ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ. Διδακτικό υλικό για τις Ασκήσεις Πράξης του ομώνυμου μαθήματος

ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ Διδακτικό υλικό για τις Ασκήσεις Πράξης του ομώνυμου μαθήματος ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 2. ΕΝΑΛΛΑΚΤΕΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΟΧΗΜΑΤΩΝ 3. EPΩTHΣEIΣ - AΠANTHΣEIΣ Διδάσκων: Καθηγητής Δημήτρης Πράπας 1

1. ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΓΕΝΙΚΑ Οι υπολογισμοί μετάδοσης θερμότητα σε διάφορους τομείς εφαρμογών στοχεύουν συνήθως στην επίτευξη, για μια δεδομένη θερμοκρασιακή διαφορά, ενός ορισμένου ρυθμού μετάδοσης θερμότητας (ήτοι θερμικής ισχύος). Ο παραπάνω στόχος συνδέεται στην πράξη με μία από τις παρακάτω διαζευκτικές πρακτικές απαιτήσεις: - είτε μεγιστοποίηση του ρυθμού μετάδοσης θερμότητας, π.χ. στης ψύξη θερμικών μηχανών, στη θέρμανση χώρου, στη σχεδίαση εναλλακτών θερμότητας, - είτε ελαχιστοποίηση του ρυθμού μετάδοσης θερμότητας, π.χ. στη θερμομόνωση κτιρίων, αγωγών διακίνησης θερμότητας, διάφορων συσκευών. Ασφαλώς, για να επιτευχθούν τα παραπάνω ο υπεύθυνος μηχανικός πρέπει μεταξύ άλλων να διαθέτει επαρκείς γνώσεις των νόμων που διέπουν τη Μετάδοση Θερμότητας, για να μπορεί να ελέγχει τους παράγοντες που επηρεάζουν το ρυθμό μετάδοσή της. ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΜΕΤΑΞΥ ΜΕΤΑΔΟΣΗΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ, ΗΛΕΚΤΡΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΡΕΥΣΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Πολλά φυσικά φαινόμενα, μολονότι διαφορετικής φύσης, διέπονται από μαθηματικές σχέσεις που παρουσιάζουν ομοιότητες στη διατύπωση τους. Η αναγνώριση ομοιοτήτων και αναλογιών στους διάφορους τομείς των θετικών επιστημών βοηθά πολύ στη βαθύτερη κατανόηση φυσικών και τεχνητών φαινομένων, καθώς και στην αποτελεσματική εφαρμογή των νόμων που τα διέπουν. Ένα παραστατικό παράδειγμα που φανερώνει τις αναλογίες που υφίστανται μεταξύ της Μετάδοσης Θερμότητας, της κυκλοφορίας ηλεκτρικού ρεύματος στον Ηλεκτρισμό και της κυκλοφορίας ενός ρευστού στη Ρευστομηχανική αναλύεται παρακάτω, με βάση το εποπτικό κυλινδρικό σώμα του Σχ. 1. 2

Η ροή αξονική θερμότητας Q μπορεί να νοηθεί ως προκαλούμενη από την ύπαρξη διαφοράς θερμοκρασίας Δθ μεταξύ των επιφανειών 1 και 2 του κυλίνδρου του Σχ. 1. Η σχέση που διέπει το φαινόμενο είναι: Q=Δθ/R (1.1) όπου η θερμική αντίσταση R εκφράζεται, με βάση τη γεωμετρία και την ειδική θερμική αγωγιμότητα λ του σώματος, ως: R=(1/λ)(4L/πd 2 ) (1.1α) Η κυκλοφορία ηλεκτρικού ρεύματος Ι μέσα στον μεταλλικό αγωγό του Σχ. 1 προκαλείται από την διαφορά τάσης ΔU που επιβάλλεται στα άκρα του 1 και 2. Η ένταση του ρεύματος που διαρρέει τον αγωγό είναι: I = ΔU/R (1.2) όπου η ηλεκτρική αντίσταση R εκφράζεται, με βάση τη γεωμετρία και την ειδική ηλεκτρική αντίσταση ρ του σώματος, ως: R = ρ(4l/πd 2 ) (1.2α) Σχ. 1 Κυλινδρικό ομογενές σώμα μήκους L και διαμέτρου d (στην περίπτωση της κυκλοφορίας ρευστού το σχήμα νοείται ως σωλήνας εσωτερικής διαμέτρου d) Τέλος, η παροχή μάζας ενός ρευστού μέσα στον αγωγό εσωτερικής διαμέτρου d του Σχ. 1 προκαλείται από την ύπαρξη διαφοράς πίεσης Δρ στα άκρα του 1 και 2. Η παροχή μάζας δια του αγωγού είναι: =Δp/R (1.3) όπου η υδραυλική αντίσταση R (για τη περίπτωση στρωτής ροής) εκφράζεται, με βάση τη γεωμετρία και το κινηματικό ιξώδες ν του ρευστού, ως: 3

R = ν(128l/πd 4 ) (1.3α) Στις σχέσεις (1.1), (1.2) και (1.3) η ροή του αντίστοιχου μεγέθους, ήτοι κατά περίπτωση θερμότητα Q, ηλεκτρικό ρεύμα I και παροχή μάζας, εμφανίζεται ανάλογη με την υφιστάμενη διαφορά του γενεσιουργού μεγέθους στα άκρα του κυλίνδρου και αντιστρόφως ανάλογη με την αντίστοιχη αντίσταση (θερμική, ηλεκτρική, υδραυλική). Γενικότερα, η ολική αντίσταση σ' ένα πιο σύνθετο πρόβλημα προκύπτει από τις επί μέρους αντιστάσεις, που στο σύνολο τους μπορεί να είναι συνδεμένες "εν σειρά" ή "εν παραλλήλω". Οι τελευταίες έννοιες, ήδη γνωστές από την Ηλεκτροτεχνία, βρίσκουν επίσης εφαρμογή στην απεικόνιση και επίλυση σύνθετων θερμικών συστημάτων. ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΜΕΤΑΔΟΣΗΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ Η πειραματική προσέγγιση και η επιστημονική μελέτη φυσικών προβλημάτων διευκολύνεται αρκετά με την εκ των προτέρων έκφραση των μαθηματικών σχέσεων που τα διέπουν. Στις Θετικές Επιστήμες πληθώρα φυσικών προβλημάτων καταστρώνονται αναλυτικά με μαθηματικές σχέσεις που εκφράζουν βασικούς νόμους της Φυσικής και άλλων επιστημών, όπως ενδεικτικά οι ακόλουθοι: - αρχή διατήρησης της μάζας (συνέχειας), - αρχή διατήρησης της ορμής, - αρχή διατήρησης της ενέργειας (1 ος Θερμοδυναμικός Νόμος), - διάφορες τεκμηριωμένες αναλογίες μεταξύ φυσικών μεγεθών και ιδιοτήτων της ύλης. Ειδικότερα για τη Μετάδοση Θερμότητας, αξιοποιούνται επίσης κατά περίπτωση οι παρακάτω μέθοδοι: - Διαστατική ανάλυση βλ. παρακάτω - Ακριβείς μαθηματικές λύσεις των εξισώσεων του οριακού στρώματος ροής - Προσεγγιστικές λύσεις των εξισώσεων του οριακού στρώματος ροής - Αναλογίες μεταξύ των μηχανισμών μετάδοσης μάζας, θερμότητας και ορμής - Αριθμητικές μέθοδοι 4

Συχνά η αναλυτική προσέγγιση του προβλήματος με μαθηματικές εξισώσεις δυσχεραίνεται, είτε επειδή αυτές δεν διατίθενται μέχρι στιγμής για ένα συγκεκριμένο πρόβλημα είτε επειδή το πρόβλημα είναι εγγενώς πολύ σύνθετο και «ατίθασο» για να φορμαριστεί σε μια κλειστή μαθηματική διατύπωση. Σε τέτοιες περιπτώσεις επιβάλλεται συχνά η χρήση αριθμητικών μεθόδων, ενώ η προσέγγιση πολυπαραμετρικών προβλημάτων διευκολύνεται με τη χρήση της διαστατικής ανάλυσης, που παρέχει μια αλγοριθμικού τύπου ασφάλεια τόσο στην ανάλυση του προβλήματος όσο και στην παρουσίαση και αξιοποίηση των εκάστοτε αποτελεσμάτων. Αναλυτικότερα, προσπαθώντας να εκφράζουμε φορμαλιστικά ένα πολυπαραμετρικό πρόβλημα σε αδιάστατη μορφή, δηλ. με καθαρούς αριθμούς χωρίς μονάδες, πραγματοποιούμε ήδη βήματα προς την επίλυσή του, αξιοποιώντας τους εγγενείς περιορισμούς που τίθενται στην εκδήλωση κάθε φυσικού προβλήματος από αυτές καθαυτές τις μονάδες των ανεξάρτητων μεταβλητών του. Απόρροια της θεωρίας της ομοιότητας είναι το θεώρημα διαστατικής ανάλυσης του Buckingham (αλλιώς, θεώρημα πι), που διατυπώνεται ως εξής: σε ένα πρόβλημα που υπεισέρχονται βάσιμα m ανεξάρτητες παράμετροι αποδεικνύεται ότι υφίστανται m-n αδιάστατα μονώνυμα που καθορίζουν τη λύση του, αλλιώς m-n αδιάστατοι αριθμοί, όπου n είναι ο αριθμός των θεμελιωδών μεγεθών που απαιτούνται για την έκφραση των διαστάσεων των ανωτέρω m ανεξάρτητων παραμέτρων σε κάποιο σύστημα μονάδων. Έτσι το πρόβλημα υπακούει σε μια γενικευμένη λύση της μορφής: F(π 1, π 2,.π m-n ) = 0 (1.4) όπου τα μονώνυμα π 1, π 2,.π m-n συμβολίζουν τους m-n αδιάστατους αριθμούς. Το ακόλουθο Παράδειγμα διαστατικής ανάλυσης είναι ενδεικτικό της παραγωγικότατης χρήσης του θεωρήματος πι για την πρώιμη ανάλυση ενός τεχνικού προβλήματος και τον επιτυχή συγκερασμό των υπό μελέτη παραμέτρων. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 5

Να εφαρμοστεί το θεώρημα πι στο φυσικό πρόβλημα της εξαναγκασμένης συναγωγής θερμότητας από ρευστό που ρέει κάθετα γύρω από κύλινδρο, με στόχους: α) τον επιτυχή σχεδιασμό κάποιας επικείμενης σχετικής πειραματικής μελέτης, και β) την αρμόζουσα ακόλουθη επεξεργασία των μετρήσεων και παρουσίαση των αποτελεσμάτων. Λύση Τα μεγέθη που υπεισέρχονται στο πρόβλημα και οι αντίστοιχες διαστατικές εκφράσεις τους στο Διεθνές σύστημα μονάδων εμφαίνονται στον ακόλουθο πίνακα: α/α ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΣ ΣΥΜΒΟΛΟ ΜΟΝΑΔΕΣ 1 Διάμετρος κυλίνδρου D [m] 2 Ειδική θερμική αγωγιμότητα ρευστού λ [kgm/s 3 K] 3 Ταχύτητα ρευστού υ [m/s] 4 Πυκνότητα ρευστού ρ [kg/m 3 ] 5 Δυναμικό ιξώδες ρευστού μ [kg/ms] 6 Ειδική θερμοχωρητικότητα ρευστού c [m 2 /s 2 K] 7 Συντελεστής συναγωγής h [kg/s 3 K] Στον πίνακα εμφανίζονται τα m=7 συνολικά μεγέθη που συνέχονται με το εξεταζόμενο πρόβλημα, οι μονάδες των οποίων εκφράζονται με n=4 θεμελιώδεις μονάδες του Διεθνούς συστήματος μονάδων, ήτοι αναλυτικά: μήκος [m], μάζα [kg], χρόνος [s] και θερμοκρασία [K]. Υφίστανται συνεπώς, σύμφωνα με το θεώρημα πι, m-n=7-4=3 αδιάστατα μονώνυμα, έτσι σύμφωνα με την εξ. (1.4) το πρόβλημα διαφαίνεται να υπακούει σε μια γενικευμένη λύση της μορφής: F(π 1, π 2, π 3 ) = 0 Η εύρεση της ακριβούς μορφής των τριών παραπάνω αδιάστατων μονωνύμων επιτυγχάνεται με μια αλγοριθμική μέθοδο, από την οποία προκύπτουν: π 1 =hd/λ (αριθμός Nusselt, Nu) π 2 =υdρ/μ (αριθμός Reynolds, Re) 6

π 3 =cμ/λ (αριθμός Prandtl, Pr) Οι παραπάνω 3 αδιάστατοι αριθμοί επικαθορίζουν αποφασιστικά το εξεταζόμενο πρόβλημα εξαναγκασμένης συναγωγής, χρησιμοποιούμενοι όντως κατά κόρο σε σχετικούς υπολογισμούς στη Μετάδοση Θερμότητας. Συμπερασματικά, προκύπτουν οι ακόλουθες απαντήσεις στη μελέτη του παραπάνω προβλήματος: α) Τα μεγέθη που πρέπει απαραίτητα να μετρήσω στις επικείμενες πειραματικές μετρήσεις είναι τουλάχιστον τα επτά (7) που εμφανίζονται στον παραπάνω πίνακα. β) κατά την επεξεργασία των αποτελεσμάτων γνωρίζω εκ των προτέρων ότι μπορώ και οφείλω να τα παρουσιάσω συμπυκνωμένα, με χρήση των παραπάνω τριών χαρακτηριστικών αδιάστατων αριθμών, π.χ. σε διαγράμματα ή με εξισώσεις της μορφής Nu = Nu(Re,Pr). Σχόλιο: Η παραπάνω μεθοδολογία φαίνεται να προσφέρει μια «μαγική» και ανέλπιστη βοήθεια στη μελέτη του προβλήματος: χωρίς να γνωρίζουμε καν τις βαθύτερες φυσικές και μαθηματικές συσχετίσεις που διέπουν το συγκεκριμένο πρόβλημα, επιστρατεύσαμε την απαίτηση εσωτερικής συνέπειας των χρησιμοποιούμενων μονάδων μέτρησης για την έκφραση και μόνο των 7 μεγεθών του φυσικού προβλήματος, για να προκύψουν με κάποιον αλγόριθμο οι τρεις αδιάστατοι αριθμοί που διέπουν το πρόβλημα! Δεν είναι λοιπόν καθόλου τυχαίο ιστορικά το ότι, μετά από τη διεξαγωγή και την αξιολόγηση ανεξάρτητων γενικά μετρήσεων στη Μετάδοση Θερμότητας για την εμπειρική έκφραση διάφορων συντελεστών εξαναγκασμένης συναγωγής, πιθανότατα με συνειδητή επίγνωση, οι αντίστοιχοι ερευνητές επέλεξαν να παρουσιάσουν τα αποτελέσματα όλων σχεδόν των ερευνών συγκερασμένα, με διαγράμματα ή εμπειρικές εξισώσεις της μορφής: Nu = Nu(Re,Pr). Σημαντική βεβαίως προϋπόθεση για την κατάστρωση του πίνακα του ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΟΣ 1 ήταν η ύπαρξη μιας τουλάχιστον «εμπεριστατωμένης υποψίας» για το ποιες φυσικές παράμετροι μπορούν να επηρεάζουν το συγκεκριμένο 7

πρόβλημα! Το σπουδαίο αυτό βήμα απαιτεί ασφαλώς βαθύτερη κατανόηση, επαρκή γνώση και εμπειρία σε παρόμοια προβλήματα. ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΤΩΝ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΩΝ ΣΥΝΑΓΩΓΗΣ Σε τυπικά προβλήματα μετάδοσης θερμότητας ο φοιτητής ή ο ασχολούμενος μηχανικός αναλίσκει ομολογουμένως αρκετό χρόνο για τον υπολογισμό των συντελεστών συναγωγής θερμότητας, όπως αυτοί εμφανίζονται στο εκάστοτε πρόβλημα, προσφεύγοντας στις εκάστοτε κατάλληλες εξισώσεις, διαγράμματα κλπ. Μεγάλο άλλωστε μέρος της διδασκαλίας του μαθήματος Μετάδοση Θερμότητας διατίθεται για την εξοικείωση του φοιτητή με την παραπάνω επίπονη διαδικασία υπολογισμού διάφορων συντελεστών συναγωγής θερμότητας. Για απολύτως πρόχειρους υπολογισμούς, ο παρακάτω Πιν. 1 παρέχει γρήγορα εντελώς προσεγγιστικές τιμές των συντελεστών συναγωγής θερμότητας, που μπορούν μάλιστα να έχουν χρήση και για την πρόβλεψη και τον τελικό έλεγχο των αντίστοιχων υπολογιζόμενων ακριβέστερων τιμών με την αναλυτική μέθοδο. ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΣΥΝΑΓΩΓΗ ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΗ ΣΥΝΑΓΩΓΗ ΑΕΡΙΟ ΥΓΡΟ π.χ. αέρας π.χ. νερό * *** ** **** Πιν. 1 Προσεγγιστικές τιμές των αναμενόμενων συντελεστών συναγωγής σε [W/m 2 K], ως γενικευμένη θεώρηση: χωρίς να υποκαθιστά ασφαλώς τον οικείο αναλυτικό υπολογισμό, ο παραπάνω πίνακας δίδει την τάξη μεγέθους του συντελεστή συναγωγής, παρέχοντας τον αριθμό ψηφίων της αναμενόμενης τιμής, π.χ. για ελεύθερη συναγωγή σε νερό αναμένεται τριψήφια τιμή ενώ για ελεύθερη συναγωγή σε αέρα αναμένεται μονοψήφια τιμή. Από τον αριθμό ψηφίων της αναμενόμενης τιμής σε [W/m 2 K] του παραπάνω Πίνακα 1, διαφαίνεται εντελώς προσεγγιστικά ότι: 8

- οι συντελεστές συναγωγής σε υγρά είναι 100 φορές περίπου μεγαλύτεροι από ότι σε αέρια! - οι συντελεστές συναγωγής για εξαναγκασμένη συναγωγή είναι 10 φορές περίπου μεγαλύτεροι από ότι για ελεύθερη συναγωγή! ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΥΠΟ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ Σε μερικές περιπτώσεις ενδιαφέρει η εξέλιξη των θερμοκρασιών και του ρυθμού μετάδοσης θερμότητας κάτω από μεταβατικές συνθήκες λειτουργίας. Εξετάστε ως εφαρμογή το πρακτικό θερμικό πρόβλημα του ζεστάματος μιας Μηχανής Εσωτερικής Καύσης (ΜΕΚ) όταν ο κινητήρας εκκινεί κρύος: θεωρώντας ότι ο κινητήρας λειτουργεί υπό σταθερό φορτίο και στροφές, οι θερμοκρασίες των διάφορων εξαρτημάτων του αναμένεται να ανέλθουν προοδευτικά, μέχρι να πιάσουν την τελική σταθερή τιμή τους. Αναλυτικότερα, ως μια προσεγγιστική εξέταση θα αναλυθεί η θερμική μεταβατική κατάσταση ζεστάματος μιας ΜΕΚ, εξετάζοντάς την από την πλευρά του εμβόλου αρχικής θερμοκρασίας θ Ε =θ 1 =20 ο C για κρύο κινητήρα. Θεωρώ επίσης, απλοποιημένα, ότι τα αέρια του θαλάμου καύσης άνωθεν του εμβόλου αποκτούν μια σταθερή μέση θερμοκρασία, έστω θ =700 ο C, ακαριαία με την εκκίνηση του κινητήρα βλ. συνημμένο Σχ. 2. Για την απλοποίηση της επίλυσης γίνεται συχνά η παραδοχή ότι το θερμικό σύστημα είναι μη χωρικά διανεμημένο, δηλ. μπορεί να θεωρηθεί σημειακό ή τέλος πάντων ότι έχει συγκεντρωμένη τη θερμοχωρητικότητά του σε ένα σημείο. Η θεωρία της μεταβατικής απόκρισης ενός τέτοιου ιδεατού θερμικού συστήματος προβλέπει ότι η θερμοκρασία θ Ε του εμβόλου θα εξελιχθεί στο χρόνο όχι βηματικά σύμφωνα με τη διαδρομή θ 1-0-Α-Χ αλλά προοδευτικά, όπως απεικονίζεται από τη σύνθετη γραμμή θ 1-0-Β-Y του Σχ. 2, φθάνοντας την τελική τιμή της θ Ε =θ 2 θεωρητικά μετά από άπειρο χρόνο, δηλ. για t=. Παρατηρείστε επίσης στο Σχ. 2 ότι, επειδή η θερμότητα μεταδίδεται από τα αέρια του θαλάμου προς την ψυχρότερη άνω επιφάνεια του εμβόλου με συντελεστή συναγωγής h, η τελική τιμή της 9

επιφανειακής θερμοκρασίας του εμβόλου θ Ε =θ 2 θα είναι μικρότερη από τη σταθερή μέση θερμοκρασία των αερίων του θαλάμου καύσης θ. Σχ. 2 Ζέσταμα κρύου κινητήρα: χρονική εξέλιξη της θερμοκρασίας θ Ε της άνω επιφάνειας ενός εμβόλου ΜΕΚ, που ανυψώνεται συνολικά κατά Δθ, ήτοι από θ 1 σε θ 2, σύμφωνα με τη διαδρομή θ 1-0-Β-Υ Ως μεταβατικό φαινόμενο, η τυπική εξέλιξη της θερμοκρασίας του εμβόλου θ Ε συνιστά μια εκθετική καμπύλη σε διάγραμμα θερμοκρασίας-χρόνου (βλ. Σχ. 2), η μαθηματική έκφραση της οποίας δίδεται παρακάτω: όπου θ Ε -θ = e -t/td (1.5) θ 1 -θ t D = mc/ha (1.6) Ο παράγοντας t D είναι η σταθερά χρόνου του εξεταζόμενου θερμικού συστήματος, που ορίζεται ως ο χρόνος που πρέπει να παρέλθει από την έναρξη της βηματικής μεταβολής για να ολοκληρωθεί το 63.2 % της συνολικά αναμενόμενης μεταβολής. Ο παραπάνω ορισμός ισχύει γενικά για συστήματα που παρουσιάζουν εκθετική απόκριση. Όπως φαίνεται από την εξ. (1.6), η σταθερά χρόνου του θερμικού προβλήματός μας εκφράζεται με βάση τα παρακάτω μεγέθη (για τα οποία παρέχονται ταυτόχρονα και αντιπροσωπευτικές τιμές) : 10

m (=0.6 kg), η μάζα του εμβόλου, c (=461 J/kg o C), η ειδική θερμοχωρητικότητα του εμβόλου, h (=50 W/m 2 K), ο συντελεστής συναγωγής εμβόλου-αερίων θαλάμου, A=πd 2 /4 η διατομή του εμβόλου (d=81 mm). Πρακτική εφαρμογή Για τις δοθείσες παραπάνω σε παρενθέσεις τιμές των σχετικών μεγεθών, η σταθερά χρόνου του εξεταζόμενου εμβόλου προκύπτει ως: t D = mc/ha = 0.6*461/(50*π*0.081 2 /4) = 1074 s = 17.9 min Η φυσική σημασία του παραπάνω αποτελέσματος είναι ότι μετά από χρόνο t=t D =17.9 min θα έχει ολοκληρωθεί για το έμβολο το 63.2 % της συνολικά αναμενόμενης μεταβατικής θερμοκρασιακής μεταβολής Δθ=θ 1 -θ 2. (Επιπρόσθετα, από τη θεωρία προβλέπεται ότι το 99% της συνολικά αναμενόμενης μεταβατικής θερμοκρασιακής μεταβολής θα σημειωθεί μετά από χρόνο t=5t D =5*17.9 = 89.5 min.) Η παραπάνω θεώρηση του μεταβατικού προβλήματος ζεστάματος μιας ΜΕΚ εμπεριέχει την παραδοχή ότι τη σύστημα μπορεί να θεωρηθεί ως μια διαδοχή σημειακών θερμοχωρητικοτήτων, ως προς τη χωρική μετάδοση θερμότητας. Η παραδοχή αυτή για ένα θερμικό φυσικό πρόβλημα γενικότερα ισοδυναμεί μεταξύ άλλων με άπειρη ειδική θερμική αγωγιμότητα των ενεχόμενων μαζών στην αγωγή και αποθήκευση θερμότητας, δηλ. λ=, κάτι που ασφαλώς δεν μπορεί να ισχύει για κανένα πραγματικό σώμα. Έτσι η γνώριμη εκθετική καμπύλη μεταβατικής απόκρισης δεν ισχύει γενικά επακριβώς για θερμικά συστήματα που περιλαμβάνουν αγώγιμα τοιχώματα κάποιου πάχους - ενώ αντιθέτως ισχύει με ασφάλεια για τα διάφορα ηλεκτρικά και ηλεκτρονικά συστήματα, π.χ. κατά τη φόρτιση ενός πυκνωτή που μπορεί να θεωρηθεί σημειακός ως προς την ηλεκτρική συμπεριφορά του. Ειδικότερα, η παραπάνω απόκλιση των πραγματικών μεταβατικών θερμικών προβλημάτων από την ιδεατή εξέταση εξαρτάται κυρίως από την τιμή του αδιάστατου αριθμού Biot=hL/λ. Για τιμές Biot<0.1 αποδεικνύεται θεωρητικά ότι το 11

στερεό σώμα προς το οποίο μεταδίδεται μεταβατικά η θερμότητα είναι θερμοχωρητικά συγκεντρωμένο, δηλ. συγκριτικά με τη δυσκολία μετάβασης της θερμότητας από το ρευστό με συντελεστή συναγωγής h το σώμα κρίνεται πολύ αγώγιμο, ούτως ώστε προλαβαίνει να αναδιατάσσει τις εσωτερικές του θερμοκρασίες κατά μήκος του άξονα διάδοσης της θερμότητας. Η συνθετότητα της πραγματικής απόκρισης ενός θερμικού συστήματος μπορεί να γίνει ποιοτικά και ποσοτικά αντιληπτή με αναφορά στην ακριβή λύση του παρακάτω προβλήματος μεταβατικής αγωγής θερμότητας στο σάντουιτς των δύο στερεών σωμάτων 1 και 2 του Σχ. 3α. Θεωρείστε ότι τα δύο σώματα βρίσκονται αρχικά στην ίδια θερμοκρασία θ αρχ και στη συνέχεια η επιφάνεια 2 δέχεται σταθερή θερμορροή q ενώ η επιφάνεια 1 διατηρείται στην αρχική θερμοκρασία θ αρχ. Σχ. 3α Τομή κατακόρυφου εξωτερικού τοίχου κατοικίας με τη θερμομόνωση από μέσα Λαμβάνοντας θερμικές ιδιότητες που αντιστοιχούν σε τούβλο και σε θερμομονωτικό υαλοβάμβακα για τα σώματα 1 και 2 αντίστοιχα, η γεωμετρία προσομοιάζει έναν κατακόρυφο εξωτερικό τοίχο κατοικίας με τη θερμομόνωση από μέσα. Θεωρώ για μια πρώτη εκτίμηση του αριθμού Biot: h=14 W/m 2 K για τον ολικό συντελεστή μετάδοσης θερμότητας από το εσωτερικό του δωματίου προς την επιφάνεια 2 και λ=0.05 W/mK για την ειδική θερμική αγωγιμότητα του σώματος 2 (θερμομονωτικό). To χαρακτηριστικό μήκος τους προβλήματος κατά την κατεύθυνση διάδοσης θερμότητας είναι το πάχος του μονωτικού, δηλ. L=12 mm= 0.012 m, συνεπώς ο αριθμός Biot προκύπτει ως: 12

Biot = hl/λ =14*0.012/0.05 = 3.36 >> 0.1 Με βάση το προαναφερθέν κριτήριο, στο πρόβλημα αυτό δεν μπορούμε να θεωρήσουμε τη θερμοχωρητικότητα της θερμομόνωσης πάχους L=12 mm σημειακά συγκεντρωμένη, έτσι η αναλυτική λύση του είναι αρκετά δύσκολη. Αντ αυτής, με αριθμητική επίλυση του προβλήματος προέκυψε η ακριβής χρονική εξέλιξη των θερμοκρασιών κατά τον οριζόντιο άξονα της μονοδιάστατης διάδοσης της θερμότητας του Σχ. 3β. Δεδομένου ότι η αρχική θερμοκρασία των δύο σωμάτων 1 και 2 ήταν ίδια, η απεικονιζόμενη λύση περιγράφει τί ακριβώς συμβαίνει θερμοκρασιακά σε διάφορα βάθη του τοίχου όταν κατά τη χρονική στιγμή t=0 αρχίσει να προσδίδεται σταθερή θερμορροή q (τυπική χαρακτηριστική τέτοια εφαρμογή συνιστά η ενεργοποίηση της θέρμανσης κατά το χειμώνα σε εξοχική οικία σποραδικής εγκατοίκησης). Η ανώτερη διακεκομμένη σπαστή ευθεία δείχνει την προβλεπόμενη κατανομή θερμοκρασιών από την επίλυση του προβλήματος μονοδιάστατης αγωγής σε μόνιμη κατάσταση, δηλ. πρακτικά τις τελικές θερμοκρασίες που θα πιάσουμε σε διάφορα βάθη του τοίχου. Από τη μορφή της χρονικής εξέλιξης των προφίλ θερμοκρασίας διαπιστώνεται ότι πρέπει να μιλάμε για διαφορετική τοπική απόκριση των διάφορων τμημάτων των δύο υλικών του τοίχου: όσο πιο κοντά προς την εσωτερική επιφάνεια (δηλ. την επιφάνεια που δέχεται άμεσα το μεταβατικό θερμικό «σοκ») βρίσκεται ένα μόριο της τοιχοποιίας τόσο ταχύτερα αποκρίνεται στο μεταβατικό φαινόμενο και αντιστρόφως. Ενδεικτικά το διάγραμμα φανερώνει ότι, μετά την παρέλευση 36 min (παρατηρήστε τη χαμηλότερη καμπύλη), για την εσωτερική επιφάνεια του τοίχου έχει συντελεστεί προσεγγιστικά το 50 % της αναμενόμενης θερμοκρασιακής ανύψωσης, για τη διεπιφάνεια των δύο υλικών σε βάθος 12 mm έχει συντελεστεί προσεγγιστικά μόνο το 18 %, ενώ για βάθη μεγαλύτερα από 21 mm τα μόρια του σώματος 1 (τούβλο) δεν έχουν καν αντιληφθεί ροή θερμότητας! 13

Σχ. 3β Εξέλιξη των προφίλ θερμοκρασιών σε έναν κατακόρυφο εξωτερικό τοίχο κατοικίας με τη θερμομόνωση από μέσα, ως αποτέλεσμα χαρακτηριστικής βηματικής αλλαγής της θερμορροής στο εσωτερικό του τοίχου από μηδενική αρχική τιμή σε q, π.χ. κατά την ενεργοποίηση της χειμερινής θέρμανσης σε κρύα κατοικία Η παραπάνω εντυπωσιακή πραγματική υστέρηση του προφίλ θερμοκρασιών του εξωτερικού τοίχου, ως προς την απλοποιημένη λύση με τη μέθοδο συγκεντρωμένης θερμοχωρητικότητας, οφείλεται κυρίως στη μεγάλη τιμή του αριθμού Biot=3.36 >> 0.1, δηλ. πρακτικά στη μη ύπαρξη άπειρης τιμής ειδικής θερμικής αγωγιμότητας από τα συμμετέχοντα στην αγωγή θερμότητας δομικά στοιχεία του σάντουιτς εξωτερικού τοίχου. Συνεπώς, σε μερικά θερμικά προβλήματα η άθροιση θερμοχωρητικοτήτων με την απλή μορφή (m 1 c 1 +m 2 c 2 +.+m i c i ) δεν μπορεί να περιγράψει επακριβώς τον πραγματικό μηχανισμό διάδοσης και αποθήκευσης θερμότητας σε μια γεωμετρία i σωμάτων. Αντ αυτού θα πρέπει να χρησιμοποιείται η «ενεργή» θερμοχωρητικότητα (mc) εν, που εξαρτάται μεταξύ άλλων και από τη χωρική εκδήλωση του προβλήματος και από τον τρόπο επιβολής της θερμικής βηματικής μεταβολής. 14

(Συγκριτικά, για την περίπτωση της μεταβατικής μετάδοσης θερμότητας από το θάλαμο καύσης προς το έμβολο της ΜΕΚ, θεωρώντας ως χαρακτηριστικό μήκος το ύψος του εμβόλου έστω L=45 mm = 0.045 m - απλοποιημένα, διότι το έμβολο δεν είναι συμπαγής κύλινδρος - και ειδική θερμική αγωγιμότητα του εμβόλου λ=50 W/mK, ο αριθμός Biot προκύπτει ως: Biot = hl/λ =50*0.045/50 = 0.045 < 0.1 Επειδή προκύπτει Biot<0.1, η τιμή της σταθεράς χρόνου t D =17.9 min που προέκυψε νωρίτερα με τη μέθοδο της συγκεντρωμένης θερμοχωρητικότητας θεωρείται σχετικά ακριβής.) Στην πράξη, η παραπάνω περιγραφείσα σύνθετη και χωρικά εξαρτώμενη πραγματική μεταβατική συμπεριφορά είναι πλεονεκτική σε μερικές περιπτώσεις και μειονεκτική σε άλλες, όπως αναλύεται παρακάτω: - Πλεονέκτημα: Κατά τη χειμερινή ενεργοποίηση του συστήματος θέρμανσης εξοχικής κατοικίας ή κατά την ψυχρή εκκίνηση μιας ΜΕΚ (σε αμφότερα τα θερμικά συστήματα εμφανίζεται βηματική εσωτερική πρόσδοση θερμότητας) ο χρόνος επαρκούς ανύψωσης των θερμοκρασιών των εσωτερικών τοιχωμάτων είναι αρκετά μικρότερος από τον υπολογιζόμενο από την εξ (1.6). Έτσι, ενώ στην παραπάνω πρακτική εφαρμογή ζεστάματος του εμβόλου προέκυψε σταθερά χρόνου t D =17.9 min, ο πραγματικός χρόνος επαρκούς προθέρμανσης της άνω επιφάνειας του εμβόλου και γενικότερα των υλικών κατασκευής του κινητήρα που γειτνιάζουν με το θάλαμο καύσης μπορεί να είναι της τάξης των 10 min. Αυτό επιβεβαιώνεται έμμεσα και από σχετικές μετρήσεις διάφορων ερευνητών, που πιστοποιούν ότι η κρίσιμη για την εκπομπή υπερβολικών ρύπων χρονική περίοδος ψυχρής λειτουργίας ενός τυπικού βενζινοκινητήρα δεν υπερβαίνει τα 5 min. - Μειονέκτημα: Κατά τη χειμερινή απενεργοποίηση του συστήματος θέρμανσης μιας συνεχώς θερμαινόμενης κατοικίας ή κατά το σβήσιμο μιας προθερμασμένης ΜΕΚ (σε αμφότερα τα θερμικά συστήματα έχουμε βηματική διακοπή της εσωτερικής πρόσδοσης θερμότητας) ο χρόνος πτώσης των θερμοκρασιών των εσωτερικών τοιχωμάτων είναι και πάλι 15

αρκετά μικρότερος από τον υπολογιζόμενο από την εξ (1.6). Συνεπώς, σε αμφότερα τα συστήματα τα εσωτερικά τμήματα ψύχονται γρηγορότερα από τα εξωτερικά, δηλ. πρακτικά αμφότερα το εσωτερικό ενός δωματίου και ο θάλαμος καύσης μιας ΜΕΚ. (Παρεμπιπτόντως, το παραπάνω μειονέκτημα δημιουργεί επίσης κάποιο προβληματισμό για τις γενικότερες επιπτώσεις της χρήσης του συστήματος auto stop-start σε αυξανόμενο αριθμό σύγχρονων οχημάτων, που προβαίνει σε αυτόματη απενεργοποίηση του βενζινοκινητήρα κατά την ακινητοποίηση του οχήματος και στη συνέχεια σε αυτόματη επανεκκίνησή του, π.χ. τυπικά σε φωτεινούς σηματοδότες. Η συνεπαγόμενη γρήγορη πτώση των θερμοκρασιών κυρίως στο τοιχώματα των θαλάμων καύσης του κινητήρα μπορεί να έχει δύο τουλάχιστον αρνητικές επιπτώσεις: α) στιγμιαία αύξηση των εκπεμπόμενων ρύπων κατά την επανεκκίνηση του οχήματος, λόγω της προσωρινής λειτουργίας του σε συνθήκες «ημι-ψυχρής» εκκίνησης, και β) απομάκρυνση της λειτουργίας του κινητήρα από τις βέλτιστες συνθήκες ανοχών και λίπανσης των διάφορων κινούμενων εξαρτημάτων, που μπορεί να συνεπάγεται προσωρινά αυξημένες μηχανικές φθορές, ειδικά π.χ. αν η αυτόματη επανεκκίνηση του οχήματος συνοδεύεται από άμεσα υψηλό φορτίο λειτουργίας για μια γρήγορη ανάπτυξη ταχύτητας μετά από στάση σε φωτεινό σηματοδότη.) ΙΣΟΔΥΝΑΜΗ ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑ ΟΥΡΑΝΟΥ Η θερμική ακτινοβολία διαδίδεται δια μέσου της μάζας των μονατομικών και των συμμετρικών διατομικών αερίων χωρίς καμία απορρόφηση. Στην γήινη ατμόσφαιρα όμως, εκτός από τα διατομικά μόρια του οξυγόνου και του αζώτου, που αποτελούν τα κύρια συστατικά της, περιέχονται και μόρια υδρατμών, όζοντος και διοξειδίου του άνθρακα (τριατομικά αέρια), ίχνη άλλων αερίων, καθώς επίσης και διάφορα αιωρούμενα σωματίδια. Ανάλογα μάλιστα με τις επικρατούσες καιρικές συνθήκες και με την παρέμβαση του ανθρώπινου παράγοντα, η σύνθεση της ατμόσφαιρας μεταβάλλεται ελαφρά (κυρίως ως προς τους περιεχόμενους υδρατμούς), τόσο κατά περιοχές όσο και στο ίδιο μέρος. 16

Ως αποτέλεσμα των παραπάνω, η γήινη ατμόσφαιρα δεν είναι τελείως διαπερατή για τη θερμική ακτινοβολία που εκπέμπεται από την επιφάνεια της Γης προς το διάστημα (μια ανάλογη συμπεριφορά παρουσιάζει η ατμόσφαιρα και προς τις εισερχόμενες ηλιακές ακτίνες, μολονότι η "αδιαφάνειά" της είναι πιο μεγάλη προς την θερμική απ' οτι προς την ηλιακή ακτινοβολία). H συναλλαγή θερμότητας με θερμική ακτινοβολία μεταξύ μιας οριζόντιας επιφάνειας A στην επιφάνεια της Γης σε θερμοκρασία Τ και του ουρανού θα μπορούσε, συνεπώς, να εκφρασθεί με μια σχέση της μορφής: Q = τ ατμ σaε(t 4 - T 4 συμ ) όπου T συμ =0 K είναι η μηδενική απόλυτη θερμοκρασία του σύμπαντος εκτός της γήινης ατμόσφαιρας. O "συντελεστής διαπερατότητας της γήινης ατμόσφαιρας" τ ατμ έχει τιμή <1, που εξαρτάται από τις συνθήκες της ατμόσφαιρας. Στην πράξη, αντί της παραπάνω εποπτικής σχέσης εφαρμόζεται η παρακάτω σχέση: Q = σaε(t 4 T ουρ 4 ) (1.7) Όπου αντί για το συντελεστή τ ατμ υιοθετείται η "ισοδύναμη θερμοκρασία ουρανού" T ουρ. H δυσκολία υπολογισμού του συντελεστή διαπερατότητας της ατμόσφαιρας μετατίθεται δηλ. στην εκλογή της ισοδύναμης θερμοκρασίας T ουρ. Κατά τον Swinbank η θερμοκρασία T ουρ σχετίζεται με τη θερμοκρασία περιβάλλοντος T περ με την ακόλουθη σχέση: T ουρ = 0.0553 T περ 1.5 (1.8) Ακριβέστερες εμπειρικές σχέσεις για την ισοδύναμη θερμοκρασία ουρανού T ουρ λαμβάνουν υπόψη και την περιεκτικότητα της ατμόσφαιρας σε υδρατμούς. 17

2. ΕΝΑΛΛΑΚΤΕΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΟΧΗΜΑΤΩΝ Το ψυγείο κινητήρα και το καλοριφέρ θέρμανσης της καμπίνας επιβατών απαντώνται ως εναλλάκτες θερμότητας σε όλα τα οχήματα δρόμου με υδρόψυκτο κινητήρα. Πρόσθετοι εναλλάκτες θερμότητας μπορεί να εγκαθίστανται σε ένα όχημα για άλλες λειτουργίες, έχοντας συνήθως εξειδικευμένα ονόματα, όπως ενδεικτικά: εξατμιστής και συμπυκνωτής (για το θερινό κλιματισμό), ενδιάμεσος ψύκτης (intercooler) ή/και ψυγείο λαδιού (για υπερπληρούμενους κινητήρες), ελαιοψύκτες (για εξελιγμένα συστήματα μετάδοσης κίνησης). Λόγω των περιορισμών χώρου σε όλες πρακτικά τις παραπάνω εφαρμογές, κατά κανόνα για την κατασκευή των εναλλακτών εφαρμόζονται οι διαθέσιμοι τεχνολογικά τρόποι για τη μείωση του όγκου και του βάρους του εναλλάκτη. Τυπική προσέγγιση είναι π.χ. η χρήση εξωτερικών πτερυγίων για την αύξηση της επιφάνειας εναλλαγής προς τον «δύσκολο» από πλευράς μετάδοσης θερμότητας αέρα, που είναι ο τελικός αποδέκτης της εναλλασσόμενης θερμότητας. Για λόγους αντιπαγετικής και αντιδιαβρωτικής προστασίας, σε οχήματα χρησιμοποιούνται ως υγρά εναλλακτών επιλεγμένα αντιπηκτικά μίγματα με κατάλληλα πρόσθετα. Π.χ. το ψυκτικό υγρό ενός υδρόψυκτου κινητήρα, είναι συνήθως ένα μίγμα νερού, αιθυλικής (ή προπυλικής) γλυκόλης και αντιδιαβρωτικών πρόσθετων που, ατυχώς, αντί της ορθής λέξης ψυκτικό υγρό ή έστω αντιπηκτικό, στην αγορά αναφέρεται συχνά ως «αντιψυκτικό». Σύμφωνα με δεδομένα των προμηθευτών, η αιθυλική γλυκόλη παρέχει αντιπαγετική προστασία ανάλογα με την κατ όγκο περιεκτικότητά της, όπως φαίνεται παρακάτω: Κατ όγκο περιεκτικότητα αιθυλικής γλυκόλης 25 % 40 % 45 % Αντιπαγετική προστασία μέχρι: -20 ο C -25 ο C -30 ο C 18

O τυπικός χειμερινός "κλιματισμός" ενός οχήματος περιορίζεται πρακτικά στην ενεργοποίηση ενός θερμαντικού στοιχείου (αποκαλούμενο καλοριφέρ) για τη θέρμανση του προσαγόμενου στην καμπίνα αέρα. Αναλυτικά, σε υδρόψυκτα βενζινοκίνητα οχήματα η εκλυόμενη θερμότητα κατά την καύση του καυσίμου επιμερίζεται, ανάλογα με τις συνθήκες λειτουργίας του κινητήρα, περίπου ως ακολούθως (τα ποσοστά είναι ενδεικτικά για μερικό φορτίο λειτουργίας): - ποσοστό 20-35 % μετατρέπεται σε μηχανικό έργο (συγκριτικά, για πετρελαιοκίνητα 30-40 %), - ποσοστό 30-40 % απορρίπτεται με τα καυσαέρια στο περιβάλλον, - ποσοστό 10-15 % διαφεύγει ως θερμικές απώλειες στο χώρο του κινητήρα, - ποσοστό γύρω στο 20-30 % απομακρύνεται με το σύστημα υδρόψυξης του κινητήρα. Kατά τη λειτουργία του καλοριφέρ μεταβλητό ποσοστό 0-100% του τελευταίου παραπάνω ποσού θερμότητας υδρόψυξης του κινητήρα διατίθεται για τη θέρμανση του αέρα της καμπίνας, που ρυθμίζεται από το θερμοστάτη του κυκλώματος υδρόψυξης σε συνδυασμό με τα χειριστήρια του καλοριφέρ. Είναι αντιληπτό οτι η θερμοκρασία προσαγωγής του νερού από την έξοδο του κινητήρα στο καλοριφέρ μειώνεται για μερικά φορτία λειτουργίας (δηλ. για λίγο πατημένο γκάζι). Πρακτικά, η διαθέσιμη στο καλοριφέρ θερμική ισχύς μεταβάλλεται κυρίως με το φορτίο του κινητήρα και λιγότερο με τις στροφές παρεμπιπτόντως, το αντίθετο ισχύει για την παρεχόμενη ψυκτική ισχύ από σύστημα αιρκοντίσιον οχήματος! Σε κάθε περίπτωση, οι στροφές λειτουργίας του κινητήρα επηρεάζουν σημαντικά την ταχύτητα ροής του ψυκτικού υγρού μέσα στο κύκλωμα ψύξης επειδή συμπίπτουν με τις στροφές περιστροφής της αντλίας νερού, άρα επιδρούν επίσης στην προσαγόμενη θερμότητα στο καλοριφέρ. Αναλυτικότερα, αυτή καθαυτή η παροχή θερμού νερού που εξασφαλίζει η αντλία κυμαίνεται ανάλογα με τις στροφές του κινητήρα από 0.05 l/s ως 3.0 l/s, δηλ. η παροχή αυξάνεται κατά 60 (!) περίπου φορές σε υψηλές στροφές λειτουργίας σε σύγκριση με τις στροφές του ρελαντί (η παραπάνω παροχή δεν είναι πάντα διαθέσιμη για τη θέρμανση της 19

καμπίνας επιβατών διότι όταν ανοίξει ο θερμοστάτης αυτοκινήτου, τυπικά για θερμοκρασίες του νερού ψύξης γύρω στους 75-95 C, μέρος της ροής εκτρέπεται προς το ψυγείο). O χειμερινός κλιματισμός οχήματος έγκειται στη δίοδο του αέρα από το θερμαντικό στοιχείο (καλοριφέρ) πριν την προσαγωγή του στην καμπίνα των επιβατών. Tο θερμαντικό στοιχείο διαρρέεται πάντα από το θερμό νερό του κυκλώματος ψύξης του κινητήρα, αφού βέβαια ζεσταθεί η μηχανή. Η ενεργοποίηση της θέρμανσης απαιτεί την χειροκίνητη ή αυτόματη μετακίνηση του επιστομίου μείξης ζεστό-κρύο (κλαπέτο), για την δίοδο μέρους ή όλου του προσαγόμενου από τον ανεμιστήρα αέρα από την πτερυγωτή εξωτερική επιφάνεια του θερμαντικού στοιχείου. H παροχή του αέρα ρυθμίζεται με επιλογή της ταχύτητας του ανεμιστήρα (αλλιώς βεντιλατέρ), ενώ η διανομή του στη θερμαινόμενη καμπίνα ελέγχεται από την επιλογή των στομίων διανομής. Σε εξελιγμένα συστήματα θέρμανσης απαντάται ηλεκτρονικός θερμοστατικός έλεγχος της θερμοκρασίας της καμπίνας, που φορές βασίζεται στη συνεχή ρύθμιση της ροής του ψυκτικού υγρού μέσω του καλοριφέρ. Ανάλογα με το επίπεδο αυτοματισμού μπορεί να υφίσταται αυτόματος έλεγχος των επιστομίων διανομής ή ανακύκλωσης αέρα, αυτόματη διαφοροποίηση θερμοκρασίας οδηγούσυνοδηγού κ.ά. Tο θερμαντικό στοιχείο κατασκευάζεται συνήθως από ορειχάλκινους ή χαλύβδινους σωλήνες Φ6 mm έως Φ16 mm, στην εξωτερική επιφάνεια των οποίων συγκολλούνται πτερύγια πάχους 3-8 mm. H διαδρομή του νερού εντός των σωλήνων είναι μορφής απλού U ή και ευθεία, ενώ η θερμαντική ικανότητα μεταβάλλεται τυπικά έντονα με την ταχύτητα προσαγωγής του αέρα. 20

3. EPΩTHΣEIΣ - AΠANTHΣEIΣ 1. Περιγράψτε σύντομα την επίδραση του πορώδους και της υγρασίας στα θερμομονωτικά υλικά. H ύπαρξη πόρων στη μάζα ενός υλικού μειώνει τη θερμική αγωγιμότητα, δηλ. το πορώδες βελτιώνει τη θερμομονωτική ικανότητά του, δεδομένου ότι ο ακίνητος αέρας εντός των πόρων έχει κατά τεκμήριο μικρότερη ειδική θερμική αγωγιμότητα από οποιοδήποτε στερεό υλικό. Aντίθετα, η υγρασία καθιστά το υλικό πιο συνεκτικό και επίσης λόγω της κινητικότητάς της αυξάνει την θερμική του αγωγιμότητα, δηλ. μειώνει τη θερμομονωτική του ικανότητα. H θερμική αγωγιμότητα του υγρού πορώδους είναι συνήθως μεγαλύτερη από το άθροισμα των αγωγιμοτήτων του ξηρού πορώδους και της υγρασίας χωριστά, αυτό δε οφείλεται στο ρόλο της υγρασίας ως μεταφορέα θερμότητας με μηχανισμό συναγωγής (κάποιες φορές και με εξάτμιση). 2. Ποιά είναι η διαδικασία μετάδοσης θερμότητας με συναγωγή σε στρωτή και σε τυρβώδη ροή; Σε ποιά περίπτωση επιδρά ουσιαστικά η θερμική αγωγιμότητα του ρευστού; Στη στρωτή ροή η θερμότητα μεταδίδεται μεταξύ μετακινούμενων γειτονικών στρωμάτων του ρευστού σε προκαθορισμένες τροχιές. Στην τυρβώδη ροή παρατηρείται ταυτόχρονη ανταλλαγή ορμής και θερμότητας μεταξύ μικροποσοτήτων του ρευστού που κινούνται ακανόνιστα. H θερμική αγωγιμότητα του ρευστού παίζει ουσιαστικό ρόλο μόνο στην πρώτη περίπτωση. 3. O συντελεστής συναγωγής θερμότητας για νερό (αέρα) που ρέει κάθετα σε μονωμένο αγωγό είναι 4825 W/m 2 K (65 W/m 2 K). Nα υπολογισθεί η κρίσιμη ακτίνα του αγωγού, όταν αυτός είναι μονωμένος με υαλοβάμβακα ειδικής θερμικής αγωγιμότητας 0.038 W/mK. Nα εξηγηθεί η σημασία της. 21

Για νερό: r κρισ = λ/h νερού = 0.038/4825 = 7.87*10-6 m Για αέρα: r κρισ = λ/h αέρα = 0.038/65 = 4.85*10-4 m H εφαρμογή μόνωσης επιφέρει αύξηση της εξωτερικής επιφάνειας του αγωγού. Aν r είναι η ακτίνα του γυμνού αγωγού και x το πάχος της μόνωσης θα πρέπει να ισχύει r+x>r κρισ για να λειτουργεί αποτελεσματικά η μόνωση. Για r<r κρισ η εφαρμογή μόνωσης επιφέρει αύξηση των θερμικών απωλειών μέχρι r+x=r κρισ, οπότε και παρατηρείται το μέγιστο των απωλειών. Για r>r κρισ οποιοδήποτε πάχος της μόνωσης επιφέρει μείωση των θερμικών απωλειών. Στον παραπάνω υπολογισμό οι κρίσιμες ακτίνες προέκυψαν αμφότερες αρκετά μικρές. Για θερμομονωτικό υλικό δεκαπλάσιας ειδικής θερμικής αγωγιμότητας το αποτέλεσμα για τον αέρα θα ήταν r κρισ =λ/h αέρα = 0.38/65=4.85*10-3 m 5 mm, συνεπώς θα είχε πρακτική σημασία για τέτοιες διαμέτρους αγωγού. Τουναντίον, παραμένοντας πάντοτε πολύ μικρή, η κρίσιμη ακτίνα για το νερό δεν παρουσιάζει πρακτικό ενδιαφέρον στις κοινές εφαρμογές. 4. Eξηγήστε γιατί ο υπολογισμός της μόνωσης των ηλεκτρικών γραμμών γίνεται συχνά με αριθμό Biot=2 (να χρησιμοποιηθεί η έννοια της κρίσιμης ακτίνας μόνωσης). Αν h ο συντελεστής μετάδοσης θερμότητας, λ η ειδική θερμική αγωγιμότητα και d η διάμετρος του αγωγού, για αριθμό Biot=2 θα έχω: Biot = hd/λ =2 d = 2(λ/h) = 2r κρισ Για αριθμό Biot=2 τo σύστημα αγωγού-μονωτικού λειτουργεί ακριβώς στην κρίσιμη ακτίνα θερμομόνωσης. Επιτυγχάνεται έτσι διπλός σκοπός, δηλ. παράλληλα με την ικανοποιητική ηλεκτρική μόνωση του αγωγού έχουμε χείριστη (ελάχιστη) θερμική μόνωση, έτσι μεγιστοποιείται η ικανότητα αποβολής της θερμότητας που αναπτύσσεται εντός του αγωγού λόγω του φαινομένου Joule, ασφαλώς αμφότερα επιθυμητά σε εγκαταστάσεις ηλεκτρικών αγωγών. 5. Εφαρμόζοντας το νόμο του Stefan-Boltzmann να αποδειχθεί ότι η χρήση πετασμάτων μεταξύ παράλληλων επιφανειών ελαττώνει τη θερμορροή που μεταδίδεται μεταξύ των με ακτινοβολία. 22

H θερμορροή που συναλλάσσεται με ακτινοβολία μεταξύ δύο παράλληλων πλακών τοποθετημένων σε μικρή απόσταση μεταξύ των δίδεται ως: q α,β = σε ολ (T α 4 -T β 4 ) όπου ε ολ = [(1/ε α ) + (1/ε β )] -1 Θεωρώντας για απλοποίηση ίδιες τιμές συντελεστή εκπομπής για τις δύο πλάκες, δηλ. ε α =ε β =ε, από τη δεύτερη εξίσωση προκύπτει: ε ολ = [(1/ε) + (1/ε)] -1 = ε/2 Mε παρεμβολή n πετασμάτων μεταξύ των παράλληλων πλακών θερμοκρασιών T α και T β αντίστοιχα, συντελεστή εκπομπής επίσης ε, η θερμορροή με ακτινοβολία θα είναι για τις διαδοχικές μεταβάσεις: q = q α,1 = σε ολ (T 4 α -T 4 1 ) q = q 1,2 = σε ολ (T 4 1 -T 4 2 )... q = q n-1,n = σε ολ (T 4 n-1 -T 4 n ) q = q n,β = σε ολ (T 4 n -T 4 β ) Προσθέτοντας κατά μέλη προκύπτει: (n+1)q = σε ολ (T α 4 -T β 4 ) = q α,β q = q α,β /(n+1) < q α,β 23

Δηλ. αποδεικνύεται ότι η νέα θερμορροή με ακτινοβολία q θα είναι το 1/(n+1) της αρχικής τιμής q α,β χωρίς πετάσματα. Π.χ. για n =1 προκύπτει q = q α,β /(1+1) = q α,β /2, δηλ. με την παρεμβολή ενός μόνο πετάσματος οι θερμικές απώλειες μειώνονται κατά 50 %. Σχόλιο: Η παραπάνω τεχνική μείωσης των θερμικών απωλειών χρησιμοποιείται συχνά σε εφαρμογές θερμομόνωσης μεγάλων θερμοκρασιακών διαφορών, όπου ο παράγοντας (T 4 α -T 4 β ) λαμβάνει μεγάλη τιμή, π.χ. στη μόνωση δοχείων πολύ υψηλών θερμοκρασιών ή στη θερμομόνωση αεροδιαστημικών συσκευών, δεδομένου ότι λόγω έλλειψης αέρα στο διάστημα υφίστανται μόνο θερμικές απώλειες ακτινοβολίας. 6. Να σχολιαστεί η χρήση πετάσματος (συνήθως ένα χαρτονένιο κάλυμμα) έμπροσθεν του ψυγείου ενός οχήματος σε περιόδους χαμηλών εξωτερικών θερμοκρασιών, ως προς τους ακόλουθους ισχυρισμούς οτι η προκαλούμενη μείωση των θερμικών απωλειών από το ψυγείο προς τον εξωτερικό περιβάλλον παρέχει: α) πρόσθετη αντιπαγετική προστασία του κυκλώματος υδρόψυξης κινητήρα, και β) ικανοποιητικότερη θέρμανση του καλοριφέρ. Όπως διαφάνηκε από την παραπάνω Ερώτηση 5, η τεχνική μείωσης των θερμικών απωλειών με παρεμβολή πετάσματος αποδίδει κυρίως σε εφαρμογές θερμομόνωσης μεγάλων θερμοκρασιακών διαφορών, μειώνοντας δραστικά τις θερμικές απώλειες ακτινοβολίας μεταξύ δύο επιφανειών θερμοκρασιών T α και T β αντίστοιχα, επειδή ο παράγοντας (T 4 α -T 4 β ) λαμβάνει τότε μεγάλη τιμή. Στην προκειμένη περίπτωση, αν υποθέσουμε ότι η εξωτερική θερμοκρασία του περιβάλλοντος είναι χαμηλή, π.χ. T β = -5 ο C: α) αν το όχημα αφεθεί σε υπαίθριο χώρο αργά ή γρήγορα τα διάφορα εξαρτήματά του θα πιάσουν θερμοκρασίες T α κοντά στη θερμοκρασία του περιβάλλοντος Τ β =-5 ο C, ιδιαίτερα κατά τη νύκτα που απουσιάζει η θετική συμβολή της ηλιακής ακτινοβολίας. Αναλυτικότερα, ο συντελεστής ελεύθερης συναγωγής και ο ολικός συντελεστής εκπομπής από του ψυγείο προς το εξωτερικό περιβάλλον μειώνονται όντως αμφότερα με την παρεμβολή του χαρτονένιου καλύμματος, όχι όμως σημαντικά επειδή η υφιστάμενη γεωμετρία έμπροσθεν του ψυγείου (γρίλιες κ.ά.) 24

ήδη καταστέλλει αρκετά αμφότερους τους μηχανισμούς θερμικών απωλειών. Επιπλέον, αμφότεροι οι παράγοντες (Τ α -T β ) και (T 4 α -T 4 β ) είναι ούτως ή άλλως μικροί, όπως προαναφέρθηκε. (Παρεμπιπτόντως, η παρεμβολή πετάσματος θα μείωνε σημαντικά τις απώλειες θερμικής ακτινοβολίας αν το ψυγείο ήταν τοποθετημένο οριζόντια στην οροφή του οχήματος, διότι τότε η επιφάνειά του θερμοκρασίας Τ α θα έβλεπε όχι τις παρακείμενες επιφάνειες περιβάλλοντος θερμοκρασίας T β =-5 ο C αλλά την πάντα αρκετά χαμηλότερη ισοδύναμη θερμοκρασία ουρανού T ουρ ). Συμπερασματικά, το μέτρο παρέχει μικρή πρόσθετη αντιπαγετική προστασία του συστήματος υδρόψυξης κινητήρα. Συνεπώς, αντί για τέτοιες αυτοσχέδιες επεμβάσεις ο οδηγός πρέπει κυρίως να φροντίζει για την ύπαρξη της σωστής ποσότητας αντιπηκτικού μέσα στο κύκλωμα υδρόψυξης βάση των τηρούμενων προδιαγραφών κατά τα σέρβις του οχήματος, διασφαλίζοντας σίγουρη αντιπαγετική προστασία ακόμη και για θερμοκρασίες αρκετά χαμηλότερες από την εξετασθείσα. β) Υπό την προϋπόθεση ότι ο θερμοστάτης του κυκλώματος ψύξης λειτουργεί κανονικά, ο ισχυρισμός ότι η παρεμβολή του χαρτονένιου καλύμματος θα εξασφαλίζει κατά την κίνηση του οχήματος ικανοποιητικότερη θέρμανση του καλοριφέρ είναι λανθασμένος. Η παρέμβαση αυτή θα μειώσει ασφαλώς το συντελεστή εξαναγκασμένης συναγωγής στο ψυγείο του οχήματος, διότι μεταβάλλει δραστικά τις ταχύτητες διέλευσής του ατμοσφαιρικού αέρα. Ας δούμε όμως αναλυτικά τη μετάδοση θερμότητας για τις εξεταζόμενες συνθήκες: κατά τη συνεχή λειτουργία της αντλίας του συστήματος υδρόψυξης η συνολική παροχή της μπορεί να είναι διαθέσιμη αποκλειστικά για τη θέρμανση της καμπίνας επιβατών εάν δεν έχει ανοίξει ο θερμοστάτης αυτοκινήτου, που συνήθως συμβαίνει για θερμοκρασίες του νερού ψύξης γύρω στους 75-95 C. Για μεγαλύτερες θερμοκρασίες μέρος της ροής εκτρέπεται προοδευτικά προς το ψυγείο για την αποφυγή της υπερθέρμανσης του κινητήρα. Έτσι, η παρεμβολή του χαρτονένιου καλύμματος: - στην πρώτη περίπτωση είναι αδιάφορη διότι η επιφάνεια εναλλαγής του ψυγείου δεν συμμετέχει σε καμία εναλλαγή θερμότητας, λόγω απουσίας ροής ψυκτικού υγρού στο εσωτερικό του, 25

- στη δεύτερη περίπτωση είναι αλήθεια ότι στο καλοριφέρ θα διατίθεται τώρα περισσότερη θερμαντική ισχύς. Υφίσταται όμως πραγματικός κίνδυνος υπερθέρμανσης του κινητήρα, ιδιαίτερα κατά τη λειτουργία με υψηλή ισχύ, λόγω του μειωμένου συντελεστή αποβολής θερμότητας στο ψυγείο. Τελικό σχόλιο Αν ο θερμοστάτης του κυκλώματος ψύξης λειτουργεί κανονικά και αν το υγρό του κυκλώματος υδρόψυξης έχει την προβλεπόμενη περιεκτικότητα αντιπηκτικού δεν υπάρχει λόγος λήψης αυτοσχέδιων «αντιπαγετικών» μέτρων όπως το παραπάνω. Η προβληματική λειτουργία του θερμοστάτη, π.χ. κολλημένος στη θέση ανοικτός, θα εμφανίζει πρόβλημα ελλιπούς θέρμανσης του καλοριφέρ (που μπορεί πράγματι να βελτιωθεί κατά τι με την τοποθέτηση τέτοιου πετάσματος), η ενδεδειγμένη όμως αποκατάσταση του προβλήματος απαιτεί την αλλαγή του θερμοστάτη. Από την άλλη, μια χαμηλή περιεκτικότητα αντιπηκτικού στο κύκλωμα υδρόψυξης του κινητήρα σημαίνει περιορισμένη αντιπαγετική προστασία (που μπορεί πράγματι να βελτιωθεί κατά τι με την τοποθέτηση τέτοιου πετάσματος), η ενδεδειγμένη όμως και ασφαλής αποκατάσταση του προβλήματος απαιτεί τη συμπλήρωση αντιπηκτικού. 7. Αποδείξτε ότι ο ολικός συντελεστής μετάδοσης θερμότητας σ' έναν εναλλάκτη θερμότητας είναι μικρότερος από την μικρότερη συνιστώσα του, από την οποία και εξαρτάται κυρίως (για λόγους απλότητας, να εξεταστούν μόνο οι θερμικές αντιστάσεις των συντελεστών συναγωγής, αγνοώντας τη θερμική αντίσταση του μεταλλικού τοιχώματος του εναλλάκτη). Eφαρμόστε στη συνέχεια το αποτέλεσμα στις παρακάτω πρακτικές περιπτώσεις μεγιστοποίησης της μετάδοσης θερμότητας: α) σε οικιακό καλοριφέρ θέρμανσης με ζεστό νερό, και β) στους διάφορους εναλλάκτες θερμότητας που απαντώνται σε οχήματα. Θεωρώντας επίπεδο τοίχωμα εναλλάκτη, ο ολικός συντελεστής μετάδοσης θερμότητας δίδεται ως: h ολ = [(1/h 1 ) +(L/λ) +(1/h 2 )] -1 26

Αγνοώντας κατά την εκφώνηση τη θερμική αντίσταση του τοιχώματος του εναλλάκτη, δηλ. για L/λ=0, προκύπτει: h ολ [(1/h 1 )+(1/h 2 )] -1 = h 1 h 2 /(h 1 +h 2 ) Για h 1 >h 2 πρέπει να αποδειχθεί ότι h ολ <h 2, δηλ.: h 1 h 2 /(h 1 +h 2 )<h 2 h 1 /(h 1 +h 2 )<1 h 1 <(h 1 +h 2 ) 0<h 2, το οποίο ισχύει. Σχόλια: Τόσο σε οικιακά καλοριφέρ όσο και σε διάφορους αερόψυκτους εναλλάκτες θερμότητας ενός οχήματος, ο συντελεστής μετάδοσης θερμότητας στο εσωτερικό (δηλ. από το νερό προς το τοίχωμα) είναι πολύ μεγαλύτερος από τον αντίστοιχο στο εξωτερικό (δηλ. από το τοίχωμα προς τον αέρα). Σημειώνεται ότι ο δεύτερος συντελεστής διαμορφώνεται και από συναγωγή και από ακτινοβολία ενώ ο πρώτος μόνο από συναγωγή. Η κύρια θερμική αντίσταση στη μετάδοση της θερμότητας εμφανίζεται συνεπώς στην εξωτερική πλευρά του καλοριφέρ, για το γνωστό λόγο ότι στα αέρια γενικά η μετάδοση θερμότητας είναι προσεγγιστικά 2 τάξεις μεγέθους δυσκολότερη από ότι στα υγρά βλ. προσεγγιστικές τιμές του Πιν. 1. Σύμφωνα με τα παραπάνω: α) δεν είναι τυχαίο ότι οι περισσότερες σχεδιαστικές και κατασκευαστικές προσπάθειες για αύξηση της θερμικής απόδοσης των διάφορων τύπων οικιακών θερμαντικών σωμάτων εντοπίζονται στην βελτίωση της μετάδοσης θερμότητας σ' αυτό το τμήμα, β) το παραπάνω αληθεύει εξίσου και για όλους τους τύπους εναλλακτών θερμότητας που απαντώνται σε οχήματα, π.χ. το ψυγείο υδρόψυξης του κινητήρα, το καλοριφέρ θέρμανσης της καμπίνας επιβατών, ο εξατμιστής και ο συμπυκνωτής του συστήματος αιρκοντίσιον, ο ενδιάμεσος ψύκτης (intercooler) για υπερπληρούμενους κινητήρες, οι ελαιοψύκτες για εξελιγμένα συστήματα μετάδοσης κίνησης. Σε όλες τις παραπάνω εφαρμογές, λόγω και των συχνών περιορισμών χώρου για την κατασκευή των εναλλακτών, για τη μείωση του όγκου και του βάρους 27

του εναλλάκτη εφαρμόζονται οι διαθέσιμοι τεχνολογικά τρόποι στη δύσκολη διαδρομή της μετάδοση θερμότητας, που είναι πάντα από τη μεριά του τελικού αποδέκτη της θερμότητας, δηλ. του αέρα. Πρακτικά αυτό περιλαμβάνει σχεδόν πάντα τη χρήση κατάλληλα υπολογισμένων και προσαρμοσμένων πτερυγίων στην εξωτερική πλευρά του εναλλάκτη που έρχεται σε θερμική επαφή με τον αέρα. 8. Eξηγείστε τη σημασία της εξαέρωσης για την καλή λειτουργία των καλοριφέρ. H εξαέρωση των καλοριφέρ έχει σκοπό την απομάκρυνση του αέρα από τον όγκο του νερού που κυκλοφορεί στα θερμαντικά σώματα και στις σωληνώσεις. H παρουσία αέρα παρεμποδίζει την ομαλή κυκλοφορία του νερού, καθώς ο αέρας εγκλωβίζεται τοπικά στα υψηλότερα σημεία του κυκλώματος. Σε περιπτώσεις εγκλωβισμού μεγάλης ποσότητας αέρα στο κλειστό κύκλωμα νερού προκαλείται προβληματική λειτουργία της υδραντλίας, λόγω διακοπτόμενης προσαγωγής νερού στο στόμιο εισαγωγής της, μειώνοντας έτσι και τη θερμαντική ισχύ των σωμάτων. Όταν μάλιστα υφίστανται δύο ή παραπάνω κλάδοι εν παραλλήλω κυκλοφορίας του νερού ενδέχεται να ανακοπεί πλήρως η ροή στον κλάδο με αυξημένη συγκέντρωση αέρα, καθώς το νερό θα προτιμά τη διέλευσή του από τους άλλους κλάδους μικρότερης αντίστασης ροής, καταργώντας ουσιαστικά τη λειτουργία του συγκεκριμένου θερμαντικού σώματος. Το φαινόμενο αυτό είναι υπεύθυνο για την προβληματική λειτουργία ή την πλήρη ανακοπή της ροής σε μερικές περιπτώσεις κλειστών κυκλωμάτων οικιακών καλοριφέρ, λόγω της συχνής ύπαρξης παράλληλων κλάδων κυκλοφορίας του νερού. Σχόλιο: Ανακοπή της ροής του ψυκτικού υγρού θα μπορούσε να υπάρξει και σε καλοριφέρ οχημάτων, λόγω συσσώρευσης αέρα μέσα του. Πρακτικά όμως, για σωστή λειτουργία του θερμοστάτη στο κύκλωμα υδρόψυξης του κινητήρα, κατά την εκκίνηση με κρύο κινητήρα η αντλία οδηγεί όλη την ποσότητα ψυκτικού μέσω του καλοριφέρ για αρκετό χρόνο, μέχρι ο 28

θερμοστάτης να ανοίξει και το δεύτερο (κύριο) κλάδο κυκλοφορίας προς το ψυγείο. Έτσι η ενδεχόμενη ποσότητα εγκλωβισμένου αέρα στο καλοριφέρ συμπαρασύρεται αναγκαστικά προς το πάνω μέρος του ψυγείου του οχήματος, όπου υφίσταται σύστημα διαχωρισμού του αέρα και αναπλήρωσης του ψυκτικού από παρακείμενο δοχείο. Αυτό προλαμβάνει κατά κανόνα το μόνιμο εγκλωβισμό αέρα στο κύκλωμα υδρόψυξης του κινητήρα. 9. Για οριζόντια διάταξη των αυλών ενός συμπυκνωτή ποιά από τις δύο διατάξεις που απεικονίζονται στο ακόλουθο σχήμα θα προτιμήσετε και γιατί;. ΕΥΘΕΙΑ ΒΗΜΑΤΙΚΗ Προτιμάται η βηματική διάταξη διότι κατά τη λειτουργία το συμπύκνωμα που σχηματίζεται στην επιφάνεια των πάνω αυλών, απομακρυνόμενο με τη μορφή σταγόνων υπό την επίδραση της βαρύτητας, παρεμποδίζει λιγότερο από ότι στην ευθεία διάταξη τη λειτουργία των κάτωθεν σειρών αυλών. 29

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 1. VGI-Warmeatlas. Μετάδοση θερμότητας, μετάφραση K.Ν. Πάττα, Θεσσαλονίκη, (1977) 2. Δ. Πράπα, Σημειώσεις Μετάδοσης Θερμότητας, TEI Σερρών (1988) 3. Μ. Ακριβλέλλη, Μετάδοση Θερμότητας, Σημειώσεις ΤΕΙ Θεσσαλονίκης (1991) 4. Δ. Πράπα, ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ ΑΡΧΕΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ, Εκδόσεις Τζιόλα, Θεσσαλονίκη (2009) ISBN 978-960-418-178-0 5. Δ. Πράπα, KΛIMATIΣMOΣ OXHMATΩN, Εκδόσεις Τζιόλα, Θεσσαλονίκη (2005) ISBN 960-418-060-6 6. D.E. Prapas, B. Norton and S.D. Probert, Variations of the effective thermal capacitance in a solar-energy collector, Int. J. of Ambient Energy Vol. 8, No 2, 59-72 (1988) 7. Β. Χατζηαθανασίου, Εισαγωγή στη μετάδοση θερμότητας, Εκδ. Σοφία (2009) Διάφορες ιστοσελίδες του Internet: http://www.google.gr/images?hl=el&client=firefox- a&hs=3mg&rls=org.mozilla:el:official&q=radiator+core+image&um=1&ie=utf- 8&source=univ&sa=X&ei=r3ZrTaisKM-u8QPOpamiAw&ved=0CCIQsAQ&biw=1006&bih=543 http://www.google.gr/images?q=engine+cooling&oe=utf-8&rls=org.mozilla:el:official&client=firefoxa&um=1&ie=utf-8&source=univ&sa=x&ei=mxfrtzg2mthe8qph95dybw&ved=0ccoqsaq&biw=1006&bih=545 http://www.google.gr/images?hl=el&client=firefoxa&hs=eol&rls=org.mozilla:el:official&q=engine+radiator&um=1&ie=utf-8&source=univ&sa=x&ei=nfrtb7qcmuw8qpjndtybw&ved=0cfuqsaq&biw=1006&bih=545 http://www.google.gr/images?q=engine+intercooler&oe=utf-8&rls=org.mozilla:el:official&client=firefoxa&um=1&ie=utf-8&source=univ&sa=x&ei=lnjrtff7figv8goav7dybw&ved=0cfmqsaq&biw=1006&bih=545 http://www.google.gr/images?oe=utf-8&rls=org.mozilla:el:official&client=firefox- 4jyBw&ved=0CHYQsAQ&biw=1006&bih=545 8&source=univ&sa=X&ei=jHNrTevpBoGt8gPYjfnxBw&ved=0CDIQsAQ&biw=1006&bih=545 a&q=heating+core&um=1&ie=utf-8&source=univ&sa=x&ei=pxnrtf-casko8aog- http://www.google.gr/images?q=oil+cooler&oe=utf-8&rls=org.mozilla:el:official&client=firefox-a&um=1&ie=utf- http://www.google.gr/images?hl=el&client=firefox- a&hs=tq0&rls=org.mozilla:el:official&q=car+conditioning&um=1&ie=utf- 8&source=univ&sa=X&ei=znNrTYORMYWu8gOA6YnyBw&ved=0CIoBELAE&biw=1006&bih=545 30