A 20 =. (ii) Αν δ = 0,04, P( A 20. =. (Απάντηση : & e, βλέπουµε µια ακόµα φορά κ 0 για εκθετικές συναρτήσεις επιβίωσης. (iii) Να δειχθεί ότι γενικά 1

Transcript

1 Αν A, 3 αι A, A 5 4 αι A 4, 5, να ειχθεί ότι, να ειχθεί ότι A A, A Αν,4, A, 5 : 5 A 4 : ίονται 5,445, A,7, α 8,5, 4 αι 3, 375 Να 5 : 5 4 : 4 : A ειχθεί ότι 5, 9 αι 5 5 :, : : 5 ίονται Α 35,3, Α 5,5, Α 6,65, α& 5 αι α& 4, 5 Να ειχθεί ότι 5 35,4 αι Να βρεθούν τα & :,65 & αι για : µ υ Εφόσον για είναι 35 : 5 : 5 4 : υ υ Απάντηση : & + & αι : υ υ, βλέπουµε µια αόµα φορά ότι & για εθετιές συναρτήσεις επιβίωσης Να ειχθεί ότι γενιά : & E : + 4 Το ενιαίο ασφάλιστρο για µια πρόσαιρη ασφάλιση θανάτου ετών είναι,5, το ε συσσωρευµένο όστος της ασφάλισης στη λήξη της είναι,375 Να βρεθεί το ενιαίο ασφάλιστρο A : : της αντίστοιχης ετούς µιτής Απάντηση:,55 Να ειχθεί ότι γενιά + E το συσσωρευµένο όστος µιας µιτής στη λήξη της! Να απλοποιηθεί Απάντηση : & : E : 5 Να ειχθεί ότι το απόθεµα ω στο τέλος του έτους ω της ασφάλισης είναι ίσο µε υ ισούναµα το απόθεµα στην αρχή του ω έτους της ασφάλισης είναι υ + υ Να ειχθεί ότι ω Τα αι υποεινύουν τη υνατότητα αναροµιού υπολογισµού των τιµών του ξεινώντας από το τέλος Να ειχθεί ότι η αναγαία αναροµιή σχέση είναι υq+ + υp + + v Να εφαρµοσθεί η σχέση στο για να βρεθεί το ω από το ω υ Στη συνέχεια, να βρεθεί το ω από το ω Απάντηση : υqω υ p ω + υp ω + 6 Αν,3, α& 6 αι Α, 7, να ειχθεί ότι, 4 : + : 7 Να γραφεί η ιαφοριή εξίσωση Thl για εθετιές συναρτήσεις επιβίωσης για τις οποίες A A µ + A µ Τι συµπέρασµα προύπτει; Απάντηση : + µ, άρα A µόνον για εθετιές συναρτήσεις επιβίωσης Να γραφεί η A A µ + A Ποια η : ιαφοριή εξίσωση Thl όταν Απάντηση : + λύση της εξίσωσης στο ; Απάντηση : A, όπου A

2 + 8 Να ειχθεί η σχέση + + q + Υπόειξη : άθροιση, από έως, της αναροµιής σχέσης + + q Η σχέση αυτή έχει λογιστιό ή ταµιαό χαρατήρα : αγνοεί τη ιαχρονιή αξία του χρήµατος αι απλώς εφράζει την ισότητα χωρίς προεξόφληση των εισροών αι των εροών της -ετίας 9 Να ειχθεί η σχέση α& A + υ p αθροίζοντας την αναροµιή σχέση + q+ + p + + : : + από έως αφού πρώτα πολλαπλασιασθούν αι τα υ + ύο µέλη της σχέσης µε p Να ειχθεί η σχέση + υ q q & + αθροίζοντας την αναροµιή σχέση αφού πρώτα πολλαπλασιασθούν αι τα ύο µέλη της σχέσης µε + Η σχέση αυτή είχνει ότι τα ασφάλιστρα ετών συσσωρευµένα µόνον µε το τεχνιό επιτόιο η & είναι βέβαια συσσωρευµένη αξία ισούνται µε το µαθηµατιό απόθεµα στο τέλος ετών αι µε τη συσσωρευµένη αξία πάλι µε επιτόιο µόνο των ποσοτήτων q +,,,, Η ποσότητα q + αλείται "όστος της ασφάλισης βασισµένο στο εφάλαιο ινύνου" Η Άσηση µας ίνει τη υνατότητα να υπολογίσουµε το ασφάλιστρο, πληρωτέο για χρόνια, για µια ειιή ασφάλιση θανάτου που, ετός από το ασφαλισµένο εφάλαιο µια µονάα, αταβάλλει αι το µαθηµατιό απόθεµα Το εφάλαιο ινύνου για αυτή την ασφάλιση είναι σε άθε ιάρεια γιατί; Αν το ετήσιο ασφάλιστρο είναι ~, η Άσηση ίνει + ~ & + υ q+, όπου το απόθεµα για "ανονιή ασφάλιση" µε εφάλαιο Φυσιά, ετός από το, ο υπολογισµός του ~ απαιτεί αι τον υπολογισµό του ειιού + αθροίσµατος υ q Η συνθήη µεταφράζεται σε α& α&& + + ότι, για να ισχύει η τελευταία σχέση, πρέπει σε άθε ηλιία να έχουµε α&& α&& &, άρα σε α + α & q q + υα&& Να ειχθεί 3 Για εθετιή συνάρτηση επιβίωσης αι ασφάλιστρο A µ, η ρίσιµη συνάρτηση c του Θεωρήµατος L είναι c µ, άρα σταθερή Συµπεραίνουµε ότι το A A είναι το ίιο για όλες τις εθετιές τεχνιές βάσεις φυσιά, εφόσον, όπως ξέρουµε, µ είναι ταυτοτιά µηέν για άθε! 4 Τα αποθέµατα φθίνουν µε τη ιάρεια Αν η βάση, q αντιατασταθεί µε τη βάση +, θετιή σταθερά, αι q q +, η ίια σταθερά, ποια η σχέση αι ; Απάντηση : > Η συνάρτηση φθίνει αι είναι υρτή Αν η βάση, q αντιατασταθεί µε τη βάση +, θετιή σταθερά, αι q q, η ίια σταθερά, ποια η σχέση αι ; Υπόειξη : για υρτή συνάρτηση, < Απάντηση : >

3 5 Όπως γνωρίζουµε, E L Να ειχθεί ότι το ίιο ισχύει για αθένα από τα Λ χωριστά, συγεριµένα ότι E Λ K αι Ε Λ Υπόειξη : χρήση του ορισµού των στην Παράγραφο Ι, του γεγονότος ότι r K p q+ αναροµιής σχέσης µεταξύ αι + αι r K + p p + Λ αι της 6 Να ειχθεί ότι, για j, Cv Λ, Λ j Υπόειξη : Λ, Λ j E Λ Λ j E Λ E Λ αι χωρίς απώλεια γενιότητας < j Εφόσον Cv Λ, Λ j έπεται αµέσως ότι Harf ar L ar υ Λ ar υ Λ υ ar Λ Cv εφόσον, j για j Θεώρηµα του, K 7 Να γραφεί η Λ για εθετιή συνάρτηση επιβίωσης Απάντηση : υ, K, + Κ E Λ, να ειχθεί ότι Από το αι υq+ υ που, όπως ξέρουµε, είναι πράγµατι το ετήσιο ασφάλιστρο για ασφάλιση πληρωτέα στο τέλος του έτους του θανάτου όταν 8 Αν η αναροµιή σχέση υq + + υ + r ασφάλιστρο αναλύεται σε ύο συνιστώσες υq + λυθεί για Ρ, βλέπουµε ότι το συνολιό + αι υ + Το προορίζεται να αλύψει τους "τρέχοντες θανάτους" θανάτους µέσα στο + έτος της ασφάλισης, είναι ατά συνέπεια "ασφάλιστρο ινύνου" το r γράφεται για rk Αντίθετα, το τµήµα του συνολιού ασφαλίστρου για avg είναι η αποταµιευτιή η επενυτιή συνιστώσα του Ρ εφόσον το άθροισµα + στην αρχή του έτους συσσωρεύεται µε επιτόιο σε + στο τέλος του έτους Να επαναιατυπωθεί ο ορισµός της τµ Λ συναρτήσει του ασφαλίστρου r r Απάντηση : για K, υ + για Κ, Ρ r για + K Να ειχθεί ότι E Λ από τον ορισµό στο Αν επαναλάβουµε την Άσηση 7 µε τα εοµένα του, ιαπιστώνουµε ότι, για, Ρ r Ρ, άρα Ρ Αυτό είναι φυσιό αφού : όλο το ασφάλιστρο είναι "ασφάλιστρο τρέχοντος ινύνου" ar 9 Να υπολογισθεί η Λ για µια ισόβια Υπόειξη : ar Λ E Λ, υπόειξη στην Άσηση 5 αι ατά προτίµηση ο εναλλατιός ορισµός της στην Άσηση 8 Απάντηση : + + υ + p q+ + + Έπεται αµέσως ότι ar L υ p q+ 3 Οι ύο συνήθεις προσεγγίσεις για A είναι αι Λ + Να συγριθούν τα αι + για,,,3,,4,,5 Απάντηση :, έναντι,9934,,4964 έναντι,47794,, έναντι,96356,, έναντι,43958 Τι συµπεράσµατα βγαίνουν από τα αποτελέσµατα στο ; Απάντηση : οι ύο προσεγγίσεις απολίνουν αθώς το επιτόιο αυξάνει, η ε προσέγγιση είναι η "πιο συντηρητιή" Το τελευταίο συµπέρασµα µπορεί να αποειχθεί µαθηµατιά αποεινύοντας 3 την ανισότητα > + Υπόειξη : ! 3! r

4 3 Ετός από τις προσεγγίσεις, υπάρχουν αι αριβείς σχέσεις ανάµεσα στις ιάφορες A ατηγορίες µαθηµατιών αποθεµάτων Να ειχθεί ότι Να ειχθεί ότι A + A + A A Από τα αι να ειχθεί ότι A A A + v Με + βάση τα,,, ποιες ιαφορές είναι "συγρίσιµες σε µέγεθος" αι για ποιες ιαφορές ο λόγος είναι "της τάξης του προς "; 3 Στην Άσηση 3 να βρεθούν οι τρεις ιαφορές αποθεµάτων προσεγγιστιά µε,5,,35 αι UDD Απάντηση : A,674979, A, , A, Να βρεθούν οι τιµές που προύπτουν από το για τους λόγους στην Άσηση 3, 3 αι 3 Απάντηση :,467763,,433444,,88853 Ποια αριβής τιµή αντιστοιχεί στο, σύµφωνα µε 8 την Άσηση 3; Απάντηση :, µε ιαφορά,5! 33 Να βρεθούν οι ιαφορές A, A αι A µε,5 αι,35 υποθέτοντας γραµµιότητα του υ p σε άθε έτος ηλιίας Απάντηση :,56834,,36399,,34636 Να βρεθούν οι τιµές που προύπτουν από το για τους λόγους στην Άσηση 3 Απάντηση :,467763,,43457,, Η προσέγγιση για τον πρώτο από τους τρεις λόγους συµφωνεί µε την προσέγγιση UDD στα πρώτα εννέα εαιά! 4 34 Τι ποσοστό ατά προσέγγιση του είναι η ιαφορά αν,3 αι, ; Απάντηση :,58%ο Ποιο το ποσοστό για τη ιαφορά αι ποιο για τη ιαφορά ; Απάντηση : 5,9%ο αι,6%ο 35 Αν,5 αι,5, ποια είναι προσεγγιστιά η τιµή του ; Απάντηση: m [ ],48 Να ειχθεί ότι, άτω από την υπόθεση γραµµιότητας του υ p, το m m είναι ανεξάρτητο των αι Απάντηση : είναι ίσο µε m [ ] 36 Το ετήσιο ασφάλιστρο µιας ισόβιας ασφάλισης αταβλητέας στο τέλος του έτους του θανάτου είναι,4 αι οφείλεται την Οτωβρίου Το µαθηµατιό απόθεµα είναι,46 στις 3 Σεπτεµβρίου αι,5 στις 3 Σεπτεµβρίου 3 Ποιο το µαθηµατιό απόθεµα στις 7 Μαρτίου 3; Απάντηση :, Να γραφεί το συναρτήσει των, + αι µε τη βοήθεια προσεγγίσεων που προύπτουν από γραµµιότητα του υ p Απάντηση :

5 38 Να ειχθεί ότι α α A I I A α + Να γραφεί συνθήη για να α είναι το απόθεµα A φθίνουσα συνάρτηση του για όλα τα Απάντηση : I α A < I α I α I α + µ Να βρεθεί Λ για p υ q+ p + µ Για µ ar, A αφού A Απάντηση : από Άσηση 9, να ερµηνευθεί η τελευταία γραφή! Να γραφεί η Λ αι η µ + µ συναρτήσει των υ αι µ Απάντηση : υ υ αι + µ αι υ + p q+ ar ar υ µ µ µ υ 4 Να ειχθεί ότι η ar L για ισόβια ασφάλιση µε ετήσιο προαταβλητέο ασφάλιστρο αι a&& πληρωτέα στο τέλος του έτους του θανάτου είναι ίση µε, όπου a& & είναι η αναλογιστιή && παρούσα αξία µιας ισόβιας προαταβλητέας ράντας µε συντελεστή προεξόφλησης q+ µεταβλητή ετήσια όση b + α +,,,, p + α υ υ L αι