Κεφάλαιο 6 Έργο και κινητική ενέργεια
Έργο. Το έργο είναι βαθμωτή ποσότητα και ορίζεται ως το γινόμενο της δύναμης F που ασκείται σ ένα σώμα και της απόστασης s που διανύει υπό την επίδραση αυτής της δύναμης. W = F s Μόνο η συνιστώσα της δύναμης F, που είναι παράλληλη προς την μετατόπιση s, F = F cos φ, παράγει έργο. Μονάδες στο SI. 1 Joule=(1 newton)(1 meter) ή 1 J = 1 N m
Παράδειγμα: Έργο παραγόμενο από μια σταθερή δύναμη. Κάποιος ασκεί μια σταθερή δύναμη 210 Ν στο χαλασμένο αυτοκίνητό του, καθώς το σπρώχνει για απόσταση 18 m. Το αυτοκίνητο έχει σκασμένο λάστιχο και χρειάζεται να ασκηθεί δύναμη που σχηματίζει γωνία 30 ο με την κατεύθυνση της κίνησης. α) Πόσο έργο παράγει ; β) Επίσης σπρώχνει ένα άλλο αυτοκίνητο με μια δύναμη F = 160 N i 40 N j. Η μετατόπιση του αυτοκινήτου είναι: s = 14 m i + 11 m j. Πόσο έργο παράγει σε κάθε περίπτωση; α) W = F s = 210 N 18 m cos 30 o = 3,3 10 3 J β) W = F s = F x x + F y y = 160 N 14 m 40 N 11 m = 1,8 10 3 J
α) Η δύναμη F έχει συνιστώσα στην κατεύθυνση της κίνησης. Το έργο είναι θετικό. β) Η δύναμη F έχει συνιστώσα αντίθετη προς την μετατόπιση. Το έργο είναι αρνητικό. γ) Η δύναμη είναι κάθετη στη μετατόπιση. Το έργο είναι μηδενικό.
Παράδειγμα: Έργο παραγόμενο από πολλές δυνάμεις. Ο ιδιοκτήτης μια φάρμας προσδένει το τρακτέρ του σ ένα έλκηθρο φορτωμένο με καυσόξυλα και το σύρει σε απόσταση 20 m πάνω σε οριζόντιο παγωμένο έδαφος. Το συνολικό βάρος του έλκηθρου και του φορτίου του είναι 14700 Ν. Το τρακτέρ ασκεί μια σταθερή δύναμη 5000 Ν υπό γωνία 36,9 ο πάνω από την οριζόντια διεύθυνση. Υπάρχει επιπλέον μια δύναμη τριβής 3500 Ν που αντιτίθεται στην κίνηση. Να βρείτε το έργο που παράγει κάθε δύναμη που ασκείται στο έλκηθρο, καθώς και το συνολικό έργο που παράγουν όλες οι δυνάμεις.
Το έργο που παράγεται από τη δύναμη F T που ασκεί το τρακτέρ: W T = F T s cos 36,9 o = 5000 N 20 m 0,8 = = 80000 N m = 80 kj Το έργο της τριβής είναι αρνητικό. W f = fs cos 180 o = 3500 N 20 m = = 70000 N m = 70 Kj Άρα W tot = 80 kj 70k J = 10kJ Οι δυνάμεις n και w δεν παράγουν έργο. Εναλλακτικά βρίσουμε την ολική δύναμη στη διεύθυνση x και στη διεύθυνση y και υπολογίζουμε το έργο της συνισταμένης δύναμης σε κάθε διεύθυνση.
Έργο και κινητική ενέργεια.
Ένα σώμα κάνει ομαλή επιταχυνόμενη κίνηση. Στο σημείο x 1 η ταχύτητά του είναι υ 1 και στο x 2 είναι υ 2. Μπορούμε να γράψουμε: υ 2 2 = υ 1 2 + 2α x x 2 x 1 Από το δεύτερο νόμο του Νεύτωνα: F = ma x = m υ 2 2 υ 1 2 2α x s W = Fs = 1 2 mυ 2 2 1 2 mυ 1 2 Θεώρημα έργου-ενέργειας: Το έργο που παράγεται από τη συνισταμένη δύναμη πάνω σ ένα σώμα είναι ίσο με τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας του σώματος.
Παράδειγμα: Έργο παραγόμενο από πολλές δυνάμεις. Στο παράδειγμα με το έλκηθρο υποθέστε ότι η αρχική ταχύτητα υ 1 είναι 2,0 m/s. Πόσο είναι το μέτρο της ταχύτητας του έλκηθρου αφού αυτό μετακινηθεί κατά 20 m; Έργο: W = 10 kj = 1 2 mυ 2 2 1 2 mυ 1 2 υ 2 = 4,2 m/s 2 ος τρόπος F x = ma x a x = F x m = 0,333 m/s2 υ 2 2 = υ 1 2 + 2α x s, υ 2 = 0,333 m/s 2
Παράδειγμα: Δυνάμεις πάνω σε μια κεφαλή σφύρας. Ένας πασσαλοπήκτης σφυροκοπεί μια δοκό διατομής σχήματος Ι και τη βυθίζει μέσα στο έδαφος. Κάποια στιγμή αφήνεται η σφύρα να πέσει, βυθίζοντας τη δοκό κατά 7,4 cm. Οι κατακόρυφες ράβδοι που οδηγούν τη σφυροκεφαλή ασκούν μια σταθερή δύναμη 60 Ν επί της κεφαλής. Χρησιμοποιήστε το θεώρημα έργου-ενέργειας και βρείτε α) την ταχύτητα της σφυροκεφαλής τη στιγμή της πρόσκρουσής της στη δοκό και β) τη μέση δύναμη που ασκεί η σφυροκεφαλή επί της δοκού διατομής σχήματος Ι. Αγνοήστε την επίδραση του αέρα.
W = w f s = mg f s = 200 kg 9,8 m/s 2 60 N 3,00 m = 5700 J W = K 2 K 1 = 1 2 mυ2 0 = 5700 J, υ = 7,55 m/s W = w f n s 23 = K 3 K 2, K 3 =0, n = w f K 3 K 2 S 23 = 79000 N
Έργο και ενέργεια με μεταβαλλόμενες δυνάμεις. Όταν η δύναμη που εφαρμόζεται σ ένα σώμα μεταβάλλεται τότε το έργο δίνεται από το πιο κάτω ολοκλήρωμα: W = x 2 x 1 F x dx Ένα παράδειγμα μεταβαλλόμενης δύναμης είναι αυτή του ελατηρίου που υπακούει στο νόμο του Hooke: F x = kx x 2 W = F x dx = x 1 x 2 = kxdx = 1 2 kx 2 2 1 2 kx 1 2 x 1
Παράδειγμα: Έργο παραγόμενο σε ζυγαριά με ελατήριο. Μια γυναίκα βάρους 600 Ν ανεβαίνει σε ζυγαριά λουτρού, η οποία περιέχει ένα σκληρό ελατήριο. Το ελατήριο, σε ισορροπία, συμπιέζεται κατά 1,0 cm υπό το βάρος της γυναίκας. Βρείτε τη σταθερά δύναμης και το ολικό έργο που παράγεται επί του ελατηρίου κατά τη διάρκεια της συμπίεσης. k = F x x = 600 N 0,010 m = 6,0 104 N/m. 0,010m W = F x dx = 0 = kxdx = 1 2 6,0 104 N/m 0,010 m 2 0,010m 0 = 3,0 J
Το θεώρημα έργο-ενέργεια για ευθύγραμμη κίνηση, μεταβαλλόμενες δυνάμεις. a x = dυ x dt x 2 = dυ x dx dx dt = υ x x 2 dυ x dx dυ W = F x dx = ma x dx == mυ x x 1 x x 1 W = mυ x dυ x = 1 2 mυ 2 2 1 2 mυ 1 2 υ 2 υ 1 x 2 x 1 dx dx
Παράδειγμα: Κίνηση με μεταβαλλόμενη δύναμη. Ένας ολισθητής αεροτροχιάς μάζας 0,100 kg προσαρτάται στο άκρο μιας οριζόντιας αεροτροχιάς με ελατήριο που έχει σταθερά 20,0 N/m. Αρχικά το ελατήριο είναι ανέκτατο και ο ολισθητής κινείται με ταχύτητα 1,50 m/s προς τα δεξιά. Να βρείτε τη μέγιστη απόσταση d κατά την οποία μετακινείται ο ολισθητής προς τα δεξιά α) αν τεθεί σε λειτουργία η αεροτροχιά, οπότε δεν υπάρχει τριβή, και β) αν η αεροτροχιά τεθεί εκτός λειτουργίας, οπότε υπάρχει κινητική τριβή (τριβή ολίσθησης) με συντελεστή μ k =0,47.
α) Ο ολισθητής κινείται από το 0 στο d άρα ο ολισθητής παράγει έργο πάνω στο ελατήριο: W = 1 2 kd2 H ποσότητα του έργου που παράγει το ελατήριο επί του ολισθητή είναι το πιο πάνω αποτέλεσμα με αρνητικό πρόσημο. Ο ολισθητής εκτείνεται και σταματά στιγμιαία ενώ η ταχύτητά του αρχικά είναι υ 1. Άρα χρησιμοποιώντας το θεώρημα έργου-ενέργειας ισχύει για τον ολισθητή: 1 kd 2 = 0 1 mυ 1 2, d = υ 1 m = 10,6 cm
β) Αν υπάρχει τριβή μεταξύ του ολισθητή και της αεροτροχιάς τότε θα πρέπει να συνυπολογιστεί και το έργο της κινητικής τριβής. f k = μ k n = μ k mg W fric = f k d cos 180 o = μ k mg d μ k mg d 1 2 kd2 = 0 1 2 mυ 1 2 Η εξίσωση είναι δευτέρου βαθμού ως προς d και έχουμε δύο λύσεις =0,086 m ή = -0,132 m. Μόνο η θετική τιμή έχει νόημα και επομένως d=0,086 m=8,6 cm.
Το θεώρημα έργο-ενέργεια για κίνηση κατά μήκος καμπύλης. P 2 P 2 P 2 W = F cos φdl = F dl = F dl P 1 P 1 P 1
Παράδειγμα: Κίνηση σε καμπύλη τροχιά. Κινείται την κούνια με μια μεταβαλλόμενη δύναμη F από την ακινησία έτσι ώστε να αυξάνεται βαθμιαία με τέτοιο ρυθμό ώστε η κούνια και το παιδί να κινούνται με μικρή ταχύτητα και να παραμένουν πολύ κοντά στην ισορροπία. Πόσο είναι το ολικό έργο που παράγεται από την τάση Τ στις αλυσίδες; Πόσο είναι το έργο που παράγεται από σας ενώ ασκείται τη δύναμη F; F x = F T sin θ = 0, F y = T cos θ w, F = w tan θ Για μικρή γωνία θ, dl=ds=rdθ W = Fdl = F cos θds θ 0 W = w tan θ cos θrdθ = 0 = wr sin θdθ = wr 1 cos θ θ 0 0
Ισχύς. Μέση ισχύς: P av = ΔW Δt ΔW Στιγμιαία ισχύς: P = lim t 0 Δt Μονάδα ισχύος: 1Watt=1J/s = dw dt H μέση ισχύς μπορεί να εκφραστεί ως: P av = F Δs Δt = F υ av Η στιγμιαία ισχύς μπορεί να εκφραστεί: P = F υ
Παράδειγμα: Δύναμη και ισχύς. Κάθε μια από τις δύο αεριοπροωθητικές μηχανές ενός επιβατικού αεροσκάφους γραμμής αναπτύσσει μια ώθηση (μια προωστική δύναμη επί του αεροπλάνου) 197000 Ν. Αν το αεροσκάφος πετάει με ταχύτητα μέτρου 250 m/s, πόση ιπποδύναμη αναπτύσσει κάθε μηχανή; P = F υ = 1,97 10 5 Ν 250 m/s = 4,93 10 7 W Παράδειγμα: Αναρρίχηση ισχύος. Στα πλαίσια μιας καμπάνιας φιλανθρωπικού εράνου μια μαραθωνοδρόμος από το Σικάγο μάζας 50,0 kg ανεβαίνει τρέχοντας τις σκάλες ως τον τελευταίο όροφο ουρανοξύστη ύψους 443 m. Αν επιδιώξει να φθάσει στο ψηλότερο σημείο του κτηρίου σε 15,0 λεπτά, πόση πρέπει να είναι η μέση ισχύς που αποδίδει η αθλήτρια σε βατ; Σε ίππους; W = mgh = 50,0 kg 9,80 m/s 2 443 m = 2,17 10 5 J Ο χρόνος είναι 15,0 min=900 s, επομένως η μέση ισχύς είναι: P av = 2,17 105 J 900 s = 241 W