι ) +Ρ( Ι) Ρ( Γ Ι ) =Ρ( Γ Ι) Ρ( Γ Ι ) = = = 5 Γ4. ΝΓ Ι ΝΓ Ι 3 ΡΓ Ι= ΝΩ= = = 8 ΝΩ ΡΓ Ι 5 ΘΕΜΑ Δ Δ. ( + ln ) ( + ln )( ) ln( ln) ln f ( ) = = = ln + ln ( ln ) = = <,e e,,+ για κάθε ( + ). Οπότε η f γνησίως φθίνουσα στο Δ. E = OKO Λ= f = ln+,> ln E' ( ) =,> E = = E ( ) > > E ( ) < < < Οπότε το εμβαδόν του ορθογωνίου ΟΚΜΛ γίνεται ελάχιστο όταν = και αφού ΟΚ = ΟΛ = το ΟΚΜΛ είναι τετράγωνο. Δ3. λ= f ( ) =. Οπότε ε: y = + β. Έχουμε y= +β=β. sy = s = sy CVy = =. Το δείγμα των τεταγμένων y των δέκα σημείων y β είναι ομοιογενές αν και μόνο αν CVy β β β ή β β ή β 3 Α Α Βκαι Α Β Α Βτότε < Ρ Α Ρ Α Β Δ4. Επειδή και <Ρ( Α Β ΡΑ Β. ) (Είναι Ρ(Α)> και ΡΑ Β> αφού Α και Α Β )

8 ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ f P A f P A B Αφού f γνησίως φθίνουσα στο (,+ ) τότε f( P( A B) ) f( P( A B) ), οπότε f P( A) + f P A B f P A B ( ) ( ) ( ) και ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΚΟΥΣΗΣ Π. ΣΙΦΝΑΙΟΣ Δ. ΤΖΩΡΤΖΙΝΗΣ Ι. ΦΙΛΙΟΓΛΟΥ Β. ΦΛΩΡΟΠΟΥΛΟΣ Α.