. Η πιθανότητα ο () να ζήσει για τουλάχιστον χρόνια είναι κατά 0% μεγαλύτερη από την πιθανότητα ο (+) να ζήσει για τουλάχιστον χρόνια. Αν / 0, 4, 9 / 0, και 0, 48 να βρεθεί η τιμή του Α) 0,048 Β) 0,88 Γ) 0,353 Δ) 0,440 Ε) 0,667 : 3. Για κάποια ηλικία είναι l * 0 *, 0 και m 0, 05. Να βρεθεί η τιμή του l. Α) 99 Β) 0 Γ) 03 Δ) Ε) 5 3. Αν P 0, 03, P 0, 046 και P 0, 006 να βρεθεί η τιμή του 45 Α) 0,46 Β) 0,600 Γ) 0,69 Δ) 0,785 Ε) 0,900 5 30 30:5 30:5.
k 4. Αν Z u P * a k και k k / q, να βρεθεί η Var(Z). ) B) Γ) * u u * u u u u * u u u Δ) Ε) 5. Να βρεθεί η προσδοκώμενη διάρκεια ζωής 0 00. Α) 4 Β) 44 Γ) 46 Δ) 48 Ε) 50 o e : 40 30 εάν p, 00 6. Ισόβια Ράντα καταβάλλει ποσό στο τέλος κάθε έτους που ο () βρίσκεται στην ζωή, ενώ προβλέπει και μία τελική καταβολή, κατά την στιγμή του θανάτου του, κατ αναλογία του χρονικού διαστήματος μεταξύ της ημερομηνίας της τελευταίας κανονικής καταβολής και της ημερομηνίας θανάτου. Υποθέτοντας ομοιόμορφη κατανομή θανάτων σε κάθε έτος της ηλικίας, το εφάπαξ καθαρό ασφάλιστρο, για την ράντα αυτήν είναι a f, όπου f συνάρτηση του επιτοκίου. Να βρεθεί η συνάρτηση f. i Α) i Β) i
i Γ) d d Δ) d Ε) d 7. Πρόγραμμα 0-ετούς μικτής ασφάλισης κεφαλαίου που εκδίδεται σε άτομο ηλικίας 40 προβλέπει επιπλέον την έντοκη επιστροφή των ετησίων καθαρών ασφαλίστρων σε περίπτωση θανάτου κατά τα 0 πρώτα χρόνια ασφάλισης. Αν το επιτόκιο που λαμβάνεται για την παραπάνω παροχή ταυτίζεται με το τεχνικό επιτόκιο, το ετήσιο καθαρό ασφάλιστρο του προγράμματος είναι 40 : 0, όπου k k Α) 0 p40 *a 0 Β) a (I) 40:0 40:0 Γ) a s * 40:0 0 0E40 Δ) a a 40:0 40:0 0E40 *a 0 Ε) E *( a ) 0 40 s 50:0 0 8. Αν 45 0, 04 Α) 0,06 Β) 0,63 Γ) 0,67 Δ) 0,69 Ε) 0,73 P και P 0, 03 να βρεθεί το απόθεμα 45 P, 0, 0 45:0 45:0 0 V.
d d 9. p * u * V ( ) ; Α) p u * P( ) * * u * P( Β) p ) Γ) p * u * P ( ) Δ) p * u * P ( ) Ε) p * u * P ( ) 0. Σε μία ασφάλιση που εκδίδεται σε άτομο ηλικίας, το ασφαλισμένο κεφάλαιο για τα πρώτα χρόνια είναι το άρτιο μαθηματικό απόθεμα, κατά το τέλος του αντίστοιχου έτους, αυξημένο κατά ποσό K, όπου K q, =,,,. Αν το ετήσιο καθαρό ασφάλιστρο είναι σταθερό και ίσο με P, να βρεθεί το άρτιο μαθηματικό απόθεμα στο τέλος του έτους. Α) P * a a Β) P * a a Γ) P * a s Δ) P * a s Ε) P * s s 0. Αν 0,004 3 και δ = 0,05 να βρεθεί το 30:40 Α) 0,047 Β) 0,03 Γ) 0,97 Δ) 0,53 Ε) 0,300
0 a a. a * ; Α) 0 V Β) 0 V 0V Γ) 0V Δ) V Ε) 0 V 0 3. Να βρεθεί το εφάπαξ καθαρό ασφάλιστρο για μία προκαταβλητέα ράντα που προβλέπει την πληρωμή ποσού ετησίως αν: i) τουλάχιστον ένας από τους () και () είναι ζωντανός κατά τα επόμενα χρόνια ii) ακριβώς ένας από τους () και () είναι ζωντανός μετά την πάροδο των επόμενων ετών Δίνονται 7, 6, a 9, 8, a, 6 και / a 3, 7. Α) 9,7 Β) 9,9 Γ) 0, Δ) 0,3 Ε) 0,5 a
4. Για μία τριετή μικτή ασφάλιση κεφαλαίου.000 με σταθερό ετήσιο εμπορικό ασφάλιστρο G = 34,86, τα έξοδα πραγματοποιούνται στην αρχή κάθε έτους, ως ακολούθως ο έτος Επόμενα έτη Ποσοστό του G 8% 7% Ανά Συμβόλαιο 3 5 Αν το απόθεμα εξόδων στο τέλος του ου έτους είναι -6,0, να βρεθεί το ετήσιο καθαρό ασφάλιστρο. Α) 5,05 Β) 75,90 Γ) 97,76 Δ) 305,4 Ε) 39,96 5. Αν ( I) S και :0 Α) 0S T B) S T Γ) Τ 0S Δ) 0 (T-S) E) 0S + T 9 0 0 ) * u * / q T τότε ( I ) : (
6. Ποίες από τις παρακάτω σχέσεις αληθεύουν; d Ι. ( I) di ΙΙ. da : d * a : : ΙΙΙ. d d p o e p Α) Μόνο η Ι Β) Μόνον η ΙΙ Γ) Μόνο η ΙΙΙ Δ) Καμία Ε) Όλες 7. Σύστημα τροποποιημένων αποθεμάτων για μία ισόβια ασφάλιση στον () προβλέπει καθαρό ετήσιο ασφάλιστρο α για τα πρώτα 0 χρόνια και καθαρό ετήσιο ασφάλιστρο β για όλη την υπολειπόμενη διάρκεια ασφάλισης. P Αν 0, 35, 0, 5 και 0, 60 να υπολογισθεί ο λόγος :0 :0 P Α) 4 Β) 8 3 Γ) Δ) 8 5 Ε) 4 3
8. Σε μία 5 ετή πρόσκαιρη ασφάλιση στον (40) με ετήσιο καθαρό ασφάλιστρο 00 καταβαλλόμενο συνεχώς, το ασφαλισμένο κεφάλαιο, b.000 * a 5 καταβαλλόμενο κατά την στιγμή του θανάτου είναι, 0 5. 0,6 50:5 Αν και i = 5% να βρεθεί το άρτιο μαθηματικό απόθεμα στο τέλος των 0 ετών. Α) 600 Β) 650 Γ) 700 Δ) 750 Ε) 800 9) Σ ένα τριπλό πίνακα καθένα από τα αίτια εξόδου, θάνατος (d), ανικανότητα (i) και αποχώρηση (w) κατανέμονται ομοιόμορφα σε κάθε έτος ηλικίας. ( T ) ( T ) ( d ) Αν l 0.000, l 9.85, m 0,0 ( i) και m 0, 05 να βρεθεί η πιθανότητα (w) αποχώρησης q. Α) 0,007 Β) 0,097 Γ) 0,039 Δ) 0,050 Ε) 0,058
0) Μια 0-ετής πρόσκαιρη ασφάλιση στον (30) έχει ασφαλισμένο κεφάλαιο.000 για τα πρώτα 0 χρόνια και.000 για τα επόμενα 0 χρόνια. Το ετήσιο ασφάλιστρο, υπολογιζόμενο σύμφωνα με την αρχή της ισοδυναμίας, είναι P για κάθε ένα από τα πρώτα 0 χρόνια και P για καθένα από τα επόμενα 0 χρόνια. Να βρεθεί το P χρησιμοποιώντας τις παρακάτω τιμές: a 30:0 5,0364 a : 0.000 :0 30 8,70 6,66 40 8,660 3,6 Α),9 Β) 3,0 Γ) 3, Δ) 3, Ε) 3,3 ) Μια αναβαλλόμενη ράντα ζωής στον (40) προβλέπει ετήσιο εισόδημα, με πρώτη καταβολή κατά την ηλικία των 60 ετών. Τα ασφάλιστρα καταβάλλονται στην αρχή κάθε χρόνου καθ όλη την περίοδο αναβολής, κατά τη διάρκεια της οποίας προβλέπεται παροχή θανάτου (καταβλητέα στο τέλος του έτους) ίση με το άρτιο μαθηματικό απόθεμα του αντίστοιχου χρόνου. Να προσδιοριστεί μία έκφραση για το άρτιο μαθηματικό απόθεμα στο τέλος του 0ου έτους. Α) v 0 a60 a s 60 Β) 0 a s 60 Γ) 0 a 0 60 *( i) s Δ) 0 a 60 * s Ε) 0 s 0
) Τα έξοδα για μια ισόβια ασφάλιση στον () κεφαλαίου F με 0ετή περίοδο καταβολής ασφαλίστρων, έχουν ως ακολούθως: ο έτος Έτη -0 Έτη και επόμενα Ανά συμβόλαιο 50 0 0 Ως ποσοστό του εμπορικού ασφαλίστρου 0% 0% 5% Αν το εμπορικό ασφάλιστρο εκφράζεται ως α*f + b, να βρεθεί το ποσό b. Δίνονται: a 6,5, a Α) 7,00 Β) 9,58 Γ) 33,5 Δ) 35,50 Ε) 39,44 :0 8,00, a :0,00 3) Μια ισόβια ασφάλιση κεφαλαίου με 0ετή καταβολή ασφαλίστρων που εκδόθηκε πριν 5 χρόνια σε άτομο ηλικίας 35, πρόκειται να μετατραπεί σε μικτή ασφάλιση με λήξη στην ηλικία των 60 ετών. Το νέο πρόγραμμα, αν το ετήσιο ασφάλιστρο παραμείνει αμετάβλητο αλλά καταβλητέο για όλη 0 P K* P τη διάρκεια, έχει ασφαλισμένο κεφάλαιο 40 0 35. Να βρεθεί μια έκφραση για το Κ. a a 40:0 40: 5 Α) P P 40:0 40: 5 Β) a a 40:5 40: 0 Γ) a a 40:5 40: 0 Δ) P a 40:0 40:0 a 40: 0 Ε)
4) Να βρεθεί το εφάπαξ καθαρό ασφάλιστρο για ποσό που πρόκειται να καταβληθεί: i) τη στιγμή του θανάτου του (), αν αυτός πεθάνει πριν τον () ή μέσα σε χρόνια από το θάνατο του () ii) χρόνια μετά το θάνατο του (), αν ο () είναι τότε ζωντανός Α) : v : E : : : Β) : : E E Γ) : Δ) Ε) : E E : v E E v : : : : : 5) Μετά την πάροδο 0 ετών από την έκδοση 0ετούς μικτής ασφάλισης στον (30) κεφαλαίου 0.000, καταβλητέου τη στιγμή του θανάτου, διακόπτεται η πληρωμή των, συνεχώς μέχρι τότε, καταβαλλόμενων ασφαλίστρων. Η ασφάλιση συνεχίζεται («ελεύθερη» καταβολής ασφαλίστρων) με το ίδιο κεφάλαιο θανάτου και μειωμένο κεφάλαιο επιβίωσης κατά την αρχικά προβλεπόμενη λήξη Η αξία εξαγοράς για κάθε έτος ορίζεται ως το άρτιο μαθηματικό απόθεμα, ενώ κατά τη στιγμή της «ελευθεροποίησης» εκκρεμεί ανεξόφλητο δάνειο ύψους.000. Να βρεθεί το μειωμένο κεφάλαιο επιβίωσης. Δίνονται: 40:0 0,565, 40:0 0, 537, P ( 30: 0 ) 0, 07 και δ=0,06 Α) 0 Β).360 Γ).735 Δ) 6.355 Ε) 6.875
6) Μια 5ετής ασφάλιση στον (40) με εφάπαξ καταβολή ασφαλίστρου, πληρωτέα στο τέλος του έτους του θανάτου, έχει κεφάλαιο 3.000 κατά το πρώτο έτος, αυξανόμενο κατά 5% ετησίως. Αν το τεχνικό επιτόκιο είναι 5% και, για =,, 3,.,5. 6 p40 * p40 5, να βρεθεί το άρτιο μαθηματικό απόθεμα στο τέλος του πρώτου έτους. Α).000 Β).600 Γ).800 Δ).900 Ε) 3.00 0,03 7) Αν, 0 και δ=0,05, να βρεθεί η πιθανότητα Pr( at a ), όπου Τ η μέλλουσα ζωή του () και σ η τυπική απόκλιση της. Α) 0,53 Β) 0,56 Γ) 0,63 Δ) 0,68 Ε) 0,79 8) Για μια 0ετή φθίνουσα ασφάλιση στον () το ασφαλισμένο κεφάλαιο b k.000 *(0 k) είναι, k=0,,,,9, ενώ το ασφάλιστρο, καταβλητέο για τα πρώτα 5 χρόνια είναι σταθερό και ίσο με 8,5. q k 0,0 0,00 * Αν i=6% και στο τέλος του ου έτους. Α) 70 Β) 7 Γ) 74 Δ) 76 Ε) 78 k, k=0,,,,9, να βρεθεί το άρτιο απόθεμα
() () 9) Σε πίνακα με αίτια εξόδου, () και (), είναι q 0,9* q. Να () () βρεθεί η πιθανότητα q συναρτήσει της πιθανότητας q, αν το καθένα από τα αίτια κατανέμονται ομοιόμορφα στον απλό πίνακα που αντιστοιχεί σε αυτό. q Α) 0 () 5 () q Β) 9 q Γ) 0 0 () () q Δ) 9 () q Ε) 9 0 V V 30) Αν v=0,95, k V 0,3 k k και 3 3 συνήθη προσέγγιση, να βρεθεί η πιθανότητα Α) 0,030 Β) 0,055 Γ) 0,065 Δ) 0,070 Ε) 0,075 0,0065, χρησιμοποιώντας τη q. k
3) Σε μια ειδική 0ετή μικτή ασφάλιση στον (40) το κεφάλαιο θανάτου είναι.000 για τα 0 πρώτα χρόνια και.000 για τα επόμενα 0 χρόνια, ενώ το κεφάλαιο επιβίωσης είναι.000. Το καθαρό ασφάλιστρο είναι 40 για καθ ένα από τα 0 πρώτα χρόνια και 00 για καθ ένα από τα επόμενα 0 χρόνια. a 7, 5:9 q 0,00* 0,00, Αν i=5%, και 40k k k=8,9,,3, να βρεθεί το άρτιο απόθεμα στο τέλος του 0ου έτους. Α) 490 Β) 500 Γ) 530 Δ) 550 Ε) 560 3) Μια ισόβια ασφάλιση έχει καθαρό ετήσιο ασφάλιστρο P, εμπορικό ασφάλιστρο G, έξοδα κάθε χρόνο (και τον πρώτο) ίσα με 0,4*P + 0,0*G και επιπλέον δαπάνη πρώτου έτους ίση με 0,49*G. a,5 a 6,5 Αν και, ποια είναι στο τέλος του έτους η αναλογιστική παρούσα αξία της αναπόσβεστης δαπάνης του πρώτου έτους. Α) 0,47*P Β) 0,45*P Γ) 0,94*P Δ) 0,44*P Ε) 0,588*P 33) Σε μια ειδική ισόβια ασφάλιση, πληρωτέα στο τέλος του έτους θανάτου, το ασφαλισμένο κεφάλαιο είναι 0 τα δύο πρώτα χρόνια και 00.000 στη συνέχεια, το δε ασφάλιστρο καταβάλλεται ισοβίως. q q 0,05 a 4 0V 0,5 Αν v=0,8,, και, ποιο είναι το άρτιο μαθηματικό απόθεμα της ειδικής αυτής ασφάλισης στο τέλος 0 ετών από την έναρξή της. Α) 5.000 Β) 30.80 Γ) 30.400 Δ) 30.850 Ε) 3.80
34) Το μερίδιο στο ενεργητικό στο τέλος του 5ου και του 6ου έτους για μια ισόβια ασφάλιση κεφαλαίου 0.000 στον (40) είναι.50 και.30 αντίστοιχα, αν ληφθεί ετήσιο εμπορικό ασφάλιστρο ίσο με 90 και έξοδα 5% του ασφαλίστρου αυτού πληρωτέα στην αρχή κάθε έτους. ( d ) Αν για το θάνατο (d) είναι q55 0,004 για την εξαγορά (w) είναι ( w) q55 0,05 και i=8% να βρεθεί η αξία εξαγοράς στο τέλος του 6ου έτους. Α) 80 Β) 860 Γ) 90 Δ) 960 Ε).00 35) Αν i=6%, a 0, 50 V 0 40 p??? και 50 p5 p5 p, να βρεθεί η 50. Α) 0,94 Β) 0,946 Γ) 0,950 Δ) 0,954 Ε) 0,958 36) Για μια ισόβια ασφάλιση στον () με κεφάλαιο 50.000 το ετήσιο ασφάλιστρο υπολογίζεται σύμφωνα με την αρχή της ισοδυναμίας. Να βρεθεί η τυπική απόκλιση για την τ.μ. L («απώλεια κατά την έκδοση»), αν 0,043 0,0653 και. Α) 4.000 Β) 4.500 Γ) 5.00 Δ) 5.600 Ε) 6.00