Προχωρημένα Θέματα Τηλεπικοινωνιών Πιθανότητα Σφάλματος σε AWGN Κανάλι Δυαδικά Αντίποδα Σήματα Δυαδικά Αντίποδα Σήματα Βασικής Ζώνης) : s (t)=-s (t) Παράδειγμα: Δυαδικό PA s (t)=g T (t) (παλμός με ενέργεια Ε σε χρόνο Τ) s (t)=-g T (t) s (t)=s i i ψ(t), ψ(t)=(/ (t)=(/e )g T (t),, s i = E Έστω ότι τα δύο σήματα είναι ισοπίθανα E : η ενέργεια ανά it έχουμε AWGN θόρυβο μηδενικής μέσης τιμής και με διακύμανση σ n =N / 0 Ληφθέν σήμα: r s n E n i Φωρατής: αν r>0, τότε στάλθηκε το s αν r<0, τότε στάλθηκε το s ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ Δυαδικά Αντίποδα Σήματα Χώρος σημάτων: Μονοδιάστατος Μέση πιθανότητα σφάλματος P P r s P r s 0 0 Υπό συνθήκη πιθανότητα σφάλματος Δυαδικά Αντίποδα Σήματα Υποσυνθήκη PDF του ενός σήματος: 0 E Pr 0 s f r sdr Q N 0 t Qx ( ) e dt x f(r/s ) : Gaussian r.v. με μέση τιμή s και διασπορά Ν 0 / Μέση Πιθανότητα σφάλματος για Δυαδικό PA (Δυαδικά Αντίποδα Σήματα) E P Q N 0 ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 3 ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 4
Δυαδικά Ορθογώνια Σήματα Ορθογώνια Σήματα: είναι ορθογώνια μεταξύ τους Παράδειγμα: Δυαδικό PP Δυαδικό FSK s =(E, 0) s =(0, E ) Ορθογώνια vs Αντίποδα Τα ορθογώνια σήματα απαιτούν διπλάσια ενέργεια για να πετύχουν την ίδια πιθανότητα σφάλματος με τα αντίποδα Χώρος σημάτων: Δισδιάστατος Πιθανότητα σφάλματος για Δυαδικά Ορθογώνια Σήματα E Q N 0 P ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 5 Επειδή 0 log0 3dB λέμε ότι τα ορθογώνια είναι υποδεέστερα των αντίποδων κατά 3dB ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 6 -PA Βασικής Ζώνης Αναπαρίστανται με Μ μονοδιάστατα διανύσματα sm E,,,... gam m E g : η ενέργεια του βασικού παλμού g T (t) στη διάρκεια ενός συμβόλου Αν τα διαδοχικά σύμβολα είναι ισαπέχοντα, A m, m,,... m Ο φωρατής συγκρίνει την έξοδο του αποδιαμορφωτή r με (Μ-) κατώφλια που είναι τα κέντρα των διαδοχικών συμβόλων -PA Πιθανότητα Σφάλματος Συμβόλου (SER): 6E P Q s N0 E s : η μέση ενέργεια ανά σύμβολο (E s = E g ( -)/3 ) Προσοχή, δεν έχουν όλα τα σύμβολα την ίδια ενέργεια Tο SER ως προς τη μέση ενέργεια ανά it 6log E P Q N0 Για Μ=, προκύπτει το BER του δυαδικού PA av Ίδια πιθανότητα σφάλματος ισχύει και για ζωνοπερατό -PA ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 7 ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 8
-PA Κάθε φορά που διπλασιάζεται το Μ, το SNR/it θα πρέπει να αυξηθεί περισσότερο από 4dB για το ίδιο SER -PSK Σύμφωνης Φάσης -PSK με αποδιαμόρφωση σύμφωνης φάσης Χώρος Σημάτων: Δισδιάστατος Μ= (ισοδύναμο( με -PA) E P Q N 0 Μ=4 είναι ουσιαστικά δύο δυαδικά διαμορφωμένα (-PA) σήματα σε δύο ορθογώνιες φέρουσες με τέλεια εκτίμηση φάσης φέροντος δεν υπάρχει παρεμβολή ανάμεσα στις φέρουσες => το BER είναι ίδιο με το -PA (ακολουθία its) το SER είναι SER=-( (-BER) E E P4 Q Q N 0 N 0 ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 9 ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 0 -PSK Σύμφωνης Φάσης >4: το SER υπολογίζεται με αριθμητική ολοκλήρωση μιας πολύπλοκης έκφρασης όπου οι -D pdf εκφράζονται σε πολικές συντεταγμένες. Μια καλή προσέγγιση είναι η: log E P Q sin N0 -PSK Σύμφωνης Φάσης Κάθε φορά που διπλασιάζεται το Μ, το SNR/it θα πρέπει να αυξηθεί από 4dB 6dB για το ίδιο SER Πιθανότητα Σφάλματος Bit (BER) BER): δεν είναι εύκολο να υπολογιστεί απευθείας, επειδή εξαρτάται από την αντιστοίχιση σύμβολων its αν χρησιμοποιείται κωδικοποίηση Gray, τότε μπορούμε να θεωρήσουμε ότι τα περισσότερα εσφαλμένα σύμβολα περιέχουν ένα μόνον εσφαλμένο it, οπότε P P log ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ
Διαφορικό PSK (DPSK) Τα προηγούμενα αναφέρονται στην περίπτωση της αποδιαμόρφωσης σύμφωνης φάσης όπου χρησιμοποιείται συμβατικό PSK Όταν η εκτίμηση φάσης από το PLL έχει ασάφειες, τότε χρησιμοποιείται διαφορικό PSK (DPSK) Στο DPSK, ένα σφάλμα φώρασης συχνά προκαλεί σφάλματα αποκωδικοποίησης για δύο περιόδους συμβόλου (είναι σύστημα διαμόρφωσης με μνήμη) Άρα, χοντρικά το SER στο DPSK είναι περίπου διπλάσιο του SER στο PSK Η ανάλυση του -DPSK είναι εξαιρετικά δύσκολη Για το δυαδικό DPSK ισχύει: N0 P e E -PSK vs -DPSK Για BER < 0-4 η διαφορά στο SNR/it ανάμεσα στους δύο τρόπους διαμόρφωσης είναι μικρότερη από db Μ-PSK vs Μ-DPSK Το DPSK έχει περίπου 3dB υποδεέστερη επίδοση σε σχέση με το PSK ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 3 ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 4 Quadrature Amplitude odulation (QA) 4-QA: Παραδείγματα Χώρος Σημάτων: Δισδιάστατος Το SER εξαρτάται από τον αστερισμό συμβόλων που χρησιμοποιούμε κάθε φορά Σε κάθε αστερισμό συμβόλων θα πρέπει να εξετάζουμε: την ελάχιστη απόσταση d min μεταξύ δύο σημείων σήματος τη μέση μεταδιδόμενη ισχύ * θεωρούμε ότι όλα τα σημεία είναι ισοπίθανα Θα εξετάσουμε τι γίνεται για κάποια Μ Ισοδυναμεί με 4-PSK =A d min =A P av =A πλάτη και 4 φάσεις d min =A ( A ) A, A 3A P av =A ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 5 Τα δύο 4-QA είναι ισοδύναμα ως προς το SER ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 6
8-QA: Παραδείγματα 8-QA Ανάλυση Και οι τέσσερις αστερισμοί έχουν ελάχιστη απόσταση d min =A Αστερισμοί (α) και (β) ορθογώνιο πλέγμα P av =3A Αστερισμός (γ) P av =3.4A Αστερισμός (δ) P av =.36A Παρατηρούμε ότι ο (δ) απαιτεί τη λιγότερη ισχύ για να πετύχει την ίδια πιθανότητα σφάλματος Άρα ο (δ) είναι ο καλύτερος 8-QA αστερισμός μεταξύ αυτών που μελετήθηκαν ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 7 ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 8 6-QA 6-QA Ανάλυση Για Μ6, υπάρχουν πολλοί εναλλακτικοί αστερισμοί στο δισδιάστατο χώρο σημάτων Ο προηγούμενος αστερισμός 6 σημείων είναι μια γενίκευση του βέλτιστου 8-QA αστερισμού Όμως, δεν είναι ο βέλτιστος 6-QA Ορθογώνιοι QA Αστερισμοί: δημιουργούνται εύκολα ως δύο PA σε ορθογώνιες φέρουσες εύκολη αποδιαμόρφωση και φώραση αν και για Μ6 οι ορθογώνιοι δεν είναι οι βέλτιστοι, ωστόσο είναι πολύ κοντά σε αυτούς, δηλαδή η μέση μεταδιδόμενη ισχύς που απαιτείται για δεδομένη ελάχιστη απόσταση είναι ελάχιστα μεγαλύτερη από αυτή του βέλτιστου αστερισμού ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 9 ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 0
Εστιάζουμε σε: ορθογώνιους αστερισμούς Μ= k με k= άρτιο SER στο Μ-QA Αυτά τα -QA ισοδυναμούν με δύο φέρουσες Πιθανότητα σφάλματος συμβόλου για Μ-QA όπου P P P 3E s Q N 0 -PA σε ορθογώνιες SER στο Μ-QA Όταν το k (Μ= k ) είναι περιττός, τότε δεν υπάρχει το αντίστοιχο - PA σύστημα Γενικά, το SER στο -QA φράσσεται ως 3kE P 4Q N 0 όπου E /N 0 είναι το μέσο SNR/it είναι το SER του -PA με μισή μέση ισχύ (δηλ. Ε / ) s ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ -QA vs -PSK Και οι δύο διαμορφώσεις είναι δισδιάστατες Τις συγκρίνουμε για δεδομένο Μ Στις εκφράσεις του SER, αυτό που μας ενδιαφέρει είναι το όρισμα της συνάρτησης Q (διότι κυρίως από αυτό καθορίζεται η πιθανότητα σφάλματος) Ο λόγος των δύο ορισμάτων (Μ-QA / Μ-PSK) είναι 3 R sin Για Μ=4, ο λόγος είναι Για Μ>4, R > R [db] 8.65 6 4.0 3 7.0 64 9.95 Ο πίνακας αυτός μας δείχνει το πλεονέκτημα του -QA vs -PSK σε ότι αφορά το SNR ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 3 ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 4
Μ-αδικά Ορθογώνια Σήματα Παραδείγματα: -FSK -PP Συνήθως, τα ορθογώνια σήματα έχουν ίση ενέργεια E s Ο βέλτιστος φωρατής επιλέγει το σήμα με τη μεγαλύτερη συσχέτιση με το λαμβανόμενο σήμα T C rs, rs, m,..., m m Αν στάλθηκε το s, τότε λαμβάνω r E n n n r r r s όπου τα n i, είναι i.i.d τυχαίες μεταβλητές, Gaussian, με διακύμανση σ n =Ν 0 / Μ-αδικά Ορθογώνια Σήματα Τα Μ διανύσματα σήματος είναι: s Es s Οι έξοδοι της συστοιχίας των συσχετιστών του φωρατή (μετά από κανονικοποίηση διαιρώντας με sqrt(e s ) είναι: Οι έξοδοι είναι τυχαίες μεταβλητές με Gaussian κατανομή, διασπορά ίση με σ n =Ν 0 / και μέση τιμή μηδέν (εκτός από του ου συσχετιστή) C rs, E n 0 0 C rs, s n 0 0 T T E s ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 5 ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 6 Μ-αδικά Ορθογώνια Σήματα Η πιθανότητα σωστής απόφασης θα είναι Pc Pn r, n3 r,..., n r r fr r dr Επειδή τα r m είναι ανεξάρτητα, η συνδυασμένη πιθανότητα αναλύεται σε γινόμενο απλών δεσμευμένων πιθανοτήτων r P nm r r fr x,,.., m m dxm m r Q N 0 Η PDF του r όταν στέλνεται s, είναι x E s N0 fr x e N 0 ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 7 Μ-αδικά Ορθογώνια Σήματα Οπότε, η πιθανότητα σωστής απόφασης είναι r Pc Q fr r dr N 0 Η ίδια έκφραση βγαίνει και όταν στέλνονται και τα υπόλοιπα σύμβολα. Εφόσον αυτά είναι ισοπίθανα, η παραπάνω έκφραση είναι και η πιθανότητα σωστής απόφασης συμβόλου. Η πιθανότητα σφάλματος συμβόλου είναι P =-P c, οπότε x Es N0 P Q x e dx Καταφεύγουμε σε αριθμητικό υπολογισμό της έκφρασης ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 8
Μ-αδικά Ορθογώνια Σήματα Αποδεικνύεται ότι η πιθανότητα σφάλματος it δίνεται ως k P P P, k k Για Μ-αδικά ορθογώνια σήματα προκύπτει ότι: καθώς αυξάνεται το Μ βελτιώνεται η καμπύλη BER δηλαδή απαιτείται λιγότερο SNR/it για την ίδια πιθανότητα σφάλματος BER για -αδικά Ορθογώνια Σήματα (FSK, PP) Παράδειγμα: για BER P =0-5 με Μ= απαιτείται SNR/it = db με Μ=64 απαιτείται SNR/it = 6dB6 ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 9 ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 30 Ένα Φράγμα Ένωσης της SER Είδαμε ότι στα Μ-αδικά ορθογώνια σήματα, καθώς αυξάνεται το βελτιώνεται η καμπύλη του BER δηλαδή επιτυγχάνεται ανεκτό BER σε χαμηλότερα SNR/it Αν αυξάνουμε συνεχώς το Μ, υπάρχει κάποια τιμή SNR/it κάτω από την οποία δε θα μπορούμε να έχουμε αποδεκτό BER; Επειδή η ακριβής έκφραση του SER (P ) είναι αρκετά περίπλοκη, θα βρούμε ένα φράγμα της που να είναι πιο απλό (θεωρούμε ότι ο φωρατής λαμβάνει Μ- δυαδικές αποφάσεις ) Αν Ε i είναι το γεγονός E i : C(r,s i )>C(r,s ) (δεδομένου ότι έχει σταλεί s ) τότε P n n P E i P E i τότε i i ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 3 Ένα Φράγμα Ένωσης της SER Όμως, το P(E m ) είναι το SER στο -FSK, οπότε 0 0 P P Q E N Q E N s s Η συνάρτηση Q μπορεί να φραχθεί εκ των άνω ως s 0 E s N0 Q E N e Δεδομένου ότι Μ= k, μπορεί να δειχθεί ότι το SER των Μ- αδικών ορθογώνιων σημάτων φράσσεται ως k E N0 ln / P e Καθώς το k (ισοδύναμα ), το BER προσεγγίζει εκθετικά το μηδέν, υπό την προϋπόθεση ότι το SNR/it είναι E N0 ln.39.4db ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 3
Ένα Φράγμα Ένωσης της SER Ωστόσο, το φράγμα αυτό δεν είναι τόσο αυστηρό, επειδή στα χαμηλά SNR, η συνάρτηση Q δε φράσσεται πολύ αυστηρά από την εκθετική. Με ένα αυστηρότερο φράγμα, αποδεικνύεται ότι Καθώς το k (), το BER προσεγγίζει εκθετικά το μηδέν, υπό την προϋπόθεση ότι το SNR/it είναι -αδικά Διορθογώνια Σήματα Διορθογώνια Σήματα: αν θέλουμε να κατασκευάσουμε Μ διορθογώνια σήματα επιλέγουμε Μ/ ορθογώνια καθώς και τα αντίποδά τους Η έκφραση SER είναι αρκετά περίπλοκη E N0 ln 0.693 -.6dB Έχει 3dB διαφορά σε σχέση με το προηγούμενο ελάχιστο απαιτούμενο SNR/it Έχουν παρόμοια συμπεριφορά BER-SER με τα ορθογώνια Αυτό το ελάχιστο SNR/it (-.6dB)( για αυθαίρετα μικρό BER καλείται όριο του Shannon για κανάλι AWGN. Όπως και στα Μ-αδικά ορθογώνια, όταν Μ, το ελάχιστο απαιτούμενο SNR/it για αυθαίρετα μικρή πιθανότητα σφάλματος είναι το όριο Shannon (-.6dB) ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 33 ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 34 SER για -αδικά Διορθογώνια Σήματα -FSK Ασύμφωνης Φώρασης Η πιθανότητα σφάλματος συμβόλου είναι P e n n n nke n nn0 Όπως και στο Μ-FSK, το BER συνδέεται με το SER ως P k P k Σύγκριση με συμβατικό -FSK: το Μ-FSK ασύμφωνης φώρασης έχει χειρότερο SER όπως και στο -FSK, αυξανομένου του Μ, βελτιώνεται το SER όπως και στο Μ-FSK, ισχύει το όριο Shannon για Μ ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 35 ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 36
BER για -FSK Ασύμφωνης Φώρασης Σύγκριση των Μεθόδων Διαμόρφωσης Για να συγκρίνουμε τις διάφορες μεθόδους διαμόρφωσης μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε διάφορα κριτήρια Π.χ. ποιο είναι το απαιτούμενο SNR για να πετύχουμε κάποιο συγκεκριμένο BER; Ωστόσο, αυτό δεν είναι δίκαιο, επειδή δεν περιλαμβάνει την έννοια του εύρους ζώνης που μας διατίθεται, και του ρυθμού με τον οποίο στέλνουμε τα its Για το λόγο αυτό, θα προσπαθήσουμε επιπλέον του SNR να συνδέσουμε και τις παραμέτρους: Ρυθμός it, R Απαιτούμενο εύρος ζώνης, W * Κατά τη σύγκριση θα θεωρούμε ότι ο ρυθμός R είναι προκαθορισμένος. ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 37 ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 38 Μ-PA βασικής ζώνης: Σύγκριση () παλμός g T (t) διάρκειας T το απαιτούμενο εύρος ζώνης είναι W=/(T) Σε χρόνο T μεταδίδονται k=log its, άρα Τ=k/R sec W R k R log Hz Ζωνοπερατή μετάδοση Μ-PA: αν είχαμε DSB-SC SC, τότε χρειαζόμαστε το διπλάσιο εύρος ζώνης σε σχέση με τη βασική ζώνη αν είχαμε SSB-SC SC, τότε απαιτείται το ίδιο Σύγκριση () Μ-QA: το απαιτούμενο εύρος ζώνης είναι περίπου W=/T (και για τις δύο φέρουσες) επίσης επειδή η πληροφορία μεταφέρεται σε δύο ορθογώνιες φέρουσες έχουμε T=k/R (όπου k ο αριθμός its/φέρουσα φέρουσα) W R k R log Hz Μ-PSK: εύρος ζώνης W=/T T=k/R W R k R log Hz ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 39 ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 40
PA- QA -PSK Κοινό χαρακτηριστικό των τριών διαμορφώσεων είναι ότι για καθορισμένο ρυθμό it R, όταν αυξάνεται το μειώνεται το απαιτούμενο εύρος ζώνης αλλά αυξάνεται η πιθανότητα SER Με άλλα λόγια: η αύξηση του Μ αυξάνει την απόδοση εύρους ζώνης μειώνει την απόδοση ισχύος Που οφείλεται; η διάσταση του χώρου σημάτων είναι σταθερή και ανεξάρτητη του Μ (Ν= για PA, Ν= για QA και PSK) ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 4 Σύγκριση: Ορθογώνια PP: παλμός g T (t) διάρκειας T διαιρείται σε Μ υποδιαστήματα διάρκειας Τ/Μ στα αντίστοιχα υποδιαστήματα μεταδίδονται παλμοί εύρους Τ/Μ W T R log Hz FSK: ελάχιστη συχνοτική απόσταση /Τ για διατήρηση ορθογωνιότητας προκύπτει η ίδια σχέση με το PP Διορθογώνια Simplex: ισχύουν παρόμοιες σχέσεις με τα PP τα διορθογώνια απαιτούν το μισό εύρος ζώνης σε σχέση με τα ορθογώνια ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 4 PP - FSK Κοινό χαρακτηριστικό των ορθογώνιων διαμορφώσεων είναι ότι για καθορισμένο ρυθμό it R, όταν αυξάνεται το αυξάνεται και το απαιτούμενο εύρος ζώνης κατά Μ/(log ) αλλά μειώνεται η πιθανότητα SER Με άλλα λόγια: η αύξηση του Μ μειώνει την απόδοση εύρους ζώνης αυξάνει την απόδοση ισχύος δηλαδή τα ακριβώς αντίθετα από τα PA-QA QA-PSK Που οφείλεται; η διάσταση του χώρου σημάτων είναι οπότε αυξάνεται όταν αυξάνεται και το Μ Σύγκριση Με βάση τα παραπάνω, μια σύγκριση που θα είχε νόημα είναι η σχέση ανάμεσα στον κανονικοποιημένο, ως προς το εύρος ζώνης, ρυθμό δεδομένων R /W (its/s/hz) και το απαιτούμενο SNR/it, δηλ. E /N 0 (db) για να επιτευχθεί μια δεδομένη πιθανότητα σφάλματος Διαμόρφωση R /W PA QA PSK Ορθογώνια (PP, FSK) log log log log / ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 43 ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 44
Αποτελέσματα Σύγκρισης () PA-QA QA-PSK: η αύξηση του Μ οδηγεί σε αύξηση του R /W, αλλά χειροτερεύει η πιθανότητα σφάλματος R /W ως προς το SNR/it για SER=0-5 επιτυγχάνουν R /W> είναι κατάλληλα για κανάλια περιορισμένου εύρους ζώνης όπου θέλουμε υψηλούς ρυθμούς μετάδοσης και έχουμε αρκετό SNR/it το τίμημα του διπλασιασμού του Μ στο PSK είναι 6dB στο QA είναι 3dB το QA είναι προτιμότερο του PSK για αστερισμούς πολλών σημείων ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 45 ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 46 Αποτελέσματα Σύγκρισης () Μ-αδικά Ορθογώνια: η αύξηση του Μ οδηγεί σε μείωση του R /W, επειδή αυξάνεται το απαιτούμενο εύρος ζώνης W Όμως, μειώνεται το SNR/it που απαιτείται για δεδομένη πιθανότητα σφάλματος επιτυγχάνουν R /W είναι κατάλληλα για κανάλια περιορισμένης ισχύος (δηλαδή περιορισμένου SNR/it) όπου όμως προσφέρεται αρκετό εύρος ζώνης Καθώς το Μ και W, η πιθανότητα σφάλματος μπορεί να γίνει αυθαίρετα μικρή, υπό την προϋπόθεση ότι E /N 0 >-.6 db (όριο Shannon) ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 47