Εθνικο Μετσοβιο Πολυτεχνειο

Transcript

1 Εθνικο Μετσοβιο Πολυτεχνειο ιατµηµατικο Προγραµµα Μεταπτυχιακων Σπουδων Φυσικη και Τεχνολογικες Εφαρµογες Μη-τετριµµένοι Κινητικοί Οροι Βαθµωτού Πεδίου και Παραγωγή Σωµατιδίων ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ του Κωνσταντίνου Ντρέκη Επιβλέπων : Γεώργιος Κουτσούµπας Αν. Καθηγητής Ε.Μ.Π. Αθήνα Ιούνιος 013

2

3 Εθνικο Μετσοβιο Πολυτεχνειο ιατµηµατικο Προγραµµα Μεταπτυχιακων Σπουδων Φυσικη και Τεχνολογικες Εφαρµογες Τοµεας Φυσικης Μη - τετριµµένοι κινητικοί όροι ϐαθµωτού πεδίου και παραγωγή σωµατιδίων ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ του Κωνσταντίνου Ντρέκη Επιβλέπων : Γεώργιος Κουτσούµπας Αν. Καθηγητής Ε.Μ.Π. Εγκρίθηκε από την τριµελή εξεταστική επιτροπή τον Ιούνιο 013. Υπογραφή) Υπογραφή) Υπογραφή) Γεώργιος Κουτσούµπας Αν. Καθηγητής Ε.Μ.Π Κωνσταντίνος Φαράκος Αν. Καθηγητής Ε.Μ.Π Ελευθέριος Παπαντωνόπουλος Καθηγητής Ε.Μ.Π. Αθήνα, Ιούνιος 013

4

5 Εισαγωγή Σε αυτή την διπλωµατική εργασία γίνεται µια προσπάθεια να γίνουν πιο κατανοητές οι επιπτώσεις εισαγώγης µη-τετριµµένων κινητικών όρων ϐαθµωτού πεδίου στην παραγωγή σωµατιδίων. Στο πρώτο κεφάλαιο γίνεται µια εισαγωγή στην κβαντική ϑεωρία πεδίου σε καµπύλους χωροχρόνους και αναπτύσσουµε τις ϐασικές έννοιες που αφορούν την παραγωγή σωµατιδίων. Για τον σκοπό αυτό χρησιµοποιούµε έναν 4-διάστατο χωρόχρονο FRW που ασυµπτωτικά στο µακρινό παρελ- ϑόν/µέλλον γίνεται επίπεδος. Αφού αναφέρουµε την απλή περίπτωση εισάγουµε µη-τετριµµένους κινητικούς όρους ϐαθµωτού πεδίου, πιο συγκεκριµένα όρους α- νάλογους του τανυστή Einstein G µν, και µελετάµε τις αλλαγές στην παραγωγή σωµατιδίων. Στη συνέχεια προσπαθούµε να κατασκευάσουµε ένα πιο ϱεαλιστικό µοντέλο. Χρησιµοποιούµε την έννοια του πληθωρισµού inflation) που πιστεύεται ότι έλαβε χώρα ακριβώς µετά τη Μεγάλη Εκρηξη. Ο πληθωρισµος καθοδηγείται από ένα οµογενές, χρονικά εξαρτηµένο ϐαθµωτό πεδίο φt) που ονοµάζουµε inflaton. Θεωρούµε ότι µετά το τέλος του πληθωρισµού το σύµπαν ϐρίσκεται στη ϕάση που κυριαρχεί η ύλη matter domination). Η µορφή της µετρικής τότε µας επιτρέπει να υπολογίσουµε πιο εύκολα την παραγωγή σωµατιδίων µετά τον πληθωρισµό. Για να το πετύχουµε αυτό χρησιµοποιούµε ένα κβαντικό πεδίο Xx) το οποίο ϑα επιτρέψουµε να µπορεί να συζευχθεί µε το inflaton. Καθ όλη τη διάρκεια της εργασίας γίνονται ξεχωριστοί υπολογισµοί που αφορούν είτε τη ϐασική ϑεωρία είτε την τροποποιηµένη, δηλαδή αυτή µε µη-τετριµµένους κινητικούς όρους. Με τη ϐοήθεια του mathematica µπορούµε να κατασκευάσουµε ένα διάγραµµα αναφο- ϱάς, συγκεκριµένα τον µέσο αριθµό σωµατιδίων που παράγονται συναρτήσει της µάζας M X, και µεταβάλλοντας τις παραµέτρους να εντοπίσουµε τις αλλαγές στον αριθµό των παραγόµενων σωµατιδίων. Ολοκληρώνοντας την εισαγωγή αυτή ϑα ήθελα να ευχαριστήσω τον καθηγητή µου κύριο Γεώργιο Κουτσούµπα για την εµπιστοσύνη που µου έδειξε και για την πολύτιµη ϐοήθεια που µου προσέφερε κατά την εκπόνηση της διπλωµατικής µου εργασίας, καθώς και τον κύριο Ελευθέριο Παπαντωνόπουλο για την καθοδήγησή του σε Ϲητήµατα που αφορούν κοσµολογικά µοντέλα. i

6

7 Περιεχόµενα 1 Κβαντική Θεωρία Πεδίου σε Καµπύλους Χωροχρόνους Κβάντωση του ϐαθµωτού πεδίου σε καµπύλο χωρόχρονο Συντελεστές Bogolyubov Ασυµπτωτικές περιοχές Minkowski σε ένα 4-διάστατο σύµπαν FRW Παραγωγή σωµατιδίων σε 4-διάστατο σύµπαν FRW µε ασυµπτωτικές περιοχές Minkowski Μη-τετριµµένοι κινητικοί όροι ϐαθµωτού πεδίου στο σύµπαν FRW. 14 Πληθωρισµός inflation) 19.1 Το ϐαθµωτό πεδίο φ inflaton) που καθοδηγεί τον πληθωρισµό Μη-τετριµµένοι κινητικοί όροι του inflaton Παραγωγή Σωµατιδίων µετά τον Πληθωρισµό Παραγωγή σωµατιδίων µετά από πληθωρισµό χωρίς µη-τετριµµένους κινητικούς όρους Παραγωγή σωµατιδίων µετά από πληθωρισµό µε µη-τετριµµένους κινητικούς όρους Α Τανυστές Riemann και Einstein στο 4-διάστατο σύµπαν FRW 40 Α.1 Υπολογισµός της ϐαθµωτής καµπυλότητας R για το 4-διάστατο σύµπαν FRW Α. Υπολογισµός του τανυστή Einstein για το 4-διάστατο σύµπαν FRW. 4 Α.3 Εξισώσεις ϐαθµωτού πεδίου του Einstein από την αρχή ελάχιστης δράσης Α.4 Εξισώσεις του Einstein από τη δράση ϐαθµωτού πεδίου µε µη-τετριµµένους κινητικούς όρους Β Κώδικες Mathematica 50 1

8

9 Κεφάλαιο 1 Κβαντική Θεωρία Πεδίου σε Καµπύλους Χωροχρόνους 1.1 Κβάντωση του ϐαθµωτού πεδίου σε καµπύλο χωρόχρονο Ας ϑεωρήσουµε ένα σύνολο πεδίων φx) που διαδίδονται σε ένα καµπύλο χω- ϱόχρονο µε αναλλοίωτο στοιχείο διαστήµατος ds = g µν x)dx µ dx ν Αν το n δηλώνει τη διάσταση του χωροχρόνου τότε x 0 ϑα είναι η χρονική συντεταγµένη και x 1, x,..., x n 1 ϑα είναι οι χωρικές. Η δράση S κατασκευάζεται από το πεδίο φ έτσι ώστε να είναι αναλλοίωτη κάτω από γενικούς µετασχηµατισµούς συντεταγµένων S[φ x), φx ), g µνx )] = S[φx), φx), g µν x)] Ο πιο απλός τρόπος να κατασκευάσουµε µια τέτοια δράση είναι να ξεκινήσουµε µε τη δράση στο χωρόχρονο Minkowski και να αντικαταστήσουµε τους τανυστές η µν µε τους τανυστές g µν και τους στοιχειώδεις όγκους d n x µε τους αναλλοίωτους στοιχειώδεις όγκους g) 1/ d n x όπου g = detg µν ). Η απαίτηση η δράση να είναι αναλλοίωτη κάτω από µεταβολές στα πεδία, οι οποίες µηδενίζονται στα όρια της ολοκλήρωσης, δίνει τις εξισώσεις Euler - Lagrange L L ) φ µ = 0 µ φ) Η Λαγκρανζιανή πυκνότητα ενός ϐαθµωτού πεδίου σε καµπύλο χωρόχρονο είναι L = g { 1[ g κλ κ φ λ φ ] V φ) } Σε όλο το κοµµάτι της εργασίας ϑα χρησιµοποιούµε για την µετρική τη σύµβαση + ). Αντικατάσταση αυτής της Λαγκρανζιανής πυκνότητας στην εξίσωση Euler - Lagrange µας δίνει την εξίσωση κίνησης του ϐαθµωτού πεδίου. Υπολογίζουµε ξεχωριστά L φ = V φ) g φ gv φ 3

10 L ) L ) L ) µ = 0 i µ φ) 0 φ) i φ) [ 1 gg κλ κ φ λ φ ] ) [ 1 gg κλ κ φ λ φ ] ) = 0 i 0 φ) i φ) 1 = 0 gg κλ κφ) 0 φ) λφ + 1 gg κλ κ φ ) λφ) 0 φ) 1 i gg κλ κφ) i φ) λφ + 1 gg κλ κ φ ) λφ) i φ) 1 = 0 gg κλ δ 0k λ φ gg κλ δ λ0 κ φ) i gg κλ δ ik λ φ + 1 gg κλ δ λi κ φ) 1 = 0 gg 0λ λ φ gg κ0 κ φ) i gg iλ λ φ + 1 gg κi δ λi κ φ) = 0 gg 00 0 φ ) i gg ii i φ ) = µ gg µν ν φ ) Συνδυάζοντας τα δύο αυτά αποτελέσµατα καταλήγουµε στην εξίσωση κίνησης µ gg µν ν φ ) + gv φ = 0 φ + V φ = 0 µε φ = g) 1/ µ [ g) 1/ g µν ν φ ] 1.1) Προχωράµε στην κβάντωση της ϑεωρίας προάγοντας το πεδίο φ σε τελεστή φ ˆφ και ορίζοντας την συζυγή ορµή ˆπ = L 0 φ) Για την Λαγκρανζιανή πυκνότητα που µελετάµε η συζυγής ορµή είναι ˆπ = g 0 ˆφ Επιβάλλουµε τις σχέσεις µετάθεσης των τελεστών ˆφ και ˆπ σε ίδιες χρονικές στιγµές [ ˆφt, x), ˆφt, x )] = 0 [ˆπt, x), ˆπt, x )] = 0 [ ˆφt, x), ˆπt, x )] = i g δ n 1) x x ) 1.) Ορίζουµε το εσωτερικό γινόµενο των λύσεων της 1.1) ως φ 1, φ ) i g) 1/ g 0ν φ 1x) ν φ x) φ x) ν φ 1x) ) d 3 x 1.3) Αν ϐρούµε ένα σύνολο λύσεων που ικανοποιεί τις σχέσεις χ k, χ k ) = δ kk χ k, χ k ) = δ kk χ k, χ k ) = 0 τότε το σύνολο αυτό είναι πλήρες και µπορούµε να αναπτύξουµε το πεδίο φ στη ϐάση των χ k ως φx) = âk χ k x) + â k χ kx) ) k Οι τελεστές â k και â k ικανοποιούν τις σχέσεις µετάθεσης [â k, â k ] = 0 [â k, â k ] = 0 [â k, â k ] = δ kk 4

11 = k Υπάρχει µια κατάσταση κενού η οποία καταστρέφεται από όλους τους τελεστές καταστροφής â k â k 0 χ = 0 για όλα τα k Από αυτήν την κατάσταση κενού µπορούµε να δηµιουργήσουµε µια ϐάση Fock για τον χώρο Hilbert. Μια κατάσταση µε n k διεγέρσεις δηµιουργείται µε την επαναλαµβανόµενη δράση του τελεστή δηµιουργίας â k στο κενό n k = 1 nk! â k )nk 0 χ και παρόµοια για καταστάσεις µε διαφορετικό είδος διεγέρσεων. Μπορούµε να ορίσουµε έναν τελεστή αρίθµησης για κάθε συνάρτηση χ k ˆn χk = â kâk Ο κάτω δείκτης χ στην κατάσταση κενού και στον τελεστή αρίθµησης µας ϑυµίζουν ότι ορίζονται ως προς το σύνολο των λύσεων χ k. 1. Συντελεστές Bogolyubov Θεωρούµε το πιο γενικό πλαίσιο όπου ένας παρατηρητής ορίζει τα σωµατίδια ως προς ένα πλήρες σύνολο λύσεων χ k και ένας άλλος ως προς ένα διαφορετικό πλήρες σύνολο λύσεων ψ k. Γενικά οι δύο αυτοί παρατηρητές ϑα διαφωνούν στο πόσα σωµατίδια παρατηρούνται ή αν παρατηρούνται καθόλου σωµατίδια). Για να το δούµε αυτό είναι ϐολικό να αναπτύξουµε το ένα σύνολο λύσεων ως προς το άλλο κάτι που είναι εφικτό αφού τα δύο σύνολα είναι πλήρη). χ k x) = k αkk ψ k x) + β kk ψ k x)) Ο µετασχηµατισµός αυτός από το ένα σύνολο λύσεων στο άλλο είναι γνωστός ως µετασχηµατισµός Bogolyubov και τα α kk, β kk που υλοποιούν τον µετασχηµατισµό είναι οι συντελεστές Bogolyubov. Το πεδίο φx) µπορεί να αναπτυχθεί είτε στη ϐάση των χ k ˆφx) = âk χ k x) + â k χ kx) ) είτε στη ϐάση των ψ k k ˆφx) = k ˆbk ψ k x) + ˆb k ψ k x)) Οι συντελεστές Bogolyubov µπορούν να χρησιµοποιηθούν για να περιγράψουν τον µετασχηµατισµό ανάµεσα στους τελεστές â k = k α kk ˆb k β kk ˆb k ) 1.4) και ˆbk αkk â k + β kk â k) 5

12 Θα αποδείξουµε την 1.4). Για να το κάνουµε αυτό ξεκινάµε από το γεγονός ότι χ k, ˆφ) = χ k, âi χ i + â i χ ) ) i = â i χ k, χ i ) + â i χ k, χ i ) = â k i i i Τότε µπορούµε να γράψουµε â k = χ k, ˆφ) = χ k, ˆbk ψ k + ˆb ) ) k ψ k = ˆbk χ k, ψ k ) + ˆb k χ k, ψ k ) k k k = ˆbk αki ψ i + β ki ψ ) i, ψk ) + k ˆb k αki ψ i + β ki ψ ) ) i, ψ k k = k ˆbk i + ˆb k k i α ki i β ki ψi, ψ k ) + ψ i, ψ k ) k ˆbk i β ki i ψ i, ψ ) k + ˆb k α ki ψi, ψ ) k i = ˆbk α ki δ k i + ˆb k β ki δ k i ) = ˆbk α kk ˆb k β kk k i k i k k = α kk ˆb k β kk ˆb ) k k k Ας ϕανταστούµε τώρα ότι το σύστηµα είναι στο ψ-κενό 0 ψ, στο οποίο δεν παρατηρούνται ψ-σωµατίδια. Θα ϑέλαµε να µάθουµε πόσα σωµατίδια παρατηρούνται από έναν παρατηρητή που χρησιµοποιεί τις λύσεις χ. Υπολογίζουµε λοιπόν την αναµενόµενη τιµή του τελεστή αρίθµησης ˆn χk στο ψ-κενό 0 ψ ˆn χk 0 ψ = 0 ψ â kâk 0 ψ 1.4) = 0 ψ k αkk ˆb k β kk ˆbk ) = k i α kk α ki 0 ψ ˆb k ˆb i 0 ψ k i α kk β ki 0 ψ ˆb k ˆb i 0 ψ i α ki ˆb i β ki ˆb i ) 0 ψ k i β kk α ki 0 ψ ˆb k ˆbi 0 ψ + k i β kk β ki 0 ψ ˆb k ˆb i 0 ψ = k i β kk β ki 0 ψ ˆb k ˆb i 0 ψ Στο τελευταίο ϐήµα χρησιµοποιήσαµε το γεγονός ότι ˆb 0 ψ = 0 και 0 ψ ˆb = 0. Χρησιµοποιώντας την σχέση [ˆb k, ˆb i ] = δ k i ˆb k ˆb i = δ k i + ˆb ˆb i k ϑα έχουµε τελικά 0 ψ ˆn χk 0 ψ = k i β kk β ki 0 ψ δ k i + ˆb i ˆb k 0 ψ = k i β kk β ki δ k i 0 ψ 0 ψ = k β kk β kk Με αυτόν τον τρόπο ο µέσος αριθµός των χ-σωµατιδίων στο ψ-κενό έχει εκφραστεί ως προς τους συντελεστές Bogolyubov 0 ψ ˆn χk 0 ψ = k β kk εν υπάρχει κάποιος λόγος να µηδενιστεί αυτή η ποσότητα. Αυτό που ϕαίνεται σαν κενό σε έναν παρατηρητή είναι µια κατάσταση γεµάτη σωµατίδια για έναν άλλον. Οι καταστάσεις κενού δεν συµπίπτουν. 6

13 1.3 Ασυµπτωτικές περιοχές Minkowski σε ένα 4- διάστατο σύµπαν FRW Θεωρούµε το 4-διάστατο σύµπαν Friedmann - Robertson - Walker µε στοιχειώδες µήκος ds = dt a t)dx όπου τα χωρικά µέρη επεκτείνονται οµοιόµορφα όπως περιγράφεται από τη συνάρτηση at). Η µετρική είναι της µορφής g µν = a t) 1 a t) a t) και προφανώς g = a 3 t). Μπορούµε από την 1.1) να ϐρούµε την εξίσωση κίνησης που ϑα ικανοποιεί ένα ϐαθµωτό πεδίο φ σε έναν τέτοιο χωρόχρονο φ + V φ = 0 g) 1/ µ [ g) 1/ g µν ν φ ] + V φ = 0 a 3 [ t) µ a 3 t)g µν ν φx) ] + V φ = 0 a 3 [ t) 0 a 3 t)g 00 0 φ ] [ + i a 3 t)g ij j φ ]) + V φ = 0 a 3 [ t) 0 a 3 t) 0 φ ] ) + a 3 t)g ij i j φ + V φ = 0 ) a 3 t) 3a t)ȧt) 0 φ + a 3 t) 0 0 φ + a 3 t)g ii i i φ + V φ = 0 a 3 t) 3a t)ȧt) φ + a 3 φ a 3 t)a t) Καταλήξαµε έτσι στην εξίσωση φx) + 3ȧt) at) φx) a t) 3 i=1 ) i φ + V φ = 0 3 i φx) + V φ = 0 Εξειδικεύουµε τη µελέτη σε ένα δυναµικό της µορφής V φ) = 1 [ m φ φ +ζrt)φ ]. ίνουµε δηλαδή στο πεδίο φ έναν όρο µάζας και του επιτρέπουµε να συζευχθεί µε την καµπυλότητα R. Τότε η παραπάνω ϑα έχει τη µορφή φx) + 3ȧt) at) φx) a t) i=1 3 i φx) + [m φ + ζrt)]φ = 0 1.5) Μπορούµε να αναπτύξουµε το πεδίο φx) ως προς την πλήρη ϐάση των χ k φx) = [âk χ k x) + â k χ kx) ] k i=1 Αν αντικαταστήσουµε το χ k στην 1.5) ϑεωρώντας επιπλέον ότι είναι της µορφής χ k e ikx χ k t) ϑα έχουµε χ k t)e ikx + 3ȧt) at) χ kt)e ikx a t)ik) χ k t)e ikx + [m φ + ζrt)]χ k t)e ikx = 0 [ k ] χ k t) + 3ȧt) at) χ kt) + a t) + m φ + ζrt) χ k t) = 0 1.6) 7

14 Είναι ϐολικό να απαλλαγούµε από τον όρο µε την πρώτη παράγωγο του χ k. Αυτό γίνεται γενικά, για µια εξίσωση της µορφής χt) + At) χt) + Bt)χt) = 0, µέσω του µετασχηµατισµού χt) = ft)ht). Βρίσκουµε τότε µια καινούργια εξίσωση και η απαίτηση να εξαλείφεται η πρώτη παράγωγος οδηγεί στον προσδιορισµό της συνάρτησης ft): ft) = e 1 At)dt, ft) = At) ft), ft) = [ At) + A t) ] ft) 4 Παρατηρούµε ότι τα ft) και ft) είναι πολλαπλάσια του ft), οπότε το ίδιο το ft) δεν ϑα εµφανίζεται στην εξίσωση. Η εξίσωση για το ht) ϑα είναι τότε της µορφής At) ḧt) + [Bt) A t) ] ht) = 0 4 Για την εξίσωση 1.6) ϐλέπουµε εύκολα ότι και ft) = e 1 ηλαδή αν γράψουµε At) = 3ȧt) at) η 1.6) παίρνει τη µορφή [ k ], Bt) = a t) + m φ + ζrt) ȧt ) 3 at ) dt = e 3 [ ] d lnat )) dt dt = e 3 lnat)) = e ln at) 3 1 = a 3/ t) ḧ k t) + [m φ + k χ k t) ft)h k t) = h kt) a 3/ t) a t) + ζrt) 1 ät) 3 at) ȧ t) a t) ḧkt) + [m φ + k a t) + ζrt) 3 ät) at) 3 ȧ t) 4 a t) ) 1 9ȧ t) ] 4 a h k t) = 0 t) ] h k t) = 0 1.7) Αν ϑεωρήσουµε ότι η συνάρτηση at) έχει τέτοια µορφή που στο µακρινό παρελθόν και µέλλον έχει σταθερή τιµή και οι παράγωγοί της µηδενίζονται) τότε σε αυτές τις περιοχές, που ϑα τις ονοµάσουµε µέσα και έξω, ανακτούµε την κβαντική ϑεωρία πεδίου σε χωρόχρονο Minkowski. Ετσι για την 1.7) µπορούµε να ϐρούµε µια λύση h in k t) η οποία στο µακρινό παρελθόν ϑα είναι h in k t) t e iω in t ωin αλλά και µια λύση h out k t) η οποία στο µακρινό µέλλον ϑα είναι h out k t) t e iω out t ωout. Μπορούµε λοιπόν να ϐρούµε δύο σύνολα λύσεων k x) = eikx h in k t) at) 3/ και χ out k x) = eikx h out k t) at) 3/ χ in Το πεδίο φx) µπορεί να αναπτυχθεί ως προς το πρώτο σύνολο φx) = [âk χ in k x) + â k χin ] k x) k ή ως προς το δεύτερο φx) = k [ˆbk χ out k x) + ˆb k χout ] k x) 8

15 Ας δούµε ποια είναι η συνθήκη ώστε τα δύο αυτά σύνολα να είναι πλήρη. Θυ- µίζουµε τον ορισµό του εσωτερικού γινοµένου 1.3) φ 1, φ ) i g) 1/ g 0ν φ 1x) ν φ x) φ x) ν φ 1x) ) d 3 x Βρίσκουµε για τα χ in k χ in k, χ in k ) = i at) 3[ e ikx h in k at) 3/ =iat) 3[ h in k t) ḣ int) k at) 3/ at) 3 3/ =iat) 3[ h in k t) ḣ int) k at) 3/ at) =i [ h in k =i [ h in k t) ḣ in k t) hin t) ḣ in k t) hin 3/ hin t) e ik x h in t) ) k t at) 3/ x eik h in at) 3/ k t) h int) ) k at) ȧt) hint) k ḣ in k t) 5/ at) 3/ at) 3 3/ t) k ḣ in k t) ] e ik k )x d 3 x at) 3/ at) 3/ k t)ḣin ] k t) e ik k )x d 3 x k t)ḣin ] t) π) 3 δ 3) k k ) k e ikx h in k t) )] t d 3 x at) 3/ h in k t) )] at) ȧt) e ik k )x d 3 x 5/ Σε αυτό το σηµείο παρατηρούµε ότι για k k το αποτέλεσµα είναι µηδέν λόγο της συνάρτησης δέλτα. Για να δούµε τι γίνεται στην περίπτωση k = k ϑεωρούµε ότι τα χ in k x) ϐρίσκονται µέσα σε ένα κουτί όγκου V τον οποίο ϑα αφήσουµε να πάει στο άπειρο. Αν το κάνουµε αυτό η συνάρτηση δέλτα παίρνει τη µορφή και για k = k ϑα έχουµε δ 3) k k 1 ) = lim V π) 3 δ 3) 0) = V π) 3 e ik k )x d 3 x Με αυτόν τον ισχυρισµό το παραπάνω εσωτερικό γινόµενο µπορεί να πάρει τη µορφή χ in k, χ in k ) = i[ h in k = i [ h in k t) ḣ in k t) hin k t)ḣin t) ḣ in k t) hin k t) ] π) 3 k t)ḣin ] t) V δkk k V π) 3 δ kk Φαίνεται τώρα ότι αν ϑέλουµε τα χ in k x) να είναι ορθοκανονικά ϑα πρέπει αρχικά να ενσωµατώσουµε την παράµετρο V µέσα τους γράφοντας και στη συνέχεια να απαιτήσουµε να είναι χ in k x) = eikx h in k t) V 1/ at) 3/ 1.8) i [ h in k t) ḣ in k t) h in k t)ḣin ] k t) = 1 ή αλλιώς h in k t)ḣin k t) h in k t) ḣ in k t) = i 1.9) Σηµειώνουµε εδώ ότι η ποσότητα h in k t)ḣin k t) h in k t) ḣ in k t) δεν είναι τίποτα άλλο από την Wroskian της 1.7) η οποία ξέρουµε ότι είναι χρονοανεξάρτητη, 9

16 απλά τώρα απαιτήσαµε να έχει και συγκεκριµένη τιµή. είξαµε λοιπόν ότι µε τον ορισµό 1.8) και την απαίτηση 1.9) ϑα είναι χ in k, χ in k ) = δ kk Με όµοιο τρόπο µπορούµε να δείξουµε ότι δεδοµένης της απαίτησης 1.9) µπορούµε να γράψουµε χ in k, χ in k ) = δkk και χ in k, χ in k ) = 0 Εντελώς όµοιες σχέσεις ϑα ισχύουν και για τα χ out k x) µε τον ορισµό Θα έχουµε δηλαδή χ out k x) = eikx h out k t) V 1/ at) 3/ χ out k, χ out k ) = δ kk, χout k, χ out k ) = δkk, χ out k, χ out k ) = 0 Τώρα λοιπόν που έχουµε κάνει τα χ in k x) και χ out k x) ορθοκανονικά µπορούµε να γράψουµε το ένα ως προς το άλλο µε έναν µετασχηµατισµό Bogolyubov της µορφής χ in k x) = [ αkk χ out k x) + β kk χout ] k x) 1.10) k Μπορούµε τώρα να γράψουµε τα εσωτερικά γινόµενα που προκύπτουν λόγω της µορφής 1.10) χ out k, χin k ) = χ out k, i και όµοια = i χ out k, χ in k ) = χ out k = i α ki χ out k, i α ki χ out k [ αki χ out i, χout i [ αki χ out i + β ki χ out ]) i ) + i, χ out i ) + i β ki χ out k + β ki χ out ]) i β ki χ out k, χout i ) = α ki δ ik = α kk i, χ out ) = β ki δ ik ) = β kk Ας δούµε τι παίρνουµε για τα ίδια εσωτερικά γινόµενα από τον ορισµό τους χ out k, χin k ) = i δ kk at) 3[ e ik x h out k t) V 1/ at) 3/ t e ikx h in k t) ) V 1/ at) 3/ i i eikx h in k t) V 1/ at) 3/ t e ik x h out k t) )] V 1/ at) 3/ d 3 x και όµοια χ out k, χ in k ) = i at) 3[ e ik x h outt) k e ikx V 1/ at) h in k t) ) 3/ t V 1/ at) 3/ eikx h in k t) V 1/ at) 3/ t e ik x h outt) )] k V 1/ at) 3/ d 3 x δ kk 10

17 Βλέπουµε λοιπόν ότι µπορούµε να γράψουµε για τους συντελεστές Bogolyubov και η εξίσωση 1.10) παίρνει τη µορφή χ in k x) = k α kk = α k δ kk β kk = β k δ -kk [ αk δ kk χ out k x) + β kδ -kk χ out ] k x) = α k χ out k x) + β k χ out k x) Για να προσδιορίσουµε το β k δρούµε στην παραπάνω από αριστερά µε χ out k Βρίσκουµε λοιπόν χ out k, χ in k ) = β k χout k, χ out k ) = βk δ k k β k = χ out k, χ in k ) και πιο συγκεκριµένα χ out k, χ in k ) = i at) 3[ e i k)x h out k t) e ikx V 1/ at) h in k t) ) 3/ t V 1/ at) 3/ = i h out k t)ḣin k t) h in k t)ḣout k t) ) άρα eikx h in k t) e i k)x V 1/ at) h out k t))] 3/ t d 3 x V 1/ at) 3/ β k = i h in k t)ḣout k t) h out k t)ḣin k t) ) 1.11) Σύµφωνα µε όσα αναφέρθηκαν στην ενότητα 1. ο µέσος αριθµός σωµατιδίων στην κατάσταση k που ϑα µετρήσει στο χ out κενό ένας παρατηρητής που χρησιµοποιεί τις λύσεις χ in ϑα είναι 0 χ out ˆn χ in k 0 χ out = k β kk = k β k δ kk = β k Τέλος από την ορθοκανονικότητα των λύσεων προκύπτει χ in k, χ in k ) = δkk α k χ out k + β k χ out k, αk χ out k + β ) k χout k = δkk χ out αkα k χ out k, χ out k ) + β kβ k χ out k k ) = δkk αkα k δ kk + βkβ k δ k k ) = δ kk α k β k = 1 1.1) 1.4 Παραγωγή σωµατιδίων σε 4-διάστατο σύµπαν FRW µε ασυµπτωτικές περιοχές Minkowski Μια µορφή της συνάρτησης at) η οποία µπορεί να µετατρέψει τον χωρόχρονο FRW σε Minkowski στο µακρινό παρελθόν και µέλλον είναι η a t) = A + B tanhρt) µε A, B, ρ σταθερά η οποία έχει τη µορφή του σχήµατος

18 a t) A + B έξω περιοχή µέσα περιοχή A B t Σχήµα 1.1: Ο παράγοντας a t) = A + B tanhρt) αντιπροσωπεύει ένα ασυµπτωτικά στατικό σύµπαν το οποίο υπόκειται σε µια περίοδο οµαλής επέκτασης. Είναι ϐολικό να δουλέψουµε µε αδιάστατες ποσότητες. Ορίζουµε τον αδιάστατο χρόνο τ = M pl t. Τότε η 1.6) µπορεί να γραφτεί στη µορφή µε Mpl ȧt) [ k ] χ k τ) + 3M pl at) M plτ) χ k + a τ) + m φ + ζrτ) [ χ k τ) + 3ȧτ) aτ) χ k + aτ) = k M pl a τ) + m φ M pl + ζrτ) M pl A + B tanh ρ τ ) M pl χ k τ) = 0 ] χ k τ) = ) όπου τώρα η τελεία δηλώνει παραγώγιση ως προς το χρονο τ. Οπως δείξαµε στο παράρτηµα Α.1 η ϐαθµωτή καµπυλότητα Ricci έχει τη µορφή Α.) Rt) = 6ät)at) + ȧ t) a t) Rτ) = 6Mpl äτ)aτ) + ȧ τ) a τ) Σύµφωνα µε τη µέθοδο που παρουσιάσαµε στην ενότητα 1.3 µπορούµε να απαλλαγούµε από την πρώτη παράγωγο της διαφορικής ορίζοντας χ k τ) = fτ)h k τ). Τότε η 1.13) παίρνει τη µορφή µε ή αλλιώς µε Aτ) ḧ k τ) + [Bτ) Aτ) = 3ȧτ) aτ) Ωτ) =, Bτ) = A τ) ] h k τ) = 0 4 k Mpl a τ) + m φ Mpl + ζrτ) Mpl ḧ k τ) + Ω τ)h k τ) = ) k Mpl a τ) + m φ Mpl + ζrτ) Mpl 3 äτ) aτ) 3 ȧ τ) 4 a τ) 1

19 Η µορφή του aτ) είναι τέτοια που στο µακρινό παρελθόν/µέλλον οι πρώτες και δεύτερες παράγωγοι του µηδενίζονται. Συνεπώς τότε ϑα µηδενίζεται και η καµπυλότητα R. Η αρχική και τελική τιµή του Ω ϑα είναι ω in = και ω out = k M pl A B) + m φ M pl k Mpl A+B) + m φ αντίστοιχα. Λύνουµε αριθµητικά µε τη ϐοήθεια του Mpl mathematica τη διαφορική 1.14) πρώτα για αρχική συνθήκη h in k τ ) = e iω in τ ωin και στη συνέχεια για αρχική συνθήκη h out k τ + ) = e iω out τ + ωout. Αντικαθιστούµε τις δύο λύσεις που προκύπτουν στην σχέση 1.11). Μπορούµε τότε για κατάλληλες παραµέτρους να κατασκευάσουµε τη γραφική παράσταση του µέσου αριθµού σω- µατιδίων στην κατάσταση k, βk, συναρτήσει της µάζας των σωµατιδίων που παράγονται, m φ. Τα αποτελέσµατα είναι Ζ 0 Ζ 0.01 Ζ 0.0 Ζ Σχήµα 1.: Γραφική παράσταση του β k συναρτήσει της µάζας m φ για ϑετικές τιµές της σύζευξης ζ Ζ 0 Ζ 0.01 Ζ 0.0 Ζ Σχήµα 1.3: Γραφική παράσταση του β k συναρτήσει της µάζας m φ για αρνητικές τιµές της σύζευξης ζ 13

20 Παρατηρούµε τη µείωση του αριθµού σωµατιδίων που παράγονται µε την αύξηση της µάζας καθώς και αλλαγές στον αριθµό παραγόµενων σωµατιδίων ίδιας µάζας ανάλογα τη σύζευξη ζ. 1.5 Μη-τετριµµένοι κινητικοί όροι ϐαθµωτού πεδίου στο σύµπαν FRW Μέχρι τώρα µελετούσαµε µια Λαγκρανζιανή πυκνότητα της µορφής L = { 1 [ g g µν µ φ ν φ ] V φ)} Αν εισαγάγουµε έναν κινητικό όρο λg µν µ φ ν φ, όπου G µν ο τανυστής Einstein και η σύζευξη λ έχει µονάδες [λ] = M pl, η πάραπάνω Λαγκρανζιανή παίρνει τη µορφή L = { 1 [ g g µν + λg µν] µ φ ν φ V φ)} και η εξίσωση Klein - Gordon 1.1) γίνεται φ + V φ = 0 µε φ = g) 1/ µ [ g) 1/[ g µν + λg µν] ] ν φ Μπορούµε να ϐρούµε την εξίσωση κίνησης που ϑα ικανοποιεί ένα ϐαθµωτό πεδίο τότε φ + V φ = 0 g) 1/ µ [ g) 1/[ g µν + λg µν] ] ν φ + V φ = 0 a 3 t) µ [a 3 t) [ g µν + λg µν] ] ν φx) + V φ = 0 [ a 3 t) 0 a 3 t) [ g 00 + λg 00] ] [ 0 φ + i a 3 t) [ g ij + λg ij] j φ ]) + V φ = 0 a 3 [ t) 0 a 3 t) 0 φ ] [ + 0 λa 3 3ȧ t) ) ] t) a 0 φ t) + a 3 t) [ g ij + λg ij] ) i j φ + V φ = 0 a 3 t) 3a t)ȧt) 0 φ + a 3 t) 0 0 φ 3λȧ 3 t) 0 φ 6λat)ȧt)ät) 0 φ ) 3λat)ȧ t) 0 0 φ + a 3 t)g ii i i φ + λa 3 t)g ii i i φ + V φ = 0 a 3 t) 3a t)ȧt) φ + a 3 t) φ 3λȧ 3 t) φ 6λat)ȧt)ät) φ 3λat)ȧ t) φ a 3 t)a t) 3 i=1 i φ + λa 3 t) ät)at) + ȧ t) a 4 t) ) 3 i φ + V φ = 0 όπου έχουµε χρησιµοποιήσει από το παράρτηµα Α. τις συνιστώσες του τανυστή Einstein G 00 = 3ȧ t) a t) και G ii = ät)at) + ȧ t) a 4 t) i=1 14

21 Καταλήξαµε έτσι στην εξίσωση κίνησης [ 3λȧ t) ] [ȧt) ȧ3 1 φx) + 3 a t) at) λ t) a 3 t) + ȧt)ät) )] φx) a t) [ a t) i=1 i φx) + λ ät)at) + ȧ t) a 4 t) i=1 ] i φx) + V φ = ) Χρησιµοποιούµε ένα δυναµικό της µορφής V φ) = [ 1 m φ φ + ζrt)φ ] και αναπτύσσουµε το πεδίο φ ως προς ένα πλήρες σύνολο λύσεων φx) = k [âk χ k x) + â k χ kx) ] τις οποίες ϑεωρούµε να έχουν τη µορφή χ k x) e ikx χ k t). Τότε η εξίσωση 1.15) παίρνει τη µορφή [ 3λȧ t) 1 a t) [ k + ] [ȧt) χ k t) + 3 ȧ3 at) λ t) a 3 t) + ȧt)ät) a t) a t) ät)at) + λk ȧ t) a 4 t) )] χ k t) ] + m φ + ζrτ) χ k t) = ) Αν χρησιµοποιήσουµε το τέχνασµα της ενότητας 1.3 γράφοντας χ k t) = ft)h k t), η 1.16) µπορεί να γραφτεί στη µορφή µε At) = και At) ḧ k t) + [Bt) [ )] 3 ȧt) at) λ ȧ3 t) a 3 t) + ȧt)ät) a t) 1 3λ ȧ t) a t) ft) = Οι λύσεις χ k ϑα έχουν τη µορφή χ k x) = e ikx ft)h k t) = A t) ] h k t) = ) 4, Bt) = 1 at) 3λȧ t) a t) k a t) λk ät)at)+ȧ t) a 4 t) + m φ + ζrt) 1 3λ ȧ t) a t) e ikx h k t) at) 3λȧ t) a t) Ας δούµε πως οι λύσεις αυτές γίνονται ορθοκανονικές ώστε να µπορούµε να ο- ϱίσουµε συντελεστές Bogolyubov. Ορίζουµε το εσωτερικό γινόµενο φ 1, φ ) i g) 1/ [g 0ν + λg 0ν ] φ 1x) ν φ x) φ x) ν φ 1x) ) d 3 x απ όπου προκύπτει χ in k x), χ in k x)) = a t) 3λȧ t) ) h in ḣin = i a k k t) ) at) 3 ) hin k ḣin k at)[3λȧ t) a π) 3 δ 3) k k ) t)] = i h in ḣin k k ) hin k ḣin k π) 3 δ 3) k k ) 15

22 Χρησιµοποιούµε ξανά την υπόθεση ότι οι λύσεις χ k x) ϐρίσκονται µέσα σε ένα κουτί όγκου V και το εσωτερικό γινόµενο παίρνει τη µορφή χ in k x), χ in k x)) = i h in ḣin k k hin k ḣin k ) V δkk Φαίνεται τώρα ότι αν ϑέλουµε τα χ in k να είναι ορθοκανονικά ϑα πρέπει αρχικά να ενσωµατώσουµε την παράµετρο V γράφοντας e ikx h k t) χ k x) = V 1/ at) 3λȧ t) a t) και στη συνέχεια να απαιτήσουµε να είναι ή αλλιώς i h in k h in k ḣin k hin k ḣin k ḣin k hin k ḣin k ) = 1 = i Ο συντελεστής Bogolyubov β k που χρειαζόµαστε δίνεται από τη σχέση και πιο συγκεκριµένα x), χ in k x)) = = i χ out k at) 3 a t) 3λȧ t) a t) e ikx h in k t) V 1/ at) 3λȧ t) a t) t β k = χ out k, χ in k ) = i h out k t)ḣin k t) h in k t)ḣout k t) ) δ kk = i h out k t)ḣin k t) h in k t)ḣout k t) ) άρα )[ e i k)x h out k t) V 1/ at) 3λȧ t) a t) t e i k)x h out k t) V 1/ at) 3λȧ t) a t) e ikx h in k t) V 1/ at) 3λȧ t) a t) )] d 3 x β k = i h out k t)ḣin k t) h in k t)ḣout k t) ) 1.18) Αυτός είναι ο συντελεστής Bogolyubov που χρειαζόµαστε για τη µελέτη της παραγωγής σωµατιδίων στη νέα κατάσταση. Ξεκινάµε γράφοντας την 1.16) συναρτήσει του αδιάστατου χρόνου τ = M pl t [ 1 3λMpl ȧ τ) ] [ȧτ) a χ k τ) + 3 τ) aτ) λm pl ȧ3 τ) a 3 τ) + ȧτ)äτ) )] a χ k τ) τ) [ k + Mpl a τ) äτ)aτ) + λk ȧ τ) a 4 + m φ + ζrτ) ] χ k τ) = 0 τ) M pl M pl Γράφοντας χ k τ) = fτ)hτ) καταλήγουµε στη σχέση µε Aτ) ḧ k τ) + [Bτ) Aτ) = A τ) ] h k τ) = ) 4 [ )] 3 ȧτ) aτ) λm pl ȧ3 τ) a 3 τ) + ȧτ)äτ) a τ) 1 3λMpl ȧ τ) a τ) ) 16

23 και Bτ) = k Mpl a τ) λk äτ)aτ)+ȧ τ) a 4 τ) + m φ + ζrτ) Mpl Mpl 1 3λMpl ȧ τ) a τ) Οι αρχικές και οι τελικές µορφές των λύσεων ϑα είναι και εδώ h in k τ ) = e iω in τ ωin και h out k τ + ) = e iω out τ + ωout αφού οι παράγωγοι του aτ) µηδενίζονται ξανά στο µακρινό παρελθόν/µέλλον. Από την αριθµητική λύση της 1.19) προκύπτουν b k Λ 0. 1 Λ Mpl 5 Λ Mpl 10 Λ Mpl Σχήµα 1.4: Γραφική παράσταση του β k συναρτήσει της µάζας m φ για ϑετικές τιµές της σύζευξης λ b k Λ 0. 1 Λ Mpl 5 Λ Mpl 10 Λ Mpl Σχήµα 1.5: Γραφική παράσταση του β k συναρτήσει της µάζας m φ για αρνητικές τιµές της σύζευξης λ Και σε αυτή την περίπτωση παρατηρούµε τη µείωση του αριθµού σωµατιδίων που παράγονται µε την αύξηση της µάζας καθώς και αλλαγές στον αριθµό παραγόµενων σωµατιδίων ίδιας µάζας ανάλογα τη σύζευξη λ. Για ϑετικά λ τα παραγόµενα σωµατίδια αυξάνονται ενώ για αρνητικά λ µειώνονται. Μπορούµε επιπλέον να επιλέξουµε µια τιµή του λ, έστω λ = , και να ϕτιάξουµε τα διαγράµµατα για διαφορετικές συζεύξεις ζ της καµπυλότητας R. Τα αποτελέσµατα είναι 17

24 b_k ^ Ζ 0 Ζ 0.01 Ζ 0.0 Ζ 0.05 Σχήµα 1.6: Γραφική παράσταση του β k συναρτήσει της µάζας m φ για ϑετικές τιµές της σύζευξης ζ, µε λ = b_k ^ Ζ 0 Ζ 0.01 Ζ 0.0 Ζ 0.05 Σχήµα 1.7: Γραφική παράσταση του β k συναρτήσει της µάζας m φ για αρνητικές τιµές της σύζευξης ζ, µε λ = Εδώ τα παραγόµενα σωµατίδια µειώνονται για ϑετικά ζ και αυξάνονται για αρνητικά. Θα προσπαθήσουµε στη συνέχεια να αναπτύξουµε την παραπάνω µελέτη σε µία πιο ϱεαλιστική κατάσταση. Για να το κάνουµε αυτό ϑα χρειαστούµε το µοντέλο του πληθωρισµού inflation) το οποίο ϑεωρείται ότι ακολούθησε τη Μεγάλη Εκρηξη. Ο πληθωρισµός καθορίζεται από ένα κλασικό ϐαθµωτό πεδίο φ. Μετά το τέλος του πληθωρισµού ϑεωρούµε ότι το σύµπαν ϐρίσκεται στη ϕάση που επικρατεί η ύλη matter domination) και προσπαθούµε να συζεύξουµε το πεδίο φ µε ένα κβαντικό πεδίο X ώστε να µελετήσουµε τις αλλαγές στην παραγωγή σωµατιδίων. 18

25 Κεφάλαιο Πληθωρισµός inflation).1 Το ϐαθµωτό πεδίο φ inflaton) που καθοδηγεί τον πληθωρισµό εν ϑα αναπτύξουµε πλήρως την ιδέα του πληθωρισµού καθώς αυτό είναι ένα ϑέµα από µόνο του. Ο πληθωρισµός τοποθετείται ακριβώς µετά τη Μεγάλη Εκρηξη, διαρκεί ελάχιστα και ϕαίνεται απαραίτητος ώστε να γίνουν κατανοητές παρατηρήσεις που δεν µπορούν να εξηγηθούν χρησιµοποιώντας µόνο το µοντέλο της Μεγάλης Εκρηξης. Θεωρούµε ένα 4-διάστατο σύµπαν FRW µε µετρική ds = dt a t)dx και ένα ϐαθµωτό πεδίο φ το οποίο είναι οµογενές και εξαρτάται µόνο από το χρόνο t. Ξεκινάµε από τη δράση S φ = d 4 x [ R g 16πG + 1 ] gµν µ φ ν φ V φ) Οπως δείχνουµε στο παράρτηµα Α.3 µεταβολή αυτής της δράσης ως προς δg µν οδηγεί στις εξισώσεις πεδίου του Einstein Α.9) µε τον τανυστή ενέργειας-ορµής Α.10) G µν = 8πGT µν T µν = µ φ ν φ 1 g µνg κλ κ φ λ φ + g µν V φ) Παίρνουµε το χρονικό κοµµάτι των εξισώσεων του Einstein G 00 = 8πGT 00 [ G 00 = 8πG 0 φ 0 φ 1 ] g 00g κλ κ φ λ φ + g 00 V φ) [ 1 ] G 00 = 8πG φ φ g00 0 φ 0 φ + V φ) 3ȧ t) [ a t) = 8πG 1 φ φ φ φ ] + V φ) και καταλήγουµε στην εξίσωση Friedmann H t) = 8π [ ] φ 3Mpl + V φ).1) 19

26 όπου έχουµε αντικαταστήσει G = M pl και έχουµε ορίσει την παράµετρο Hubble Ht) ȧt) at). Αν πάρουµε το χωρικό κοµµάτι των εξισώσεων του Einstein ϑα έχουµε G ii = 8πGT ii [ G ii = 8πG i φ i φ 1 ] g iig κλ κ φ λ φ + g ii V φ) [ G ii = 8πG 1 ] g iig 00 0 φ 0 φ + g ii V φ) ät)at) + ȧ t) = 8π [ 1 a t) ) ] φ a t)v φ) M pl ät) at) + ȧ t) a t) = 8π [ ] φ Mpl V φ) Χρησιµοποιώντας τους ορισµούς για την πυκνότητα ενέργειας ρ φ φ + V φ) και την πίεση p φ φ V φ) και αντικαθιστώντας στην παραπάνω εξίσωση την.1) προκύπτει η εξίσωση επιτάχυνσης ät) at) + 8π 3M pl ät) at) = 8π Mpl p φ ρ φ = 8π Mpl p φ 8π 3Mpl ρ φ ät) at) = 4π 3Mpl ρ φ + 3p φ ).) Τέλος το πεδίο φ ικανοποιεί την εξίσωση Klein - Gordon φt) + 3ȧt) at) φt) + V φ = 0 φt) + 3Ht) φt) + V φ = 0 αφού εξαρτάται µόνο από το χρόνο. Ορίζουµε τον πληθωρισµό inflation) να είναι η χρονική περίοδος κατά την οποία ät) > 0, µια επιταχυνόµενη διαστολή. Αυτό µπορεί να γραφτεί inflation ät) > 0 d H 1 t) ) < 0 p φ < ρ φ dt at) 3 ) Ο ορισµός d H 1 t) dt at) < 0 είναι αυτός που έχει ένα άµεσο γεωµετρικό νόηµα. Σηµαίνει ότι το µήκος Hubble H 1 ), µετρηµένο ως προς τις συν-κινούµενες συντεταγµένες H 1 a, µειώνεται κατά τη διάρκεια του πληθωρισµού. Επιστρέφουµε στις εξισώσεις του πεδίου φ που ϑα ονοµάζουµε inflaton Ht) = 8π 3M pl [ φ + V φ) ].3) φ + 3Ht) φ + V φ = 0.4) 0

27 Από τον τελευταίο ορισµό για τον πληθωρισµό που προκύπτει άµεσα από την εξίσωση επιτάχυνσης.) έχουµε ä > 0 p φ < ρ φ 3 φ < V φ) ηλαδή έχουµε πληθωρισµό όταν ο όρος της δυναµικής ενέργειας επικρατεί. Αυτό είναι πιθανό αν το δυναµικό είναι αρκετά επίπεδο ώστε το ϐαθµωτό πεδίο να κυλάει αργά. Επιπλέον το δυναµικό πρέπει να έχει ελάχιστο στο οποίο όταν ϕτάσει το πεδίο φ ο πληθωρισµός ϑα σταµατήσει. Η στρατηγική που ακολουθείται στη λύση αυτών των εξισώσεων είναι η προσέγγιση slow-roll σύµφωνα µε την οποία ϑεωρούµε φ 3H φ και φ V φ) Τότε οι εξισώσεις.3) και.4) έχουν την απλούστερη µορφή H 8π 3M pl V φ) 3H φ V φ Συνδυάζοντας τις δύο αυτές εξισώσεις µπορούµε να ϐρούµε απ όπου προκύπτει η σχέση για το at) Ht) = 8π V φ Mpl V φ t ȧt) at) = 8π t 0 M pl V V φ φ d [ ln at dt ) )] dt = 8π ln at) ln at 0 ) = 8π φt) [ at) ] ln 8π at 0 ) Mpl [ at) = a 0 exp 8π Mpl M pl φt 0) φt) t Mpl t 0 φt) φt 0) V dφ V φ φ 0 V V φ φdt V V φ dφ V φ) ] V φ) dφ.5) µε a 0 = at 0 ), φ 0 = φt 0 ) και t 0 η χρονική στιγµή που ξεκινάει το inflation. Επιπλέον συνδυάζοντας πάλι τις δυο εξισώσεις µπορούµε να ϐρούµε για το πεδίο φ = M pl 4π V φ V απ όπου προκύπτει η σχέση για το φt) φt) = φ 0 M t pl V φ dt.6) 4π V t 0 1

28 Το τέλος του σεναρίου slow-roll έρχεται όταν φ V φ). ηλαδή για τη χρονική στιγµή t f που τελειώνει το inflation ϑα ισχύει [ M pl 4π V φ V ] V V φt f ) ) V φ φtf ) ) = M pl.7) 48π Εξειδικεύουµε τη µελέτη στο δυναµικό V φ) = 1 M φ φ. Τότε οι εξισώσεις.3) και.4) παίρνουν τη µορφή H = 8π 6M pl Από την.5) η σχέση για το at) γράφεται φ + M φφ ) φ + 3H φ + M φ φ = 0 [ 4π M φ at) = a 0 exp φ 0 t M φm pl t )] 3 M pl 48π έχουµε επιλέξει t 0 = 0) ενώ από την.6) η σχέση για το φ γίνεται φt) = φ 0 M φm pl 1π t Για τη χρονική στιγµή που τελειώνει ο πληθωρισµός από την.7) προκύπτει που δίνει στο φ την τελική τιµή t f = M pl + φ 0 3π M φ M pl φt f ) = M pl 1π Αρχικά ϑα ορίσουµε έναν αδιάστατο χρόνο τ M φ t και το αδιάστατο πεδίο ψτ) φτ) M pl και ϑα ξαναγράψουµε τις σχέσεις µας στην µορφή aτ) = a 0 exp [ 4π ψ 0 τ τ )] 3 48π, ψτ) = ψ 0 τ 1π τ f = 3πψ 0 1, ψτ f ) = 1 1π, ψτ 0 ) = 1 1π Οι παράµετροι που χρησιµοποιούµε στην αριθµητική µελέτη είναι M pl = GeV, ψ 0 = 3.5, t 0 = 0, a 0 = 1, M φ = 10 6 M pl Η παράµετρος που χρειάζεται κάποια εξήγηση είναι η αρχική τιµή του πεδίου ψ 0 = 3.5. Ορίζουµε µια ποσότητα N που ονοµάζουµε e-folds µε τη σχέση N ln aτ f ) aτ 0 )

29 η οποία υπολογίζεται στα πλαίσια της προσέγγισης slow - roll. Η ελάχιστη ποσότητα των e-folds που χρειάζεται να έχει το µοντέλο για να µην εµφανίσει κοσµολογικά προβλήµατα είναι 70. Μόνο τότε δηλαδή ϑα έχουµε αρκετό πληθωρισµό. Επιλέγουµε λοιπόν ως αρχικές συνθήκες στη ϑεωρία µας ψτ 0 ) = 3.5 και aτ 0 ) = 1. Τότε στα πλαίσια της προσέγγισης slow - roll οι λύσεις µας ικανοποιούν την συν- ϑήκη αυτή δίνοντας N = 74. Ποιοτικά αυτό µπορεί να γίνει πιο κατανοητό παρατηρώντας τη µορφή του δυναµικού του προβλήµατος Σχήµα.1)) Σχήµα.1: Γραφική παράσταση του rescaled δυναµικού V ψ) = M φ ψ M pl συναρτήσει του πεδίου ψ Παρατηρούµε ότι για να έχουµε αρκετό πληθωρισµό, ή αλλιώς για να δουλέψει σωστά το σενάριο slow - roll, το πεδίο ϑα πρέπει να ϐρίσκεται πιο ψηλά αλλίως ϑα ϕτάσει πολύ γρήγορα στον πάτο και το ϕαινόµενο του πληθωρισµού ϑα εξαλειφθεί. Θα λύσουµε τώρα αριθµητικά το αρχικό σύστηµα των εξισώσεων Friedmann.3) και Klein - Gordon.4) γραµµένες σε αδιάστατη µορφή ȧ t) a t) = 4π 3M pl [ φ + Mφφ ] Mφ ȧ τ) a τ) = 4π 3M pl [ M φ φ + M φφ ] ȧ τ) a τ) = 4π ψτ) + ψ τ) ) 3 φt) + 3Ht) φt) + M φφt) = 0 M φ φτ) + 3M φ Hτ)M φ φτ) + M φ φτ) = 0 ψτ) + 3Hτ) ψτ) + ψτ) = 0 χρησιµοποιώντας όµως τις αρχικές συνθήκες που έχουν προκύψει στα πλαίσια του slow - roll,δηλαδή ψτ 0 ) = ψ 0, ψτ 0 ) = 1 1π Στο σχήµα.) ϕαίνεται η µορφή του ψ από την αριθµητική λύση καθώς και από την προσέγγιση slow - roll. Η κάθετη γράµµη δηλώνει τη χρονική στιγµή που τελειώνει ο πληθωρισµός τ f = 3πψ 0 1 3

30 numerical slow roll Σχήµα.: Γραφική παράσταση του ψ συναρτήσει του τ. Στο γράφηµα απεικονίζεται η αριθµητική λύση του ψ συνεχής), η λύση στα πλαίσια του slow - roll διακεκοµµένη) καθώς και το τέλος του slow - roll τελείες) Παρατηρούµε πως µέχρι το τέλος του πληθωρισµού η αριθµητική και η προσεγγιστική λύση ταυτίζονται. Μετά το τέλος του πληθωρισµού το πεδίο ψ ταλαντώνεται στον πάτο του δυναµικού παράγοντας σωµατίδια µέχρι να αποδιεγερθεί εντελώς.. Μη-τετριµµένοι κινητικοί όροι του inflaton Εισαγάγουµε στην µελέτη µας έναν κινητικό όρο λ 1 G µν µ φ ν φ και η δράση του πεδίου φ παίρνει τη µορφή S φ = d 4 x { R g 16πG + 1 gµν µ φ ν φ + 1 } λ 1G µν µ φ ν φ V φ) Οπως δείξαµε και στο παράρτηµα Α.4 µεταβολή της δράσης αυτής ως προς g µν δίνει τις εξισώσεις Einstein στη µορφή Α.19) G µν = 8πG [ T µν + λ 1 Θ µν ] µε και T µν = µ φ ν φ 1 g µνg ab a φ b φ + g µν V φ) Θ µν = 1 µφ ν φr + a φ µ φr a ν ) 1 G µν φ) + a φ b φr µaνb + µ a φ ν a φ µ ν φ φ + g µν [ 1 a b φ a b φ + 1 φ) a φ b φr ab] Για τις χρονικές συνιστώσες ισχύουν G 00 = 3ȧ t) a t) T 00 = 0 φ 0 φ 1 g 00 a φ a φ) + g 00 V φ = φ 1 φ) + V φ = φ 4 + V φ

31 και Θ 00 = 1 0φ 0 φr + 0 φ 0 φr φ 0 φr φ 0 φr a φ 0 a φ 0 0 φ φ 1 φ [ G 00 + g 00 1 a b φ a b φ + 1 φ) 0 φ 0 φr 00] = 1 φ R + φ R0 0 + φ φ ȧt) ) φ 3 1 φ G 00 [ + g 00 1 ȧ φ t) 3 a t) φ ) + 1 = 1 φ R + φ R φ G at) φ φ 6ȧt) at) φ φ + 9 ȧ t) a t) φ ) φ R 00] ȧ t) a t) φ g 00 φ R 00 = φ [ 1 R + R G ȧ t) a t) + R00] [ = φ 1 ät)at) + ȧ 6 t) ) a + t) 3ät) at) = φ [ 6 ȧ t) a t) + 1 ȧ t) a t) + 3 ȧ t) ] a t) = 9 φ ȧ t) a t) Η εξίσωση Friedmann ϑα είναι λοιπόν G 00 = 8πG [ T 00 + λ 1 Θ 00 ] 3ȧ t) a t) = 8π ȧ t) a t) = M pl 4π 3M pl [ φ ) 1 + V φ + λ 1 9 φ ȧ t) a t) [ φ t) 1 9λ 1 ȧ t) a t) ενώ για την εξίσωση κίνησης από την 1.15) ϐρίσκουµε 3ȧ t) ) a + 1 t) ] ) + V φ) ] ȧ t) a t) + ȧ t) ) ȧ3 1 3λ 1 φt) + a t) 3ȧt) at) 3λ t) 1 a 3 t) + ȧt)ät) )) φt) + Vφ a = 0 t) Εξειδικεύουµε τη µελέτη για ένα δυναµικό της µορφής V φ) = 1 M φ φ και οι παραπάνω γράφονται ȧ t) a t) = 4π 3M pl [ φ t) ȧ t) ) ] 1 9λ 1 a + M t) φφ t) ȧ t) ) ȧ3 1 3λ 1 φt) + a t) 3ȧt) at) 3λ t) 1 a 3 t) + ȧt)ät) )) φt) + M a t) φ φt) = 0 Ορίζουµε τον αδιάστατο χρόνο τ M φ t και παίρνουµε τις αδιάστατες εξισώσεις ȧ τ) a τ) = 4π [ ψ τ) 1 9λ 1 Mφ 3 ȧ τ) a τ) ) ] + ψ τ) 1 3λ 1 Mφ ȧ τ) ) ψt)+ a τ) 3ȧτ) aτ) 3λ 1Mφ ȧ3 τ) a 3 τ) + ȧτ)äτ) )) ψτ)+ψτ) a = 0 τ) ) ] 3ät) at) 5

32 όπου πλέον το δηλώνει παραγώγιση ως προς το χρόνο τ και ψτ) φτ)/m pl. Αρχικά ϑα προσπαθήσουµε να ϐρούµε µια αριθµητική λύση για το ψτ). Για να το κάνουµε αυτό χρησιµοποιούµε τον ορισµό της παραµέτρου Hubble Hτ) ȧτ) aτ) και γράφουµε τις παραπάνω στη µορφή H τ) = 4π [ ) ] ψ τ) 1 9λ 1 M 3 φh τ) + ψ τ).8) 1 3λ 1 MφHτ) ) ψt)+ 3Hτ) 3λ 1 MφHτ) Ḣτ)+3H τ) )) ψτ)+ψτ) = 0.9) Λύνουµε την.8) ως προς Hτ) και στη συνέχεια παίρνουµε τη χρονική παράγωγο του αποτελέσµατος. Αντικατάστασή τους στην.9) έχει ως αποτέλεσµα µια εξίσωση Klein - Gordon η οποία ϑα εµπεριέχει µόνο το ψτ) και χρονικές του παραγώγους. Στο όριο λ 1 0 περιµένουµε η µορφή του ψτ) να είναι ίδια µε την αρχική µας περίπτωση και πράγµατι αυτό συµβαίνει όπως ϕαίνεται και στο Σχήµα.3 Ψ Τ numerical Σχήµα.3: Αριθµητική λύση για το ψτ) όπως προκύπτει από τις αρχικές εξισώσεις για λ 1 = 0 Για λ 1 0 αλλά αρνητικό µπορούµε να ϐρούµε και πάλι τέτοιες µορφές λύσεων. Χρειαζόµαστε όµως την προσέγγιση slow - roll για να ϐρούµε τις αρχικές συν- ϑήκες που ϑα µας δώσουν τα απαραίτητα e-folds. Ας δούµε λοιπόν τι συµβαίνει στα πλαίσια του slow roll. Αρχικά παίρνουµε την προσέγγιση φt) V φ) στην αρχική εξίσωση friedmann οπότε η εξίσωση.8) δίνει H τ) = 4π 3 ψ τ).10) Επιπλέον ϑεωρούµε τις προσεγγίσεις 3λ 1 H 1, αρχική εξίσωση Klein - Gordon οπότε η.9) δίνει ψτ) = ψτ) 1 9λ 1 Mφ H 3 τ) Ḣ H 1 και φ H φ στην.11) Ορίζουµε µια ποσότητα N που ονοµάζουµε e-folds µε τη σχέση N ln aτ f ) aτ 0 ) 6

33 Οπως πριν η ελάχιστη ποσότητα των e-folds που χρειάζεται να έχει το µοντέλο για να µην εµφανίσει κοσµολογικά προβλήµατα είναι 70. Επιλέγουµε λοιπόν ως αρχικές συνθήκες στη ϑεωρία µας ψτ 0 ) = 0.83, aτ 0 ) = 1 και λ 1 λ 1 Mφ = 4. Τότε στα πλαίσια της προσέγγισης slow - roll οι λύσεις µας ικανοποιούν την συνθήκη αυτή δίνοντας N = 74. Ξεκινάµε λύνοντας την.10) ως προς Hτ) και αντικαθιστώντας στην.11). Η σχέση που δίνει το ψτ) σε αυτή την περίπτωση µπορεί να ϐρεθεί αναλυτικά ) τ π ψτ) = 3/ = τ) 1 3/ 3 Παρατηρούµε εδώ ότι από κάποια χρονική στιγµή και µετά η ϐάση του εκθέτη 1 3 γίνεται αρνητική και πέρα από αυτό το σηµείο δεν µπορεί να συνεχιστεί η γραφική αναπαράσταση του ψ, κάτι που ϕαίνεται και στο σχήµα.4). Με αυτές τις αρχικές συνθήκες που έχουν προκύψει στα πλαίσια του slow - roll µπορούµε να ϐρούµε και την αριθµητική λύση από το σύστηµα των αρχικών εξισώσεων. Τις απεικονίζουµε και τις δύο στο σχήµα.4) Ψ Τ numerical slow roll Σχήµα.4: Αναλυτική λύση για το ψτ) στα πλαίσια του slow roll aproximation διακεκοµµένο) και αριθµητική λύση από τις αρχικές σχέσεις συνεχές) Μια σηµαντική παρατήρηση είναι ότι µε την εισαγωγή του Einstein tensor στη ϑεωρία µας µπορούµε να επιλέξουµε κατάλληλο λ 1 τέτοιο ώστε να έχουµε τον απαραίτητο αριθµό από e-folds ακόµα και αν το πεδίο ψ έχει µικρότερη αρχική τιµή. ηλαδή ακόµα και αν το πεδίο αρχίσει να κυλά από χαµηλότερο σηµείο του δυναµικού υπάρχουν κατάλληλα λ 1 που µπορούν να παρατείνουν το inflation. Επιπλέον όσο αυξάνεται το λ 1 κατά απόλυτη τιµή τόσο ϑα αργεί να έρθει το τέλος του σεναρίου slow - roll όπως ϕαίνεται και στο σχήµα.5) Το τέλος του σεναρίου slow roll έρχεται όταν στην αρχική εξίσωση Friedmann ο κινητικός όρος γίνει συγκρίσιµος µε το δυναµικό φ t) το οποίο µεταφράζεται στην σχέση 1 9λ 1 ȧ t) a t) ) V φ) ψ ψ τ) τ) = 1 9λ 1 H τ) 7

34 Λ1 4 Λ Σχήµα.5: Αριθµητική λύση για το ψτ) από τις αρχικές σχέσεις για ξ = 4 συνεχές) και ξ = 6 διακεκοµµένο) Σηµειώνουµε ότι αυτό είναι ένα ακόµα σηµάδι ότι το λ 1 πρέπει να είναι αρνητικό ή στην περίπτωση που είναι ϑετικό να µην είναι τέτοιο που να δίνει αρνητικό παρονοµαστή. Αντικατάσταση της αναλυτικής λύσης του ψτ) που έχει ϐρεθεί στα πλαίσια της slow roll δίνει την χρονική στιγµή του τέλους του slow roll τ f = Ψ Τ numerical slow roll Σχήµα.6: Χρονική στιγµή που τελειώνει το slow roll κουκίδες) Στα πλαίσια της προσέγγισης slow - roll το τέλος του σεναρίου slow roll όπως πε- ϱιγράφηκε παραπάνω ισοδυναµεί µε το τέλος του inflation. Για να το δούµε αυτό ϐρίσκουµε αρχικά την αναλυτική µορφή του aτ) στα πλαίσια της προσέγγισης slow-roll. Εξ ορισµού έχουµε inflation όσο το äτ) > 0. Η λύση του aτ) από το slow - roll δίνει ότι το τέλος του inflation έρχεται τη χρονική στιγµή τ f =

35 Κεφάλαιο 3 Παραγωγή Σωµατιδίων µετά τον Πληθωρισµό 3.1 Παραγωγή σωµατιδίων µετά από πληθωρισµό χωρίς µη-τετριµµένους κινητικούς όρους Μελετάµε την παραγωγή σωµατιδίων µετά το τέλος του πληθωρισµού χρησιµοποιώντας δύο συζευγµένα ϐαθµωτά πεδία σε ένα διαστελλόµενο σύµπαν FRW. Τα πεδία που χρησιµοποιούµε είναι το κλασικό πεδίο inflaton, φt), που καθοδηγεί τον πληθωρισµο και ένα κβαντικό πεδίο,xx), που µας ϐοηθά στη µέτρηση των παραγόµενων σωµατιδίων. Η δράση του προβλήµατος µπορεί να γραφτεί ως S = d 4 x g M pl R 16π + d 4 x { 1 g g [ µν + λ 1 G µν) µ φ ν φ Mφφ ] + 1 [ g µν + λ G µν) µ X ν X M X + ζr + g φ )X ]} Ορίζουµε τον αδιάστατο χρόνο τ = M φ t και την αδιάστατη παράµετρο ξ = λm φ. Η δράση για το πεδίο φ οδηγεί στις εξισώσεις Friedmann H τ) = 4π 3 [ ) ] ψ τ) 1 9λ 1 H τ) + ψ τ) και Klein - Gordon 1 3λ 1 Hτ) ) ψt) + 3Hτ) 3λ 1 Hτ) Ḣτ) + 3H τ) )) ψτ) + ψτ) = 0 από τις οποίες στο προηγούµενο κεφάλαιο ϐρήκαµε τη χρονική στιγµή που τελείωνει ο πληθωρισµός καθώς και την αριθµητική λύση του φ που ϑα συζευχθεί µε το X. Μεταβολή της δράσης ως προς το πεδίο X οδηγεί στην εξίσωση Klein - Gordon X+[M X +ζr+g φ ]X = 0 µε X = g) 1/ µ [ g) 1/ [g µν +λ G µν ] ν X ] 9

36 Για την µετρική µας 1 g µν = a t) a t) a t) έχουµε G 00 = 3ȧ t) a t), G ii = ät)at) + ȧ t) a 4 t), R = 6ät)at) + ȧ t) a t) και η Klein - Gordon παίρνει τη µορφή ȧ t) 1 3λ )Ẍx) ȧ3 + a t) 3ȧt) at) 3λ t) a 3 t) + ȧt)ät) ))Ẋx) a t) a t) 3 i=1 i Xx) + λ at)ät) + ȧ t) a 4 t) Γράφουµε το πεδίο Xx) στη µορφή 3 i Xx) + MX + ζr + g φ t) ) Xx) = 0 i=1 Xx) = k [â k χ k x) + â k χ kx)] Αντικαθιστούµε το χ k x) στην παραπάνω ϑεωρώντας επιπλέον ότι είναι της µορφής χ k x) e ikx χ k t) και ϐρίσκουµε ȧ t) ) ȧ3 1 3λ a χ k t) + t) 3ȧt) at) 3λ t) a 3 t) + ȧt)ät) )) a χ k t) t) [ k + a t) λ k at)ät) + ȧ t) ] a 4 + MX + ζr + g φ t) χ k t) = 0 t) Αν γράψουµε χ k t) ft)h k t) µπορούµε να διώξουµε την πρώτη παράγωγο και έτσι ϑα έχουµε ḧ k t) + Ω t)h k t) = 0 µε όπου ȧt) at) λ At) = 3 ȧ3 t) At) Ωt) = Bt) a 3 t) + ȧt)ät) a t) 1 3λ ȧ t) a t) ), Bt) = A t) 4 Οι σχέσεις αυτές µπορούν να γραφτούν και ως προς τον αδιάστατο χρόνο τ k a t) λ k at)ät)+ȧ t) a 4 t) + MX + ζr + g φ t) ȧ 1 3λ t) a t) ḧ k τ) + Ω τ)h k τ) = 0 3.1) µε Aτ) Ωτ) = Bτ) A τ) 4 30

37 ȧτ) aτ) λ Aτ) = 3 Bτ) = ȧ3 τ) a 3 τ) + ȧτ)äτ) a τ) 1 3λ ȧ τ) a τ) ) k Mφ a τ) λ k aτ)äτ)+ȧ τ) a 4 τ) + M X + ζrτ) Mφ Mφ + g ψτ)m pl Mφ ȧ 1 3λ τ) a τ) Θεωρούµε ότι µετά το τέλος του πληθωρισµού ϐρισκόµαστε στη ϕάση που επικρατεί η ύλη matter domination) και ο παράγοντας aτ) ϑα έχει τη µορφή aτ) = τ /3 Είναι σηµαντικό εδώ να σηµειώσουµε ότι στη ϕάση που µελετάµε, δηλαδή για aτ) = τ /3 ο όρος του λ που εµφανίζεται παραπάνω τυχαίνει να µηδενίζεται. Αν προσδιορίσουµε τους συντελεστές Bogolyubov από ένα σύστηµα διαφορικών εξισώσεων τότε µια λύση της µορφής α k τ) = Ω k τ) [ Ω k τ) exp i Ω k τ )dτ ] β k τ) β k τ) = Ω k τ) [ Ω k τ) exp i Ω k τ )dτ ] α k τ) h k τ) = ατ) e i Ωτ )dτ + βτ) e i Ωτ )dτ Ωτ) Ωτ) είναι λύση της 3.1). Η ποσότητα β k δηλώνει τον µέσο αριθµό σωµατιδίων στην κατάσταση k. Σε αυτήν την ενότητα ϑεωρούµε ότι έχουµε το inflaton χωρίς επιπλέον κινητικούς όρους λ 1 = 0) όπως παρουσιάστηκε στο σχήµα.). Οµοια και το πεδίο X δεν έχει επιπλέον κινητικούς όρους λ = 0). Την χρονική στιγµή τ 0 = 0 έχουµε την αρχή του πληθωρισµού ο οποίος σύµφωνα µε το σενάριο slow - roll ϑα τελειώσει τη χρονική στιγµή τ f = 0. Τότε το inflaton ταλαντώνεται γύρω από το ελάχιστο του δυναµικού παράγοντας σωµατίδια µέχρι να αποδιεγερθεί εντελώς. Από τη χρονική στιγµή τ f και µετά µπαίνουµε στη ϕάση που επικρατεί η ύλη. Μπορούµε τώρα να υπολογίσουµε σύµφωνα µε τα παραπάνω τον µέσο αριθµό σωµατιδίων X που παράγονται. Θεωρούµε ότι µέχρι το τέλος του inflation δεν έχουµε παραγωγή σωµατιδίων. Θα έχουµε δηλαδή ως αρχικές συνθήκες ατ f ) = 1, βτ f ) = 0 Επιπλέον για την αριθµητική µελέτη χρησιµοποιούµε M φ = 10 6 M pl, k = 10 5 M pl. Τότε Ωτ) > 0 και ισχύει η αδιαβατική προσέγγιση Ω τ) Ωτ) 1. Οι συντελεστές Bogolyubov ϑα σταθεροποιηθούν µετά τη χρονική στιγµή τ flat = 00 και µετρώντας τους τότε µπορούµε να ϐρούµε τη µορφή του µέσου αριθµού σωµατιδίων β k συναρτήσει της µάζας M X για M X > 10 6 M pl. Αρχικά επιλέγουµε το πεδίο X να µην έχει σύζευξη στην καµπυλότητα R ζ = 0) αλλά να έχει σύζευξη µε το πεδίο φ g 0), σχήµα

38 Β k g 0 g g Σχήµα 3.1: Πεδίο X χωρίς σύζευξη στη καµπυλότητα αλλά µε σύζευξη στο πεδίο ψ. Στη συνέχεια µηδενίζουµε τη σύζευξη µε το πεδίο φ, το µόνο που κρατάµε είναι η χρονική στιγµή που τελειώνει ο πληθωρισµός, και δίνουµε ϑετική σχήµα 3.) και αρνητική σχήµα 3.3) σύζευξη του X µε την καµπυλότητα R. Β k Ζ Ζ 100 Ζ Σχήµα 3.: Πεδίο X χωρίς σύζευξη στο πεδίο ψ αλλά µε ϑετική σύζευξη στην καµπυλότητα. 3

39 b_k ^ Ζ 0 Ζ 100 Ζ 00 l Σχήµα 3.3: Πεδίο X χωρίς σύζευξη στο πεδίο ψ αλλά µε αρνητική σύζευξη στην καµπυλότητα. Παρατηρούµε τις αλλαγές στην παραγωγή σωµατιδίων ίδιας µάζας συναρτήσει των συζεύξεων g και ζ αλλά και έναν πιθανό συσχετισµό των αποτελεσµάτων α- νάµεσα σε µετρήσεις µε g 0, ζ = 0 και g = 0, ζ > 0 3. Παραγωγή σωµατιδίων µετά από πληθωρισµό µε µη-τετριµµένους κινητικούς όρους Σε αυτήν την ενότητα ϑεωρούµε ότι το inflaton έχει µη-τετριµµένους κινητικούς όρους όπως περιγράφηκε στο σχήµα.6. Οµοια ϑα επιτρέψουµε και στο πεδίο X να έχει επιπλέον κινητικό όρο µε διαφορετική εν γένει σύζευξη από αυτή του φ λ 1 λ ). Θα έχουµε δηλαδή την πλήρη ϑεωρία της προηγούµενης ενότητας µε δράση S = d 4 x g M pl R 16π + d 4 x { 1 g g [ µν + λ 1 G µν) µ φ ν φ Mφφ ] + 1 [ g µν + λ G µν) µ X ν X M X + ζr + g φ )X ]}, µοντέλα του πληθωρισµού µε λ 1 0 και διαφορική εξίσωση ḧ k τ) + Ω τ)h k τ) = 0 όπου Aτ) Ωτ) = Bτ) A τ) 4 33

40 ȧτ) aτ) λ Aτ) = 3 Bτ) = ȧ3 τ) a 3 τ) + ȧτ)äτ) a τ) 1 3λ ȧ τ) a τ) ) k Mφ a τ) λ k aτ)äτ)+ȧ τ) a 4 τ) + M X + ζrτ) + g ψτ)m pl Mφ Mφ Mφ ȧ 1 3λ τ) a τ) µε λ 0. Θεωρούµε ξανά πως στην εποχή µετά τον πληθωρισµό που µελετάµε την παραγωγή σωµατιδίων ο παράγοντας aτ) έχει τη µορφή aτ) = τ /3 έτσι και έδω ο παραπάνω όρος µε λ µηδενίζεται. Το διάγραµµα που µελετάµε είναι και εδώ ο µέσος αριθµός σωµατιδίων στην κατάσταση k, β k, συναρτήσει της µάζας M X για διάφορες παραµέτρους. Ξεκινάµε µε πληθωρισµό µε λ 1 = 4 και επιτρέπουµε στο πεδίο X όρους µε λ 0. Εδώ δεν έχουµε σύζευξη του X µε το φ ή την καµπυλότητα. Β k Λ 0 Λ 4 Λ 50 Λ Σχήµα 3.4: Πεδίο X µε µη-τετριµµένους κινητικούς όρους, χωρίς σύζευξη στο πεδίο ψ, χωρίς σύζευξη στην καµπυλότητα. Παρατηρούµε πως χρειαζόµαστε αρκετά µεγαλύτερο λ από την τιµή του λ 1 προκειµένου να έχουµε κάποια αλλαγή στην παραγωγή. Αυτό σηµαίνει πως τη χρονική περίοδο που µελετάµε ο τανυστής Einstein έχει ήδη εξασθενήσει και χρειαζόµαστε µια πιο ισχύρη σύζευξη για εµφανή αποτελέσµατα. Παρουσιάζουµε στη συνέχεια δύο διαγράµµατα όπου για λ 1 = 4 αλλάζουµε τη σύζευξη του X µε το φ, για λ = 0) σχήµα 3.5 και λ = 100) σχήµα

41 Β k g g g Σχήµα 3.5: Πεδίο X χωρίς επιπλέον κινητικούς όρους, µε σύζευξη στο πεδίο ψ, χωρίς σύζευξη στην καµπυλότητα. Β k g g g Σχήµα 3.6: Πεδίο X µε µη-τετριµµένους κινητικούς όρους, µε σύζευξη στο πεδίο ψ, χωρίς σύζευξη στην καµπυλότητα. Αλλάζουµε τη σύζευξη του inflaton µε τον τανυστή Einstein λ 1 = 6), δηλαδή αλλάζουµε και τη χρονική στιγµή που τελείωνει ο πληθωρισµός και τη λύση του 35

42 πεδίου ψ. Παρουσιάζουµε και πάλι δύο διαγράµµατα για λ = 0) σχήµα 3.7 και λ = 100) σχήµα 3.8 Β k g 0 g g Σχήµα 3.7: Πεδίο X χωρίς επιπλέον κινητικούς όρους, µε σύζευξη στο πεδίο ψ, χωρίς σύζευξη στην καµπυλότητα. Β k g 0 g g Σχήµα 3.8: Πεδίο X µε µη-τετριµµένους κινητικούς όρους, µε σύζευξη στο πεδίο ψ, χωρίς σύζευξη στην καµπυλότητα. 36

43 Παρατηρούµε πως από τη στιγµή που αυξάνουµε κατ απόλυτη τιµή) τη σύζευξη του inflaton µε τον τανυστή Einstein η παραγωγή σωµατιδίων µειώνεται. Η σύζευξη του πεδίου X µε τον τανυστή Einstein παράγει ακόµα λιγότερα σωµατίδια καθώς αυξάνεται κατ απόλυτη τιµή). Για να το δούµε αυτό λίγο πιο ξεκάθαρα κρατάµε µια σταθερή τιµή της σύζευξης g = για λ 1 = 6 και αλλάζουµε τη σύζευξη λ. Το αποτέλεσµα ϕαίνεται στο σχήµα 3.9 Β k Λ 0 Λ 100 Λ Λ Σχήµα 3.9: Πεδίο X µε µη-τετριµµένους κινητικούς όρους, µε σύζευξη στο πεδίο ψ, χωρίς σύζευξη στην καµπυλότητα. Οπως ϕαίνεται από τα παραπάνω η εισαγωγή του τανυστή Einstein είτε µόνο στο inflaton είτε και στο inflaton και στο πεδίο X έχει ως αποτέλεσµα τη µείωση του αριθµού σωµατιδίων που παράγονται. Το αποτέλεσµα αυτό ϕαίνεται ότι µπορεί να αναστραφεί σε µεγάλο ϐαθµό µε την αύξηση της σύζευξης g. Συγκεντρώνοντας τα πιο σηµαντικά αποτελέσµατα, έχουµε δείξει ότι : Εχουµε αύξηση της παραγωγής σωµατιδίων µε την αύξηση των συζεύξεων g, ζ πιθανός συσχετισµός) Μετά το τέλος του πληθωρισµού ο τανυστής Einstein έχει εξασθενήσει και χρειαζόµαστε ισχυρότερη σύζευξη λ Μείωση της παραγωγής σωµατιδίων µε την εισαγωγή µη-τετριµµένων κινητικών όρων στο inflaton Επιπλέον µείωση της παραγωγής σωµατιδίων µε την εισαγωγή µη-τετριµµένων κινητικών όρων και στο X αλλά σε µικρότερο ϐαθµό) Μείωση της παραγωγής σωµατιδίων µε την αύξηση των συζεύξεων λ 1 και λ Η οποία όµως µπορεί να αναστραφεί σε µεγάλο ϐαθµό µε την αύξηση της σύζευξης g 37

44 Σηµείωση Εχουµε ϕτάσει ήδη στο τέλος της εργασίας αλλά αξίζει να αναφερθούµε σε µια παρατήρηση σχετικά µε την παραγωγή σωµατιδίων όταν το πεδίο X έχει επιπλέον κινητικούς όρους, δηλαδή για λ 0. Τον σηµαντικότερο ϱόλο στην εύρεση του συντελεστή Bogolyubov β k είχε το Ωτ) το οποίο γενικά µεταβαλλόταν µε το χρόνο µέχρι να ϕτάσει σε µια σταθερή τιµή. Εκείνη τη στιγµή µετράµε την τιµή του συντελεστή Bogolyubov και κατασκευάζουµε τα διαγράµµατα συναρτήσει της µάζας M X. Ο λόγος που διαλέξαµε αυτήν την ποσότητα είναι γιατί µέσα στο Ωτ) είναι η µόνη που δεν συνοδεύεται από συνάρτηση του τ. Για παράδειγµα για λ = 0 Ω τ) = k Mφ a τ) + M X Mφ + ζrτ) Mφ + g ψτ)mpl Mφ 3 äτ) aτ) 3 ȧ τ) 4 a τ) Ετσι κατά την αριθµητική λύση των διαφορικών εξισώσεων ο όρος της µάζας του πεδίου X παρέµενε σταθερός και µπορούσαµε να τον µεταβάλλουµε µε το χέρι για να δούµε τις αλλαγές στην παραγωγή σωµατιδίων. Γνωρίζαµε λοιπόν ότι η ποσότητα M X ήταν η πραγµατική µάζα του X και ότι για µεγαλύτερες µάζες η παραγωγή σωµατιδίων ϑα ήταν πιο δύσκολη, η ποσότητα β k ϑα ήταν πιο µικρή όπως και δείξαµε σε όλα τα διαγράµµατα). Παρ όλα αυτά µε την εισαγωγή επιπλέον κινητικών όρων στο X δείξαµε ότι το Ωτ) έχει την πιο πολύπλοκη µορφή µε ȧτ) aτ) λ Aτ) = 3 Ω Aτ) τ) = Bτ) A τ) 4 ȧ3 τ) a 3 τ) + ȧτ)äτ) a τ) 1 3λ ȧ τ) a τ) ) Bτ) = k Mφ a τ) λ k aτ)äτ)+ȧ τ) a 4 τ) + M X + ζrτ) + g ψτ)m pl Mφ Mφ Mφ ȧ 1 3λ τ) a τ) µε αντίστοιχο διάγραµµα το σχήµα 3.4. Οπως ϕαίνεται ακόµα και ο όρος µάζας έχει εξάρτηση από το χρόνο. Αν το παρακάνουµε µε την τιµή του λ στα πλαίσια όµως που και πάλι µπορούµε να έχουµε σταθερούς Bogolyubov κάποια χρονική στιγµή τ flat ) το αποτέλεσµα είναι το σχήµα 38