Ο Βέλτιστος Φωρατής. Σεραφείµ Καραµπογιάς

Transcript

1 Ο Βέλτιστος Φωρατής Σεραφείµ Καραµπογιάς Ο φωρατής σήµατος, µε τη βοήθεια ενός κανόνα απόφασης, βασιζόµενος στην παρατήρηση του διανύσµατος, λαµβάνει µία απόφαση ως προς το µεταδιδόµενο σύµβολο, έτσι ώστε να µεγιστοποιείται η πιθανότητα σωστής απόφασης. Απουσία της λαµβανόµενης πληροφορίας, η καλύτερη απόφαση είναι να επιλέξουµε το σήµα πουέχειτηµεγαλύτερηεκτωνπροτέρων a-pioiπιθανότητα. Μετά τηλήψητηςπληροφορίας οι a-pioiπληροφορίες αντικαθίστανται απότις εκ των υστέρων a - poteioi πιθανότητες σήµα στάλθηκε,,,, Το κριτήριο απόφασης το οποίο βασίζεται στην επιλογή του σήµατος που αντιστοιχεί στο µέγιστοτουσυνόλουτων a-poteioi πιθανοτήτωνελαχιστοποιείτηνπιθανότητασφάλµατος. Αυτό το κριτήριο απόφασης καλείται κριτήριο µέγιστης εκ των υστέρων πιθανότητας axiu a poteioi pobability A

2 Οι a-poteioi πιθανότητες µπορούν να εκφραστούν ως επίσης ισχύει f f k f f k k Παρατηρούµεότιουπολογισµόςτων a-poteioi πιθανοτήτων απαιτείγνώσητων a- pioi πιθανοτήτων καιτωνυποσυνθήκη DF f για,,,. Αντα σήµαταείναι ισοπίθανα τότε η µεγιστοποίηση της πιθανότητας οδηγείστη µεγιστοποίησητηςυπόσυνθήκηπυκνότηταςπιθανότητας f. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-3-

3 Η υπό συνθήκη DF ή οποιαδήποτε µονότονη συνάρτηση αυτής καλείται συνάρτηση πιθανοφάνειας likelihood fuctio Τοκριτήριοαπόφασηςπουβασίζεταιστηµεγιστοποίησητης f πάνωσεόλαταδυνατά σήµατα καλείται κριτήριο µέγιστης πιθανοφάνειας axiu-likelihood L citeio Ένας φωρατής ο οποίος βασίζεται στο A κριτήριο και ένας άλλος ο οποίος βασίζεται στο L κριτήριο παίρνουν τις ίδιες αποφάσεις όταν οι a-pioi πιθανότητες είναι όλες ίσες. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-3-3

4 Για ένα AWG κανάλι είναι f k k exp,,,, π k Ανεπιλέξουµετοφυσικόλογάριθµοτου f έχουµε l f l k k k π Σεραφείµ Καραµπογιάς Ηµεγιστοποίησητου l f ωςπρος ισοδυναµείµετηνεύρεσητουσήµατος το οποίο ελαχιστοποιεί την Ευκλείδεια απόσταση D, k k k Οιποσότητες D,,,,,, καλούνταιµετρικέςαπόστασης ditace etic. Για AWG κανάλι, ο κανόνας απόφασης ο οποίος βασίζεται στο κριτήριο µέγιστης πιθανοφάνειας L, απλοποιείταιστηνεύρεσητουσήµατος τοοποίοείναιτοπλησιέστερο στο λαµβανόµενο διάνυσµα. Ο κανόνας αυτός απόφασης χαρακτηρίζεται ως φώραση ελάχιστηςαπόστασης iiu ditace detectio Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-3-4

5 Μία άλλη ερµηνεία του βέλτιστου κανόνα απόφασης. Οι Ευκλείδειες αποστάσεις γράφονται και ως, D Σεραφείµ Καραµπογιάς Αν αµεληθεί ο κοινός όρος που είναι κοινός σε όλεςτιςµετρικέςέχουµεένασύνολο τροποποιηµένων µετρικών αποστάσεων D, +,,,, Τοκριτήριοµέγιστηςπιθανοφάνειαςεπιλέγειτοσήµα t τοοποίο µεγιστοποιείτην f ήτο l f πάνωσεόλαταδυνατά σήµατα t, t,, t. Τοκριτήριο είναι ισοδύναµο µε την ελαχιστοποίηση της Ευκλείδειας απόστασης D,. Είναι επίσης ισοδύναµο µε τη µεγιστοποίηση της τροποποιηµένης µετρικής απόστασης. C η οποίες αποτελούν τις µετρικές συσχέτισης. + +,,,,, Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-3-5

6 Οόρος αντιπροσωπεύειτηνπροβολήτουλαµβανόµενουδιανύσµατοςπάνωσεκάθεένα από τα δυνατά µεταδιδόµενα διανύσµατα σήµατος. Η τιµή κάθε µίας από αυτές τις προβολές είναι ένα µέτρο της συσχέτισης µεταξύ του λαµβανόµενου διανύσµατος και του στου σήµατος Γιατολόγοαυτότα C,,,,, καλούνταιµετρικέςσυσχέτισηςγιατηλήψη απόφασης του σήµατος που µεταδόθηκε. Οι όροι E,,,, µπορούν να θεωρηθούν ως όροι αντιστάθµισης σε περιπτώσεις συνόλου σηµάτων µε άνισες ενέργειες. Αν τα σήµατα δεν είναι ισοπίθανα, ο βέλτιστος A φωρατής βασίζει την απόφασή του στις πιθανότητες,,,,, f η, ισοδύναµα, στιςµετρικές a-poteioi πιθανότητας f, f Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-3-6

7 Παράδειγµα Σεραφείµ Καραµπογιάς υαδικά αντίποδα σήµατα χρησιµοποιούνται για τη µετάδοση πληροφορίας µέσα από AWG κανάλι. Οι a-pioiπιθανότητεςτωνδύοσυµβόλων bitείναι p p /. α Καθορίστε το βέλτιστο κανόνα απόφασης µέγιστης πιθανοφάνειας του φωρατή. β ΒρείτετηπιθανότητασφάλµατοςσυναρτήσειτουλόγουE b /. Λύση Σύµφωνα µε το κριτήριο µέγιστης πιθανοφάνειας axiu-likelihood L citeio επιλέγεταιαπόταμπιθανάµεταβιβαζόµενασήµατααυτότοοποίοµεγιστοποιείτην f. Για τοκριτήριοέχειτηµορφή. f f f f S S Eb σ e + E E b Eb b S πσ σ e e + Eb σ σ e S πσ Λογαριθµίζοντας την σχέση το κριτήριο µέγιστης πιθανοφάνειας είναι Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-3-7

8 Παράδειγµα Θεωρείστε την περίπτωση σηµάτων δυαδικού A κατά την οποία τα δύο δυνατά σηµεία σήµατοςείναι E b, όπου E b είναιηενέργειαανά bit. Οι a-pioiπιθανότητεςείναι p και p. Καθορίστε τις µετρικές για το βέλτιστο A φωρατή εάν το µεταδιδόµενο σήµα διαβρώνεται από AWG θόρυβο. Λύση Το λαµβανόµενο σήµα είναι Οι δύο υπό συνθήκη DF του είναι ± E b + y f E b σ e f πσ + E σ b e πσ Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-3-8

9 Οιδύουπόσυνθήκη DF του είναι f E b σ e f πσ + E σ b e πσ Οιµετρικές a-poteioiπιθανότητας, f,, είναι p f E σ b, e πσ p p f p + E σ b, e πσ Ο κανόνας απόφασης εκφράζεται ως, S, S Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-3-9

10 Αλλά, + E E S, p b b exp p σ S λαµβάνοντας το λογάριθµο έχουµε ήισοδύναµα E E + b b 4 E b p l σ σ S p Ο βέλτιστος φωρατής υπολογίζει το µέτρο συσχέτισης κατώφλι 4 l p p E b S S σ p p l l p 4 p S C, Eb και το συγκρίνει µε το Παρατηρούµεαν p /, τοκατώφλι είναιίσοµεµηδένκαιδεναπαιτείταιγνώσητουν στο φωρατή. Στην περίπτωση των άνισων a-pioi πιθανοτήτων, για τον υπολογισµό του κατωφλίου είναι αναγκαίο να γνωρίζουµε όχι µόνο τις τιµές των a-pioi πιθανοτήτων αλλά και την τιµή τηςφασµατικήςπυκνότηταισχύος. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-3-

11 Αν R είναιηπεριοχήτουν-διάστατουχώρουγιατηνοποίααποφασίζουµεότιµεταδόθηκετο σήµα t όταν λαµβάνεται το διάνυσµα,,,. Η υποσυνθήκη πιθανότητα εσφαλµένηςαπόφασης, δεδοµένουότιµεταδόθηκετο t, είναι c όπου R είναιτοσυµπλήρωµατου R. e f R c d Η µέση πιθανότητα σφάλµατος είναι e e f R c d R f d Σηµειώνουµε ότι η πιθανότητα e ελαχιστοποιείται επιλέγοντας το, εάν η υποσυνθήκη πιθανότητα f είναιµεγαλύτερηαπό f k γιαόλατα k. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-3-

12 Όµοια, στην περίπτωση χρήσης του A κριτηρίου, εάν τα σήµατα δεν είναι ισοπίθανα, η µέση πιθανότητα σφάλµατος είναι e f R d Το e ελαχιστοποιείται όταντασηµείαπουθασυµπεριληφθούνσεκάθε περιοχή R είναι αυτάγιαταοποίατο υπερβαίνειόλεςτιςάλλες a-poteioiπιθανότητες. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-3-

13 Πιθανότητα Σφάλµατος στη υαδική ιαµόρφωση Σεραφείµ Καραµπογιάς Ας θεωρήσουµε δυαδικά A σήµατα βασικής ζώνης, όπου οι δύο κυµατοµορφές σήµατος είναιη t g t και t g t. όπου g t είναι ένας οποιοσδήποτε παλµός ο οποίος είναι µη µηδενικός στοδιάστηµα t καιέχειενέργειαίσηµεe b. Ταδύοδυνατάσηµείασήµατοςείναι E b, τασήµατααυτάκαλούνταιαντίποδα. E b E b Σηµεία σήµατος για αντίποδα σύµβολα Οι a-pioi πιθανότητεςείναι pκαι p. Αςυποθέσουµεότιµεταδόθηκετο t. Τολαµβανόµενοσήµαείναι + E b + όπου y είναι µία µηδενικής µέσης τιµής Gauia τυχαίαδιαδικασίαµεδιακύµανση σ Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-3-3

14 Οι δύο υπό συνθήκη DF του είναι f E b e f π f π e + E b f f E b E b d E b Υποσυνθήκη DF των δύο λαµβανοµένων σηµάτων, όταν τα δύο σήµατα είναι ισοπίθανα εδοµένου ότι µεταδόθηκε το t η πιθανότητα σφάλµατοςείναιναλάβουµε <, δηλαδή, E b e f d π e d Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-3-4

15 e π e E b d µε αλλαγή µεταβλητής x E b έχουµε e π Eb e x dx ή λόγω της συµµετρίας της συνάρτησης e π Eb e x dx Με τη βοήθεια της συνάρτησης Q έχουµε e Q E b Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-3-5

16 Η µέση πιθανότητα σφάλµατος είναι b p e + p e p Q Σεραφείµ Καραµπογιάς E b Παρατηρούµεότιηπιθανότητασφάλµατοςεξαρτάταιµόνοαπότολόγο E b / καιόχιαπότα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά των σηµάτων και του θορύβου. Ο λόγος E b / είναι επίσης και το SR εξόδου του αποδιαµορφωτή προσαρµοσµένου φίλτρου ή τύπου συσχέτισης. ΟλόγοςE b / συνήθωςκαλείταιλόγοςσήµατος-προς-θόρυβο SR ή SR/bit. Ηαπόσταση των δύο σηµείων σήµατος είναι d E b. Η µέση πιθανότητασφάλµατος εκφράζεται µε τη βοήθεια της απόστασης ως b Q d Αποδεικνύεται ότι η σχέση αυτή µπορεί να χρησιµοποιηθεί για τον υπολογισµό της πιθανότητας σφάλµατος οποιουδήποτε δυαδικού συστήµατος το οποίο χρησιµοποιεί δύο ισοπίθανασήµατα. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-3-6

17 Παράδειγµα Σεραφείµ Καραµπογιάς Ένα σύστηµα δυαδικού A χρησιµοποιεί ορθογώνιους παλµούς διάρκειας και πλατών ± A γιατηµετάδοσηψηφιακήςπληροφορίαςσερυθµό R b 5 bp. Εάνηφασµατικήπυκνότητα ισχύοςτουπροσθετικού GauiaθορύβουείναιΝ /, όπου W/Hz,καθορίστετην τιµήτουαπουαπαιτείταιγιαναεπιτύχουµε πιθανότητασφάλµατος b 6. Λύση εδοµένουότιορυθµόςµετάδοσηςείναι R b 5 bit/ec ηχρονικήδιάρκειατου bit είναι b -5 ec. Η µέση πιθανότητα σφάλµατος για δυαδικό A σύστηµα είναι όπουηενέργεια bit είναι E. b b A b 4,75 Q E b 4, 75 E b E Για e -6 έχουµε b,8 εποµένως A b,8 A 6, Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-3-7

18 Πιθανότητα Σφάλµατος για υαδικά Ορθογώνια Σήµατα ψ t, E d E E, ψ t Σηµεία σήµατος για ορθογώνια σύµβολα. Αςυποθέσουµεότιµεταδόθηκετο. Τολαµβανόµενοδιάνυσµαείναι Οι µετρικές συσχέτισης είναι [ E b +, ] C, C Η πιθανότητα σφάλµατος είναι η πιθανότητα να έχουµε e C, > C,,, C, C > > E b. Εποµένως Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-3-8

19 Τα και είναι µηδενικής µέσης τιµής στατιστικά ανεξάρτητες Gauia τυχαίες µεταβλητές, ηκάθεµίαµεδιακύµανσην /, Ητυχαίαµεταβλητή είναι Gauia µεµέσητιµήµηδένκαιδιακύµανσην. Συνεπώς > E b x π E b e dx π e Eb x dx Όµοιααποδεικνύεταιότιανµεταδοθείτο,, τότεδεδοµένηςτηςσυµµετρίας, λαµβάνουµε την ίδια πιθανότητα σφάλµατος. Η µέση πιθανότητα σφάλµατος για δυαδικά ορθογώνια σήµατα είναι b Q Eb Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-3-9

20 Η µέση πιθανότητα σφάλµατος για δυαδικά αντίποδα σήµατα είναι b Q Η µέση πιθανότητα σφάλµατος για δυαδικά ορθογώνια σήµατα είναι b Q E b b E Παρατηρούµε ότι τα ορθογώνια σήµατα απαιτούν διπλάσια ενέργεια για να επιτύχουν την ίδια πιθανότητα σφάλµατος µε τα αντίποδα σήµατα. Επειδή log 3dB, λέµεότιταορθογώνια σήµατα είναι υποδεέστερα κατά 3 db των αντίποδων σηµάτων. Η διαφορά των 3dB οφείλεται στην απόσταση µεταξύ των δύο σηµείων σήµατος, το τετράγωνο της οποίας είναι d E b γιαταορθογώνιασήµαταενώ d 4E b γιατααντίποδασήµατα. Πιθανότητασφάλµατος bit υαδικά αντίποδα σήµατα Σεραφείµ Καραµπογιάς υαδικά ορθογώνια σήµατα 3 db SR/bit, db Πιθανότητα σφάλµατος για δυαδικά ισοπίθανα σήµατα Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-3-

21 Πρόβληµα Ένα ψηφιακό τηλεπικοινωνιακό σύστηµα βασικής ζώνης, χρησιµοποιεί τα σήµατα t t A A Σεραφείµ Καραµπογιάς t t για τη µετάδοση δύο ισοπίθανων µηνυµάτων. Θεωρούµε ότι το τηλεπικοινωνιακό πρόβληµα που µελετούµε είναι ένα πρόβληµα µίας µόνον ευκαιρίας, δηλαδή, τα µηνύµατα µεταδίδονται µία µόνο φορά και µετά δεν ακολουθεί καµία µετάδοση. Το κανάλι δεν εισάγει εξασθένηση και οθόρυβοςείναι AWG µεφασµατικήπυκνότηταισχύος /.. Βρείτε ένα κατάλληλο σύνολο ορθοκανονικών συναρτήσεων βάσης για την αναπαράσταση των σηµάτων. Η διάσταση του σήµατος είναι. Μία ορθογώνια βάση για το χώρο σήµατος αποτελείται από τα σήµατα ψ t,, t αλλιώς ψ t,, t αλλιώς Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-3-

22 . Με ένα διάγραµµα βαθµίδων, δώστε τις ακριβείς προδιαγραφές του βέλτιστου δέκτη που χρησιµοποιεί προσαρµοσµένα φίλτρα. Τοποθετείστε προσεκτικά τους τίτλους των βαθµίδων του διαγράµµατος. Ο βέλτιστος δέκτης είναι αυτός του σχήµατος Λαµβανόµενο σήµα t ψ t ψ t ειγµατοληψία t ειγµατοληψία t Προς φωρατή 3. Βρείτε την πιθανότητα σφάλµατος του βέλτιστου δέκτη. Υποθέτονταςότιµεταδόθηκετοσήµα t, τοδιάνυσµαλήψηςστηνέξοδοτουδειγµατολήπτη είναι A +, Όπου και είναιµηδενικήςµέσηςτιµής Gauia τυχαίεςδιαδικασίαςµεδιακύµανση /. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-3-

23 Ηπιθανότητασφάλµατος e είναι e A + > A > π Ν A / e x dx ξ x π A / e ξ dξ Q A Επειδήοιτυχαίεςµεταβλητές και είναιµηδενικήςµέσηςτιµήςστατιστικά ανεξάρτητες Gauia τυχαίεςµεταβλητές, ηκάθεµίαµεδιακύµανσην /, Ητυχαίαµεταβλητή είναιεπίσης Gauia τυχαίαµεταβλητήµεµέσητιµήµηδένκαιδιακύµανσην. Όµοια βρίσκεται και A e Q Έτσι έχουµε για τη µέση πιθανότητα σφάλµατος A e + e Q e Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-3-3

24 Παράδειγµα Σεραφείµ Καραµπογιάς Σε ένα κανάλι προσθετικού λευκού θορύβου µε φασµατική πυκνότητα ισχύος /, µεταδίδονται δύο ισοπίθανα µηνύµατα χρησιµοποιώντας τα σήµατα t, t A, t t t, αλλιώς, αλλιώς Καθορίστε τη δοµή του βέλτιστου δέκτη και βρείτε την πιθανότητα σφάλµατος.. Τα δύο ισοπίθανα σήµατα έχουν την ίδια ενέργεια και έτσι ο βέλτιστος δέκτης είναι δυνατό να βασίζεται στον κανόνα απόφασης At S t t dt t S t dt ή t t dt t. Ανµεταδόθηκετοσήµα t, τότε t t + t καιοκανόναςαπόφασηςγίνεται S S t t t t + dt t t t dt+ t t t dt t t dt+ y t S S όπου t t y t dt είναι τυχαία διαδικασία. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-3-4

25 Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων Y d d E υ υ υ υ τ τ τ τ σ και διακύµανση Η τυχαία διαδικασία θορύβου έχει µέση τιµή. dt t t t y [ ] dt t t t E Y E [ ] d d E υ τ υ τ υ υ τ τ d d υ τ υ τ δ υ υ τ τ 3 A A d A d τ τ τ τ τ 6 3 A A Y σ τελικά Εποµένως η συνάρτηση πυκνότητας της τυχαίας διαδικασίας είναι 6 6 A x Y e A x f π [ ] dt t t t E

26 Ηείσοδοςστοσυγκριτήηοποίαοφείλεταιστοσήµα t είναι y t t t dt At At A dt A 6 Ηπιθανότητασφάλµατος e δίνεταιαπό A e + y < 6 π A / 6 A 6 exp x A / 6 dx Q A 6 Όµοια βρίσκεται και e Q 6 και επειδή τα δύο σήµατα είναι ισοπίθανα, η µέση πιθανότητα σφάλµατος δίνεται από A + e e e Q A 6 Q E ΌπουE είναι η ενέργεια του µεταβιβαζόµενου σήµατος. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-3-6

27 Πιθανότητα σφάλµατος για -αδικό A Σεραφείµ Καραµπογιάς Τα -αδικά A σήµατα βασικής ζώνης αναπαρίστανται γεωµετρικά µε Μ µονοδιάστατα διανύσµατα µε τιµές Eg A,,,..., όπου E g είναιηενέργειατουβασικούπαλµούσήµατος g t. Οιτιµέςπλάτουςτωνσηµάτων, γιατην περίπτωση ίσων αποστάσεων µεταξύ διαδοχικών E g πλατώνκαισυµµετρικώνως προς την αρχή των αξόνων, µπορούν να εκφρασθούν ως όπου ηαπόσταση µεταξύ διαδοχικών σηµείων σήµατοςείναι E g τασήµατα A έχουν διαφορετικές ενέργειες Για ισοπίθανα σήµατα, η µέση ενέργεια είναι E a υ + + E E A E g E g A,,,..., E E g A,,,, g A A E g E g 3 Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-3-7

28 Ισοδύναµα, µπορούµε να χαρακτηρίσουµε τα σήµατα αυτά σύµφωνα µε τη µέση τους ισχύ, η οποία είναι Ea υ aυ Η µέση πιθανότητα σφάλµατος για το -αδικό A µπορεί να καθορισθεί από τον κανόνα απόφασης που µεγιστοποιεί τα µέτρα συσχέτισης εάντασήµαταδενείναιισοπίθανα. 3 E, f Ισοδύναµα, ο φωρατής συγκρίνει την έξοδο του αποδιαµορφωτή µ' ένα σύνολο Μ κατωφλίων, τα οποία τοποθετούνται στα µέσα των διαδοχικών σταθµών πλάτους. g i i+ i+ i+ 3 i+ 4 i+ 5 τ i τ i+ τ i+ τ i+ 3 τ i+ 4 Τοποθέτηση των κατωφλίων τ στα µέσα διαδοχικών σταθµών πλάτους. Εποµένως, η απόφαση λαµβάνεται ευνοϊκά για τη στάθµη πλάτους, η οποία βρίσκεται πλησιέστερα στο. Εάν µεταδοθεί το -στο σήµα, η έξοδος του αποδιαµορφωτή θα είναι E + g A + Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-3-8

29 Η πιθανότητα σφάλµατος συµβόλου είναι > E g π x E g e dx π e E g x dx Q E g Αν λάβουµε υπόψη την aυ Ea υ 3 E g E g 3 aυ Η πιθανότητα σφάλµατος µπορεί να εκφρασθεί συναρτήσει της µέσης µεταδιδόµενης ισχύος ως Q 6 aυ όπου E au au Τείναιηµέσηενέργειασυµβόλου. 6E aυ Q Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-3-9

30 Επειδή k b µε k log, η πιθανότητα σφάλµατος µπορεί να εκφρασθεί ως Q Q 6 aυ 6 log E ba υ όπου E baυ baυ b είναιηµέσηενέργεια ανά bitκαιe baυ / είναιτοµέσο SR/bit. Πιθανότητασφάλµατοςσυµβόλου SR/bit, db Πιθανότητα σφάλµατος συµβόλου για σήµατα A Μ Μ 4 Μ 8 Μ 6 Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-3-3

31 H είσοδος του φωρατή είναι t ψ t dt A Ζωνοπερατά A σήµατα E g tco π fct g E A + + t ψ t dt g όπουηgauiaτυχαίαµεταβλητή έχειµέσητιµή E[] καιδιακύµανσησ /. dt + Η πιθανότητα σφάλµατος συµβόλου είναι Eg > Q E g ΓιατηµέσηµεταδιδόµενηενέργειαE aυ έχουµε E aυ aυ E έτσι η πιθανότητα σφάλµατος συµβόλου γράφεται ως E g E 6 g a υ Eg 6 Q 6 aυ Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-3-3

32 Πιθανότητα Σφάλµατος SK µε Αποδιαµόρφωση Σύµφωνης-Φάσης Αν η φάση του µεταδιδόµενου σήµατος u t είναι το διάνυσµα αναπαράστασης του µεταδιδόµενου σήµατος είναι E, και το διάνυσµα του λαµβανόµενου σήµατος έχει συνιστώσες E,, + c Επειδήοι c και είναισυνδυασµένα Gauiaτυχαίεςµεταβλητέςπροκύπτειότιοι και είναισυνδυασµένα Gauiaτυχαίεςµεταβλητέςµε E[ ] E, E[ ] καισ σ / σ. Η συνδυασµένη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας joit DF είναι f, v + πσ e + σ E θ ta Η µετρική φάσης η οποία χρησιµοποιείται από το φωρατή είναι θ ta - /. Η συνδυασµένη DF των τυχαίων µεταβλητών V και Θ λαµβάνεται µε την αλλαγή των µεταβλητώναπό, σε Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-3-3

33 f υ, θ υ πσ V, Θ e υ + E Eυ coθ σ f Θ θ Η DF τηςτυχαίαςµεταβλητήςθ είναι f θ fv υ θ dυ,θ, Θ e π ρ i θ υ e υ ρ coθ όπουέχουµεορίσειτο SR συµβόλουωςρ E /Ν. dυ ρ ρ 4 ρ ρ Συνάρτησηπυκνότηταςπιθανότητας f Θ θ γιαρ,,4,. 3,4 θ ad 3, 4 Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-33

34 Όταν µεταδίδεται το u t, λαµβάνουµε λανθασµένη απόφαση εάν η φάση, εξαιτίας του θορύβου, λάβειτιµές εκτόςτου διαστήµατος π/ Θ π/ f θ dθ π π Για δυαδική διαµόρφωση κατά φάση, τα δύο σήµατα u t και u t είναι αντίποδα η πιθανότητα σφάλµατος είναι Q Όταν Μ 4 έχουµε ουσιαστικά δύο δυαδικά διαµορφωµένα κατά φάση σήµατα σε δύο ορθογώνιαφέροντα. Ηπιθανότητασωστήςαπόφασης c γιατοσύµβολοτων -bit,λόγωτης στατιστικής ανεξαρτησίας του θορύβου στις δύο ορθογώνιες φέρουσες, είναι c Η πιθανότητα σφάλµατος συµβόλου για Μ 4 είναι Θ E b Q E b 4 c E Q b Q E b Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων

35 ΓιαΜ>4, ηπιθανότητασφάλµατοςσυµβόλου υπολογίζεται µε αριθµητική ολοκλήρωση της π f θ dθ π Στο Σχήµα είναι οι γραφικές παραστάσεις της πιθανότητας σφάλµατος συναρτήσει του SR/bit γιαμ, 4, 8, 6 και 3. Τα γραφήµατα δείχνουν καθαρά το τίµηµα σε SR/bit καθώςτομαυξάνειπέραντουμ 4. Για παράδειγµα, όταν -5, η διαφορά επίδοσης µεταξύ του Μ 4 και Μ 8 είναι περίπου 4 db, καιηδιαφοράµεταξύτουμ 8 και Μ 6 είναιπερίπου 5 db. Για µεγάλες τιµές του, ο διπλασιασµός του αριθµού των φάσεων απαιτεί επιπρόσθετα 6 db/bit για την επίτευξη της ίδιας επίδοσης. Θ Πιθανότητασφάλµατοςσυµβόλου Σεραφείµ Καραµπογιάς Σεραφείµ Καραµπογιάς Μ 4 Μ SR/bit, db Πιθανότητασφάλµατοςσυµβόλου για σήµατα SK Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων Μ 8 Μ 6

36 ρ f θ π co e Θ θ ρ i θ Σεραφείµ Καραµπογιάς Μία προσέγγιση της πιθανότητας σφάλµατος για µεγάλες τιµές του Μ και του SR µπορεί να επιτευχθείδίνονταςµιαπρώτηπροσέγγισητης f Θ θ. Για E / >> και Θ π/, η f Θ θ προσεγγίζεται καλά ως καιηπιθανότητασφάλµατοςσυµβόλου είναι f θ dθ π π Θ π π ρ π co θ e ρ i θ dθ u ρ i θ π Q b kρ i e ρ iπ π u du όπου k καιρ E /Ν ke b /Ν k ρ b. Εάν χρησιµοποιείται κώδικας Gay, η ισοδύναµη πιθανότητα σφάλµατος bit στην Μ-αδική διαµόρφωση κατά φάση, προσεγγίζεται πολύ καλά ως k b Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων

37 Πιθανότητα σφάλµατος για το DSK Σεραφείµ Καραµπογιάς Η πιθανότητα σφάλµατος δυαδικού DSK είναι e ρ Πιθανότητασφάλµατοςσυµβόλου υαδικό SK b Q Eb υαδικό DSK b e SR/bit, db E b Πιθανότητα σφάλµατος δυαδικού SK και DSK Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων

38 Πιθανότητα σφάλµατος για το QA Σύνολασηµάτων QA 4 σηµείων. Σεραφείµ Καραµπογιάς A d A A 3A d + A A A A A Αστερισµός σήµατος 4-σηµείων αντιστοιχεί σε διαµόρφωση κατά φάση. Αστερισµός σήµατος 4-σηµείων αντιστοιχεί σε σήµα QA δύο πλατών, τεσσάρων φάσεων. a υ A A A A a υ + A ηεπίδοσηωςπροςτορυθµόσφαλµάτωντωνδύοσυνόλωνσήµατοςείναιίδια. Μεάλλαλόγια, δεν υπάρχει κάποιο πλεονέκτηµα του συνόλου σηµάτων QA των δύο σταθµών πλάτους σε σχέσηµ' αυτότωντεσσάρωνφάσεων. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων

39 Σύνολασηµάτων QA 8σηµείων. C,C 3,,, 3,, C 3+ 3,,, 3,,,,,,, + 3,,,, Τέσσερις QA αστερισµοί σήµατος των 8 σηµείων µε ελάχιστη απόσταση ίση µε Α Θεωρώντας Τα Τοτρίτοσύνολο Εποµένως, Αυτός δύοοπρώτα αστερισµός τοότι τέταρτο όλα σύνολα απαιτεί τασήµατος σύνολο σηµεία τουµέση Σχήµατος απαιτεί σήµατος είναι µεταδιδόµενη γνωστός προσεγγιστικά είναι περιέχουν ισοπίθανα, ωςισχύ σηµεία ο -db καλύτερος aυ η µέση λιγότερο σήµατος 3,4A µεταδιδόµενη QA ισχύ ενώαστερισµός οποία από το τα ισχύς τέταρτο ανήκουν δύοείναι πρώτα 8-σηµείων σύνολο σ' και ένα επειδήαπαιτείτηµικρότερηισχύγιαδεδοµένηελάχιστηαπόστασηµεταξύτωνσηµείων.,6-db ορθογώνιοπλέγµακαιέχουν aυ 3A aυ,36a λιγότεροισχύαπότοτρίτογιαναεπιτύχειτηνίδιαπιθανότητασφάλµατος... A a υ Ac + A ac+ a όπου a c, a είναιοισυντεταγµένεςτωνσηµείωνσήµατοςκανονικοποιηµένεςωςπρος A. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων

40 Τα δύο πρώτα σύνολα του Σχήµατος περιέχουν σηµεία σήµατος τα οποία ανήκουν σ' ένα ορθογώνιοπλέγµακαιέχουν aυ 3A. Τοτρίτοσύνολο απαιτεί µέση µεταδιδόµενη ισχύ aυ 3,4A ενώ το τέταρτο σύνολο aυ,36a. Εποµένως, το τέταρτο σύνολο απαιτεί προσεγγιστικά -db λιγότερο ισχύ από τα δύο πρώτα και,6-db λιγότεροισχύαπότοτρίτογιαναεπιτύχειτηνίδιαπιθανότητασφάλµατος. Αυτός ο αστερισµός σήµατος είναι γνωστός ως ο καλύτερος QA αστερισµός 8-σηµείων επειδήαπαιτείτηµικρότερηισχύγιαδεδοµένηελάχιστηαπόστασηµεταξύτωνσηµείων. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-3-4

41 Σύνολασηµάτων QA 6σηµείων. Κυκλικός QA αστερισµός σήµατος των 6-σηµείων. Τα σηµεία σήµατος σε κάποιο δεδοµένο πλάτος είναι ολισθηµένα σε φάση κατά π/4 σχετικά µε τασηµείασεγειτονικάπλάτη. Αυτόςο6-QA αστερισµόςείναιµίαγενίκευσητουβέλτιστου 8-QA αστερισµού. Όµως, ο κυκλικός 6-QA αστερισµός δεν είναι ο βέλτιστος QA αστερισµός 6-σηµείων γιαµετάδοσηµέσααπό AWG κανάλι. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-3-4

42 Ορθογώνιοι QA αστερισµοί Σεραφείµ Καραµπογιάς Τετραγωνικός αστερισµός σήµατος Μ 6 QA. Τα σήµατα των ορθογώνιων QA αστερισµών έχουν το ξεχωριστό πλεονέκτηµα να δηµιουργούνται εύκολα ως δύο A σήµατα τα οποία αποτυπώνονται σε ορθογώνιες φέρουσες. Επιπρόσθετα, αποδιαµορφώνονται εύκολα. Αν και για 6 δεν είναι οι βέλτιστοι -αδικοί QA αστερισµοί, η µέση µεταδιδόµενη ισχύς η οποία απαιτείται για δεδοµένη ελάχιστη απόσταση είναι ελάχιστα µεγαλύτερη από αυτήν που απαιτείται από το βέλτιστο -αδικό QA αστερισµό. Για τους λόγους αυτούς, οι ορθογώνιοι -αδικοί QA αστερισµοί είναι οι πλέον χρησιµοποιούµενοιστηνπράξη. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-3-4

43 Τα QA σήµαταµεορθογώνιουςαστερισµούς των k σηµείων, όπουτο kείναιάρτιος, ισοδυναµούν µε δύο A σήµατα σε ορθογώνιες φέρουσες ο αστερισµός των οποίων αποτελείταιαπό k/ σηµεία. Επειδή τα σήµατα στις ορθογώνιες συνιστώσες διαχωρίζονται πλήρως µε τη σύµφωνη φώραση ότανφ φ, ηπιθανότητα σφάλµατος για το QA καθορίζεται εύκολααπό την πιθανότητα σφάλµατος γιατο A. Η πιθανότητα σωστής coect απόφασης για το -αδικό QA σύστηµα είναι c όπου είναιηπιθανότητασφάλµατοςενός -αδικού A συστήµατοςµεµέσηισχύτο µισό αυτής του ισοδύναµου QA συστήµατος, δηλαδή, Q 6Eaυ πιθανότητασφάλµατος -αδικού A Q 3 E aυ όπουe aυ / είναιτοµέσο SR/σύµβολο. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων

44 η πιθανότητα σφάλµατος συµβόλου του -αδικού QA είναι Η πιθανότητα σφάλµατος συµβόλου φράσσεται αυστηρά εκ των άνω ως QA Q 4Q 4Q 3 ke baυ 3ρ 3E aυ γιαοποιοδήποτε k, όπου E baυ / είναι το µέσο SR/bit. Πιθανότητασφάλµατοςσυµβόλου Σεραφείµ Καραµπογιάς SR/bit, db Πιθανότητα σφάλµατος συµβόλου για συστήµατα τετραγωνικού QA Μ 4 Μ 6 Μ 64 Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων

45 Σύγκριση Μ-QA µε -SK Σεραφείµ Καραµπογιάς Η πιθανότητα σφάλµατος συµβόλου στη Μ-αδική SK Η πιθανότητα σφάλµατος συµβόλου στη Μ-αδική QA QA 4Q 3ρ SK Q ρ i Επειδή η πιθανότητα σφάλµατος καθορίζεται κυρίως από το όρισµα της συνάρτησης Q, µπορούµε απλά να συγκρίνουµε τα ορίσµατα της συνάρτησης Q στις δύο εκφράσεις πιθανότητας σφάλµατος. 3 i π Γιαπαράδειγµα, όταν 4 έχουµε R, δηλαδή, το 4-SK και το 4-QA επιτυγχάνουν συγκρίσιµη επίδοσηγιατοίδιο SR/σύµβολο. Απότηνάλληπλευρά, ότανμ> 4 βρίσκουµε R >, έτσι ώστε το Μ-αδικό QA έχει καλύτερη επίδοση απόότιτο -αδικό SK. R π Πλεονέκτηµατου -QA σεσύγκρισηµετομ-sk log R,65 4, 7, 9,95 Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-45