Αλγόριθμος Metropols Γ. Θεοδώρου Γ. Θεοδώρου 1
Δειγματοληψία Οι δύο βασικές μέθοδοι δειγματοληψίας είναι, Κλασική δειγματοληψία (καλείται και: Monte Carlo), και Δειγματοληψία Metropols. Η βασική διαφορά των δύο αυτών τρόπων είναι ότι σε γενικές γραμμές στη μεν πρώτη, η δειγματοληψία είναι γενικά ανεξάρτητη της θερμοκρασίας, ενώ στη δεύτερη γίνεται με βάση το νόμο κατανομής του Boltzmann, και επομένως εξαρτάται από τη θερμοκρασία. Το πρόβλημα που έχουμε είναι να βρούμε πως υλοποιούνται οι διαδικασίες αυτές. Γ. Θεοδώρου 2
Δειγματοληψία Monte Carlo Το όνομα της προτάθηκε τη δεκαετία του 1940, από τους J. von Neumann, S. Ulam, και N. Metropols. Το όνομα αναφέρεται στο ονομαστό καζίνο του Monte Carlo, όπου ο μπάρμπας του Ulam συνήθιζε να παίζει τα λεφτά του. Επιλέγουμε, με ομοιόμορφο τρόπο, τους αριθμούς σε ένα διάστημα, (οι απαιτούμενες σχέσεις υπήρχαν από την εποχή του Ευκλείδη). Υπάρχει στη Mathematca εσωτερική εντολή που βρίσκει ένα αριθμό ομοιόμορφα κατανεμημένο στο διάστημα [a, b], η οποία είναι η: RandomReal[{a, b}] Γ. Θεοδώρου 3
Ο ποιο απλός αλγόριθμος που μπορούμε να πάρουμε είναι: mod[ x, y] Η διαίρεση γίνεται ατέρμονη, όταν x και y είναι πρώτοι αριθμοί. Σε μια ατέρμονη διαίρεση με μη-περιοδικό υπόλοιπο, οι αριθμοί του υπολοίπου είναι πρακτικά ομοιόμορφα κατανεμημένοι στο διάστημα [1, y-1]. Έτσι ο αλγόριθμος: x Mod[ ax b, y] n n 1 Γ. Θεοδώρου 4
Δίνει πρακτικά τυχαίους ακέραιους αριθμούς, ομοιόμορφα κατανεμημένους στο διάστημα [1, y-1]. Γενικά η επιλογή των α και b είναι αρκετά πολύπλοκη. Επειδή η διαδικασία είναι προσδιοριστική, δεν μπορεί πραγματικά να πάρουμε τυχαίους αριθμούς, (ισχύει για όλους τους αλγορίθμους). Για το λόγο αυτό οι αριθμοί αυτοί λέγονται ψευδο-τυχαίοι. Γ. Θεοδώρου 5
Δειγματοληψία Metropols Στη μελέτη προβλημάτων φυσικής, όπως π.χ. γίνεται στη Στατιστική Φυσική, ξέρουμε ότι η πιθανότητα εμφάνισης μιας κατάστασης δίνεται από τη σχέση: PE ( ) exp( E / kt ) ZT ( ) Με την κατάσταση του συνολικού συστήματος, με ενέργεια E, σε θερμοκρασία Τ, και Ζ(Τ) τη συνάρτηση επιμερισμού του συνολικού συστήματος. Η σχέση αυτή είναι ακριβής, και αξιοποιείται στη Στατιστική Φυσική για την εύρεση των ιδιοτήτων του συστήματος. Γ. Θεοδώρου 6
Επομένως, για την ακριβή αντιμετώπιση του προβλήματος απαιτείται η γνώση όλων των E, δηλαδήηλύσητουσυνολικού δυναμικού προβλήματος των πολλών σωμάτων, που σπάνια είναι εφικτή, όπως π.χ. συμβαίνει στην ιδανική προσέγγιση που οι αλληλεπιδράσεις θεωρούνται μηδενικές. Το επόμενο βήμα είναι να βρούμε μια προσεγγιστική μεθοδολογία με την οποία μπορούν να αντιμετωπιστούν προσεγγιστικά τα διάφορα πραγματικά προβλήματα. Μια προσεγγιστική μέθοδος είναι και ο αλγόριθμος Metropols, (Από την εργασία: N. Metropols, A.W. Resenbluth, M.N. Resenbluth, and H. Teller, J. of Chem. Phys. 21, 1087, (1953).) Γ. Θεοδώρου 7
Ν. Μητρόπουλος (1915 1999) Γ. Θεοδώρου 8
Προσέγγιση Για τον προσδιορισμό της ενέργειας, που είναι το δυναμικό πρόβλημα, προσεγγίζουμε το συνολικό σύστημα με τοπικά συστήματα, και ισχυριζόμαστε ότι η συνολική μεταβολή της ενέργειας σε μια μεταβολή της μικροκατάστασης, μπορεί να προσδιοριστεί από το άθροισμα των μεταβολών της ενέργειας των τοπικών προβλημάτων. Η μικροκατάσταση ενός δυναμικού φυσικού συστήματος αλλάζει με το χρόνο, διότι το σύστημα μεταβαίνει από μικροκατάσταση σε άλλη μικροκατάσταση. Γ. Θεοδώρου 9
Κλασσικός Αλγόριθμος Νόμος «μικροσκοπικής ισορροπίας» ( detaled balance ) pt ( j) pt( j ) Οι δείκτες, j δηλώνουν μικροκαταστάσεις του συστήματος. Η πιθανότητα να βρεθεί το σύστημα στη κατάσταση ή j δίνεται από το νόμο του Boltzmann p exp( ) / Z( T ) T( j) exp( ( )) T ( j ) j j Γ. Θεοδώρου 10
Μετατοπίσαμε το πρόβλημα από την εύρεση της Ζ(Τ), στην εύρεση του Τ(j ). Προσεγγιστική λύση: ά έ ό T ( ) 1 j j Οπότε έχουμε T( ) j 1, ά j exp( ( j )), ά j Τελικά, ο αλγόριθμοςmetropols είναι: T( ) Mn[1,exp( ( ))] j j Γ. Θεοδώρου 11
Εναλλακτικός Αλγόριθμος Ενδιαφερόμαστε για τη πιθανότητα μετάβασης του συστήματος από τη κατάσταση του, στην j, με διαφορά ενέργειας δε j. Δεχόμαστε ότι υπάρχουν μόνο οι δύο καταστάσεις. Για τις δυο μόνο αυτές καταστάσεις του συστήματος, εφαρμόζοντας Στατιστική Φυσική, έχουμε Z=1+exp(-δε j /kt) και η πιθανότητα να βρεθεί στη κατάσταση j είναι, P(j)=exp(-ε j /kt)/(1+ exp(-δε j /kt)) Γ. Θεοδώρου 12
Οπότε η πιθανότητα μετάβασης παίρνεται ανάλογη της πιθανότητας αυτής: exp( j / kt ) T ( j) 1 ex p ( / kt ) j E j E j, Τελικά έχουμε τη προσεγγιστική συμπεριφορά: T ( j) exp( Ej E / kt), για Ej E 1, για Ej E που είναι η προηγούμενη λύση. Γ. Θεοδώρου 13