ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Φυσική των Laser LASER ΣΥΝEΧΟΥΣ. Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. Μπενής

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Φυσική των Laser LASER ΣΥΝEΧΟΥΣ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. Μπενής

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 013 Laser Συνεχούς ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. LASER ΣΥΝEΧΟΥΣ 7.1. Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα χρησιμοποιήσουμε τα μέχρι τώρα καλυφθέντα θέματα για να αναπτύξουμε το θεωρητικό υπόβαθρο της λειτουργίας ενός laser συνεχούς (w). Ένα laser συνεχούς (ontinuous wave ή ontinuous waveform) παράγει ΗΜ ακτινοβολία σταθερού πλάτους και συχνότητας, κι επομένως ιδωμένο από τη μαθηματική πλευρά έχει άπειρη διάρκεια εξ ου και ο όρος «συνεχές». Στα laser συνεχούς η διαδικασία της αντιστροφής πληθυσμού πρέπει να είναι συνεχής σε αντίθεση με τα παλμικά laser που θα εξεταστούν στο επόμενο κεφάλαιο. Η θεωρία περιγραφής των laser συνεχούς βασίζεται στην προσέγγιση της εξίσωσης ρυθμών μεταβολής πληθυσμών. Η βάση της θεωρίας είναι η απλή παραδοχή πως ο αριθμός των ατομικών μεταβάσεων και ο αριθμός των εμπλεκόμενων φωτονίων πρέπει να είναι σε ισορροπία. Σημειώνεται πως στο κεφάλαιο αυτό θα εξετάσουμε μόνο την περίπτωση των laser τεσσάρων σταθμών κυρίως για λόγους οικονομίας χώρου αλλά κι επειδή μερικά από τα πιο χαρακτηριστικά laser, όπως π.χ. τα αερίων He-Ne και τα ιοντικών κρυστάλλων Nd:YAG, ανήκουν στην κατηγορία αυτή. 7.. Εξισώσεις ρυθμών μεταβολής πληθυσμών (Rate equations) Έστω το σύστημα laser τεσσάρων σταθμών του σχήματος 7.1, όπου η άντληση γίνεται στη ενεργειακή κατάσταση 1 η οποία ταχύτατα αποδιεγείρεται στην κατάσταση, που είναι το άνω επίπεδο του laser. Επίσης η κατάσταση 3 που είναι το κάτω επίπεδο του laser αποδιεγείρεται ταχύτατα στη βασική κατάσταση του συστήματος 0. Υπό αυτές τις συνθήκες μπορούμε να θεωρήσουμε την προσέγγιση Ν 1 Ν 3 0 εφόσον δεν συντηρούν πληθυσμούς λόγω της πολύ γρήγορης αποδιέγερσής τους. Επίσης θεωρούμε πως η κοιλότητα laser έχει ένα τρόπο ταλάντωσης κι ότι η πυκνότητα ενέργειας της άντλησης και του τρόπου ταλάντωσης είναι ομοιογενή μέσα στο ενεργό υλικό της κοιλότητας. Ο αριθμός των φωτονίων στην κοιλότητα είναι φ. Αυτό το απλουστευμένο μοντέλο, αν και περιορίζεται σε πολύ συγκεκριμένες περιπτώσεις, είναι οδηγός για τον τρόπο μεταχείρισης πιο πολύπλοκων μοντέλων. Με βάση τα παραπάνω μπορούμε να γράψουμε για τους ρυθμούς μεταβολής των πληθυσμών του εν λόγω συστήματος laser dn dt R BN p (7.1.a) N d dt V B N a (7.1.b) όπου R p είναι ο ρυθμός άντλησης. Θεωρήσαμε αμελητέα την αλλαγή του πληθυσμού της βασικής κατάστασης λόγω της άντλησης, δηλ. N g >>N. Στο κεφάλαιο 6 καταλήξαμε σε σχέσεις υπολογισμού του όρου αυτού. Ο όρος BφN αντιστοιχεί στην εξαναγκασμένη εκπομπή. Στο κεφάλαιο 5 είχαμε δει πως ο ρυθμός αποδιέγερσης της εξαναγκασμένης 85

Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 013 Laser Συνεχούς εκπομπής W είναι ανάλογος της έντασης του πεδίου (σχέση 5.1), άρα κι ανάλογος του αριθμού των φωτονίων φ. Επομένως η σταθερά Β αναφέρεται ως ρυθμός αποδιέγερσης της εξαναγκασμένης εκπομπής ανά φωτόνιο και ανά τρόπο δόνησης. Η ποσότητα τ είναι ο χρόνος ζωής της κατάστασης που περιλαμβάνει τόσο τις ακτινοβολητικές όσο και τις μη ακτινοβολητικές διαδικασίες. Ο όρος V α ΒφΝ αντιπροσωπεύει τον ρυθμό αύξησης του πληθυσμού των φωτονίων όπου V α είναι ο όγκος του τρόπου δόνησης μέσα στο ενεργό μέσο. Τέλος, ό όρος φ/τ, όπου τ ο χρόνος ζωής φωτονίου στην κοιλότητα (σχέση 4.31). Σχ. 7.1. Τυπικό laser τεσσάρων σταθμών Παρατηρούμε πως στη σχέση 7.1.b δεν υπάρχει όρος που να αντιστοιχεί στην αυθόρμητη εκπομπή σε αντίθεση με τον όρο Ν /τ της σχέσης 7.1.a. Στο κεφάλαιο 1 είχαμε αναφέρει πως η διαδικασία laser ξεκινά με την αυθόρμητη εκπομπή. Πράγματι, εάν θέσουμε στη σχέση 7.1.b φ=0 για t=0 τότε dφ/dt=0, κι άρα δεν έχουμε laser. Από τους διάφορους τρόπους που μπορούμε να σκεφτούμε έτσι ώστε να συμπεριλάβουμε την αυθόρμητη εκπομπή, ο πιο εύκολος είναι να προσθέσουμε ένα φωτόνιο στον όρο V α ΒφΝ, δηλ. V α Β(φ+1)Ν το οποίο ουσιαστικά θα είναι υπεύθυνο για την έναρξη της διαδικασίας laser. Ωστόσο επειδή κατά τη λειτουργία του laser ο αριθμός των φωτονίων μέσα την κοιλότητα είναι τεράστιος (10 10 10 16 για laser συνεχούς) θα παραλείψουμε εντελώς τον όρο αυθόρμητης εκπομπής έχοντας όμως υπόψη το παραπάνω σχόλιο. Η μόνη άγνωστη ποσότητα στις σχέσεις 7.1 είναι η σταθερή Β κι αυτήν θα υπολογίσουμε. Για το λόγο αυτό θεωρούμε κοιλότητα μήκους L με ενεργό μέσο μήκους l και δείκτη διάθλασης n κι έστω Ι η ένταση της δέσμης μέσα στην κοιλότητα τη χρονική στιγμή t=0. Ακολουθώντας τη συλλογιστική της παραγράφου 1.. μπορούμε να γράψουμε για την ένταση (λαμβάνοντας υπόψη ότι Ν >>Ν 1 ) Ι μετά από ένα πέρασμα μέσα στην κοιλότητα I I (1 L ) R R exp( N l ) i (7.) ' 1 όπου R 1 και R οι ανακλαστικότητες των δυο καθρεφτών, L i η απώλεια ακτινοβολίας για κάθε πέρασμα και σν l η ενίσχυση σε κάθε πέρασμα μέσα στην κοιλότητα. Ορίζοντας τώρα τις ποσότητες R 1 =1-α 1 -Τ 1 και R =1-α -Τ όπου Τ 1,Τ οι διαπερατότητες των καθρεφτών και α 1, α οι απώλειες των καθρεφτών, η αλλαγή της έντασης σε ένα πέρασμα της κοιλότητας γράφεται: I I I [(1 L ) (1 T )(1 T ) exp( N l ) 1] I i (7.3) ' 1 1 86

Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 013 Laser Συνεχούς Υποθέτοντας ίσες απώλειες καθρεφτών (α 1 = α = α) και εισάγοντας τις προσεγγίσεις 1-α-Τ 1 (1-α)(1-Τ 1 ) και 1-α-Τ (1-α)(1-Τ ) η 7.3 γράφεται I I I [(1 L ) (1 ) (1 T )(1 T ) exp( N l ) 1] I i (7.4) ' 1 Τέλος, χρησιμοποιώντας τις βολικές μεταβλητές (βλ. κεφ. 1.., σχέσεις 1.11) 1 ln( 1 ln( 1 T ), [ln( 1 ) ln( 1 1 i και λαμβάνοντας υπόψη ότι σν l γ <<1 η 7.3 δίνει 1 T ), i L i )] I [exp( ) exp( ) exp( ) exp( N i 1 l ) 1] I [exp( ) exp( N ( N l ) l ) 1] I [exp( ( N l )) 1] I [1 ( N l ) 1] I (7.5) Στη συνέχεια διαιρούμε με το χρόνο που χρειάζεται για να ολοκληρώσει το φως ένα πέρασμα μέσα στην κοιλότητα, δηλ. Δt = L e /, όπου L e =L+(n-1)l το οπτικό μήκος της κοιλότητας (λαμβανομένου υπόψη του δείκτη διάθλασης του ενεργού μέσου μήκους l). Στο όριο ΔΙ /Δt dι /dt προκύπτει: di l N I dt L L (7.6) e e Επειδή η ένταση είναι ανάλογη του αριθμού των φωτονίων τότε με απευθείας σύγκριση των σχέσεων 7.1.b και 7.6 προκύπτει ότι l B V L L e e (7.7.a) (7.7.b) Παρατηρείστε πως η 7.7.b γενικεύει το αποτέλεσμα που βρήκαμε στο κεφάλαιο 4 για το χρόνο ζωής του φωτονίου μέσα την κοιλότητα (σχέση 4.31). Έχοντας υπολογίσει τα Β και τ μπορούμε να προχωρήσουμε στη επίλυση του συστήματος 7.1 στο πλαίσιο των παραδοχών και προσεγγίσεων που θέσαμε. Επειδή Ν=Ν -Ν 1 Ν οι 7.1 γράφονται τελικά dn dt N R BN p (7.8.a) d V BN 1 a (7.8.b) dt Η λύση των εξισώσεων 7.8 εξαρτάται από την κάθε περίπτωση. Για παράδειγμα, για ένα laser συνεχούς θέτουμε τις χρονικές παραγώγους ίσες με μηδέν (κατάσταση ισορροπίας steady state). Για ένα παλμικό laser πρέπει να καθορίσουμε τον όρο άντλησης R p =R p (t) και να θέσουμε αρχικές συνθήκες π.χ. Ν(t=0)=0 και φ(t=0)=1. Πάντως και στις δυο 87

Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 013 Laser Συνεχούς περιπτώσεις, όταν είναι γνωστή η λύση για το φ (ή φ(t)) τότε ο υπολογισμός της πολύ σημαντικής ποσότητας της ισχύος εξόδου μπορεί εύκολα να υπολογιστεί ως εξής: Η 7.7.b μπορεί να γραφτεί ως Αντικαθιστώντας την 7.9 στην 7.8.b έχουμε 1 i 1 (7.9) L L L e e d i 1 V BN a (7.10) dt L L L e e e Στη σχέση αυτή ο όρος (γ /L e )φ είναι οι απώλειες λόγω της διαπερατότητας του καθρέφτη. Επομένως η ισχύς εξόδου (προϋποθέτοντας τη γνώση του φ) γράφεται ως P OUT e ( hv ) L (7.11) e Παράδειγμα 1: Υπολογισμός αριθμού φωτονίων σε κοιλότητα τυπικού w laser Χαμηλής ισχύος laser: Έστω He-Ne laser μήκους L= L e = 50 m, λ=630 nm και ισχύος εξόδου 10 mw. Για τυπική διαπερατότητα Τ = 1% έχουμε γ = - ln(1- Τ ) = 0.01. Η 7.11 δίνει φ 10 10 φωτόνια. Υψηλής ισχύος laser: Έστω CO laser μήκους L e = 150 m, λ=10.6 μm και ισχύος εξόδου 10 kw. Για τυπική διαπερατότητα Τ = 45% έχουμε γ = - ln(1- Τ ) = 0.6. Η 7.11 δίνει φ 10 17 φωτόνια. 7.3. Συνθήκες κατωφλίου και ισχύς εξόδου Θεωρούμε αρχικά τις συνθήκες κατωφλίου. Έστω ότι για t=0 ένας μικρός αριθμός φωτονίων φ i υπάρχει στην κοιλότητα (π.χ. φ i = 1) λόγω αυθόρμητης αποδιέγερσης. Επομένως από την 7.8.b έχουμε ότι dφ/dt > 0 => BV α Ν > 1/τ.Όπως γνωρίζουμε η διαδικασία του laser ξεκινάει όταν η αντιστροφή πληθυσμών Ν φτάσει σε μια κρίσιμη τιμή Ν, όπως δείξαμε και στο κεφάλαιο 1, που εκφράζεται ως (με τη βοήθεια των 7.7.) N 1 (7.1) l BV Ο αντίστοιχος ρυθμός άντλησης τότε προκύπτει από την 7.8.a αντικαθιστώντας dν/dt = 0 (κατάσταση ισορροπίας), Ν = Ν και φ = 0. Τότε προκύπτει για τον κρίσιμο ρυθμό άντλησης ότι (βλ. και παράδειγμα στο τέλος του κεφ. 6) N R p (7.13) l Δηλαδή, ο κρίσιμος ρυθμός άντλησης R p αντιστοιχεί στην κατάσταση όπου ο ρυθμός άντλησης R p ισούται με το ρυθμό αυθόρμητης εκπομπής της κατάστασης Ν. Εάν R p > R p, τότε ο αριθμός των φωτονίων θα μεγαλώσει. Η τιμή του εξαρτάται από την τιμή του ρυθμού της αυθόρμητης εκπομπής. Στην περίπτωση που η R p είναι ανεξάρτητη από το χρόνο (κατάσταση η οποία εμπίπτει στις αρχικές παραδοχές μας) ο αριθμός των φωτονίων θα 88

Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 013 Laser Συνεχούς φτάσει σε μια σταθερή τιμή φ 0. Αυτή η τιμή φ 0 στην κατάσταση ισορροπίας καθώς και ο αντίστοιχος αριθμός αντιστροφής πληθυσμού N 0 καθορίζονται από την λύση των εξισώσεων 7.8 για τις συνθήκες ισορροπίας dφ/dt =0 και dν/dt = 0. Οι λύσεις προκύπτουν εύκολα ως N 0 0 BV 1 V ( R p l N 0 N / ) (7.14.a) (7.14.b) Οι εξισώσεις 7.14 περιγράφουν τη συμπεριφορά ενός laser τεσσάρων σταθμών. Στη συνέχεια θα τις εξετάσουμε στη λεπτομέρειά τους. Σχ. 7.. Ποιοτική εξάρτηση της αντιστροφής πληθυσμών Ν και αριθμού φωτονίων φ ως συνάρτηση του ρυθμού άντλησης. Παρατηρούμε πως ακόμη κι όταν R p > R p, είναι Ν 0 = Ν, που σημαίνει ότι η αντιστροφή πληθυσμών κατά τη λειτουργία του laser είναι πάντοτε ίση με την κρίσιμη αντιστροφή πληθυσμών. Για να κατανοήσουμε καλύτερα αυτό το φαινομενικά παράδοξο αποτέλεσμα παραθέτουμε το διάγραμμα 7. στο οποίο δίνεται ποιοτικά η εξάρτηση της αντιστροφής πληθυσμών και αριθμού φωτονίων ως συνάρτηση του ρυθμού άντλησης. Παρατηρούμε πως όταν R p < R p, τότε φ = 0 και η αντιστροφή αυξάνει γραμμικά. Όταν R p = R p, τότε είναι Ν = Ν και φ = 0. Εάν τώρα R p > R p, τότε ενώ η αντιστροφή πληθυσμών παραμένει σταθερή Ν = Ν 0 =Ν, ο αριθμός των φωτονίων αυξάνει γραμμικά με την R p. Με άλλα λόγια η άντληση αυξάνει την αντιστροφή πληθυσμών μέχρι την κρίσιμη τιμή (αποθήκευση ενέργειας στο ενεργό υλικό) ενώ από το σημείο αυτό και πέρα περεταίρω αύξησή της οδηγεί σε αύξηση του αριθμού των φωτονίων στην κοιλότητα (αποθήκευση ενέργειας στο ΗΜ πεδίο της κοιλότητας). Στη συνέχεια θα γράψουμε την 7.14.b σε μια πιο χρήσιμη μορφή γράφοντας Ν 0 /τ = Ν /τ = R p. Τότε προκύπτει ότι R p V N ( 1) 0 a 0 (7.15) R Επειδή τα μεγέθη του ρυθμού άντλησης και της παρεχόμενης ισχύος συνδέονται γραμμικά (σχέση 6.1) μπορούμε να γράψουμε p Pp A P b p V N ( 1) ( 1) 0 a 0 (7.16) P P p TH 89

Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 013 Laser Συνεχούς όπου χρησιμοποιήσαμε την 7.14.a και ορίσαμε την σταθερή A b =V α /l η οποία ουσιαστικά είναι το μέτρο της διαμέτρου της δέσμης laser μέσα στην κοιλότητα (μικρότερη ή το πολύ ίση με τη διάμετρο V/l του ενεργού μέσου). Από την 7.11 και τη 7.16 προκύπτει η σχέση για την τιμή της ισχύος εξόδου. Λαμβάνοντας υπόψη ότι ένταση κορεσμού για ένα σύστημα τεσσάρων σταθμών περιγράφεται από τη σχέση I s = hν/στ (σχέση 5.46), προκύπτει ότι P OUT A b I s P p ( P TH 1) (7.17) Από τη σχέση αυτή μπορεί να οριστεί άλλη μια πολύ χρήσιμη ποσότητα, η απόδοση κλίσης του laser ως: n Χρησιμοποιώντας τις σχέσεις 6.6 και 7.13 προκύπτει ότι Οπότε η 7.18 γράφεται R dp / dp A I s OUT p b s (7.18) P mp P 1 TH Ahv TH mp n P p p TH (7.19) n Alhv l b n ( )( )( ) s p hv hv mp A A n p n n n q n t p (7.0) όπου: 1) n p είναι η απόδοση άντλησης όπως ορίστηκε στην 6.5.) n = γ /γ είναι το κλάσμα των φωτονίων που εξέρχονται από την κοιλότητα λόγω της διαπερατότητας του ενός καθρέφτη και καλείται απόδοση εξόδου. 3) n q = hν/hν mp είναι το κλάσμα της ελάχιστης ενέργειας που μετατρέπεται σε ενέργεια του laser και καλείται κβαντική απόδοση laser (βλ. σχήμα 6.6). 4) n t = A b /A είναι το κλάσμα της επιφάνειας του ενεργού μέσου που χρησιμοποιείται από τη δέσμη laser και καλείται κάθετη απόδοση. Αξίζει να σημειώσουμε για άλλη μια φορά πως υποθέσαμε ότι το ενεργό μέσο αντλείται ομοιόμορφα. 7.4. Βέλτιστη σύζευξη εξόδου Αξίζει να σημειωθεί πως για δεδομένο ρυθμό άντλησης υπάρχει μια τιμή της διαπερατότητας Τ του καθρέφτη για την οποία η ισχύς εξόδου μεγιστοποιείται. Πράγματι, παρατηρούμε από τη σχέση 7.17 ότι η ισχύς εξόδου P OUT εξαρτάται από την παράμετρο γ η οποία είναι το μέτρο της διαπερατότητας του καθρέφτη. Ωστόσο εξαρτάται κι από την μεταβλητή P TH η οποία με τη σειρά της εξαρτάται κι αυτή από το γ (σχέση 7.19). Το μέγιστο της εξάρτησης της ισχύος εξόδου P OUT από την διαπερατότητας Τ του καθρέφτη καθορίζεται από τη σχέση dp OUT / dγ = 0. 7.5. Ρύθμιση (tuning) laser Το φασματικό εύρος ενίσχυσης μερικών laser είναι αρκετά φαρδύ και χρειάζεται για τις περισσότερες εφαρμογές να επιλεγεί μια στενότερη φασματική περιοχή του. Άλλα laser μπορεί να παρουσιάσουν ενίσχυση σε περισσότερες από μια μεταβάσεις και να χρειαστεί κανείς να μπορεί να επιλέγει μεταξύ αυτών. Σε κάθε περίπτωση απαιτείται ένας μηχανισμός 90

Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 013 Laser Συνεχούς ρύθμισης (tuning) του laser στην κατάλληλη φασματική περιοχή που πραγματώνεται με την ενσωμάτωση ενός κατάλληλου οπτικού στοιχείου μέσα στην κοιλότητα. Στο μέσο υπέρυθρο (CO laser) συνήθως χρησιμοποιείται ένα φράγμα περίθλασης (grating) ως ένας από τους καθρέφτες της κοιλότητας, όπως φαίνεται στο σχήμα 7.3.a. Σε αυτή τη διάταξη για δεδομένη στροφή του φράγματος μόνο ένα μήκος κύματος (για την ακρίβεια ένα πολύ στενό φασματικό εύρος γύρω από ένα κεντρικό μήκος κύματος) επιτρέπεται να διαδοθεί μέσα στην κοιλότητα. Η ρύθμιση του μήκους κύματος του laser επιτυγχάνεται με την γωνιακή περιστροφή του φράγματος περίθλασης. Σχ. 7.3. Ρύθμιση μήκους κύματος laser με τη χρήση: a) φράγματος περίθλασης, b) πρίσματος. Στο ορατό και κοντινό υπέρυθρο συνήθως χρησιμοποιείται ένα πρίσμα με τις δυο του πλευρές σε γωνία Brewster σχετικά με τη δέσμη του laser, όπως φαίνεται στο σχήμα 7.3.b. Όπως και στο φράγμα, με την κατάλληλη επιλογή της γωνίας στροφής του πρίσματος (ή και του καθρέφτη ) μόνο ένα μήκος κύματος επιτρέπεται να διαδοθεί στην κοιλότητα. Στο ορατό και κοντινό υπέρυθρο χρησιμοποιείται πλέον ευρέως η λύση του διπλοθλαστικού (birefringent) φίλτρου όπως φαίνεται στο σχήμα 7.4. Το φίλτρο είναι ένας διπλοθλαστικός κρύσταλλος (π.χ. KDP: potassium dihydrogen phosphate) σε γωνία Brewster με τη δέσμη του laser. Το φίλτρο είναι τοποθετημένο ανάμεσα σε δυο πολωτές με τον άξονά τους στραμμένο έτσι ώστε να διαδίδεται δέσμη laser με γραμμική πόλωση αυτή του επιπέδου πρόσπτωσης στο φίλτρο. Θεωρούμε ότι ο οπτικός άξονας Α του κρυστάλλου είναι σε ένα επίπεδο παράλληλο στην επιφάνεια του κρυστάλλου και ότι δεν είναι παράλληλος ή κάθετος στο επίπεδο πόλωσης της δέσμης laser. Επειδή η δέσμη laser προσπίπτει στο φίλτρο με γωνία Brewster δεν θα αλλάξει η έντασή της, ωστόσο στην έξοδο του φίλτρου θα είναι γενικά ελλειπτικά πολωμένη αφού η τακτική κι έκτακτη ακτίνα έχουν διαφορετικούς δείκτες διάθλασης n o κι n e, αντίστοιχα, κι επομένως εισάγουν διαφορά φάσης που περιγράφεται από τη σχέση 91

Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 013 Laser Συνεχούς (n n ) L e o e (7.1) όπου L e είναι το πάχος του φίλτρου στην κατεύθυνση της δέσμης. Η ελλειπτικά πολωμένη πλέον δέσμη θα χάσει μεγάλο μέρος από την έντασή της στον δεύτερο πολωτή. Μόνο τα μήκη κύματος που ικανοποιούν τη σχέση Δφ=lπ, όπου l ακέραιος, θα διατηρήσουν την αρχική τους γραμμική πόλωση και θα διαδοθούν μέσα από τον δεύτερο πολωτή κι επομένως θα συνεισφέρουν στη διαδικασία του laser. Σχ. 7.4. Χρήση διπλοθλαστικού φίλτρου για τη ρύθμιση μήκους κύματος laser. 7.6. Επιλογή μοναδικού τρόπου ταλάντωσης Τα laser γενικά ταλαντώνονται σε περισσότερους του ενός τρόπων. Η βασική αιτία εντοπίζεται στο γεγονός ότι η συχνοτική διαφορά των τρόπων ταλάντωσης είναι συνήθως μικρότερη από το φασματικό εύρος της συνάρτησης ενίσχυσης, με αποτέλεσμα να ενισχύονται περισσότεροι του ενός τρόπων ταλάντωσης. Η κατάσταση απεικονίζεται ποιοτικά στο σχήμα 7.5 αλλά και παρακάτω στο σχήμα 7.7. Η ζητούμενη λειτουργία του laser σε ένα τρόπο ταλάντωσης μπορεί να επιτευχθεί με διάφορους τρόπους, μερικούς εκ των οποίων θα αναφέρουμε παρακάτω. Σχ. 7.5. Ποιοτικό παράδειγμα συνάρτησης ενίσχυσης g για διάφορους ρυθμούς άντλησης R p, και οι δυνατοί τρόποι ταλάντωσης συχνοτικής διαφoράς /L που υποστηρίζονται από την g. Σημείωση: Θυμίζουμε πως οι τρόποι ταλάντωσης χωρίζονται σε εγκάρσιους και διαμήκεις, όπου οι όροι αυτοί δεν έχουνε καμία σχέση με τις έννοιές τους από τους τρόπους ταλάντωσης των κυμάτων. Ανακαλώντας την σχέση 4.7, εγκάρσιοι είναι αυτοί που 9

Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 013 Laser Συνεχούς αναφέρονται στους δείκτες l και m (με n σταθερό) και διαμήκεις είναι αυτοί που αναφέρονται στον δείκτη n (l και m σταθερά). 7.6.1. Επιλογή εγκάρσιου μοναδικού τρόπου ταλάντωσης Στην περίπτωση των ευσταθών κοιλοτήτων (αντηχείων) με μικρή διάμετρο δέσμης ( < 0.5 mm) μπορεί να επιλέξει κανείς τον εγκάρσιο τρόπο ταλάντωσης του laser (δηλ. τους δείκτες l και m). Για τις περισσότερες εφαρμογές απαιτείται ο τρόπος TEM 00. Αυτό επιτυγχάνεται εισάγοντας μια οπή διαμέτρου α στον άξονα της κοιλότητας. Αποδεικνύεται ότι καθώς το α μικραίνει οι απώλειες λόγω περίθλασης στον τρόπο TEM 00 είναι πολύ λιγότερες από ότι στους υψηλότερους τρόπους TEM 01 ή TEM 10. Επομένως με την κατάλληλη επιλογή της οπής α μπορούμε να επιβάλλουμε την ταλάντωση του τρόπου TEM 00 αν και με μερικές απώλειες λόγω του χωρικού περιορισμού του. 7.6.. Επιλογή διαμήκους μοναδικού τρόπου ταλάντωσης Ακόμη και στην περίπτωση που το laser ταλαντώνεται σε ένα εγκάρσιο τρόπο μπορεί να ταλαντωθεί σε αρκετούς διαμήκεις τρόπους (που αντιστοιχούν στο δείκτη n). Έχουμε δει στο κεφ. 4 πως οι διαμήκεις τρόποι απέχουν φασματικά Δν=/L. Η επιλογή του τρόπου ταλάντωσης μπορεί να γίνει σε μερικές περιπτώσεις πολύ απλά επιλέγοντας το μήκος L της κοιλότητας τέτοιο ώστε Δν>Δν 0 /, όπου Δν 0 είναι το φασματικό εύρος της συνάρτησης ενίσχυσης. Σε αυτή την περίπτωση, εάν ρυθμίσουμε την συχνότητα του απαιτούμενου τρόπου δόνησης να ταυτιστεί με το μέγιστο της συνάρτησης ενίσχυσης τότε οι γειτονικοί τρόποι θα έχουν πολύ μικρότερη ενίσχυση και δεν θα επιβιώσουν (τουλάχιστον σε συνθήκες κοντά σε αυτές του κατωφλίου). Μαθηματικά η παραπάνω συνθήκη εκφράζεται ως L (7.) 0 Για παράδειγμα σε laser He-Ne με λ=633 nm το φασματικό εύρος της συνάρτησης ενίσχυσης είναι Δν 0 =1,7 GHz, οπότε προκύπτει ότι η κατάλληλη κοιλότητα για ένα διαμήκη τρόπο ταλάντωσης πρέπει να έχει μήκος L < 17.5 m. Αντίθετα στα laser στερεάς κατάστασης όπου το Δν 0 είναι μερικές εκαντοντάδες GHz, το κατάλληλο μήκος είναι μικρότερο του 1 mm, και άρα η μέθοδος δεν είναι εφαρμόσιμη. 7.6.3. Fabry-Perot Ένας συνηθισμένος τρόπος για να πετύχουμε διαμήκη μοναδικό τρόπο ταλάντωσης είναι να εισάγουμε μέσα στην κοιλότητα ένα (ή και παραπάνω) πλακίδιο έταλον Fabry-Perot όπως φαίνεται στο σχήμα 7.6. 93

Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 013 Laser Συνεχούς Σχ. 7.6. Διάταξη επιλογής διαμήκους τρόπου ταλάντωσης με τη χρήση έταλον. Το έταλον είναι ένα διαφανές υλικό για ορατή και υπέρυθρη ακτινοβολία των οποίων οι δυο επιφάνειες έχουν κατάλληλη ανακλαστικότητα. Θεωρώντας ένα πλακίδιο έταλον τοποθετημένο σε γωνία θ ως προς τον άξονα της κοιλότητας, τότε τα μέγιστα της διερχόμενης ακτινοβολίας περιγράφονται από τη σχέση v n n (7.3) n L ' os ' r όπου n ακέραιος, n r ο δείκτης διάθλασης του έταλον, L' το πάχος του και θ' η γωνία διάθλασης. Εφόσον το πάχος του έταλον είναι πολύ πιο μικρό από το μήκος της κοιλότητας, μια πολύ μικρή στροφή του αρκεί για να επιλεγεί ο κατάλληλος τρόπος διάδοσης στην κατάλληλη ενίσχυση, όπως παραστατικά φαίνεται στο σχήμα 7.7. Η συχνοτική διαφορά δυο διαδοχικών μεγίστων (ονομάζεται και free spetral range) προκύπτει εύκολα από την 7.3 ως v fsr (7.4) n L ' os ' r Στο σχήμα 7.7 παρουσιάζονται γραφικά οι σχέσεις των συχνοτικών πλατών της κοιλότητας, του έταλον και του προφίλ ενίσχυσης από όπου φαίνεται ο μηχανισμός επιλογής των τρόπων δόνησης μέσω ενός πλακιδίου έταλον. 94

Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 013 Laser Συνεχούς Σχ. 7.7. Επιλογή διαμήκους τρόπου ταλάντωσης με τη χρήση έταλον. 7.6.4. Κυκλικές κοιλότητες μονής κατεύθυνσης Αποδεικνύεται ότι η επιλογή διαμήκους τρόπου ταλάντωσης μπορεί να επιτευχθεί ή τουλάχιστον να βοηθηθεί, εάν η κοιλότητα είναι κυκλική (ring resonator) κι επιπλέον η ταλάντωση περιορισθεί στη μια διεύθυνση (βλ. σχήμα 4.5.a). Για να επιτευχθεί αυτό χρειάζεται μια οπτική διάταξη που είχαμε αναφέρει ως οπτική δίοδος (από το ηλεκτρικό ανάλογο της διόδου ρεύματος). Η καρδιά αυτής της διάταξης είναι ο περιστροφέας Faraday (Faraday Rotator - FR). Πρόκειται για ένα διαφανές μαγνητο-οπτικό υλικό που κατά τον άξονά του εφαρμόζεται ομογενές μαγνητικό πεδίο (βλ. σχήμα 7.8). Το μαγνητικό πεδίο έχει ως αποτέλεσμα τη στροφή της γραμμικής πόλωσης του προσπίπτοντος ΗΜ κύματος στην έξοδο του υλικού. Το μέγεθος της στροφής εξαρτάται από το υλικό, το μήκος του και την τιμή του μαγνητικού πεδίου. Σε αντίθεση με τα υλικά που παρουσιάζουν στροφική ικανότητα (εξαιτίας της ανισότητας δεξιόστροφων και αριστερόστροφων στερεοϊσομερών), ο περιστροφέας Faraday στρίβει την πόλωση σε μια μόνο φορά ανεξάρτητα από την κατεύθυνση της δέσμης 1. Αυτό σημαίνει πως αν στο σχήμα 7.8 το ΗΜ κύμα στην έξοδο του FR έχει στρέψει την πόλωσή του κατά γωνία θ, τότε εάν ανακλαστεί από έναν καθρέφτη κι επιστρέψει πίσω, στην άλλη έξοδο του FR θα έχει στραφεί κατά θ. 1 θυμηθείτε τα πειράματα με ζαχαρόνερο στα εργαστήρια οπτικής 95

Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 013 Laser Συνεχούς Σχ. 7.8. Περιστροφέας Faraday Εκμεταλλευόμενοι αυτή την ιδιότητα φτιάχνουμε την οπτική διάταξη του σχήματος 7.9. Η διάταξη αποτελείται από δυο πολωτές τοποθετημένοι με τους οπτικούς τους άξονες παράλληλα, έναν περιστροφέα Faraday κι ένα πλακίδιο καθυστέρησης λ/. Η δίοδος δουλεύει ως εξής: Αρχικά η δέσμη είναι πολωμένη παράλληλα στον οπτικό άξονα του πολωτή ένα κι επομένως διέρχεται ανενόχλητη από αυτόν. Στη συνέχεια περνά από τον FR και στρέφεται κατά γωνία θ. Το πλακίδιο καθυστέρησης λ/ (του οποίου η στροφή γύρω από τον οπτικό του άξονα κατά γωνία φ επιφέρει στροφή της γραμμικής πόλωσης κατά φ/ ανεξάρτητα από τη φορά πρόσπτωσης) στρέφεται κατάλληλα ώστε να επιφέρει στροφή της πόλωσης κατά γωνία θ αναιρώντας τη στροφή που επέφερε ο FR. Συνεπώς το ΗΜ κύμα περνά αδιατάρακτο και από το δεύτερο πολωτή. Το ΗΜ κύμα που διαδίδεται κατά την αντίθετη φορά ωστόσο δεν έχει την ίδια μοίρα. Περνά από τον πολωτή ανεπηρέαστο αλλά μετά από τη διέλευσή του από το πλακίδιο λ/ στρέφει την πόλωσή του κατά θ. Έπειτα μετά από τη διέλευσή του από τον FR έχει στρέψει την πόλωσή του κατά θ με αποτέλεσμα να χάσει μεγάλο μέρος της ενέργειάς του κατά τη διέλευσή του μέσα από τον πολωτή 1, με τελικό αποτέλεσμα την μη επιβίωσή του μέσα στην κοιλότητα. Σχ. 7.9. Οπτική δίοδος εντός (απλοποιημένης) κυκλικής οπτικής κοιλότητας. 96

Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 013 Laser Συνεχούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Έστω Nd:YAG laser που περιγράφεται γεωμετρικά από το παρακάτω σχήμα. Με βάση αυτό και το διπλανό διάγραμμα πειραματικών μετρήσεων της ισχύος εξόδου ως συνάρτηση της ισχύος της άντλησης να υπολογίσετε: a. Το οπτικό μήκος της κοιλότητας και το χρόνο ζωής του φωτονίου στην κοιλότητα. Δίνεται ο δείκτης διάθλασης για τον Nd:YAG κρύσταλλο n=1.8. Θεωρείστε μηδενικές απώλειες καθρεφτών και κοιλότητας (δηλ. γ i = 1-α-Τ i 1-Τ i, και L i 0). b. Την ισχύ άντλησης κατωφλίου (ελάχιστη ισχύς άντλησης που απαιτείται για να λειτουργήσει ο κρύσταλλος).. Την απόδοση κλίσης του laser. d. Την ένταση κορεσμού του laser θεωρώντας ομογενή άντληση του κρυστάλλου. e. Την ενεργό διατομή της μετάβασης μεταξύ των σταθμών laser δοθέντος του μήκους κύματος λ=1,06 μm και του χρόνου ζωής της διεγερμένης στάθμης τ = 30 μs. f. Τον αριθμό των φωτονίων στην έξοδο του laser για 6 kw της ισχύος άντλησης.. Έστω μια οπτική κοιλότητα δυο επίπεδων καθρεφτών με μήκος L. Στον ένα της καθρέφτη τοποθετείται πιεζοηλεκτρικός κρύσταλλος με σκοπό την φασματική μετατόπιση των τρόπων ταλάντωσης. a. Υπολογίστε την φασματική μετατόπιση Δν ενός οποιουδήποτε διαμήκους τρόπου ταλάντωσης όταν ο πιεζοηλεκτρικός κρύσταλλος κινήσει τον καθρέφτη κατά μήκος λ/, όπου λ το μήκος κύματος του πρώτου (βασικού) τρόπου ταλάντωσης. b. Έχουμε δει πως η επιλογή διαμήκων τρόπων ταλάντωσης μπορεί να γίνει σε ορισμένες περιπτώσεις μέσω της κατάλληλης επιλογής του μήκους της κοιλότητας. Μπορεί η μέθοδος αυτή να χρησιμοποιηθεί σε συνδυασμό με την μέθοδο του πρώτου ερωτήματος για την επιλογή τρόπων ταλάντωσης μιας κοιλότητας σταθερού μήκους; Απαντήστε στο ερώτημα θεωρώντας laser He-Ne με φασματικό εύρος συνάρτησης ενίσχυσης Δv 0 = 1,7 GHz. 97

Τέλος Ενότητας

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

Σημειώματα

Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 1.0. Έχουν προηγηθεί οι κάτωθι εκδόσεις: Έκδοση 1.0 διαθέσιμη εδώ. http://eourse.uoi.gr/ourse/view.php? id=1141.

Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. Μπενής. «Φυσική των Laser. LASER ΣΥΝEΧΟΥΣ». Έκδοση: 1.0. Ιωάννινα 014. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: http://eourse.uoi.gr/ourse/view.php?i d=1141.

Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά Δημιουργού - Παρόμοια Διανομή, Διεθνής Έκδοση 4.0 [1] ή μεταγενέστερη. [1] https://reativeommons.org/lienses/ by-sa/4.0/