Τεχνητή Νοημοσύνη (ΥΠ23) 6 ο εξάμηνο Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ουρανία Χατζή raniah@hua.gr 1
Ικανοποίηση Περιορισμών Κατηγορία προβλημάτων στα οποία είναι γνωστές μερικές ιδιότητες της τελικής κατάστασης και επιδιώκεται η εύρεση ενός πλήρους στιγμιοτύπου της τελικής κατάστασης. Χρονοπρογραμματισμός (scheduling) Σχεδιασμό ενεργειών παραγωγής (production planning) Ανάλυση και ανίχνευση βλαβών Διαχείριση πόρων Κατανομή πληρωμάτων (crew allocation) Χρηματιστηριακή ανάλυση Τα προβλήματα αυτά μπορούν να λυθούν και με τους συνηθισμένους αλγόριθμους αναζήτησης, αλλά παρουσιάζεται συχνά συνδυαστική έκρηξη. Στόχος είναι η μείωση του χώρου αναζήτησης. 2
Αναπαράσταση Σύνολο μεταβλητών: constraint variables Καθεμία παίρνει τιμές από ένα πεδίο τιμών (constraint domain) Σύνολο περιορισμών (constraints) Αναπαρίστανται σαν σχέσεις μεταξύ των μεταβλητών. Λύση είναι μια ανάθεση τιμών στις μεταβλητές η οποία δεν παραβιάζει τους περιορισμούς. Μερικά προβλήματα περιορισμών απαιτούν μια λύση που μεγιστοποιεί (ή ελαχιστοποιεί) μια αντικειμενική συνάρτηση (objective function). 3
Παράδειγμα: Χρωματισμός Χάρτη (1/4) Πρέπει χρωματιστούν όλες οι περιοχές του χάρτη της Αυστραλίας έτσι ώστε δύο περιοχές που γειτονεύουν να μην έχουν το ίδιο χρώμα, χρησιμοποιώντας μόνο 3 διαθέσιμα χρώματα. Red Green Blue 4
Παράδειγμα: Χρωματισμός Χάρτη (2/4) Ορίζουμε μεταβλητές που αντιπροσωπεύουν τις περιοχές: WA, NT, Q, NSW, V, SA, T Το πεδίο τιμών της καθεμίας από τις μεταβλητές είναι τα διαθέσιμα χρώματα: {r, g, b}. Οι περιορισμοί απαιτούν να έχουν οι γειτονικές περιοχές διαφορετικό χρώμα και μπορούν να αναπαρασταθούν με ανισότητες WA NT NT SA WA SA 5
Παράδειγμα: Χρωματισμός Χάρτη (3/4) Μπορούμε να αντιληφθούμε το πρόβλημα σαν γράφο περιορισμών (constraint graph) Οι κόμβοι αντιστοιχούν σε μεταβλητές του προβλήματος Οι ακμές αντιστοιχούν σε περιορισμούς NT Q WA NSW SA V T 6
Παράδειγμα: Χρωματισμός Χάρτη (4/4) Υπάρχουν πολλές δυνατές λύσεις: {WA = r, NT = g, Q = r, NSW = g, V = r, SA = b, T = b} 7
Παράδειγμα: 8 βασίλισσες Σε μια σκακιέρα 8x8 πρέπει να τοποθετηθούν 8 βασίλισσες έτσι ώστε καμία να μην απειλεί και να μην απειλείται από καμία άλλη. Μεταβλητές: Q 1, Q 2, Q 8 οι θέσεις της κάθε βασίλισσας στις στήλες 1 έως 8 Πεδίο τιμών: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} Περιορισμοί: Q i Q j για κάθε i, j Q i - Q j i - j για κάθε i, j 8
Τύποι περιορισμών Μοναδιαίοι: π.χ. Οι Νότιοι Αυστραλοί αντιπαθούν το πράσινο χρώμα Δυαδικοί: Δύο γειτονικές περιοχές δεν πρέπει να χρωματιστούν με το ίδιο χρώμα (μπορούν να αναπαρασταθούν με γράφο) Υψηλότερης τάξης: Περιλαμβάνουν τρεις ή περισσότερες μεταβλητές. π.χ. κρυπταριθμητικοί γρίφοι 9
Παράδειγμα: Κρυπταριθμητική Κάθε γράμμα του γρίφου αντιπροσωπεύει διαφορετικό ψηφίο: AllDif(F, T, U, W, R, O) Περιορισμοί προσθέσεων: Ο + Ο = R + 10*X 1 X 1 + W + W = U + 10*X 2 X 2 + T + T = O + 10*X 3 X 3 = F όπου Χ 1, Χ 2 και Χ 3 βοηθητικές μεταβλητές που αντιπροσωπεύουν το κρατούμενο 10
Παραγωγή και Δοκιμή (Generate and Test) Παράγονται υποψήφιες λύσεις από μια γεννήτρια λύσεων Ελέγχεται εάν η λύση που προέκυψε ικανοποιεί τους περιορισμούς Απλή μέθοδος, αλλά όχι αποδοτική. Γεννήτρια παραγωγής: Πλήρης Απέριττη Ικανότητα ενημέρωσης (μείωσης αριθμού λύσεων χρησιμοποιώντας πρόσθετη πληροφορία) 11
Αλγόριθμοι Διόρθωσης Ξεκινούν από τυχαία ανάθεση τιμών στις μεταβλητές και επιχειρούν σε κάθε βήμα να διορθώσουν την τιμή κάποιας μεταβλητής ώστε να παραβιάζονται λιγότεροι περιορισμοί (repair algorithms) Αναρρίχηση λόφου (Hill-Climbing) Ευριστικός αλγόριθμος των ελαχίστων συγκρούσεων (min conflicts heuristic) Πρόβλημα εγκλωβισμού σε τοπικά ελάχιστα 12
Min Conflicts Heuristic 1. Ανέθεσε στις μεταβλητές τυχαίες τιμές από τα πεδία τιμών τους. 2. Αν οι τιμές των μεταβλητών δεν παραβιάζουν τους περιορισμούς του προβλήματος τότε επέστρεψε τις τιμές αυτές ως λύση. 3. Εξέτασε για μια τυχαία μεταβλητή όλες τις δυνατές τιμές που μπορεί να πάρει: i. Αν κάποια από τις τιμές αυτές μειώνει το πλήθος των περιορισμών που παραβιάζονται, ανέθετε την τιμή αυτή στη μεταβλητή. ii. Αν δεν υπάρχει τιμή που να μειώνει το πλήθος των περιορισμών που παραβιάζονται, τότε επέλεξε μια τιμή που να διατηρεί τον ίδιο αριθμό παραβιαζόμενων περιορισμών. iii. Αν δεν υπάρχει ούτε τέτοια τιμή, τότε άφησε την τιμή της μεταβλητής ως έχει. 4. Επέστρεψε στο βήμα 2. 13
Κλασικοί Αλγόριθμοι Αναζήτησης Η κάθε κατάσταση αποτελείται από τις μεταβλητές του προβλήματος. Υπάρχει μόνο ένας τελεστής που αντιστοιχεί στην ανάθεση τιμής σε μια μη δεσμευμένη μεταβλητή. Αρχική κατάσταση: όλες οι μεταβλητές είναι μη δεσμευμένες. Τελική κατάσταση: σε όλες τις μεταβλητές έχει ανατεθεί τιμή και δεν παραβιάζεται κανένας περιορισμός. Οι τυφλοί αλγόριθμοι επιλέγουν τυχαία την μεταβλητή που θα της ανατεθεί τιμή. Οι ευριστικοί ακολουθούν αρχή της συντομότερης αποτυχίας, δηλαδή επιλέγουν την μεταβλητή η οποία ενδέχεται να οδηγήσει συντομότερα σε αποτυχημένους κόμβους στην αναζήτηση, δηλαδή εκείνη με το μικρότερο πεδίο τιμών, και στη συνέχεια εκείνη που συμμετέχει σε περισσότερους περιορισμούς. Δεν εκμεταλλεύονται αποδοτικά τους περιορισμούς, παρά μόνο ελέγχουν την ικανοποίησή τους εκ των υστέρων (a posteriori). 14
Αλγόριθμοι Ελέγχου Συνέπειας Απαλοιφή από τα αρχικά πεδία τιμών των μεταβλητών εκείνων των τιμών οι οποίες δεν μπορούν να συμμετέχουν στην τελική λύση. Επιτυγχάνεται μέσω του ελέγχου συνέπειας (constistency check) Αλγόριθμοι διήθησης τιμών (filtering) ή διάδοσης περιορισμών (propagation). 15
Παράδειγμα: Βιομηχανικός Μύλος Πρέπει να ορισθεί η σειρά με την οποία θα εισαχθούν τα προϊόντα A, Β, Γ, Δ στον μύλο: Το προϊόν A πρέπει να εισαχθεί μετά το Δ Το Γ πριν το Β Το Β πριν το Α Μεταβλητές : V A, V B, V Γ, V Δ Περιορισμοί: Αρχικά Πεδία Τιμών: 16
Παράδειγμα: Βιομηχανικός Μύλος Λόγω C9 (V B < V A ): Λόγω C8 (V Γ < V B ): Λόγω C7 (V A > V Δ ): Λόγω C9 (V B < V A ): Οι πιθανοί συνδυασμοί πλέον είναι 2x2x2x3 = 24 σε σχέση με τους αρχικούς 4x4x4x4 = 256. 17
Αναπαράσταση με γράφο περιορισμών V B V Α >V Β Τα τόξα (ακμές, arcs) είναι κατευθυνόμενα, ένας περιορισμός ανάμεσα σε δύο μεταβλητές, π.χ. ο V B <V A, αναπαρίσταται με δύο τόξα, ένα για το V A >V B και ένα για το V B <V A. V A V Δ <V A V B <V A V A <V Δ V Γ <V B V B >V Γ V Γ V Δ Με την αναπαράσταση με γράφο περιορισμών μπορούν να εφαρμοστούν αλγόριθμοι συνέπειας τόξου (Arc Consistency - AC) 18
Ο αλγόριθμος AC3 Επανέλαβε τα ακόλουθα βήματα μέχρι το Q να γίνει κενό: 1. Επέλεξε ένα τόξο (i,j) και διέγραψέ το από το Q. 2. Για κάθε τιμή d i του πεδίου της μεταβλητής V i, έλεγξε αν υπάρχει τουλάχιστον μία τιμή d j του πεδίου της μεταβλητής V j τέτοια ώστε να ικανοποιεί τον περιορισμό C(V i,v j ) που αντιστοιχεί στο τόξο (i,j). 3. Αν δεν υπάρχει τέτοια τιμή d j τότε αφαίρεσε την τιμή d i από το πεδίο τιμών της V i. Αν το πεδίο τιμών της V i είναι κενό τότε τερμάτισε με αποτυχία. 4. Αν έχει μεταβληθεί το πεδίο τιμών της V i, τότε πρόσθεσε στο σύνολο Q όλα τα τόξα (k,i) που αντιστοιχούν στους περιορισμούς C(V k,v i ), για k i. Αρχικά το Q περιλαμβάνει όλα τα τόξα του δικτύου περιορισμών (ο κάθε περιορισμός αντιστοιχεί σε δύο τόξα). Ο αλγόριθμος προχωράει διαγράφοντας ασυνεπείς τιμές και επανεξετάζοντας τα πεδία τιμών των συσχετιζόμενων μεταβλητών 19
AC3: Σχόλια Ο AC3, και όλοι οι αλγόριθμοι συνέπειας τόξου, προϋποθέτουν ότι οι περιορισμοί είναι δυαδικοί Οποιοδήποτε πρόβλημα με περιορισμούς ανώτερης τάξης μπορεί να μετασχηματιστεί σε ισοδύναμο με δυαδικούς Δεν απαλείφει όλες τις ασυνεπείς τιμές (μη-πληρότητα). Για να βρεθεί τελική λύση πρέπει να συνδυαστεί με αλγόριθμους αναζήτησης (ο χώρος αναζήτησης όμως μειώνεται σημαντικά). 20
Κ-συνέπεια (Κ-consistency) Ένας γράφος περιορισμών είναι Κ-συνεπής εάν για κάθε Κ-1 μεταβλητές που ικανοποιούν τους περιορισμούς, υπάρχει μια μεταβλητή Κ με τέτοιο πεδίο ώστε να ικανοποιούνται ταυτόχρονα όλοι οι περιορισμοί που συνδέουν τις Κ μεταβλητές. Ένας γράφος είναι ισχυρά Κ-συνεπής αν για κάθε L K είναι L- συνεπής. Αλγόριθμος συνέπειας τόξων: εξασφαλίζει ισχυρή 2-συνέπεια Αν εξασφαλιστεί ότι ένας γράφος με Ν κόμβους είναι ισχυρά Ν-συνεπής, η λύση μπορεί να βρεθεί χωρίς αναζήτηση. Υπάρχουν τέτοιοι αλγόριθμοι, αλλά το υπολογιστικό τους κόστος είναι υψηλό, επομένως προτιμάται ο συνδυασμός συνέπειας τόξου και αναζήτησης. 21
Συνδυασμός αναζήτησης και διήθησης Βασική ιδέα: μειώνεται ο χώρος αναζήτησης με κάποιον αλγόριθμο ελέγχου συνέπειας πριν από κάθε βήμα ανάθεσης τιμών. 1. Για κάθε περιορισμό αφαίρεσε από τα πεδία τιμών των μεταβλητών τις τιμές εκείνες που δεν μπορούν να συμμετέχουν στην τελική λύση με έναν αλγόριθμο ελέγχου συνέπειας 2. Στον μειωμένο χώρο αναζήτησης που προκύπτει εφάρμοσε έναν κλασικό αλγόριθμο αναζήτησης για να βρεθεί η λύση. Σε κάθε βήμα της αναζήτησης (ανάθεση τιμής), εφάρμοσε ξανά τον αλγόριθμο ελέγχου συνέπειας έτσι ώστε να αφαιρεθούν τυχόν τιμές από τα πεδία τιμών των μεταβλητών οι οποίες δεν μπορούν να συμμετέχουν στην λύση. 22
Παράδειγμα: Βιομηχανικός Μύλος 23
Παράδειγμα: Πρόβλημα Ν-βασιλισσών (1/3) Μεταβλητές: Q 1, Q 2, Q 8 οι θέσεις της κάθε βασίλισσας στις στήλες 1 έως 8 Πεδίο τιμών: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} Περιορισμοί: Q i Q j για κάθε i, j (διαφορετική γραμμή) Q j Q j+n +n για n>1 και n+j 8 Q j Q j+n -n για n>1 και n+j 8 24
Παράδειγμα: Πρόβλημα Ν-βασιλισσών (2/3) Ανάθεση τιμής στην πρώτη βασίλισσα Ανάθεση τιμής στην δεύτερη βασίλισσα 25
Παράδειγμα: Πρόβλημα Ν-βασιλισσών (3/3) Ανάθεση τιμών που οδηγεί σε αποτυχία Λύση 26
Ενδεικτική Βιβλιογραφία Κεφάλαιο 6 (Ενότητες 6.1, 6.2, 6.3, 6.4 και 6.5) του βιβλίου «Τεχνητή Νοημοσύνη», Ι. Βλαχάβας, Π. Κεφαλάς, Ν. Βασιλειάδης, Φ. Κόκκορας και Η. Σακελλαρίου. 27