Εξίσωση Τηλεπικοινωνιακών Διαύλων

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Εξίσωση Τηλεπικοινωνιακών Διαύλων"

Ολυμπιάς Λύτρας
8 χρόνια πριν
Προβολές:

Εξίσωση Τηλεπικοινωνιακών Διαύλων ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΜΔΕ ΠΡΟΗΓΜΈΝΑ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΑ ΣΥΣΤΉΜΑΤΑ ΚΑΙ

1 Εξίσωση Τηλεπικοινωνιακών Διαύλων ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΜΔΕ ΠΡΟΗΓΜΈΝΑ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΑ ΣΥΣΤΉΜΑΤΑ ΚΑΙ ΔΙΚΤΥΑ Ενότητα 2 η Φίλτρα Μηδενισμού της ISI Νικόλαος Χ. Σαγιάς Επίκουρος Καθηγητής Wepage: nsagias@uop.gr

2 Σχεδίαση Βέλτιστων Φίλτρων Εκπομπής/Λήψης m (t) x(t) Φίλτρο q(t) Κανάλι z(t) εκπομπής H H T (f) C (f) n(t) Φίλτρο λήψης H R (f) t = m T w(t) y(t) y(m T ) ˆx ( t) Ανιχνευτής ˆ m ( t) Για το δυαδικό PAM έχει ήδη βρεθεί ότι η πιθανότητα να συμβεί ένα σφάλμα δίδεται από e ( ) P = Q SNR με το SNR να είναι ο λόγος σήματος προς θόρυβο μετά το δειγματολήπτη Συνεπώς, για P e ελάχιστο, θα πρέπει να μεγιστοποιηθεί το SNR Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου 1

3 Σχεδίαση Βέλτιστων Φίλτρων Εκπομπής/Λήψης Αποδεικνύεται ότι υπό την επίδραση θορύβου AWGN ισχύει ότι SNR ( f) ( f) BW E é R ù 2 ê ò df N ú 0 êë H -BW C úû -2 Ο παράγοντας ημπορεί να πάρει τιμές 0 η 1, δηλαδή 0 SNR 2 E /N 0 ( f) ( f) BW é R ù h = ê ò df ê ú ë H -BW C úû Αν χρησιμοποιήσουμε προσαρμοσμένο φίλτρο στη λήψη, μπορούμε να επιτύχουμε το «ίσον» και συνεπώς να μεγιστοποιήσουμε το SNR, δηλαδή SNR = 2 E /N 0-2 Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου 2

4 Σχεδίαση Βέλτιστων Φίλτρων Εκπομπής/Λήψης Αν ο παλμός λήψης R(f) είναι τύπου Nyquist, για να μηδενιστεί η ISI θα πρέπει να ισχύει P g (f) H T (f) H C (f) H R (f) = R(f) Για τη μεγιστοποίηση του SNR,το φίλτρο λήψης πρέπει να είναι προσαρμοσμένο, δηλαδή να ισχύει ότι h R (t) = V(T -t), με V(t) = p g (t) * h T (t) * h C (t) Μετασχηματίζοντας κατά Fourier την H R (f) = {h R (t)}, προκύπτει ότι H R (f) = P g (f) H T * (f) H C* (f) exp{-j2π f T } = R(f) / H R (f) Άρα Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου 3 ( ) ( ) R f H R ( f) = R( f), f BW και HT ( f) =, f BW H f C

5 Σχεδίαση Βέλτιστων Φίλτρων Εκπομπής/Λήψης m (t) x(t) Φίλτρο q(t) Κανάλι z(t) εκπομπής H H T (f) C (f) n(t) w(t) Φίλτρο λήψης H R (f) Φίλτρο 1/H C (f) t = m T y(t) Ανιχνευτής y(mt ) ˆx ( t) ˆ m ( t) Ισοδύναμα, το φίλτρο αντιστάθμισης της παραμόρφωσης μπορεί να τοποθετηθεί στο δέκτη Συχνότητες οι οποίες υποβαθμίστηκαν από το κανάλι H C (f), θα ενισχυθούν από το φίλτρο αντιστάθμισηςή εξίσωσης H eq (f) = 1 / H C (f)στη λήψη Ο θόρυβος που περικλείεται σε συχνότητες υποβαθμισμένεςαπό το κανάλι μετάδοσης, θα ενισχυθεί σημαντικά από το φίλτρο αντιστάθμισης Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου 4

6 Σχεδίαση Βέλτιστων Φίλτρων Εκπομπής/Λήψης Υπό την επίδραση του καναλιού μετάδοσης και γνωρίζοντας επ ακριβώς τη ΧΣΜ του, η πιθανότητα σφάλματος του δυαδικού PAM δίδεται από æ -2 BW ö ç E é R( f) ù Pe = Qç 2 ê ò dfú ç N ( ) 0 êë H f -BW C úû è ø Αν το κανάλι είναι ιδανικό, δηλαδή H C (f) = 1, f < BW, τότε δεδομένου ότι η παραπάνω σχέση εύκολα απλοποιείται στην γνωστή æ E ö P = Q 2 e ç è N0 ø δηλαδή την πιθανότητα σφάλματος του δυαδικού PAM υπό την επίδραση μόνο AWGN Με ίδια ανάλυση για το M-ιαδικό PAM, η πιθανότητα σφάλματος συμβόλου προκύπτει æ -2 BW ö M -1 ç log ( ) é ( ) ù 2 M E R f Pse = 2 Qç 6 ê ú ç - ò df 2 M M 1 N ê ( ) ú 0 ë H f -BW C û è ø Παρατηρούμε ότι οι απώλειες λόγω του καναλιού είναι 20log é 10 ê ë ò - ( f) df =1, Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου 5 BW BW R ò - BW BW R ( f) H ( f) df ù ú û C

7 Οι παλμοί Nyquist απαιτούν εύρος ζώνης μεγαλύτερο από το θεωρητικά ελάχιστο Αν θέλουμε ακόμα μικρότερο εύρος ζώνης, πρέπει να διευρύνουμε χρονικά τους παλμούς Παράδειγμα τριών θετικών παλμών τύπου Nyquist Η διεύρυνση αυτή θα παράξει ISI! r(t) Μια κατηγορία παλμών είναι οι διπλοδυαδικοί (duoinary) οι οποίοι έχουν τα παρακάτω χαρακτηριστικά 1 r ( mt ) ì = í î0, 1, m= 0,1 m=-1, ± 2, ± 3,K -3T -2T -T 0 T 2T 3T t Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου 6

8 Ένα παράδειγμα δύο διαδοχικών θετικών διπλοδυαδικών παλμών είναι το παρακάτω ISI r(t) ( ) r mt ì1, m= 0,1 =í î 0, m¹ 0 Με αυτό τον τρόπο περιορίζουμε την ISI μόνο μεταξύ δύο διαδοχικών παλμών Πράματι, η διεύρυνση του παλμού παράγει ISI, αλλά αυτή είναι ελεγχόμενη Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου 7

9 Η δειγματοληπτημένη τιμή αποτελείται από το επιθυμητό σήμα + ISI από τον προηγούμενο παλμό Συνεπώς, οι δυνατές τιμές στο δειγματολήπτη είναι +2 για δύο διαδοχικούς θετικούς παλμούς για δύο διαδοχικούς αρνητικούς παλμούς -- 0 για δυο διαδοχικούς αντίθετους παλμούς +- ή -+ Bitεκπομπής Δείγματα λήψης Bit λήψης Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου 8

10 Παράδειγμα διπλοδυαδικού παλμού είναι ο παρακάτω ( ) r t = sin p R t ( p R t ) ( 1- R t) Ο μετασχηματισμός Fourier του r(t) είναι 2 æp f ö æ p f ö R ( ) cos exp, R f = ç ç - j f R R R 2 è ø è ø Ο παραπάνω παλμός Εξασθενεί γρήγορα 1/t 2 Δεν είναι πρακτικά υλοποιήσιμος γιατί είναι μη αιτιατός Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου 9

11 Αν συγκρίνουμε του παλμούς Nyquistμε τους διπλοδυαδικούς, προκύπτει ότι διαφέρουν μόνο για m = 1 r N ( mt ) ì1, m= 0 = í î0, m¹ 0 Παλμοί Nyquist Συνεπώς, μπορούμε να κατασκευάσουμε διπλοδυαδικούς παλμούς r(t) με βάση τους παλμούς Nyquist r N (t) ως εξής r(t) = r N (t) + r N (t T ) Ο μετασχηματισμός Fourier του r(t) είναι R R ( f) = F{ r( t) } = F{ rn( t) } + F{ rn( t- T) } = RN( f) + RN( f) exp( - j2p f T) ( f) = RN( f) [ 1+ exp( - j2p f T) ] = = R ( f) 2[ 1+ cos( 2p f T )] = R ( f) 2 cos( p f T ) N N r ( mt ) Û ì1, m= 0, 1 = í î 0, m¹ 0 Διπλοδυαδικοί παλμοί R(f)=0 για π f T = π/2, δηλαδή το εύρος ζώνης είναι R /2 R(f = 0) = 2 T, δηλ. υπάρχει DC, η οποία δεν είναι επιθυμητή Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου 10

12 Ένα αξιοσημείωτο παράδειγμα διπλοδυαδικώνπαλμών χωρίς DC συνιστώσα είναι οι τροποποιημένοι διπλοδυαδικοί (modified duoinary) ì 1, n=-1 ( ) ï r mt = 1, 1 í- n= ï î0, n¹-1,1 Μπορούν να προκύψουν από τους παλμούς Nyquist ως εξής r(t) = r N (t + T ) + r N (t T ) Στο πεδίο της συχνότητας το φάσμα τους είναι R(f = 0) = 0 για f = 0 (DC) και f = R /2 R ( f) = j 2 R ( f) sin( 2p f ) N T Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου 11

13 I k a k k ±1 Παλμοί y(t) T Γεννήτρια διπλοδυαδικών παλμών Τα it I k = {0, 1}μετατρέπονται σε τιμές ±1 μέσω της σχέσης a k = 2 I k 1 Οι τιμές k λαμβάνονται k = a k +a k-1 Οι παλμοί μηδενικού ISI δημιουργούνται με μία γεννήτρια διπλοδυαδικών παλμών Μειονέκτημα: Στη λήψη, κάθε it εξαρτάται από το προηγούμενο it (διάδοση σφάλματος) Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου 12

14 p k I k a k k ±1 p k-1 Παλμοί y(t) T T Γεννήτρια διπλοδυαδικών παλμών με προκωδικοποίηση Το πρόβλημα διάδοσης σφάλματος επιλύεται κάνοντας διαφορική κωδικοποίηση p k = I k Å p k-1 Η τεχνική αυτή απλοποιεί τη μετάδοση, ενώ προκύπτει ότι ( ) ì2 1- I k, pk-1 = 1 k = ak + ak-1 = í î2( I k -1), pk-1 = 0 Το κάθε σύμβολο γίνεται ανεξάρτητο από το γειτονικό του Ο δέκτης αποφασίζει σύμβολο-με-σύμβολο σχετικά με το τι έλαβε Iˆ 1 k = ( 2- y( k T )) 2 Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου 13

Σχετικά έγγραφα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΜΔΕ Προηγμένα Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα και Δίκτυα Διάλεξη 6 η Νικόλαος Χ. Σαγιάς Επίκουρος Καθηγητής Webpage: http://eclass.uop.gr/courses/tst215