Φαινόμενο Unruh Δημήτρης Μάγγος Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο September 26, 2012 1 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 1/20
Outline Σχετικότητα Ειδική & Γενική Θεωρία Κβαντική Θεωρία Πεδίου Πεδία Στον Χωρόχρονο Φαινόμενο Unruh Εκπομπή Σωματιδίων 2 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 2/20
Σχετικότητα Ειδική & Γενική Θεωρία 3 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 3/20
Σχετικότητα Ειδική & Γενική Θεωρία Σύντομη αναφορά στην ειδική θεωρία της σχετικότητας 3 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 3/20
Σχετικότητα Ειδική & Γενική Θεωρία Σύντομη αναφορά στην ειδική θεωρία της σχετικότητας Χωρόχρονος Minkowski 3 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 3/20
Σχετικότητα Ειδική & Γενική Θεωρία Σύντομη αναφορά στην ειδική θεωρία της σχετικότητας Χωρόχρονος Minkowski ds 2 = c 2 dt 2 + dx 2 + dy 2 + dz 2 1 0 0 0 η µν = 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 3 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 3/20
Σχετικότητα Ειδική & Γενική Θεωρία Σύντομη αναφορά στην ειδική θεωρία της σχετικότητας Χωρόχρονος Minkowski ds 2 = c 2 dt 2 + dx 2 + dy 2 + dz 2 1 0 0 0 η µν = 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 Μετασχηματισμοί Lorentz 3 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 3/20
Σχετικότητα Ειδική & Γενική Θεωρία Σύντομη αναφορά στην ειδική θεωρία της σχετικότητας Χωρόχρονος Minkowski ds 2 = c 2 dt 2 + dx 2 + dy 2 + dz 2 1 0 0 0 η µν = 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 Μετασχηματισμοί Lorentz t γ γ β x c 0 0 t y = γcβ γ 0 0 x 0 0 1 0 y z 0 0 0 1 z 3 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 3/20
Σχετικότητα Ειδική & Γενική Θεωρία Σύντομη αναφορά στην ειδική θεωρία της σχετικότητας Χωρόχρονος Minkowski ds 2 = c 2 dt 2 + dx 2 + dy 2 + dz 2 1 0 0 0 η µν = 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 Μετασχηματισμοί Lorentz t γ γ β x c 0 0 t y = γcβ γ 0 0 x 0 0 1 0 y z 0 0 0 1 z Κώνος Φωτός 3 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 3/20
Σχετικότητα Ειδική & Γενική Θεωρία Σύντομη αναφορά στην ειδική θεωρία της σχετικότητας Χωρόχρονος Minkowski ds 2 = c 2 dt 2 + dx 2 + dy 2 + dz 2 1 0 0 0 η µν = 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 Μετασχηματισμοί Lorentz t γ γ β x c 0 0 t y = γcβ γ 0 0 x 0 0 1 0 y z 0 0 0 1 z Κώνος Φωτός 3 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 3/20
Γενική Θεωρία της Σχετικότητας Εξισώσεις Newton & EinStein για το Βαρυτικό Πεδίο 4 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 4/20
Γενική Θεωρία της Σχετικότητας Εξισώσεις Newton & EinStein για το Βαρυτικό Πεδίο Κατ αναλογία με το ηλεκτρικό πεδίο έχουμε ότι και ότι η εξίσωση του βαρυτικού πεδίου περιγράφεται από την εξίσωση Newton 4 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 4/20
Γενική Θεωρία της Σχετικότητας Εξισώσεις Newton & EinStein για το Βαρυτικό Πεδίο Κατ αναλογία με το ηλεκτρικό πεδίο έχουμε ότι και ότι η εξίσωση του βαρυτικού πεδίου περιγράφεται από την εξίσωση Newton Εξίσωση Newton 2 Φ(r) = 4πGρ m (r) 4 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 4/20
Γενική Θεωρία της Σχετικότητας Εξισώσεις Newton & EinStein για το Βαρυτικό Πεδίο Κατ αναλογία με το ηλεκτρικό πεδίο έχουμε ότι και ότι η εξίσωση του βαρυτικού πεδίου περιγράφεται από την εξίσωση Newton Εξίσωση Newton 2 Φ(r) = 4πGρ m (r) Η σχετικιστική εξίσωση του βαρυτικού πεδίου είναι η εξίσωση του EinStein 4 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 4/20
Γενική Θεωρία της Σχετικότητας Εξισώσεις Newton & EinStein για το Βαρυτικό Πεδίο Κατ αναλογία με το ηλεκτρικό πεδίο έχουμε ότι και ότι η εξίσωση του βαρυτικού πεδίου περιγράφεται από την εξίσωση Newton Εξίσωση Newton 2 Φ(r) = 4πGρ m (r) Η σχετικιστική εξίσωση του βαρυτικού πεδίου είναι η εξίσωση του EinStein Εξίσωση EinStein G µν R µν 1 2 8πG Rgµν = c 2 Tµν 4 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 4/20
Γενική Θεωρία της Σχετικότητας Φορμαλισμός Lagrange & hamilton 5 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 5/20
Γενική Θεωρία της Σχετικότητας Φορμαλισμός Lagrange & hamilton Η δράση μέσω της οποίας ορίζεται η εξίσωση του βαρυτικού πεδίου είναι η δράση Hilbert Η μεταβολής της οποίας μας δίνει την εξίσωση του EinStein 5 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 5/20
Γενική Θεωρία της Σχετικότητας Φορμαλισμός Lagrange & hamilton Η δράση μέσω της οποίας ορίζεται η εξίσωση του βαρυτικού πεδίου είναι η δράση Hilbert Η μεταβολής της οποίας μας δίνει την εξίσωση του EinStein Μεταβολή Δράσης Hilbert δs H = δrµνgµν gd 4 x + Rµνδgµν gd 4 x + U U U Rµνgµν δ gd 4 x 1 δs H g δgµν = R µν 1 2 Rg µν G µν 5 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 5/20
Γενική Θεωρία της Σχετικότητας Φορμαλισμός Lagrange & hamilton Η δράση μέσω της οποίας ορίζεται η εξίσωση του βαρυτικού πεδίου είναι η δράση Hilbert Η μεταβολής της οποίας μας δίνει την εξίσωση του EinStein Μεταβολή Δράσης Hilbert δs H = δrµνgµν gd 4 x + Rµνδgµν gd 4 x + U U U Rµνgµν δ gd 4 x 1 δs H g δgµν = R µν 1 2 Rg µν G µν Από την Lagrangian των πεδίων τα οποία υπόκεινται στο βαρυτικό πεδίο προκύπτει ο τανυστής ενέργειας-ορμής 5 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 5/20
Γενική Θεωρία της Σχετικότητας Φορμαλισμός Lagrange & hamilton Η δράση μέσω της οποίας ορίζεται η εξίσωση του βαρυτικού πεδίου είναι η δράση Hilbert Η μεταβολής της οποίας μας δίνει την εξίσωση του EinStein Μεταβολή Δράσης Hilbert δs H = δrµνgµν gd 4 x + Rµνδgµν gd 4 x + U U U Rµνgµν δ gd 4 x 1 δs H g δgµν = R µν 1 2 Rg µν G µν Από την Lagrangian των πεδίων τα οποία υπόκεινται στο βαρυτικό πεδίο προκύπτει ο τανυστής ενέργειας-ορμής Τανυστής ενέργειας ορμής δs M = 1 c δl field gd 4 x + 1 c L field δ gd 4 x 2 δs M = T g δg µν µν 5 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 5/20
Γενική Θεωρία της Σχετικότητας Λύση της Εξίσωσης EinStein 6 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 6/20
Γενική Θεωρία της Σχετικότητας Λύση της Εξίσωσης EinStein Για στατική και σφαιρική κατανομή μάζας έχουμε την λύση Schwarzschild 6 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 6/20
Γενική Θεωρία της Σχετικότητας Λύση της Εξίσωσης EinStein Για στατική και σφαιρική κατανομή μάζας έχουμε την λύση Schwarzschild Μετρική Schwarzschild ( ds 2 = c 2 1 r S r ) ( dt 2 + 1 r S r ) 1 dr 2 + r 2 (dθ 2 + sin 2 θdφ 2 ) 6 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 6/20
Γενική Θεωρία της Σχετικότητας Λύση της Εξίσωσης EinStein Για στατική και σφαιρική κατανομή μάζας έχουμε την λύση Schwarzschild Μετρική Schwarzschild ( ds 2 = c 2 1 r S r ) ( dt 2 + 1 r S r ) 1 dr 2 + r 2 (dθ 2 + sin 2 θdφ 2 ) Μέσω των διατηρήσιμων ποσοτήτων, συμμετριών, υπολογίζουμε τις γεωδαισιακές από όπου προκύπτει 6 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 6/20
Γενική Θεωρία της Σχετικότητας Λύση της Εξίσωσης EinStein Για στατική και σφαιρική κατανομή μάζας έχουμε την λύση Schwarzschild Μετρική Schwarzschild ( ds 2 = c 2 1 r S r ) ( dt 2 + 1 r S r ) 1 dr 2 + r 2 (dθ 2 + sin 2 θdφ 2 ) Μέσω των διατηρήσιμων ποσοτήτων, συμμετριών, υπολογίζουμε τις γεωδαισιακές από όπου προκύπτει Ενεργό Δυναμικό V eff = L2 2r r SL 2 2 2r + r Sɛ 3 2c 2 r 6 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 6/20
Γενική Θεωρία της Σχετικότητας Μελανές Οπές Schwarzschild 7 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 7/20
Γενική Θεωρία της Σχετικότητας Μελανές Οπές Schwarzschild Για σωμάτια των οποίων η ακτίνα είναι συγκρίσιμη με την ακτίνα Schwarzschild έχουμε μια μελανή οπή Την οποία μελετώντας την μέσω μετασχηματισμών αποκαλύπτεται η φύση της 7 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 7/20
Γενική Θεωρία της Σχετικότητας Μελανές Οπές Schwarzschild Για σωμάτια των οποίων η ακτίνα είναι συγκρίσιμη με την ακτίνα Schwarzschild έχουμε μια μελανή οπή Την οποία μελετώντας την μέσω μετασχηματισμών αποκαλύπτεται η φύση της ( ) Συντεταγμένες της χελώνας r r = r + r S ln r S 1 Η ταχύτητα ενός προσπίπτοντος σωματιδίου όλο και μειώνεται 7 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 7/20
Γενική Θεωρία της Σχετικότητας Μελανές Οπές Schwarzschild Για σωμάτια των οποίων η ακτίνα είναι συγκρίσιμη με την ακτίνα Schwarzschild έχουμε μια μελανή οπή Την οποία μελετώντας την μέσω μετασχηματισμών αποκαλύπτεται η φύση της ( ) Συντεταγμένες της χελώνας r r = r + r S ln r S 1 Η ταχύτητα ενός προσπίπτοντος σωματιδίου όλο και μειώνεται Συντεταγμένες Eddington-Finkelstein r = c(v t) & r = c(u + t) Τα προσπίπτοντα σωμάτια είναι αδύνατον να επιστρέψουν 7 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 7/20
Γενική Θεωρία της Σχετικότητας Μελανές Οπές Schwarzschild Για σωμάτια των οποίων η ακτίνα είναι συγκρίσιμη με την ακτίνα Schwarzschild έχουμε μια μελανή οπή Την οποία μελετώντας την μέσω μετασχηματισμών αποκαλύπτεται η φύση της ( ) Συντεταγμένες της χελώνας r r = r + r S ln r S 1 Η ταχύτητα ενός προσπίπτοντος σωματιδίου όλο και μειώνεται Συντεταγμένες Eddington-Finkelstein r = c(v t) & r = c(u + t) Τα προσπίπτοντα σωμάτια είναι αδύνατον να επιστρέψουν Συντεταγμένες Kruskal-Szekeres U = e u 2r S & V = e v 2r S Ο χωρόχρονος αποκτα δυναμικό χαρακτήρα 7 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 7/20
Γενική Θεωρία της Σχετικότητας Προσεγγίζοντας την ακτίνα Schwarzschild 8 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 8/20
Γενική Θεωρία της Σχετικότητας Προσεγγίζοντας την ακτίνα Schwarzschild Στην περιοχή κοντά στον ορίζοντα γεγονότων 8 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 8/20
Γενική Θεωρία της Σχετικότητας Προσεγγίζοντας την ακτίνα Schwarzschild Στην περιοχή κοντά στον ορίζοντα γεγονότων Μετρική Schwarzschild-Rindler ds 2 = ρ 2 dη 2 + dρ 2 + r 2 S (dθ2 + sin 2 θdφ 2 ) 8 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 8/20
Γενική Θεωρία της Σχετικότητας Προσεγγίζοντας την ακτίνα Schwarzschild Στην περιοχή κοντά στον ορίζοντα γεγονότων Μετρική Schwarzschild-Rindler ds 2 = ρ 2 dη 2 + dρ 2 + r 2 S (dθ2 + sin 2 θdφ 2 ) Για σταθερά επιταχυνόμενο, Minkowski, παρατηρητή έχουμε 8 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 8/20
Γενική Θεωρία της Σχετικότητας Προσεγγίζοντας την ακτίνα Schwarzschild Στην περιοχή κοντά στον ορίζοντα γεγονότων Μετρική Schwarzschild-Rindler ds 2 = ρ 2 dη 2 + dρ 2 + r 2 S (dθ2 + sin 2 θdφ 2 ) Για σταθερά επιταχυνόμενο, Minkowski, παρατηρητή έχουμε Μετρική Rindler ds 2 = ρ 2 dη 2 + dx 2 + dy 2 + dz 2 Συσχετίζοντας τις δύο μετρικές έχουμε ότι τα σωμάτια κοντά στον ορίζοντα ακολουθούν επιταχυνόμενη κίνηση 8 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 8/20
Κβαντική Θεωρία Πεδίου Πεδία Σε Επίπεδο Χωρόχρονο 9 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 9/20
Κβαντική Θεωρία Πεδίου Πεδία Σε Επίπεδο Χωρόχρονο Βαθμωτά πεδία σε επίπεδο, Minkowski, χωρόχρονο 9 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 9/20
Κβαντική Θεωρία Πεδίου Πεδία Σε Επίπεδο Χωρόχρονο Βαθμωτά πεδία σε επίπεδο, Minkowski, χωρόχρονο Εξίσωση Klein-Gordon ( 2 c 2 2 m 2 c 4 ) ˆΨ = 0 9 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 9/20
Κβαντική Θεωρία Πεδίου Πεδία Σε Επίπεδο Χωρόχρονο Βαθμωτά πεδία σε επίπεδο, Minkowski, χωρόχρονο Εξίσωση Klein-Gordon ( 2 c 2 2 m 2 c 4 ) ˆΨ = 0 Λύσεις της εξίσωσης 9 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 9/20
Κβαντική Θεωρία Πεδίου Πεδία Σε Επίπεδο Χωρόχρονο Βαθμωτά πεδία σε επίπεδο, Minkowski, χωρόχρονο Εξίσωση Klein-Gordon ( 2 c 2 2 m 2 c 4 ) ˆΨ = 0 Λύσεις της εξίσωσης Τελεστής Πεδίου & Επίπεδα Κύματα ˆΨ(x) = {â(k)ψ k (x) + â (k)ψ k (x)}dk 1 ψ k (x) = e ikµ xµ (2π) 3 (2ω k ) & { } [â(k), â(k )] = 0 [â(k), â (k )] = δ(k k ) 9 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 9/20
Κβαντική Θεωρία Πεδίου Πεδία Σε Επίπεδο Χωρόχρονο 10 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 10/20
Κβαντική Θεωρία Πεδίου Πεδία Σε Επίπεδο Χωρόχρονο Spinors σε επίπεδο, Minkowski, χωρόχρονο 10 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 10/20
Κβαντική Θεωρία Πεδίου Πεδία Σε Επίπεδο Χωρόχρονο Spinors σε επίπεδο, Minkowski, χωρόχρονο Εξίσωση Dirac (i cγ µ µ mc 2 ) ˆΨ = 0 10 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 10/20
Κβαντική Θεωρία Πεδίου Πεδία Σε Επίπεδο Χωρόχρονο Spinors σε επίπεδο, Minkowski, χωρόχρονο Εξίσωση Dirac (i cγ µ µ mc 2 ) ˆΨ = 0 Λύσεις της εξίσωσης 10 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 10/20
Κβαντική Θεωρία Πεδίου Πεδία Σε Επίπεδο Χωρόχρονο Spinors σε επίπεδο, Minkowski, χωρόχρονο Εξίσωση Dirac (i cγ µ µ mc 2 ) ˆΨ = 0 Λύσεις της εξίσωσης Τελεστής Πεδίου & Επίπεδα Κύματα ˆΨ(x) = u k,s = {ĉ(k)u k (x) + ˆd (k)u k (x)}dk { m ω k L 3 u(k, s)e ikµ xµ m 0 1 u(k, s)e ik µ x µ m = 0 2ω k L 3 } & { } {ĉk,s, ĉ k,s } = 0 {ĉ k,s, ĉ k,s } = δ k,k δ s,s 10 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 10/20
Κβαντική Θεωρία Πεδίου Πεδία Σε Καμπυλωμένο Χωρόχρονο 11 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 11/20
Κβαντική Θεωρία Πεδίου Πεδία Σε Καμπυλωμένο Χωρόχρονο Βαθμωτό πεδίο σε καμπυλωμένο χωρόχρονο 11 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 11/20
Κβαντική Θεωρία Πεδίου Πεδία Σε Καμπυλωμένο Χωρόχρονο Βαθμωτό πεδίο σε καμπυλωμένο χωρόχρονο Εξίσωση Klein-Gordon ( 2 c 2 2 + m 2 c 4 + ξr) ˆΨ = 0 11 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 11/20
Κβαντική Θεωρία Πεδίου Πεδία Σε Καμπυλωμένο Χωρόχρονο Βαθμωτό πεδίο σε καμπυλωμένο χωρόχρονο Εξίσωση Klein-Gordon ( 2 c 2 2 + m 2 c 4 + ξr) ˆΨ = 0 Λύσεις της εξίσωσης για 2 D χωρόχρονο Rindler 11 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 11/20
Κβαντική Θεωρία Πεδίου Πεδία Σε Καμπυλωμένο Χωρόχρονο Βαθμωτό πεδίο σε καμπυλωμένο χωρόχρονο Εξίσωση Klein-Gordon ( 2 c 2 2 + m 2 c 4 + ξr) ˆΨ = 0 Λύσεις της εξίσωσης για 2 D χωρόχρονο Rindler Άμαζο Πεδίο f ω = g ω = { α e i cω (η+ln ρ) α Περιοχή 4πcω { I 0 Περιοχή II 0 Περιοχή I α e i cω (η ln ρ) α Περιοχή II 4πcω 11 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 11/20
Κβαντική Θεωρία Πεδίου Πεδία Σε Καμπυλωμένο Χωρόχρονο 12 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 12/20
Κβαντική Θεωρία Πεδίου Πεδία Σε Καμπυλωμένο Χωρόχρονο Βαθμωτό πεδίο σε καμπυλωμένο χωρόχρονο 12 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 12/20
Κβαντική Θεωρία Πεδίου Πεδία Σε Καμπυλωμένο Χωρόχρονο Βαθμωτό πεδίο σε καμπυλωμένο χωρόχρονο Εξίσωση Klein-Gordon ( 2 c 2 2 + m 2 c 4 + ξr) ˆΨ = 0 12 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 12/20
Κβαντική Θεωρία Πεδίου Πεδία Σε Καμπυλωμένο Χωρόχρονο Βαθμωτό πεδίο σε καμπυλωμένο χωρόχρονο Εξίσωση Klein-Gordon ( 2 c 2 2 + m 2 c 4 + ξr) ˆΨ = 0 Λύσεις της εξίσωσης για 4 D χωρόχρονο Rindler 12 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 12/20
Κβαντική Θεωρία Πεδίου Πεδία Σε Καμπυλωμένο Χωρόχρονο Βαθμωτό πεδίο σε καμπυλωμένο χωρόχρονο Εξίσωση Klein-Gordon ( 2 c 2 2 + m 2 c 4 + ξr) ˆΨ = 0 Λύσεις της εξίσωσης για 4 D χωρόχρονο Rindler Μαζικό Πεδίο f ω = g ω = { { sinh(ωπ)e iωη+ik r K iω (x) 1 π Περιοχή I 0 Περιοχή II 0 Περιοχή I 1 π sinh(ωπ)e iωη ik r K iω ( x) Περιοχή II 12 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 12/20
Κβαντική Θεωρία Πεδίου Πεδία Σε Καμπυλωμένο Χωρόχρονο 13 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 13/20
Κβαντική Θεωρία Πεδίου Πεδία Σε Καμπυλωμένο Χωρόχρονο Spinors σε καμπυλωμένο χωρόχρονο 13 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 13/20
Κβαντική Θεωρία Πεδίου Πεδία Σε Καμπυλωμένο Χωρόχρονο Spinors σε καμπυλωμένο χωρόχρονο Εξίσωση Dirac (i cγ µ (x) µ mc 2 ) ˆΨ = 0 13 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 13/20
Κβαντική Θεωρία Πεδίου Πεδία Σε Καμπυλωμένο Χωρόχρονο Spinors σε καμπυλωμένο χωρόχρονο Εξίσωση Dirac (i cγ µ (x) µ mc 2 ) ˆΨ = 0 Λύσεις της εξίσωσης για 4 D χωρόχρονο Rindler 13 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 13/20
Κβαντική Θεωρία Πεδίου Πεδία Σε Καμπυλωμένο Χωρόχρονο Spinors σε καμπυλωμένο χωρόχρονο Εξίσωση Dirac (i cγ µ (x) µ mc 2 ) ˆΨ = 0 Λύσεις της εξίσωσης για 4 D χωρόχρονο Rindler Μαζικό Spinor Πεδίο K iω+ 1 (x) + ik iω 1 (x) 2 2 0 S Ω+ = C Ω+ K iω 1 (x) ik iω+ 1 (x) 2 2 0 13 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 13/20
Κβαντική Θεωρία Πεδίου Μετασχηματισμοί Bogolyubov 14 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 14/20
Κβαντική Θεωρία Πεδίου Μετασχηματισμοί Bogolyubov Από την ανάπτυξη των κβαντικών καταστάσεων έχουμε 14 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 14/20
Κβαντική Θεωρία Πεδίου Μετασχηματισμοί Bogolyubov Από την ανάπτυξη των κβαντικών καταστάσεων έχουμε Τελεστής Πεδίου ˆΨ = i â i f i + â i f i = ˆbj g j + ˆb j g j j 14 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 14/20
Κβαντική Θεωρία Πεδίου Μετασχηματισμοί Bogolyubov Από την ανάπτυξη των κβαντικών καταστάσεων έχουμε Τελεστής Πεδίου ˆΨ = i â i f i + â i f i = ˆbj g j + ˆb j g j Εφαρμόζοντας τον μετασχηματισμό έχουμε j 14 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 14/20
Κβαντική Θεωρία Πεδίου Μετασχηματισμοί Bogolyubov Από την ανάπτυξη των κβαντικών καταστάσεων έχουμε Τελεστής Πεδίου ˆΨ = i â i f i + â i f i = ˆbj g j + ˆb j g j Εφαρμόζοντας τον μετασχηματισμό έχουμε Συντελεστές Bogolyubov g i = c ij f j + d ij f j c ij = (g i, f j ) j f i = c ij g j d ij g j d ij = (g i, f j ) j j 14 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 14/20
Φαινόμενο Unruh Θερμοκρασία Unruh 15 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 15/20
Φαινόμενο Unruh Θερμοκρασία Unruh Κάτω από έναν μετασχηματισμό Bogolyubov ένας Rindler παρατηρητής ανιχνεύει θερμική εκπομπή, από BoSoS ή FermionS, αναλόγως των πεδίων τα οποία υπάρχουν στον χωρόχρονο 15 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 15/20
Φαινόμενο Unruh Θερμοκρασία Unruh Κάτω από έναν μετασχηματισμό Bogolyubov ένας Rindler παρατηρητής ανιχνεύει θερμική εκπομπή, από BoSoS ή FermionS, αναλόγως των πεδίων τα οποία υπάρχουν στον χωρόχρονο BoSonic Πεδίο 0 Mink ˆn Rind k 0 Mink = 1 e 2πcω a 1 Κατανομή BoSe-EinStein 15 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 15/20
Φαινόμενο Unruh Θερμοκρασία Unruh Κάτω από έναν μετασχηματισμό Bogolyubov ένας Rindler παρατηρητής ανιχνεύει θερμική εκπομπή, από BoSoS ή FermionS, αναλόγως των πεδίων τα οποία υπάρχουν στον χωρόχρονο BoSonic Πεδίο Fermionic Πεδίο 0 Mink ˆn Rind k 0 Mink = 0 Mink ˆn Rind Ωσ 0 Mink = 1 e 2πcω a 1 1 e 2πcω a + 1 Κατανομή BoSe-EinStein Κατανομή Fermi-Dirac 15 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 15/20
Φαινόμενο Unruh Θερμοκρασία Unruh Κάτω από έναν μετασχηματισμό Bogolyubov ένας Rindler παρατηρητής ανιχνεύει θερμική εκπομπή, από BoSoS ή FermionS, αναλόγως των πεδίων τα οποία υπάρχουν στον χωρόχρονο BoSonic Πεδίο Fermionic Πεδίο 0 Mink ˆn Rind k 0 Mink = 0 Mink ˆn Rind Ωσ 0 Mink = 1 e 2πcω a 1 1 e 2πcω a + 1 Κατανομή BoSe-EinStein Κατανομή Fermi-Dirac 15 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 15/20
Φαινόμενο Unruh Θερμοκρασία Unruh Κάτω από έναν μετασχηματισμό Bogolyubov ένας Rindler παρατηρητής ανιχνεύει θερμική εκπομπή, από BoSoS ή FermionS, αναλόγως των πεδίων τα οποία υπάρχουν στον χωρόχρονο BoSonic Πεδίο Fermionic Πεδίο 0 Mink ˆn Rind k 0 Mink = 0 Mink ˆn Rind Ωσ 0 Mink = 1 e 2πcω a 1 1 e 2πcω a + 1 Κατανομή BoSe-EinStein Κατανομή Fermi-Dirac T = α 2πck B θερμοκρασία Unruh 15 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 15/20
Φαινόμενο Unruh Αποτελέσματα Fermionic Πεδίο BoSonic Πεδίο (i cγ µ (x) µ mc 2 ) ˆΨ = 0 Κβαντική Θεωρία Σε Καμπυλωμένο ( 2 c 2 2 m 2 c 4 ξr) ˆΨ = 0 Χωρόχρονο FermionS Unruh BoSonS 1 e 2πcω a +1 1 e 2πcω a 1 16 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 16/20
Φαινόμενο Unruh Τελική Ανάλυση 17 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 17/20
Φαινόμενο Unruh Τελική Ανάλυση Κάτω από έναν μετασχηματισμό Kruskal έχουμε 17 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 17/20
Φαινόμενο Unruh Τελική Ανάλυση Κάτω από έναν μετασχηματισμό Kruskal έχουμε Μετασχηματισμός Kruskal x = eξα α cosh(αη) t = eξα α sinh(αη), < η, ξ < Περιοχή I 17 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 17/20
Φαινόμενο Unruh Τελική Ανάλυση Κάτω από έναν μετασχηματισμό Kruskal έχουμε Μετασχηματισμός Kruskal x = eξα α cosh(αη) t = eξα α sinh(αη), < η, ξ < Περιοχή I Για τον συντελεστή της ερυθράς μετατόπισης παίρνουμε 17 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 17/20
Φαινόμενο Unruh Τελική Ανάλυση Κάτω από έναν μετασχηματισμό Kruskal έχουμε Μετασχηματισμός Kruskal x = eξα α cosh(αη) t = eξα α sinh(αη), < η, ξ < Περιοχή I Για τον συντελεστή της ερυθράς μετατόπισης παίρνουμε Συντελεστής Ερυθράς Μετατόπισης V = e αξ 17 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 17/20
Φαινόμενο Unruh Τελική Ανάλυση Κάτω από έναν μετασχηματισμό Kruskal έχουμε Μετασχηματισμός Kruskal x = eξα α cosh(αη) t = eξα α sinh(αη), < η, ξ < Περιοχή I Για τον συντελεστή της ερυθράς μετατόπισης παίρνουμε Συντελεστής Ερυθράς Μετατόπισης V = e αξ Όπου μέσω αυτού του συντελεστή έχουμε πως ένας απομακρυσμένος παρατηρητής δεν παρατηρεί την θερμική εκπομπή 17 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 17/20
Φαινόμενο Unruh Κίνητρα για την κβαντική μελέτη της βαρύτητας 18 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh /20 18/20
Φαινόμενο Unruh Κίνητρα για την κβαντική μελέτη της βαρύτητας Τελικώς το φαινόμενο Unruh δίνει κίνητρο για την μελέτη της κβαντικής βαρύτητας 18 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh /20 18/20
Φαινόμενο Unruh Κίνητρα για την κβαντική μελέτη της βαρύτητας Τελικώς το φαινόμενο Unruh δίνει κίνητρο για την μελέτη της κβαντικής βαρύτητας 18 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh /20 18/20
Φαινόμενο Unruh Κίνητρα για την κβαντική μελέτη της βαρύτητας Τελικώς το φαινόμενο Unruh δίνει κίνητρο για την μελέτη της κβαντικής βαρύτητας Το φαινόμενο αυτό οδήγησε στον ορισμό του θερμικού χρόνου που αποτελεί σημαντική υπόθεση της κβαντικής βαρύτητας βρόχων 18 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh /20 18/20
Φαινόμενο Unruh Κίνητρα για την κβαντική μελέτη της βαρύτητας Τελικώς το φαινόμενο Unruh δίνει κίνητρο για την μελέτη της κβαντικής βαρύτητας Το φαινόμενο αυτό οδήγησε στον ορισμό του θερμικού χρόνου που αποτελεί σημαντική υπόθεση της κβαντικής βαρύτητας βρόχων 18 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh /20 18/20
Φαινόμενο Unruh Κίνητρα για την κβαντική μελέτη της βαρύτητας Τελικώς το φαινόμενο Unruh δίνει κίνητρο για την μελέτη της κβαντικής βαρύτητας Το φαινόμενο αυτό οδήγησε στον ορισμό του θερμικού χρόνου που αποτελεί σημαντική υπόθεση της κβαντικής βαρύτητας βρόχων 18 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh /20 18/20
Ερωτήσεις 19 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 19/20
Τέλος!!! Ευχαριστώ για την Προσοχή σας 20 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 20/20
Τέλος!!! Ευχαριστώ για την Προσοχή σας 20 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 20/20