Τεχνθτι Νοθμοςφνθ Ιωάννθσ Χατηθλυγεροφδθσ Ρολυτεχνικι Σχολι Τμιμα Μθχανικϊν Η/Υ & Ρλθροφορικισ
Λογικι και Συλλογιςμόσ
Λογικισ ωσ Αναπαράςταςθ Γνϊςθσ (1) Βαςικά Στοιχειά Λογικισ Γλϊςςασ Σφνταξθ (syntax) Σθμαντικι/Σθμαςιολογία (semantics) ι Θεωρία Μοντζλων (model theory) Αποδεικτικι Θεωρία (proof theory) 3
Λογικισ ωσ Αναπαράςταςθ Γνϊςθσ (2) ΘΕΩΡΙΑ ΜΟΝΣΕΛΩΝ (Ρροςδιοριςμόσ ζννοιασ προτάςεων) Ερμθνεία (Interpretation): I = < D, f I > D : Σφνολο πρωτογενϊν οντοτιτων f I : Ερμθνευτικι ςυνάρτθςθ f ςφμβολο I οντότθτα (εσ) Μοντζλο (model) πρόταςθσ: I = φ (φ αλθκισ με βάςθ τθν Ι) Η Ι ικανοποιεί τθν φ ι Ι είναι μοντζλο τθσ φ Μοντζλο ςυνόλου προτάςεων S: Ι μοντζλο S ανν φ S, Ι μοντζλο φ 4
Λογικισ ωσ Αναπαράςταςθ Γνϊςθσ (3) Ικανοποιήςιμη (satisfiable) πρόταςθ: ανν Ι : Ι μοντζλο τθσ φ (Ι = φ) Μη Ικανοποιήςιμη (Unsatisfiable) αν και μόνο αν δεν ζχει κανζνα μοντζλο Ικανοποιήςιμο ή ςυνεπζσ (consistent) ςφνολο προτάςεων: ανν Ι : φ S, Ι μοντζλο φ 5
Λογικισ ωσ Αναπαράςταςθ Γνϊςθσ (4) Οριςμοί: Λογική ςυνεπαγωγή (logical implication) Από πρόταςθ: φ1 = φ2 ανν Ι : Ι = φ1 => Ι = φ2 Ιδιότθτεσ: ανακλαςτικι, μεταβατικι Από ςφνολο προτάςεων: S = φ ανν φ S, Ι: Ι = φ => Ι = φ Άλλθ ορολογία ζγκυρο επακόλουκο (valid consequence) λογικι ςυνζπεια (logical consequence) ςθμαντικι ςυνζπεια (semantic consequence Λογική ιςοδυναμία φ1 φ2 ανν φ1 = φ2 και φ2 = φ1 6
Λογικισ ωσ Αναπαράςταςθ Γνϊςθσ (5) ΑΠΟΔΕΙΚΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ (Ραραγωγι προτάςεων) Εξαγώγιμη πρόταςη: S - φ ανν φ S ι αποτζλεςμα εφαρμογισ ΚΕΣ ςε προτάςεισ του S ι εξαγϊγιμεσ από το S Ρροτάςεισ ςτο S Υποκζςεισ (premises) ι Αξιϊματα (axioms) Εξαγϊγιμεσ από το S Συμπεράςματα (conclusions) ι Θεωριματα (theorems) 7
Λογικισ ωσ Αναπαράςταςθ Γνϊςθσ (6) Απόδειξη (proof) πρόταςησ φ από S Μια ακολουκία προτάςεων με τελευταία τθ φ και κάκε άλλθ είτε από το S είτε εξαγχκείςα από το S Άλλθ ορολογία: Συνεπαγωγι (deduction) Εξαγωγι (derivation) 8
Λογικισ ωσ Αναπαράςταςθ Γνϊςθσ (7) Ορθή (sound) διαδικαςία-ορθοί ΚΕ Αν κάκε πρόταςθ που μπορεί να εξαχκεί από το S ςυνεπάγεται λογικά από το S. S - φ => S = φ (Αποτρζπει τθν παραγωγι λανκαςμζνων λφςεων) Πλήρησ (complete) διαδικαςία-πλήρεισ ΚΕ Αν κάκε πρόταςθ που ςυνεπάγεται λογικά από το S μπορεί να εξαχκεί από το S. S = φ => S - φ (Αποτρζπει τθν παράλειψθ λφςεων) 9
Κατθγορθματικόσ Λογιςμόσ Ρρϊτθσ Σφνταξθ Λεξιλόγιο: Τάξεωσ-ΚΛΡΤ (1) Στακερζσ {C i }: Κάκε C i παριςτάνει ζνα ςτοιχείο του D. Λογικζσ ςτακερζσ : {T, F} Μεταβλθτζσ {v i }: Κάκε v i παριςτάνει ζνα υποςφνολο του D. Κατθγοριματα {f in } : D n {T, F} Συναρτιςεισ {f in } : D n D 10
Κατθγορθματικόσ Λογιςμόσ Ρρϊτθσ Τάξεωσ-ΚΛΡΤ (2) Λογικά ςυνδετικά: (not), (or), (and), (implies), (equivalent) Ροςοδείκτεσ: (κακολικόσ/universal) (υπαρξιακόσ/existential) 11
Κατθγορθματικόσ Λογιςμόσ Ρρϊτθσ υντακτικοί Κανόνεσ Τάξεωσ-ΚΛΡΤ (3) Ατομικι ζκφραςθ ι άτομο: n (t 1, t 2,, t n ) Προσ: i. ςτακερά, ii. μεταβλθτι, iii. f n (t 1, t 2,, t n ), όπου t ι όροσ. ΚΣΕ (Καλά Σχθματιςμζνθ Ζκφραςθ): 1. άτομο 2. F, (F G), (F G), (F G), (F G) όπου F, G ΚΣΕσ 3. ( x) F, ( x) F, όπου x ελεφκερθ μεταβλθτι και F ΚΣΕ 12
Κατθγορθματικόσ Λογιςμόσ Ρρϊτθσ Τάξεωσ-ΚΛΡΤ (4) Εμβζλεια (scope) ποςοδείκτη Η ζκφραςθ ςτθν οποία εφαρμόηεται Π,τι βρίςκεται ςτα δεξιά του Ανοικτή πρόταςη Ρεριζχει ελεφκερεσ μεταβλθτζσ Κλειςτή πρόταςη Δεν περιζχει ελεφκερεσ μεταβλθτζσ Παραδείγματα Προτάςεων (ΚΕ) ( x) ( y) GREATER(x, y) ( x) ((Q(x) P(y)) R(x) ( x) (P(x) ( y) Q(x, y)) ( x) ( ( y) on(x, y) clear(x)) 13
Κατθγορθματικόσ Λογιςμόσ Ρρϊτθσ Κανονικζσ Μορφζσ ΚΕ Τάξεωσ-ΚΛΡΤ (5) Συηευκτικι Κανονικι Μορφι-ΣΚΜ (Conjunctive Normal Form-CNF) (F G) ( F G). Διαηευκτικι Κανονικι Μορφι-ΔΚΜ (Disjunctive Normal Form-DNF) (F G) ( F G). Κανονικι Μορφι Prenex-ΚΜP (Prenex Normal Form-PNF) (Q 1 x 1 ) (Q 2 x 2 ) (Q n x n ) (F) 14
Κατθγορθματικόσ Λογιςμόσ Ρρϊτθσ ημαςιολογία Ερμθνευτικι Συνάρτθςθ 1. f I (c i ) = d i D Τάξεωσ-ΚΛΡΤ (6) 2. f I (v i ) = {d 1, d 2,, d n } D 3. f I (f i n ) = { << d 11, d 12,, d 1n > d 1 >, << d 21, d 22,, d 2n > d 2 >, << d m1, d m2,, d mn > d m >} όπου j, ( d j1, d j2,, d jn ) = d j D (D n D) 15
Κατθγορθματικόσ Λογιςμόσ Ρρϊτθσ Τάξεωσ-ΚΛΡΤ (7) 4. f I (P i n ) = { < d 11, d 12,, d 1n >, < d 21, d 22,, d 2n >, < d m1, d m2,, d mn >} όπου j, < d j1, d j2,, d jn > D (D n {T, F}) 16
Κατθγορθματικόσ Λογιςμόσ Ρρϊτθσ Σθμαςιολογικοί Κανόνεσ Τάξεωσ-ΚΛΡΤ (8) 1. Αν φ n (t 1, t 2,, t n ) τότε Ι = φ ανν < t 1, t 2,, t n > f I (P i n ) 2. Αν φ F τότε Ι = φ ανν Ι F 3. Αν φ (F G) τότε Ι = φ ανν Ι = F ι Ι = G 4. Αν φ (F G) τότε Ι = φ ανν Ι = F και Ι = G 5. Αν φ (F G) τότε Ι = φ ανν Ι F ι Ι = G 6. Αν φ ( x) F τότε Ι = φ ανν x D Ι = F 7. Αν φ ( x) F τότε Ι = φ ανν x D Ι = F 17
Κατθγορθματικόσ Λογιςμόσ Ρρϊτθσ Παράδειγμα Απλι γλϊςςα ΚΛΡΤ τρεισ ςτακερζσ: a, b, c Τάξεωσ-ΚΛΡΤ (9) κατθγοριματα : P 1, Q 1, R 2 Μια ερμθνεία D = {μαρία, γιάννθσ, γιϊργοσ} f: f(a) = μαρία f(b) = γιάννθσ f(c) = γιϊργοσ f(p) = {μαρία} f(q) = {γιάννθσ, γιϊργοσ} f(r) = {<μαρία, γιάννθσ>, <γιάννθσ, μαρία>} Υπονοοφμενεσ ςχζςεισ P (γυναίκα), Q(άνδρασ) R(ζχει-ςυηευχκεί) 18
Κατθγορθματικόσ Λογιςμόσ Ρρϊτθσ Τάξεωσ-ΚΛΡΤ (10) Ερμθνεία Ρροτάςεων 1. P(a) T 2. R(a, b) T 3. P(c) R(b, c) T 4. ( x) P(x) T 5. ( x) ( y) (P(x) Q(y)) R(y, x) F Αλλαγι Ερμθνευτικισ Συνάρτθςθσ f(b) = γιϊργοσ, f(c) = γιάννθσ. Τότε 2. R(a, b) F 19
Λογικι και Αυτόματοσ Συλλογιςμόσ Φυςικι Γλϊςςα (ΦΓ) Κατθγορθματικι Λογικι Ρρϊτθσ Τάξθσ (ΚΛΡΤ) Ρροταςιακι Μορφι (ΡΜ) Αντίφαςθ τθσ Επίλυςθσ (ΡΜ) Συμπζραςμα 20
Μετατροπι ΦΓ ςε ΚΛΡΤ (1) ΔΙΑΔΙΚΑΙΑ (Αυτι θ διαδικαςία δεν αυτοματοποιείται ςτον Η/Υ, απλά βοθκά ςτθν εκμάκθςθ τθσ μετατροπισ) 1. Ρροςδιοριςμόσ κατθγορθμάτων/ςυναρτιςεων 2. Ρροςδιοριςμόσ οριςμάτων (αρικμόσ, τφποσ, ςφμβολα) 3. Ρροςδιοριςμόσ ποςοδεικτϊν μεταβλθτϊν 4. Σχθματιςμόσ ατομικϊν εκφράςεων (ατόμων) 5. Σχθματιςμόσ ομάδων ατόμων ίδιου επιπζδου 6. Ρροςδιοριςμόσ ςυνδετικϊν ατόμων ομάδων και ςχθματιςμόσ αντίςτοιχων τφπων 7. Ρροςδιοριςμόσ ομάδων τφπων ίδιου επιπζδου 8. Στθν περίπτωςθ μιασ ομάδασ, προςδιοριςμόσ ςυνδετικϊν τφπων ομάδασ, ςχθματιςμόσ τελικοφ τφπου και προχωροφμε ςτο 10. 9. Ρροςδιοριςμόσ ςυνδετικϊν τφπων ομάδων, ςχθματιςμόσ τφπων επόμενου επιπζδου και επιςτρζφουμε ςτο 6. 10. Τοποκζτθςθ ποςοδεικτϊν ςτον τελικό τφπο και δθμιουργία τελικισ πρόταςθσ 21
Μετατροπι ΦΓ ςε ΚΛΡΤ (2) Παραδειγμα1 «Ο Ρλοφτο είναι ςκφλοσ» 1.κατθγόρθμα1 = είναι_ςκφλοσ ι ςκφλοσ 2.όριςματα = 1, Ρλοφτο, ςτακερά 3.Δεν υπάρχουν ποςοδείκτεσ 4.άτομο1 = ςκφλοσ(ρλοφτο) 5-9. Μθ εφαρμόςιμα βιματα 10. ςκφλοσ(ρλοφτο) Τελική πρόταςη ςε ΚΛΠΤ 22
Μετατροπι ΦΓ ςε ΚΛΡΤ (3) Παραδειγμα2 «Πλοι οι άνκρωποι είναι κνθτοί» 1. κατθγόρθμα1 = άνκρωποσ, κατθγόρθμα2 = κνθτόσ 2. ορίςματα1= 1, μεταβλθτι, x ορίςματα2 = 1, μεταβλθτι, x 3. x 4. άτομο1 = άνκρωποσ(x), άτομο2 = κνθτόσ(x) 5. {άνκρωποσ(x), κνθτόσ(x)} 6. άτομο1 άτομο2 7-9. Μθ εφαρμόςιμα βιματα 10.( x) άνκρωποσ(x) κνθτόσ(x) Τελική πρόταςη ςε ΚΛΠΤ 23
Μετατροπι ΦΓ ςε ΚΛΡΤ (4) Αξιοςημείωτεσ Περιπτώςεισ Κατθγόρθμα-Συνάρτθςθ «Πλοι μζνουν εκεί που εργάηονται» 1. ( x) ( y) εργάηεται(x, y) μζνει(x, y) Υπονοεί ότι υπάρχει τουλάχιςτον ζνασ τόποσ εργαςίασ 2. ( x) μζνει(x, τόποσ_εργαςίασ_του(x)) Υπονοεί ότι υπάρχει μόνο ζνασ τόποσ κατοικίασ Συνάρτθςθ: απεικονίηει ςχζςθ ζνα-προσ-ζνα 24
Μετατροπι ΦΓ ςε ΚΛΡΤ (5) Αξιοςημείωτεσ Περιπτώςεισ Σειρά ποςοδεικτϊν 1. ( x) ( y) μζνει(x, y) Εννοεί ότι ο κακζνασ μζνει ςε δικό του κατάλυμα 2. ( y) ( x) μζνει(x, y) Εννοεί ότι όλοι μζνουν ςτο ίδιο κατάλυμα 25
Μετατροπι ΦΓ ςε ΚΛΡΤ (6) Αξιοςημείωτεσ Περιπτώςεισ Ιςοδυναμία: Α (Β Γ) (Α Β) Γ Παράδειγμα: All humans eat some food 1. ( x) ( y) (human(x) food(y) eats(x, y)) 2. ( x) ( y) (human(x) (food(y) eats(x, y))) 26
Βαςικά ημεία: Ρροταςιακι Μορφι ΚΛΡΤ (Clausal Form οf FOPC) (1) Ο χειριςμόσ προτάςεων ΚΛΡΤ για εξαγωγι ςυμπεραςμάτων κα ιταν πολφπλοκοσ (λόγω των πολλϊν λογικϊν ςυμβόλων) και κα δθμιουργοφςε προβλιματα απόδοςθσ. Η προταςιακι μορφι (clause form) του ΚΛΡΤ είναι μια ςυντακτικά αρκετά απλοφςτερθ μορφι λογικισ, όπου ζχουν απαλειφκεί όλα τα λογικά ςφμβολα και ζχει παραμείνει μόνο θ διάηευξθ. Το ςθμαντικό είναι ότι παρ ότι θ μορφι αυτι από πλευράσ πλθροφορίασ και φυςικότθτασ είναι υποδεζςτερθ του ΚΛΡΤ, από πλευράσ αποδεικτικϊν δυνατοτιτων είναι ιςοδφναμθ. Επίςθσ, υπάρχει αυτόματθ διαδικαςία μετατροπισ 27
Ρροταςιακι Μορφι ΚΛΡΤ (Clausal Form οf FOPC) (2) Βαςικοί Οριςμοί ςτοιχείο (literal): ζνα άτομο (κετικό ςτοιχείο) ι θ άρνθςθ ενόσ ατόμου (αρνθτικό ςτοιχείο) πρόταςθ (clause): ςφνολο ςτοιχείων που παριςτά τθ διάηευξι τουσ Σφποι Προταςεων κενι (empty) μοναδιαία (unit) κετικι (positive), αρνθτικι (negative), μεικτι Horn 28
Ρροταςιακι Μορφι ΚΛΡΤ (Clausal Form οf FOPC) (3) ΜΕΣΑΣΡΟΠΗ Ε ΠΡΟΣΑΙΑΚΗ ΜΟΡΦΗ 1. Απαλοιφι ςυνεπαγωγϊν (F1 F2) ( F1 F2) 2. Ρεριοριςμόσ εμβζλειασ αρνιςεων ( F) F ( x) F ( x) ( F) ( x) F ( x) ( F) (F1 Fn) ( F1 Fn) (F1 Fn) ( F1 Fn) 29
Ρροταςιακι Μορφι ΚΛΡΤ (Clausal Form οf FOPC) (4) 3. Μετονομαςία μεταβλθτϊν με το ίδιο όνομα που δεςμεφονται από διαφορετικοφσ ποςοδείκτεσ 4. Μετατροπι ςε ΚΜP (Prenex-PNF) 5. Απαλοιφι υπαρξιακϊν ποςοδεικτϊν (Skolemisation) ςτακερζσ Skolem ςυναρτιςεισ Skolem 6. Απαλοιφι κακολικϊν ποςοδεικτϊν 7. Μετατροπι ς ε ΚΣΜ (CNF) (F (F1 Fn) ) ((F F1) (F Fn) ) 30
Ρροταςιακι Μορφι ΚΛΡΤ (Clausal Form οf FOPC) (5) 8. Απαλοιφι διαςυνδετικϊν και καταγραφι των παραχκζντων προτάςεων 9. Μετονομαςία μεταβλθτϊν (περίπτωςθ περιςςοτζρων τθσ μιασ προτάςεων με κοινζσ μεταβλθτζσ) 31
Οριςμόσ: Ρροταςιακι Μορφι ΚΛΡΤ (Clausal Form οf FOPC) (6) Μια πρόταςθ βρίςκεται ςε κανονικθ μορφι Prenex (PNF) όταν είναι: ((q 1 x 1 ) (q 2 x 2 ) ((q n x n ) F) ) q i i=1, n είναι είτε ο κακολικόσ ποςοδείκτθσ είτε ο υπαρξιακόσ και το F είναι μια ζκφραςθ που δεν περιζχει ποςοδείκτεσ Μεταφορά των ποςοδεικτϊν ςτα αριςτερά τθσ ζκφραςθσ 32
Μετατροπι ςε Ρροταςιακι Μορφι Ραράδειγμα (1) Ρρόταςθ ΚΛΡΤ: ( x) (a(x) b(x)) ( y) d(x, y) 1. Απαλοιφι ςυνεπαγωγϊν ( x) (a(x) b(x)) ( y) d(x, y) 2. Ρεριοριςμόσ εμβζλειασ αρνιςεων ( x) ( a(x) b(x)) ( y) d(x, y) 3. Μετονομαςία μεταβλθτϊν (Μθ εφαρμόςιμο) 4. Μετατροπι ςε ΚΜP (PNF) ( x) ( y) (( a(x) b(x)) d(x, y)) 5. Απαλοιφι υπαρξιακϊν ποςοδεικτϊν ( x) (( a(x) b(x)) d(x, f(x))) 33
Μετατροπι ςε Ρροταςιακι Μορφι Ραράδειγμα (2) 6. Απαλοιφι κακολικϊν ποςοδεικτϊν (( a(x) b(x)) d(x, f(x))) 7. Μετατροπι ς ε ΚΣΜ (CNF) (Μθ εφαρμόςιμο) 8. Απαλοιφι διαςυνδετικϊν-δθμιουργία προτάςεων φ { a(x), b(x), d(x, f(x))} 9. Μετονομαςία μεταβλθτϊν (Μθ εφαρμόςιμο) 34
Αντικατάςταςθ (Substitution) (1) Οριςμόσ Αντικατάςταςθ εννοοφμε ζνα πεπεραςμζνο ςφνολο {t 1 /v 1,, t n /v n } με v i t i όπου t 1,, t n όροι προςδζςεισ (bindings) και v 1,, v n μεταβλθτζσ δεςμευμζνεσ (bound) Αν κανζνα t i δεν περιζχει κανζνα v i τότε αντικατάςταςη βάςησ (ground substitution) Εφαρμογι αντικατάςταςθσ (κ) ςε ζκφραςθ (Ε): Εκ (ςτιγμιότυπο τθσ Ε) 35
Αντικατάςταςθ (Substitution) (2) Σφνκεςθ Αντικαταςτάςεων κ ={t 1 /x 1,, t n /x n -, ς =,u 1 /y 1,, u m /y m } κoς (ι κς) ={t 1 ς/x 1,, t n ς/x n, u 1 /y 1,, u m /y m } πλθν t i ς/x i με t i ς = x i και u i /y i με y i {x 1,, x n } 36
Αντικατάςταςθ (Substitution) (3) Ραράδειγμα Ζςτω θ = {f(y)/x, y/z}, ς = {a/x, b/y, c/z} Τότε 1. θ oς = {f(b)/x, b/z, a/x, b/y, c/z} 2. θ oς = {f(b)/x, b/z, b/y} 37
Ενοποίθςθ (Unification) (1) Μια αντικατάςταςθ κ καλείται ενοποιήτρια (unifier) του ςυνόλου,ε 1,, Ε n } αν Ε 1 κ = = Ε n κ. Το ςφνολο καλείται ενοποιήςιμο (unifiable). Μια ενοποιιτρια ς ενόσ ςυνόλου καλείται γενικότερη ενοποιήτρια (most general unifier-mgu) αν για κάκε άλλθ ενοποιιτρια κ του ςυνόλου υπάρχει μια αντικατάςταςθ λ τζτοια ϊςτε κ = ς ο λ. Ενοποίηςη (unification) είναι θ διαδικαςία με τθν οποία εξετάηουμε αν δφο εκφράςεισ μποροφν να γίνουν ςυντακτικά ταυτόςθμεσ με τθν εφαρμογι κάποιασ αντικατάςταςθσ. 38
Ενοποίθςθ (Unification) (2) Κανόνεσ Ενοποίηςησ Όρων 1.Μια ςτακερά ενοποιείται μόνο με μια ίδια ςτακερά ι μια μεταβλθτι. 2.Μια μεταβλθτι ενοποιείται με οποιοδιποτε όρο εκτόσ αν αυτόσ είναι ςυνάρτθςθ που περιζχει τθ μεταβλθτι. 3.Μια ςυνάρτθςθ ενοποιείται μόνο με μια ςυνάρτθςθ με το ίδιο ςυναρτθςιακό ςφμβολο και ενοποιιςιμεσ παραμζτρουσ. Κανόνασ Ενοποίθςθσ Στοιχείων Δφο ςτοιχεία ενοποιοφνται αν ζχουν τθν ίδια πολικότθτα, το ίδιο κατθγόρθμα, ενοποιιςιμουσ όρουσ και θ αντικατάςταςθ που προκφπτει δεν ζχει ςυγκροφςεισ προςδζςεων ίδιων μεταβλθτϊν. 39
Ενοποίθςθ (Unification) (3) Παραδείγματα: 1. p(a, y, z), p(x, b, z) ενοποιοφνται με γ.ε. ς = {a/x, b/y} 2. q(a, y, z), p(x, b, z) δεν ενοποιοφνται διότι p q 3. p(a, y, z), p(x, b, z) δεν ενοποιοφνται λόγω διαφορετικισ Ρολικότθτασ 4. p(a, y, z), p(x, f(a), c) ενοποιοφνται με γ.ε. ς = {a/x, f(a)/y, c/z} 5. p(a,x,y),p(b,x,y) δεν ενοποιοφνται διότι a,b είναι ςτακερζσ 40
Αρχι τθσ Επίλυςθσ (Resolution Αρχή τησ Επίλυςησ Principle) (1) Είναι ζνασ κανόνασ εξαγωγισ ςυμπεραςμάτων (ΚΕΣ) που εφαρμόηεται ςτθν προταςιακι μορφι του ΚΛΡΤ. Αναφζρεται ςτθν παραγωγι μιασ «νζασ» πρόταςθσ από δφο υπάρχουςεσ. Επειδι από μόνοσ του ο κανόνασ αυτόσ δεν εξαςφαλίηει πλθρότθτα, ςυνοδεφεται ςυνικωσ από ζνα απλοφςτερο κανόνα (ι μεταςχθματιςμό), τθν παραγοντοποίθςθ (factoring). Η παραγοντοποίθςθ επιδρά ςε μια πρόταςθ και τθν μεταςχθματίηει ςε μια άλλθ, ςτθριηόμενθ ςτθν ενοποίθςθ ςτοιχείων τθσ πρόταςθσ. 41
Αρχι τθσ Επίλυςθσ (Resolution Principle) (2) Παράγων (factor): Αν δφο ι περιςςότερα ςτοιχεία μιασ πρόταςθσ C ζχουν μια γενικότερθ ενοποιιτρια γ τότε η Cγ καλείται παράγων τησ C. Αν το Cγ είναι μια μοναδιαία πρόταςθ τότε θ Cγ καλείται μοναδιαίοσ παράγων τησ C Αρχή τησ Επίλυςησ (ΑΕ): Αν L1, L2 είναι ςτοιχεία των C1, C2 αντίςτοιχα και τα L1, L2 ζχουν μια γενικότερθ ενοποιιτρια ς τότε θ (C1ς - L1ς) (C2ς - L2ς) καλείται δυαδική επιλφουςα (binary resolvent) των C1, C2. Επιλφουςα δφο προτάςεων C1, C2 είναι μια από τα παρακάτω: 1. δ.ε. C1 και C2, 2. δ.ε. C1 και π. C2 3. δ.ε. π.c1 και C2, 4. δ.ε. π.c1 και π.c2 42
Αρχι τθσ Επίλυςθσ (Resolution Principle) (3) Οι C1, C2 ονομάηονται αριςτερόσ γονζασ και δεξιόσ γονζασ αντίςτοιχα Ραράδειγμα C1={p(x), p(f(y)), r(g(y))}, C2= { p(f(g(a)), q(b)} Η C1 ζχει παράγοντα τθν C1 = {p(f(y)), r(g(y))}, ενϊ θ C2 δεν ζχει. Οπότε επειδι επιλφονται τα «p(f(y))» και «p(f(g(a))» με ς = {g(a)/y} παράγεται θ επιλφουςα των C1 και C2 που είναι θ C12 = {r(g(g(a)), q(b)) 43
Απόδειξθ Θεωρθμάτων (Theorem Proving) (1) Θεώρημα: Αν S {φ- είναι αςυνεπζσ τότε S = φ. Άρα αν S { φ- είναι αςυνεπζσ τότε S = φ, όπου S είναι ζνα ςφνολο λογικϊν προτάςεων. Αντίφαςη Επίλυςησ (Resolution Refutation) Η διαδικαςία για τθν απόδειξθ ενόσ κεωριματοσ φ από ζνα ςφνολο αξιωμάτων S (οι προτάςεισ ςτο S ςε προταςιακι μορφι) 1. S = S { φ- (θ φ ςε προταςιακι μορφι) 2. Εφαρμογι τθσ ΑΕ, παραγωγι επιλφουςασ 3. Αν επιλφουςα =κενι πρόταςθ, ςταμάτα (επιτυχία) 4. Ενθμζρωςθ του S (προςκικθ επιλφουςασ) 5. Ριγαινε ςτο 2 44
Απόδειξθ Θεωρθμάτων (Theorem Παράδειγμα Proving) (2) S = {C1, C2} με C1 = {p(u), p(v)}, C2= { p(x), p(y)} Η C1 ζχει παράγοντα τθν C1 = {p(v)}, ενϊ θ C2 ζχει τθν C2 = { p(y)} Οπότε παράγεται θ επιλφουςα των C1 και C2 που είναι θ C12 = { } Άρα το S είναι αςυνεπζσ. Ραρατθροφμε ότι χωρίσ τθν χριςθ παραγόντων αυτό δεν μπορεί να αποδειχκεί. 45
Ραράδειγμα Απόδειξθσ Θεωρθμάτων master(george,pluto) master(x2,y2) lives(x2,z) lives(y2,z) lives(pluto,patra)) master(x2,pluto) lives(x2,patra) lives(george, patra) works(x1,y1) lives(x1,y1) works(george,patra) works(george,patra) works(george,patra) 46
Ρλεονεκτιματα-Μειονεκτιματα Πλεονεκτήματα Ξεκάκαρθ Σθμαντικι μονοςιμαντθ ερμθνεία Μεγάλθ Εκφραςτικότθτα ελλειπι γνϊςθ (υπαρξιακι, διαηευκτικι) διάκριςθ απουςίασ-μθ αλικειασ Δθλωτικι Αναπαράςταςθ ανεξαρτθςία ΒΓ (τι) - ΜΕΣ (πϊσ) αυξθτικι ανάπτυξθ ΒΓ Μειονεκτήματα Αναποτελεςματικότθτα εκκετικι ανάπτυξθ χϊρου καταςτάςεων Αναποφαςιςτικότθτα ΚΛΡΤ θμιαποφαςιςτικόσ Αδυναμία Αναπαράςταςθσ Διαδικαςτικισ Γνϊςθσ αλγεβρικζσ πράξεισ εκτιμιςιμα κατθγοριματα Μονοτονικότθτα S = φ (S y) = φ Τίτλοσ Ενότθτασ 47
Μονοτονικότθτα-Ραράδειγμα Απόδειξθσ (1) Υποκζτουμε ότι ζχουμε τα αξιϊματα (βάςθ γνϊςθσ: ΒΓ): ( x) (πουλί(x) πετά(x)) πουλί(τουΐτι) Τα μετατρζπουμε ςε ΡΜ: { πουλί(x) πετά(x)} (1) { πουλί(τουίτι)} (2) Θζλουμε να αποδείξουμε ότι: Θα το κάνουμε με βάςθ τθν αντίφαςθ τθσ επίλυςθσ. Ραίρνουμε τθν άρνθςι τθσ : τθν μετατρζπουμε ςε ΡΜ: πετά(τουΐτι) πετά(τουΐτι) { πετά(τουΐτι) } 48
Μονοτονικότθτα-Ραράδειγμα Απόδειξθσ (2) Οπότε θ ΒΓ γίνεται: Επιλφουμε τισ (1) και (2) και προκφπτει: { πουλί(x) πετά(x)} (1) {πουλί(τουίτι)} (2) { πετά(τουίτι)} (3) {πετά(τουίτι)} (4) με ς =,τουίτι/x} Επιλφουμε τισ (3) και (4) και προκφπτει:, - (κενι πρόταςθ) Επομζνωσ θ ΒΓ μασ ζγινε αςυνεπισ με τθν ειςαγωγι τθσ πετά(τουίτι) άρα θ πετά(τουίτι) είναι αλθκισ: ςυνεπάγεται λογικά από τθ ΒΓ. 49
Μονοτονικότθτα-Ραράδειγμα Απόδειξθσ (3) Ρλθροφοροφμεκα όμωσ ότι ο Τουΐτι είναι πιγκουΐνοσ και ότι οι πιγκουΐνοι, ενϊ είναι πουλιά, δεν πετοφν. Οπότε αποτυπϊνουμε τθ νζα γνϊςθ με τισ λογικζσ εκφράςεισ ςτα δεξιά. Τισ μετατρζπουμε ςε προταςιακι μορφι και τισ ειςάγουμε ςτθ ΒΓ: ( x) (πιγκουίνοσ(x) πουλί(x)) ( x) (πιγκουίνοσ(x) πετά(x)) πιγκουίνοσ(τουίτυ) { πουλί(x) πετά(x)} (1) {πουλί(τουίτι)} (2) { πιγκουίνοσ(y) πουλί(y)} (3) { πιγκουίνοσ(z) πετά(z)} (4) {πιγκουίνοσ(τουίτυ)} (5) Τίτλοσ Ενότθτασ 50
Μονοτονικότθτα-Ραράδειγμα Απόδειξθσ (4) Ζςτω ότι κζλουμε να αποδείξουμε πάλι ότι: Διαπιςτϊνουμε ότι πάλι αποδεικνφεται μζςω των ίδιων προτάςεων. Ζςτω ότι τϊρα κζλουμε να αποδείξουμε ότι: Είναι εφκολο να διαπιςτϊςουμε ότι και αυτό αποδεικνφεται μζςω των νζων προτάςεων που ειςιχκθςαν ςτθ ΒΓ. Αυτό ςθμαίνει ότι νζα γνϊςθ που ςυγκροφεται με παλαιότερθ δεν μπορεί να τθν ακυρϊςει. πετά (τουΐτι) πετά (τουΐτι) 51
Σθμείωμα Ιςτορικοφ Εκδόςεων Ζργου Το παρόν ζργο αποτελεί τθν ζκδοςθ 1.0. 52
Σθμείωμα Αναφοράσ Copyright Ρανεπιςτιμιο Ρατρϊν, Ιωάννθσ Χατηθλυγεροφδθσ 2015. «Ευφυισ Ρρογραμματιςμόσ». Ζκδοςθ: 1.0. Ράτρα 2015. Διακζςιμο από τθ δικτυακι διεφκυνςθ: https://eclass.upatras.gr/courses/ceid1095/ 53
Σθμείωμα Αδειοδότθςθσ Το παρόν υλικό διατίκεται με τουσ όρουσ τθσ άδειασ χριςθσ Creative Commons Αναφορά, Μθ Εμπορικι Χριςθ Ραρόμοια Διανομι 4.0 *1+ ι μεταγενζςτερθ, Διεκνισ Ζκδοςθ. Εξαιροφνται τα αυτοτελι ζργα τρίτων π.χ. φωτογραφίεσ, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριζχονται ςε αυτό και τα οποία αναφζρονται μαηί με τουσ όρουσ χριςθσ τουσ ςτο «Σθμείωμα Χριςθσ Ζργων Τρίτων». [1] http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/ Ωσ Μη Εμπορική ορίηεται θ χριςθ: που δεν περιλαμβάνει άμεςο ι ζμμεςο οικονομικό όφελοσ από τθν χριςθ του ζργου, για το διανομζα του ζργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομικι ςυναλλαγι ωσ προχπόκεςθ για τθ χριςθ ι πρόςβαςθ ςτο ζργο που δεν προςπορίηει ςτο διανομζα του ζργου και αδειοδόχο ζμμεςο οικονομικό όφελοσ (π.χ. διαφθμίςεισ) από τθν προβολι του ζργου ςε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιοφχοσ μπορεί να παρζχει ςτον αδειοδόχο ξεχωριςτι άδεια να χρθςιμοποιεί το ζργο για εμπορικι χριςθ, εφόςον αυτό του ηθτθκεί. 54
Διατιρθςθ Σθμειωμάτων Οποιαδιποτε αναπαραγωγι ι διαςκευι του υλικοφ κα πρζπει να ςυμπεριλαμβάνει: το Σθμείωμα Αναφοράσ το Σθμείωμα Αδειοδότθςθσ τθ διλωςθ Διατιρθςθσ Σθμειωμάτων το Σθμείωμα Χριςθσ Ζργων Τρίτων (εφόςον υπάρχει) μαηί με τουσ ςυνοδευόμενουσ υπερςυνδζςμουσ. 55