Θερμοδυναμική Ενότητα 2: Υπολογισμοί σε διεργασίες ιδανικού αερίου Κυρατζής Νικόλαος Τμήμα Μηχανικών Περιβάλλοντος και Μηχανικών Αντιρρύπανσης ΤΕ
Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο TEI Δυτικής Μακεδονίας και στην Ανώτατη Εκκλησιαστική Ακαδημία Θεσσαλονίκης» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3
Σκοποί ενότητας Να κατανοήσει ο φοιτητής τα βασικά στοιχεία των διεργασιών σε ιδανικό αέριο. 4
Περιεχόμενα ενότητας Οδηγίες για τη λύση προβλημάτων. 1 ος Νόμος. Ειδικές θερμότητες. Μεταβολές εσωτερικής ενέργειας σε ιδανικό αέριο. Υπολογισμοί σε διεργασίες ιδανικού αερίου. 5
Sadi Carnot (1796-1832) Εικόνα 1. Sadi Carnot, πηγή: Sussman, 1972. 6
Πίνακας μονάδων ενέργειας (διαστάσεις = δύναμη x μήκος) Πίνακας 1. Πίνακας μονάδων ενέργειας, τροποποίηση από: Sussman, 1972. 1 Joule=1 Watt s=10 7 erg=10 7 (g cm 2 ) s 2 =10 7 dyne cm=1 N m=1 Volt Coulomb 1,0 horsepower (hp)=550 ft-lb f /sec=0,745 kw Μάζα: 1,0 pound m (lb m )=453,59 g Μήκος: 1,0 incn (in)=2,54 cm 7
Οδηγίες για τη λύση προβλημάτων (1) 1. Διαβάστε προσεκτικά το πρόβλημα (τουλάχιστον 2 φορές). 2. Σχεδιάστε ένα απλό σχήμα ή διάγραμμα της συσκευής στην αρχική και τελική κατάσταση. 3. Βρείτε ή ορίστε το σύστημα που μελετάτε και σχεδιάστε με γραμμή τα σύνορά του που το χωρίζουν από το περιβάλλον. 4. Θερμότητα (Q) μπαίνει ή βγαίνει από το σύστημα; Δείξτε το με το κατάλληλο βέλος, στην κατάλληλη διεύθυνση που να τέμνει τη συνοριακή γραμμή του συστήματος. Αν είναι αδιαβατική η διεργασία, σημειώστε Q=0, πάνω στο διάγραμμα. 8
Οδηγίες για τη λύση προβλημάτων (2) 5. Έργο (W) μπαίνει ή βγαίνει από το σύστημα; (Αυτό βεβαίως απαιτεί κατά κάποιο τρόπο μία σύνδεση του συστήματος με το περιβάλλον, όπως για παράδειγμα ένα ευέλικτο σύνορο (δηλαδή μπορεί να υπάρχει εκτόνωση), ένας άξονας, ακόμη και μία ηλεκτρική αντίσταση (στην περίπτωση ηλεκτρονικού έργου) κλπ. Δείξτε το με το κατάλληλο βέλος στην κατάλληλη διεύθυνση που να τέμνει τη συνοριακή γραμμή του συστήματος. Αν δεν υπάρχει έργο (όπως όταν υπάρχει ακίνητος τοίχος που περικλείει το σύστημα, δεν υπάρχει άξονας ή ο,τιδήποτε άλλη σύνδεση με το περιβάλλον που είναι απαραίτητη για την παραγωγή ή κατανάλωση έργου), τότε σημειώστε W=0 πάνω στο διάγραμμα. 6. Ύλη (δηλαδή μάζα) μπαίνει ή βγαίνει από το σύστημα; (Είναι δηλαδή το σύστημά μας ανοικτό ή κλειστό;). Αν το σύστημά μας είναι ανοικτό, τότε δείξτε με κατάλληλο βέλος τη ροή της μάζας. 9
Οδηγίες για τη λύση προβλημάτων (3) 7. Βρείτε και ταυτοποιήστε ποια είναι η διεργασία και σημειώστε ποιες ιδιότητες παραμένουν σταθερές (δηλαδή P, V, T, H ή U). Αν είναι δυνατόν, σχηματίστε τη διεργασία σε ένα διάγραμμα, όπως PV ή PT. 8. Γράψτε την εξίσωση διατήρησης της ενέργειας και δώστε όσες τιμές των παραμέτρων της είναι γνωστές από τα δεδομένα του προβλήματος. Όσες παραμένουν άγνωστες υπολογίστε τις αμέσως από την εξίσωση του 1 ου Νόμου. Αν δεν υπολογίζονται αμέσως, τότε άλλες βοηθητικές σχέσεις, εξισώσεις ή πληροφορίες θα χρειαστούν. 10
Οδηγίες για τη λύση προβλημάτων (4) Κατασκευάστε τον παρακάτω πίνακα: Πίνακας 2. Παράδειγμα, τροποποίηση από Sussman, 1972. 11
1 ος Νόμος (1) Ένα g-mole αερίου υφίσταται μια κυκλική διεργασία τεσσάρων σταδίων 1 2 3 4 1 όπου οι ανταλλαγές ενέργειας φαίνονται στον παρακάτω πίνακα. Να συμπληρώσετε τις παραμέτρους που λείπουν και να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας δείχνοντας τις αριθμητικές πράξεις. Πίνακας 3. Παράδειγμα 1 ος Νόμος, τροποποίηση από Sussman, 1972. 12
1 ος Νόμος (2) ΔU t = Q+W για όλες τις διεργασίες. Άρα 1 2: Q 1 2 = 300 ( 8.000)=7.700 J 3 4: ΔU t 3 4= 500+300= 200 J Όμως ΔU t 1 2 3 4 1 = 0 (γιατί;) Άρα ΔU t 1 2+ ΔU t 2 3+ ΔU t 3 4+ ΔU t 4 1= ΔU t 1 2 3 4 1 = 0 ΔU t 2 3=0 ( 300) ( 200) 6.000= 5.500 J 13
1 ος Νόμος (3) Οπότε W 2 3 = 5.500 ( 5.000)= 500 J Όμως το ολικό έργο W ολ = W 1 2 3 4 1 = W 1 2 + W 2 3 + W 3 4 + W 4 1 = 2.000 J W 4 1 = 2.000 ( 8.000) ( 500) 300=6.200 J Άρα Q 4 1 = ΔU t 4 1 W 4 1 = 6.000 6.200= 200 J Και Q 1 2 3 4 1 = 2.000 J που μπορεί να βρεθεί με δύο τρόπους (γιατί;) 14
Ειδικές θερμότητες (1) C = dq dt δηλαδή είναι η θερμότητα που πρέπει να εισέλθει στην μονάδα μάζας (γι αυτό θέσαμε dq) ενός συστήματος για να αυξηθεί η θερμοκρασία του κατά ένα βαθμό. Επινοήθηκε από τον Joseph Black (1728-1799) καθηγητή ανατομίας, ιατρικής και χημείας στο Πανεπιστήμιο της Γλασκώβης για να διαχωρίσει την θερμότητα (που μέχρι τότε πίστευαν ότι είναι ένα «ρευστό») από την θερμοκρασία. 15
Ειδικές θερμότητες (2) Από τον 1 ο νόμο εύκολα βρίσκουμε: C V = dq = U και C dt V T P = dq = H όπου τα V dt P T P μεγέθη U και H δηλώνουν εντατικές ιδιότητες (δηλ. ανά μονάδα μάζας ή mole)* οπότε Τ2 Τ1 ΔΗ P = C P dt = Q P και ΔU V = C V dt = Q V Γενικά οι ειδικές θερμότητες μεταβάλλονται με την θερμοκρασία και δίνονται σε πίνακες σαν C P = a + bt + ct 2 όπου Τ η απόλυτος θερμοκρασία και a, b, c σταθερές. Επειδή συνήθως b, c είναι πολύ μικρές τιμές, το C P μπορεί να θεωρηθεί σταθερό για μικρό με μέτριο εύρος θερμοκρασιών. Δες Παράρτημα Γ του βιβλίου. * Σημείωση: σε άλλα βιβλία αυτά συμβολίζονται ως U και Η. Τ2 Τ1 16
Ειδική Θερμότητα-V=σταθερή (1) Σταθερού όγκου: C V = U T V Σε κλειστό σύστημα σταθερού όγκου: du = C V dt και ολοκληρώνοντας ΔU = T2 T1 C V dt και για μια ισόχωρη αντιστρεπτή διεργασία: T2 T1 Q = nδu = n C V dt V=σταθερή Αν σε μια διεργασία αλλάζει ο όγκος αλλά στο τέλος καταλήγουμε πάλι στον αρχικό όγκο τότε ΔΕΝ έχουμε διεργασία σταθερού όγκου αν και V 2 =V 1. Επειδή όμως U=καταστατική ιδιότητα ΜΠΟΡΟΥΜΕ να υπολογίσουμε την ΔU για διεργασία με V=σταθ. αλλά ΙΔΙΕΣ αρχική και τελική κατάσταση. 17
Ειδική Θερμότητα-V=σταθερή (2) Για τον υπολογισμό ΔU ή άλλων καταστατικών ιδιοτήτων μιας πραγματικής διεργασίας υποθέτουμε μια πιο απλή διεργασία (π. χ. αντιστρεπτή) που έχει τις ίδιες αρχικές και τελικές καταστάσεις και υπολογίζουμε τα ΔU ή Δ (όποιας άλλης καταστατικής ιδιότητας) για την απλή αυτή διεργασία. 18
Ειδική Θερμότητα-P=σταθερή (1) Σταθερή πίεση: C Ρ = Η T Ρ Σε κλειστό σύστημα σταθερής πίεσης: dη = C Ρ dt και ολοκληρώνοντας ΔΗ = T2 T1 C Ρ dt και για μια ισοβαρή αντιστρεπτή διεργασία: T2 T1 Q = nδη = n C Ρ dt Ρ=σταθερό. Αν σε μια διεργασία αλλάζει η πίεση αλλά στο τέλος καταλήγουμε πάλι στην αρχική πίεση τότε ΔΕΝ έχουμε διεργασία σταθερής πίεσης αν και Ρ 2 =Ρ 1. Επειδή όμως Η=καταστατική ιδιότητα ΜΠΟΡΟΥΜΕ να υπολογίσουμε την ΔΗ για διεργασία με Ρ=σταθερό αλλά ΙΔΙΕΣ αρχική και τελική κατάσταση. 19
Ειδική Θερμότητα-P=σταθερή (2) Μόνο όμως για ΑΝΤΙΣΤΡΕΠΤΕΣ διεργασίες σταθερής πίεσης μπορούμε να Υπολογίσουμε τα Q και W από τους τύπους: Q = nδη = n T2 T1 C Ρ dt, και W = npδv 20
Ειδικές θερμότητες μερικών ουσιών σε 25 C * Για τα αέρια οι τιμές είναι μέσες τιμές μεταξύ 25-400 C). Πίνακας 4. Ειδικές θερμότητες μερικών ουσιών σε 25 C, τροποποίηση από Sussman, 1972. 21
PV t = nrt Ιδανικό αέριο (1) όπου, P= πίεση, V t = ολικός όγκος, n= g-mol ή lb-mol, R= παγκόσμια σταθερά των αερίων σε κατάλληλες μονάδες, Τ= απόλυτη θερμοκρασία σε Kelvin ή Rankine. PV = RT όπου, V = ειδικός όγκος. Σε χαμηλές πιέσεις η συμπεριφορά των αερίων πλησιάζει πολύ την ιδανική. Για μονοατομικά αέρια (π.χ. He), c p =5/2 R, c v =3/2 R. Για διατομικά αέρια (π.χ. Η 2 ), c p =7/2 R, c v =5/2 R. Σε κάθε περίπτωση c p - c v = R που ισχύει πάντα γιατί: C p = dh/dt = (du + PV)/dT=dU/dT + d(pv) / dt = du/dt + d(rt)/dt = du/dt + R. 22
Ιδανικό αέριο (2) Η ενθαλπία και η εσωτερική ενέργεια εξαρτώνται μόνο από την θερμοκρασία και είναι ανεξάρτητες της πίεσης: U=U(T) και Η=Η(Τ). Άρα ΔΗ =0 και ΔU =0 για ισόθερμες διεργασίες. Για άλλες ουσίες η ενθαλπία εξαρτάται από την πίεση και θερμοκρασία. Γενικά για ιδανικό αέριο. 23
Μεταβολές εσωτερικής ενέργειας σε ιδανικό αέριο Σχήμα 1. Μεταβολές εσωτερικής ενέργειας σε ιδανικό αέριο, πηγή: Smith et al., 2005. 24
Τιμές της σταθεράς των ιδανικών αερίων (R) Πίνακας 5. Πίνακας με τιμές της σταθεράς των ιδανικών αερίων, τροποποίηση από Sussman, 1972. 25
Υπολογισμοί σε διεργασίες ιδανικού αερίου Υποθέτουμε αντιστρεπτές διεργασίες κλειστού συστήματος. Το αέριο βρίσκεται σε συσκευή κυλίνδρου-εμβόλου και εκτονώνεται ή συμπιέζεται. Θα εξετάσουμε τις εξής περιπτώσεις: Α) Ισοβαρής διεργασία. Β) Ισόθερμη διεργασία. Γ) Ισόχωρη διεργασία. Δ) Αδιαβατική διεργασία. Θέλουμε να υπολογίσουμε τα Q και W της διεργασίας. 26
Ισοβαρής διεργασία Δίνουμε θερμότητα και το αέριο εκτονώνεται ενώ P=σταθερό. Ο μηχανισμός εξασφαλίζει σταθερή εξωτερική πίεση και σχεδόν ίσες και αντίθετες δυνάμεις. dw = PdV = Pd RT P = RdT. Άρα: W = R(T 2 T 1 ) και W = Nrδτ. 1 ος νόμος: dq = PdV + du. Άρα η θερμότητα που προσθέτουμε μετατρέπεται σε έργο αλλά και σε εσωτερική ενέργεια (δηλαδή η θερμοκρασία του αερίου αυξάνει). dq = dh = C P dt Q = ΔH = T2 T1 C P dt Q = n T2 T1 C P dt. Σχήμα 2. Ισοβαρής διεργασία, πηγή: Sussman, 1972. 27
Ισόθερμη διεργασία Η θερμοκρασία παραμένει σταθερή. Ο όγκος αυξάνει αλλά η πίεση μειώνεται. Ο κύλινδρος βρίσκεται σε επαφή με λουτρό σταθερής θερμοκρασίας και θερμότητα προστίθεται στο αέριο ενόσω διαρκεί η εκτόνωση. Ο μηχανισμός εξασφαλίζει σχεδόν ίσες και αντίθετες πιέσεις. du = 0 dq = dw Q = W ΔU=ΔΗ=0 dw = PdV = RT V dv = RT dv V W = Q = RTln V 2 = RTln P 2 V 1 P 1 ή W = Q = nrtln V 2 = nrtln P 2 V 1 P 1 Σχήμα 3. Ισόθερμη διεργασία, πηγή: Sussman, 1972. 28
Ισόχωρη διεργασία Προφανώς W=0. T2 ΔU = Q = C V dt. T1 Q=nΔU. Αντιστρεπτή διεργασία. Σχήμα 4. Ισόχωρη διεργασία, πηγή: Sussman, 1972. 29
Αδιαβατική διεργασία (1) Q = 0. Ο όγκος αυξάνει ενώ και η πίεση και η θερμοκρασία του αερίου μειώνονται. 1 ος νόμος: du = dw = PdV Άρα όλο το έργο που παράγεται προέρχεται από την μείωση της εσωτερικής ενέργειας του αερίου (άρα ψύχεται). Άρα C V dt = PdV C V dt = RT V dv dt T = R dv C V V Σχήμα 5. Αδιαβατική διεργασία, πηγή: Sussman, 1972. 30
Αδιαβατική διεργασία (2) ή C V dt = PdV = Pd R PdT TdP P RT P = PR PdT TdP P 2 = C V + R dt = RT dp P dt T = R C P dp P 31
Αδιαβατική διεργασία (3) C V dt = PdV C V d PV R = PdV C V R d PV = PdV C V R PdV + VdP = PdV C V R + 1 PdV = C V C P R dv V = C V dp R P R VdP Αν γ = C P C V γ γ P 1 V 1 = P2 V 2 ή ΤP (1 γ) γ = σταθερό dv C P V = C dp V P ή PV γ = σταθ. Τ 1 P 1 (1 γ) γ = Τ2 P 2 (1 γ) γ και Τ 1 V 1 (γ 1) = Τ2 V 2 (γ 1) ή ΤV (γ 1) = σταθερό. 32
Έργο αδιαβατικής διεργασίας (1) dw = C V dt W = C V ΔT ή W = nc V ΔT Όμως γ = C P C V = C V+R C V = 1 + R C V C V = R γ 1 Άρα W = RΔΤ = RT 2 RT 1 γ 1 γ 1 = P 2V 2 P 1 V 1 γ 1 ή W = n RT 2 RT 1 γ 1 = n P 2V 2 P 1 V 1 γ 1 Προσέξτε ότι η παραπάνω εξίσωση συνδέει μόνο καταστατικές ιδιότητες επομένως ισχύει για αδιαβατική εκτόνωση ή συμπίεση σε κλειστό σύστημα ανεξάρτητα αν είναι αντιστρεπτή ή όχι. Όμως συνήθως δεν γνωρίζουμε τα T 2, V 2. 33
Έργο αδιαβατικής διεργασίας (2) Όμως αν υποθέσουμε αντιστρεπτότητα τότε απαλείφοντας το V 2 από τη V 2 = P 1 γ 1 V1 έχουμε μόνο όμως για P 2 αντιστρεπτή διεργασία και ιδανικά αέρια. W = P 1V 1 γ 1 P 2 P 1 (γ 1) γ 1 = RT 1 γ 1 P 2 P 1 (γ 1) γ 1 Οι παραπάνω σχέσεις είναι προσεγγιστικές για πραγματικά αέρια. Συνήθως γ 1,67 για μονοατομικά, γ 1,4 για διατομικά και γ 1,3 για απλά πολυατομικά όπως CΟ 2, SΟ 2, ΝΗ 3 και CH 4. 34
Βιβλιογραφία Smith, J. M., Van Ness, H. C. & Abbott, M. M. (2005). Introduction to Chemical Engineering Thermodynamics. McGraw-Hill, USA. Sussman, M. V. (1972). Elementary Thermodynamics. Addison-Wesley Publishing Company Inc., USA. 35
Τέλος Ενότητας